Геометрическая алгебра Клиффорда

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ 

АЛГЕБРА 

КЛИФФОРДА

Г.В. КОНДРАТЬЕВ

МОНОГРАФИЯ

Москва
ИНФРА-М

202

УДК 512.71(075.4)
ББК 22.147
 
К64

Кондратьев Г.В.

К64  
Геометрическая алгебра Клиффорда : монография / Г.В. Кондра-

тьев. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 217 с. — (Научная мысль). — 
DOI 10.12737/1832489.

ISBN 978-5-16-017235-4 (print)
ISBN 978-5-16-109775-5 (online)
Монография посвящена фундаментальным аспектам геометрической 

алгебры и близко связанным с ними вопросам. Категория алгебр Клиффор-
да рассматривается как сопряженная категории векторных пространств 
с квадратичной формой. Изучаются возможные конструкции в этой кате-
гории и внутренние алгебраические операции алгебры, имеющие геомет-
рическую интерпретацию. Включено приложение к дифференциальной 
геометрии евклидова многообразия на основе шейп-тензора.

Рассматриваются произведения, копроизведения и тензорные произве-

дения в категории ассоциативных алгебр с применением к разложению ал-
гебр Клиффорда на простые компоненты. Вводятся спиноры. Изучаются 
способы матричного представления алгебры Клиффорда.

Может быть интересна студентам, аспирантам и специалистам в об-

ласти математики, физики и кибернетики.

УДК 512.71(075.4)

ББК 22.147

А в т о р:

Кондратьев Г.В., доктор физико-математических наук, профессор 

Нижегородского государственного педагогического университета 
имени Козьмы Минина

ISBN 978-5-16-017235-4 (print)
ISBN 978-5-16-109775-5 (online)
© Кондратьев Г.В., 2021

Введение 
5

1 Свойства категории алгебр Клиффорда 
8

1.1. Категории, функторы, натуральные преобразования ..........8

1.2. Сопряженные функторы ....................................................14

1.3. Категория алгебр Клиффорда ...........................................17

1.4. Некоторые конструкции ....................................................25

1.5. 2-категория алгебр Клиффорда ........................................29

2 Внутренние свойства алгебры Клиффорда 
34

2.1. Ортогональность....................... ........................................34 

2.2. Внешняя алгебра ..............................................................39

2.3. Степени элементов, фильтрация и градуировка ...............42

2.4. Инвариантное разложение векторного пространства 

свободной конечномерной алгебры Клиффорда...............46

2.5. Представление алгебры Клиффорда линейными 

преобразованиями внешней алгебры ...............................54

2.6. Три инволюции свободной алгебры Клиффорда ...............57

3 Геометрические вычисления 
60

3.1. Вводные соображения ......................................................60

3.2. Подпространство и его ортогональное дополнение ..........63

3.3. Некоторые тождества .......................................................67

3.4. Естественное вложение грассманиана в алгебру 

Клиффорда .......................................................................72

3.5. Проекции и режекции .......................................................78

3.6. Пересечения и суммы подпространств .............................84

Оглавление

3.7. Отражения и повороты ......................................................87

3.8. Проективные пространства ...............................................95

4 Применение геометрической алгебры 
в дифференциальной геометрии 
104

4.1. Касательная алгебра Клиффорда на многообразии ........104

4.2. Добавление оператора дифференцирования 

в касательную алгебру Клиффорда .................................109

4.3. Алгебры Ли, связанные с алгеброй Клиффорда ..............113

4.4. Шейп-тензор и параллельный перенос ...........................120

4.5. Ковариантное дифференцирование и кривизна .............125

5 Алгебраическая структура алгебры Клиффорда 
132

5.1. Категория ассоциативных алгебр ...................................132

5.2. Конечные произведения ассоциативных алгебр 

и алгебр Клиффорда .......................................................137

5.3. Тензорные произведения алгебр Клиффорда .................146

5.4. Матричное представление вещественных алгебр 

Клиффорда .....................................................................152

5.5. Матричное представление комплексных алгебр 

Клиффорда .....................................................................160

6 Модули над алгеброй Клиффорда 
163

6.1. Простые и полупростые модули ......................................163

6.2. Условие на размерности исходя из вида матричного 

представления ................................................................172

6.3. Сопряженность между группами и алгебрами ................174

6.4. Минимальные левые идеалы...........................................180

6.5. Примеры минимальных левых идеалов и матричных 

представлений ................................................................189

