Интеграл Фурье и его приложения

Минис терс тво науки и высш его о б ра з о ва н и я рФ

ФеДераЛЬное госуДарственное автоноМное образоватеЛЬное уЧреЖДение 
высшего образования 
«наЦионаЛЬныЙ иссЛеДоватеЛЬскиЙ теХноЛогиЧескиЙ университет «Мисис»

институт базового образования 
 
Кафедра математики

Москва  2021

№ 4316

Н.Е. Цапенко

Интеграл Фурье  
И его прИложенИя

учебное пособие

рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

УДК 51 
 
Ц17

Р е ц е н з е н т 
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математического и компьютерного 
моделирования Института информационных и вычислительных 
технологий НИУ «МЭИ» В.П. Григорьев

Цапенко, Николай Евгеньевич.
Ц17  
Интеграл Фурье и его приложения : учеб. пособие / 
Н.Е. Цапенко. – Москва : Издательский Дом 
НИТУ «МИСиС», 2021. – 54 с.
ISBN 978-5-907227-65-1

В учебном пособии приводятся основные свойства интегралов 
Фурье. Пара преобразований Фурье выводится посредствам обобщения 
ряда Фурье, которое осуществляется путем предельного перехода 
от конечного отрезка на всю числовую ось (–∞, +∞). Подробно 
рассматриваются особенности преобразований Фурье финитных 
функций. При этом важную роль играют формулы, выражающие 
разложения производных. Они получаются такими, что формула 
для всякой высшей производной учитывает граничные значения, 
как самой функции, так и всех предыдущих низших производных. 
Это свойство позволяет решать с помощью разложений Фурье граничные 
задачи для дифференциальных уравнений, поставленные 
для конечных областей. Разобраны различные примеры на применение 
этого свойства: граничные задачи для простейших обыкновенных 
дифференциальных уравнений на конечных отрезках, граничные 
задачи для уравнений в частных производных – уравнения 
теплопроводности и уравнения Лапласа.
Предназначено для использования в качестве дополнительного 
учебного материала для студентов старших курсов и аспирантов 
НИТУ «МИСиС» всех специальностей.

УДК 51

 Н.Е. Цапенко, 2021
ISBN 978-5-907227-65-1
 НИТУ «МИСиС», 2021

ОглавлЕНиЕ

Глава 1. Преобразование Фурье .........................................4
1.1. Трансформация ряда Фурье в интеграл Фурье ............4
1.2. Некоторые свойства преобразования Фурье ...............6
1.3. Преобразование Фурье финитных функций ...............9
1.4. Вещественная форма преобразования Фурье ............11
1.5. Примеры вычислений спектральных плотностей ......13
1.6. Еще о некоторых свойствах спектральных  
плотностей финитных функций ...................................22

Глава 2. Решение обыкновенных линейных 
дифференциальных уравнений .......................................27
2.1. Линейное уравнение первого порядка .....................27
2.2. Линейное уравнение второго порядка .....................30

Глава 3. Одномерное уравнение теплопроводности .............34
3.1. Метод разделения переменных ..............................34
3.2. Начальная задача для уравнения  
теплопроводности на оси .............................................35
3.3. Неоднородное уравнение теплопроводности  
на оси .......................................................................40
3.4. Смешанная задача для уравнения  
теплопроводности на полуоси ......................................41
3.5. Задача теплообмена с окружающей средой ..............44

Глава 4. Уравнение Лапласа в бесконечной полосе .............49

Библиографический список  ...........................................53

глава 1 
ПрЕОбразОваНиЕ ФУрьЕ

1.1. Трансформация ряда Фурье в интеграл 
Фурье

Стандартная вещественная форма разложения функции 
f(x) на отрезке [–l, l] в ряд Фурье записывается так:

 

∞

=

π
π


=
+
+




∑
0

1
( )
cos
sin
,
2
k
k

k

a
k x
k x
f x
a
b
l
l
 
(1.1)

где коэффициенты в правой части ряда определяются по фор-
мулам: 

 

−

π
= ∫
1
( )cos
,

l

k

l

k x
a
f x
dx
l
l
     k = 0, 1, 2, ... ; 
(1.2)

 
1
( )sin
.

l

k
l

k x
b
f x
dx
l
l
−

π
= ∫
 
(1.3)