6.6. Кватернионное представление .......................................197

6.7. Разложение Пирса и матричные единицы алгебры .........201

Заключение 
210
Библиографический список 
213

Оглавление

Памяти моего отца Кондратьева

Вячеслава Васильевича, человека и ученого

Введение

Первый вариант геометрической алгебры был создан в пер-

вой половине 19 века в трудах Г. Грассмана. Грассман ввел

внешнее и внутреннее произведения векторов, которые позво-

лили рассматривать подпространства векторного пространства

со скалярным произведением как элементы алгебры и производить 
операции с ними, такие как пересечение и сумма, алгебраически. 
Однако, операции алгебры при таком подходе не

были вполне связаны между собой и каждая требовала отдельной 
концепции. Вторым этапом были работы У. Клиффорда второй 
половины 19 века, который сумел объединить скалярное

умножение в векторном пространстве с умножением в алгебре, 
превратив полученную алгебраическую систему в ассоциативную 
алгебру над полем в обычном смысле. Это Клиффорд

ввел геометрическое некоммутативное умножение, сильно изменившее 
как способы вычислений, так и общую концепцию. В

частности, внешнее и внутреннее произведения стали производными 
от геометрического.

С тех пор геометрическая алгебра стала самостоятельной

дисциплиной. Она развивалась и использовалась в качестве аппарата 
исследований математиками и, особенно, физиками.

В частности, первая теория относительности была написана

Э. Картаном и Г. Вейлем на языке геометрической алгебры.

Это произошло на 10 лет раньше появления теории относительности 
А. Эйнштейна, в которой использовался другой

аппарат римановой геометрии. Как отмечают специалисты,

в первый вариант теории относительности входили ’червото-

35

Введение

чины’ пространства-времени, которые допускали описание

внутренней структуры на языке геометрической алгебры. В

теории Эйнштейна они превратились в черные дыры, сингу-

лярности, без какого-либо внутреннего описания.

Во второй половине 20 века геометрическая алгебра полу-

чила новую математическую жизнь. Во многом это связано с

именем Д. Хестенса, который развил технику геометрических

вычислений полностью без использования какого-либо базиса,

ввел операторы векторного и мультивекторного дифференци-

рования, развил математический анализ и дифференциальную

геометрию Клиффорда, параллельно применяя этот аппарат в

физических задачах.

Геометрическая
алгебра
развивалась
и
использовалась

разными учеными в разных направлениях, как универсальный

инвариантный язык геометрии и дифференциального и ин-

тегрального исчисления, как обобщенная числовая система,

содержащая вещественные и комплексные числа и кватер-

нионы (то есть все конечномерные ассоциативные алгебры с

делением), как действенный аппарат изучения классических

групп, как средство в квантовых вычислениях, интерпретации

логики и многих других областях. Многие разделы физики, на-

чиная с механики и заканчивая теорией элементарных частиц,

стали использовать язык геометической алгебры. В недав-

нее время получили развитие приложения к компьютерной

графике, нейросетям, обработке визуальной информации.

Книга требует для своего чтения некоторого знания основ

теории категорий, которые напоминаются в первой главе.

Вторая и третья главы могут служить вводным курсом по

геометрической алгебре. В четвертой главе рассматривается

приложение геометрической алгебры к дифференциальной

геометрии подмногообразий евклидова пространства на ос-

нове шейп-тензора Хестенса. В пятой главе рассматривается

разложение алгебр Клиффорда в произведение, тензорное

46

Введение

произведение и представление алгебрами матриц. В шестой

главе вводятся модули над алгеброй Клиффорда, рассмат-

риваются спинорные пространства, как минимальные левые

идеалы алгебры, изучаются способы получения конкретного

матричного представления алгебры.

Материал может быть полезен специалистам, аспирантам и

студентам физико-математических и компьютерных специальностей 
университетов, а также всем, заинтересованным в создании 
эффективного алгебраического аппарата для решения

различных задач на пространстве с квадратичной формой.

57

Свойства категории

алгебр Клиффорда

В математике объекты рассматриваются не изолированно, а

вместе с отображениями, сохраняющими их структуру. Объекты 
некоторого рода и их отображения составляют категорию.

Наличие достаточного количества нужных объектов и отображений 
позволяет строить различные конструкции в категории

и иметь отношения с другими категориями.

В первой главе вводятся основные понятия, необходимые

для определения категории алгебр Клиффорда.

Следует отметить, что в литературе имеются слегка различающиеся 
версии определения алгебры Клиффорда, которые

в существенном совпадают. Здесь выбрана наиболее удобная с

точки зрения теории категорий, близкая к изложенной в [1, 2].

По теории категорий можно посмотреть [3, 4, 40, 41].

1.1. Категории, функторы,

натуральные преобразования

Категории состоят из объектов и стрелок, удовлетворяющих

простым аксиомам. Точным опредлением является следующее.