Эти формулы были представлены знаменитым француз-
ским математиком Ж.Б. Фурье в 1805 г., по существу, без ка-
ких-либо оговорок относительно условий разложимости функ-
ции f(x). Позже было приведено несколько таких условий. 
Наибольшее распространение получило условие, предложен-
ное немецким математиком П. Дирихле в 1829 г. Оно исполь-
зует понятие кусочно-непрерывной функции.
Определение. Функция называется кусочно-непрерывной 
на отрезке, если она на этом отрезке непрерывна всюду за ис-
ключением, быть может, конечного числа точек разрыва пер-
вого рода.
Условие Дирихле. Пусть функция f(x) кусочно-непрерыв-
ная на отрезке [–l, l] и имеет на нем не более чем конечное чис-
ло точек экстремума. Тогда ее ряд Фурье (1.1) сходится к f(x) 

в точках ее непрерывности и к значению 
(
)
(
)
0
0

2

i
i
f x
f x
−
+
+
 в 

каждой точке х = хi ее разрыва. Сходимость ряда равномер-

на на всяком отрезке, содержащемся в каком-либо интервале 
непрерывности функции. Вне отрезка [–l, l] ряд (1.1) сходит-
ся к периодическому продолжению f(x) на всю вещественную 
ось Ox. 
Следует обратить внимание на то, что одной непрерывности 
функции недостаточно для сходимости ее ряда Фурье. Суще-
ствуют примеры непрерывных функций с расходящимися в 
некоторых точках рядами Фурье, а также примеры непрерыв-
ных функций, к которым их ряды Фурье сходятся повсюду, но 
не равномерно.
С помощью известных формул Эйлера ряд Фурье (1.1) и вы-
ражения (1.2), (1.3) его коэффициентов преобразуются в ком-
пактную комплекснозначную форму, а именно: 

 

π
∞

=−∞
= ∑
( )
;

ik x
l
k
k
f x
c e
 
(1.4)

 
1
( )
.
2
2

l
ik x
k
i
l
k
l

a
ib
c
f x e
dx
l

−
π

−

−
=
=
∫
 
(1.5)

От этих формул мы и перейдем к их интегральным анало-
гам, т.е. к интегралам Фурье. Вводим еще такие обозначения:

(
)
π
∆ℵ=
∆ℵ =
;
2
.
k
F k
lc
l

Теперь равенства (1.4), (1.5) предстают в виде

 

∞
∆ℵ

=−∞
=
∆ℵ
∆ℵ
π ∑
1
( )
(
)
;
2

ik
x

k
f x
F k
e
 
(1.6)

 
(
)
( )
.

l
ik
x

l
F k
f x e
dx
−
∆ℵ

−
∆ℵ = ∫
 
(1.7)

Замечаем, что ряд (1.6) представляет собой интегральную 
сумму для функции 
( )
,
i x
F
e ℵ
ℵ
 распространенную на весь не-
прерывный частотный интервал 
.
−∞ <ℵ< ∞  Поэтому, предпо-
лагая функцию f(x) определенной и интегрируемой на всем 
бесконечном промежутке 
,
x
−∞ <
< ∞  в равенствах (1.6), (1.7) 

можно перейти к пределу при 
0 (
).
l
∆ℵ→
→ ∞
 Этот предельный 
переход приводит к паре интегральных преобразований, называемых 
преобразованиями Фурье:

 
( )

∞
− ℵ

−∞
ℵ = ∫ ( )
;
i x
F
f x e
dx  
(1.8)

 
( )
1
( )
.
2

i x
f x
F
e
d

∞
ℵ

−∞
=
ℵ
ℵ
π ∫
 
(1.9)

Первый из этих интегралов иногда называют прямым преобразованием 
Фурье, а второй – обратным преобразованием 
Фурье. В литературе по прикладным наукам функцию F(ℵ) 
принято называть спектральной плоскостью, или спектральной 
характеристикой, или частотной характеристикой функции 
f(x). Множество значений ℵ, для которых 
( )
0
F ℵ ≠
, называется 
спектром функции f(x) (это понятие не следует путать с 
понятием спектра оператора).
Интеграл Фурье, как и ряд Фурье, сходится в точках непрерывности 
к f(x), а в точках скачка х = хi – к среднему 
арифметическому предельных значений, т.е. к величинам 

(
)
(
)
0
0

2

i
i
f x
f x
−
+
+
.