Определение 1.1. Категория C состоит из двух классов

𝑂𝑏 C и 𝐴𝑟 C . Элементы первого называются объектами, эле-

менты второго стрелками, морфизмами или отображения-

ми. При этом выполняются аксиомы:

68

Свойства категории алгебр Клиффорда

• для каждой стрелки 𝑓 ∈ 𝐴𝑟 C имеются ее начало 𝑑𝑜𝑚( 𝑓 ) ∈

𝑂𝑏 𝐶 и конец 𝑐𝑜𝑑( 𝑓 ) ∈ 𝑂𝑏 C , что изображается, как 𝑓 : 𝐴 →

𝐵, где 𝐴 = 𝑑𝑜𝑚( 𝑓 ), 𝐵 = 𝑐𝑜𝑑( 𝑓 ),

• для совместимых стрелок 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 и 𝑔 : 𝐵 → 𝐶 опре-

делено их произведение или композиция 𝑔 ◦ 𝑓 : 𝐴 → 𝐶,

что может быть выражено коммутативной диаграм-

мой 𝐴
𝑓
𝑔◦ 𝑓

𝐵
𝑔
𝐶 ,

• композиция, когда она определена, ассоциативна ℎ ◦ (𝑔 ◦

𝑓 ) = (ℎ ◦ 𝑔) ◦ 𝑓 , или через диаграмму

𝐴
𝑓
𝑔◦ 𝑓
𝐵

𝑔

ℎ◦𝑔

𝐶
ℎ
𝐷

(которая означает, что композиции стрелок вдоль лю-

бых путей из одной вершины в другую равны)

• для каждого объекта 𝐴 ∈ 𝑂𝑏 C существует единичная

стрелка 1𝐴 : 𝐴 → 𝐴, такая что для любой стрелки 𝑓 : 𝐵 → 𝐴

и любой стрелки 𝑔 : 𝐴 → 𝐶 выполняется 1𝐴 ◦ 𝑓 = 𝑓 , 𝑔 ◦ 1𝐴 = 𝑔.

Множество стрелок, имеющих началом объект 𝐴 и концом

объект 𝐵 называется hom-множеством и обозначается hom(𝐴, 𝐵).

Примеры.

1. Категория множеств Set с объектами – множествами и

стрелками – отображениями множеств.

2. Категория групп Grp с объектами – группами и стрелка-

ми – групповыми гомоморфизмами.

3. Категория 𝐾-векторных пространств Vect𝐾 с объектами

– векторными пространствами над полем 𝐾 и стрелками

– 𝐾-линейными отображениями.

79

Свойства категории алгебр Клиффорда

4. Категория евклидовых пространств Eucl с объектами

– (конечномерными) евклидовыми пространствами над

полем вещественных чисел R и стрелками – R-линейными

отображениями, сохраняющими скалярное произведе-

ние (· , ·) : 𝐸 × 𝐸 → R в том смысле, что ( 𝑓 (𝑎), 𝑓 (𝑏)) = (𝑎, 𝑏)

для отображения 𝑓 : 𝐸 → 𝐸′.

В список примеров можно включить любой класс структур

и отображений между ними, сохраняющими структуру.

Стрелка 𝑓 называется мономорфизмом, если из равенства

𝑓 ◦ 𝑔 = 𝑓 ◦ ℎ следует 𝑔 = ℎ, и эпиморфизмом, если из равенства

𝑔 ◦ 𝑓 = ℎ ◦ 𝑓 следует 𝑔 = ℎ. Стрелка 𝑓 называется изоморфизмом,

если существует обратная стрелка 𝑓 −1, такая что 𝑓 −1 ◦ 𝑓 = 1𝑑𝑜𝑚( 𝑓 )
и 𝑓 ◦ 𝑓 −1 = 1𝑐𝑜𝑑( 𝑓 ).

Упражнение 1.
1. Доказать, что изоморфизм являет-

ся мономорфизмом и эпиморфизмом.

2. Доказать, что в категории Set стрелка является моно-

морфизмом тогда и только тогда, когда она является

инъективным отображением, и эпиморфизмом тогда и

только тогда, когда она является сюръективным отоб-

ражением.

3. Доказать, что в категории колец и их гоморфизмов Ring

тождественное вложение кольца целых чисел Z в поле

частных Q является мономорфизмом и эпиморфизмом,

но не является изоморфизмом.