1.2. Некоторые свойства преобразования 
Фурье

1. Интеграл

 
( ) (
)
f
g
f
g t
d

∞

−∞

∗
=
τ
− τ
τ
∫
 
(1.10)

называется сверткой функций f(t) и g(t). Если F(w) и G(w) – 
преобразования Фурье этих функций, то, внося интеграл (1.9) 
в (1.10), получим равенство

 
( ) (
)
( )
( )
1
.
2

i t
f
g t
d
F
G
e
d

∞
∞

w

−∞
−∞
τ
− τ
τ =
w
w
w
π
∫
∫
 
(1.11)

2. Интеграл

( )
(
)
f
g
t
d

∞
∗

−∞
τ
− τ
τ
∫

называется корреляционной функцией или корреляцией 
функций f(t) и g(t). Аналогично первому свойству получим 

 
( )
(
)
( )
( )

∞
∞

∗
∗
w

−∞
−∞
τ
− τ
τ =
w
w
w
π
∫
∫

1
.
2

i t
f
g
t
d
F
G
e
d
 
(1.12)

Если f(t) = g(t), то корреляционная функция называется автокорреляционной 
функцией. В этом случае

 
( )
(
)
( )

2
1
.
2

i t
f
f
t d
F
e
d

∞
∞
∗
w

−∞
−∞

τ
τ −
τ =
w
w
π
∫
∫
 
(1.13)

Положив здесь t = 0, получаем так называемое равенство 
Парсеваля:

 
( )
( )

2
2
1
.
2
f t
dt
F
d

∞
∞

−∞
−∞

=
w
w
π
∫
∫
 
(1.14)

3. Пусть спектр функции f(t) ограничен. То есть ее частотная 
характеристика F(w) отлична от нуля лишь на некоторой 
конечной полосе частот, заключенной в пределах от 
0
w − ∆w 
до 
0
w + ∆w. Тогда на этой полосе частот F(w) может быть представлена 
и своим рядом Фурье, а именно:

 
( )
,
in

n
n
F
C e

π
∞
w
∆w

=−∞
w = ∑
 
(1.15)

где

 

( )

w +∆w
π
−
w
∆w

w −∆w
=
w
w
∆w ∫

0

0

1
.
2

in

n
C
F
e
d

С другой стороны:

 
( )
( )

0

0

1
,
2

i t
f t
F
e
d

w +∆w
w

w −∆w
=
w
w
π ∫
 
(1.16)

поэтому

 
.
n
C
f
n
π
π


=
−


∆w
∆w



 
(1.17)

Подставляем разложение (1.15) в интеграл (1.16):

( )

(
)

0
0

0
0

0

1
1
2
2

sin
.

i n
t
in
i t

n
n

n
n

i t
n

n
n

f t
C e
e
d
C
e
d

t
n
C e
t
n

π
w +∆w
w +∆w


π
∞
∞
+
w
w


w
∆w


∆w

=−∞
=−∞
w −∆w
w −∆w

π


∞
+
w


∆w



=−∞



=
w =
w =


π
π





∆w + π
∆w
= π
∆w + π

∑
∑
∫
∫

∑

Внося сюда значения коэффициентов Фурье из (1.17), получим

( )
(
)


π


∞
−
w


∆w



=−∞

∆w − π
π


=


∆w
∆w − π


∑

0 sin
i t
n

n

t
n
f t
f
n e
t
n

или, если положить ( )
( )
0 ,
i
t
f t
u t e w
=
 то

 
( )
(
)
∞

=−∞

∆w − π
π


=


∆w
∆w − π


∑
sin
.

n

t
n
u t
u
n
t
n
  
(1.18)

Это соотношение нашло широкое применение в практической 
радиотехнике после того, как в 1933 г. академик 
В.А. Котельников увидел в нем возможность оптимального 
воспроизведения непрерывной функции времени с помощью 
дискретного набора ее значений. С тех пор в прикладных науках 
оно известно под названием теоремы Котельникова.

4. Пусть функция f(t) непрерывно дифференцируема n раз 
на всем бесконечном промежутке от –∞ до ∞ и каждая из ее 
производных представима своим интегралом Фурье. Тогда все 
они получаются последовательным дифференцированием под 
знаком интеграла, т.е. имеют место формулы

∞
w

−∞

∞
w

−∞

∞
w

−∞

=
w
w
π

′
=
w
w
w
π

=
w
w
w
π

∫

∫

∫



( )

1
(t)
( )
;
2

1
(t)
( )
;
2

1
(t)
(
)
( )
.
2

i t

i t

n
n
i t

f
F
e
d

f
i F
e
d

f
i
F
e
d

1.3. Преобразование Фурье финитных 
функций

Функция f(x) называется финитной, если носителем ее зна-
чений служит некоторый ограниченный отрезок [
]
,
a b , а вне 
этого отрезка она равна нулю. Тогда

 
( )
− ℵ
ℵ =∫ ( )
;

b
i x

a

F
f x e
dx  
(1.19)