Типичной конструкцией объектов в категории является, так

называемая, универсальная конструкция. Например, объект

𝐴 𝐵 называется произведением объектов 𝐴 и 𝐵, если заданы

две выделенные стрелки 𝐴 𝐵
𝑝𝐴
−−→ 𝐴, 𝐴 𝐵
𝑝𝐵
−−→ 𝐵 – проекции

на сомножители, такие что для любого объекта 𝐶 и любой

пары стрелок 𝐶
𝑓−→ 𝐴 и 𝐶
𝑔−→ 𝐵 существует единственная стрелка

8

( 𝑓 , 𝑔) : 𝐶 → 𝑎 𝐵, делающая диаграмму коммутативной

10

Свойства категории алгебр Клиффорда

𝐶

𝑓

𝑔

( 𝑓 ,𝑔)

𝐴
𝐴 𝐵
𝑝𝐴
𝑝𝐵
𝐵

Двойственно, определяется копроизведение 𝐴 𝐵 объектов 𝐴 и

𝐵. Соответствующая диаграмма

𝐶

𝐴

𝑓

𝑖𝐴
𝐴 𝐵

[ 𝑓 ,𝑔]

𝐵

𝑔

𝑖𝐵
Произведения и копроизведения являются примерами пре-

делов и копределов в категории. Подробнее смотрите в [3, 4,

40, 41].

Объект 0 называется нулевым, если существует только одна

стрелка из него в любой другой объект 0
𝐴 . Объект 1 назы-

вается единичным, если существует только одна стрелка в него

из любого другого объекта 𝐴
1 .

Произведения, копроизведения, нулевые и единичные объ-

екты не обязаны существовать, но если существуют, то в един-

ственном экземпляре с точностью до изоморфизма (докажи-

те).

Упражнение 2. Доказать, что в категории векторных

пространств Vect𝐾 нулевое пространство 0 является ну-

левым и единичным объектом, что прямая сумма 𝐴 ⊕ 𝐵

является
копроизведением,
а
произведение
пространств

𝐴 × 𝐵 является произведением.

Функторы играют роль отображений между категориями.

Определение 1.2. Функтор 𝐹 : C → C ′ – это пара отобра-

жений 𝐹 : 𝑂𝑏 C → 𝑂𝑏 C ′ и 𝐹 : 𝐴𝑟 C → 𝐴𝑟 C ′, удовлетворяющих

условиям:

9
11

Свойства категории алгебр Клиффорда

• 𝐹(1𝐴) = 1𝐹(𝐴), где 𝐴 ∈ 𝑂𝑏 C ,

• 𝐹( 𝑓 ◦ 𝑔) = 𝐹( 𝑓 ) ◦ 𝐹(𝑔), где 𝑓 , 𝑔 ∈ 𝐴𝑟 C – совместимые стрелки

категории C .

Кроме так определенных функторов, которые сохраняют на-

правления стрелок, то есть 𝐹 : ( 𝑓 : 𝐴 → 𝐵) ↦→ (𝐹( 𝑓 ) : 𝐹(𝐴) → 𝐹(𝐵)),

имеются функторы обращающие направления стрелок на про-

тивоположное, то есть 𝐹 : ( 𝑓 : 𝐴 → 𝐵) ↦→ (𝐹( 𝑓 ) : 𝐹(𝐵) → 𝐹(𝐴)). Та-

кие функторы записывают так 𝐹 : C 𝑜𝑝 → C ′, подразумевая, что

это обычный функтор из категории C , но в которой формально

обращены стрелки. Функторы первого типа называются кова-

риантными, а второго контравариантными.

Примеры.

1. Тождественный функтор 1C : C → C оставляет объекты

и стрелки категории на месте.

2. Ковариантный
hom-функтор
hom(𝐴, −)
:
C
→
Set
:
⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

𝐶 ↦→ hom(𝐴, 𝐶)

( 𝑓 : 𝐵 → 𝐶) ↦→ (hom(𝐴, 𝑓 ) : hom(𝐴, 𝐵) → hom(𝐴, 𝐶) : 𝑔 ↦→ 𝑓 ◦ 𝑔)
Первая строка задает действие функтора на объектах,

вторая на стрелках. Действие на стрелках сводится к

умножение слева на 𝑓 .

3. Контравариантный hom-функтор hom(−, 𝐴) : C 𝑜𝑝 → Set :
⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

𝐶 ↦→ hom(𝐶, 𝐴)

( 𝑓 : 𝐵 → 𝐶) ↦→ (hom( 𝑓 , 𝐴) : hom(𝐶, 𝐴) → hom(𝐵, 𝐴) : 𝑔 ↦→ 𝑔 ◦ 𝑓 )
Первая строка задает действие функтора на объектах,

вторая на стрелках. Действие на стрелках сводится к

умножение справа на 𝑓 .

4. Функтор взятия свободной группы 𝐹
: Set → Grp со-

поставляет
каждому
множеству
свободную
группу,

порожденную
элементами
множества
и
каждому

10
12