 
( )
1
( )
,
2

i x
f x
F
e
d

∞
ℵ

−∞
=
ℵ
ℵ
π ∫
 
(1.20)

при этом

 

[
]

если

если

если

( ),
;
2
1
( )
( )
,
;
2
2

0,
,
.

i x

f a
x
a

f b
F
e
d
x
b

x
a b

∞
ℵ

−∞


=



ℵ
ℵ=
=

π

∉

∫
 
(1.21)

Здесь положено

 

→ +
→ −

=
=
0
0

( )
lim ( );
( )
lim ( ),
x
a
x
b
f a
f x
f b
f x
 
(1.22)

как мы и будем всегда считать в дальнейшем.
Пусть f(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a, b] 
некоторое число раз. Выразим спектральные плотности ее 
производных через спектральную плотность самой этой функ-
ции. Имеем

− ℵ
− ℵ
− ℵ

− ℵ
− ℵ

′
ℵ =
=
−
=

=
−
+ ℵ
ℵ
∫
∫
(I)( )
( )
( )
( )

( )
( )
( ).

b
b
b
i x
i x
i x
a
a
a

i b
i a

F
f x e
dx
f x e
f x de

f b e
f a e
i F

Используя эту формулу, получим выражение спектральной 
плотности для второй производной:

− ℵ
− ℵ

− ℵ
− ℵ
− ℵ
− ℵ
′
′
ℵ =
−
+ ℵ
ℵ =

′
′
=
−
+ ℵ
−
−ℵ
ℵ

(II)
(I)

2
( )
( )
( )
( )

( )
( )
( ( )
( )
)
( ).

i b
i a

i b
i a
i b
i a
F
f b e
f a e
i F

f b e
f a e
i
f b e
f a e
F

Продолжая этот процесс, последовательно можно получить 
выражение для спектральной плотности любой высшей произ-
водной: 
(III)
(IV)
( ),
( ),
F
F
ℵ
ℵ
 
Итак:

 
− ℵ
− ℵ
ℵ =
−
+ ℵ
ℵ
(I)( )
( )
( )
( );
i b
i a
F
f b e
f a e
i F
 
(1.23)

 

( )

2
( )
( )
( )

( ( )
( )
)
( ).

i b
i a

i b
i a
F
f b e
f a e

i
f b e
f a e
F

ΙΙ
− ℵ
− ℵ

− ℵ
− ℵ
′
′
ℵ =
−
+

+ ℵ
−
−ℵ
ℵ

 
(1.24)

Для функции f(x), заданной на полуоси 0
x
≤
< ∞ , в форму-
лах (1.23), (1.24) нужно положить

0, lim ( )
lim
( )
0.
b
b
a
f b
f b
→∞
→∞
′
=
=
=

В этом случае они запишутся так: 

ℵ = ℵ
ℵ −
(I)( )
( )
(0);
F
i F
f

( )
2
( )
( )
(0)
(0).
F
F
i f
f
ΙΙ
′
ℵ = −ℵ
ℵ − ℵ
−

Отметим еще одно свойство преобразования Фурье, которое 
называют теоремой запаздывания. 
Если мы сместим значения функции f(x) вправо на рассто-
яние х0, т.е. рассмотрим функцию f(x– x0), то носителем ее 
значений будет отрезок [
]
0
0
,
a
x
b
x
+
+
 и ее спектральная плот-
ность будет такой:

 

0

0
0

0

0
( )
(
)
( ).

b x
i x
i x
x
a x
F
f x
x
e
dx
e
F

+
− ℵ
− ℵ

+
ℵ =
−
=
ℵ
∫
 
(1.25)

1.4. вещественная форма преобразования 
Фурье

Пусть функция f(x), заданная на отрезке [
]
,
a b , веществен-
ная. Тогда переход в интеграле Фурье (1.19) к комплексно со-
пряженным величинам даст равенство

 
( )
(
).
F
F
∗ ℵ =
−ℵ  
(1.26)

Выделим в спектральной плотности ее вещественную и 
мнимую части:

 
( )
( )
( ).
F
A
iB
ℵ =
ℵ −
ℵ  
(1.27) 

С учетом соотношения (1.26) запишем

 
( )
( )
( )
(
)
(
).
F
A
iB
A
jB
∗ ℵ =
ℵ +
ℵ =
−ℵ −
−ℵ  
(1.28)

Поэтому:
А(ℵ) = А(–ℵ) – четная функция;
B(ℵ) = –B(–ℵ) – нечетная функция.