Начертательная геометрия

С.А. Фролов

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ 

ГЕОМЕТРИЯ

УЧЕБНИК

Москва

ИНФРА-М

202Допущено Министерством образования 

Российской Федерации для студентов 

высших учебных заведений, обучающихся 

по направлению подготовки дипломированных 
специалистов в области техники и технологии

3-е издание, переработанное и дополненное

УДК 514(075.8)
ББК 22.151.3я73
 
Ф91

Рецензенты:

А.В. Верховский — доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой 
Московского государственного института электроники 
и математики (технического университета);

В.И. Лобачов — кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой 
Московского государственного технического университета им. 
Н.Э. Баумана

ISBN 978-5-16-010480-5 (print)
ISBN 978-5-16-102275-7 (online) 
© Фролов С.А., 1978, 1983, 2007

Фролов С.А.

Ф91 
    Начертательная геометрия : учебник / С.А. Фролов. — 3-е изд., перераб. 
и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 285 с. — (Высшее образование: Ба-
калавриат).

ISBN 978-5-16-010480-5 (print)
ISBN 978-5-16-102275-7 (online)

Подчеркнута роль инвариантных свойств ортогонального проецирования 
в создании теоретической базы курса. Особое внимание уделено способам 
образования поверхностей, их заданию на эпюре Монжа.

Учебник соответствует примерной программе по начертательной гео-

метрии для вузов технических направлений. 

Для студентов технических вузов.

УДК 514(075.8)

ББК 22.151.3я73

Оригинал-макет подготовлен в НИЦ ИНФРА-М

Подписано в печать 25.10.2022. 

Формат 70100/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 

Печать цифровая. Усл. печ. л. 23,16.

ППТ20. Заказ № 00000

ТК  77700-1915469-270706

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru                 http://www.infra-m.ru

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебник предназначен для студентов технических вузов (кроме архи-

тектурных и строительных специальностей).

Содержание учебника полностью соответствует новой программе по 

начертательной геометрии.

Второе издание подверглось значительной переработке. При подготов-

ке рукописи к изданию были учтены отзывы и предложения, полученные 
автором от читателей и относящиеся как к содержанию, так и объему не-
которых разделов учебника, в частности: внесены изменения в систему 
обозначений проекций геометрических фигур; строже изложен вопрос, 
касающийся инвариантных свойств ортогонального проецирования, и бо-
лее четко подчеркнута их роль в создании теоретической базы курса на-
чертательной геометрии; подробнее изложен материал, связанный с опре-
делителем поверхностей, и уточнена построенная на его базе системати-
зация наиболее распространенных видов поверхностей; внесены 
уточнения в классификацию позиционных и метрических задач; включен 
новый материал, связанный с построением плоскости, касательной к по-
верхности; изложение способов преобразования ортогональных проекций 
дано в главе I непосредственно за методом Монжа. Более раннее знаком-
ство со способами преобразования ортогональных проекций позволяет 
использовать эти способы на всех этапах изложения курса. 

В третьем издании полностью сохранен дидактический принцип изло-

жения материала – от общего к частному, а не наоборот, как это имеет 
место в большинстве курсов начертательной геометрии.

Для облегчения чтения чертежей они выполнены линиями двух цветов. 

Кроме того, чтобы легче представить «игру» геометрических образов в 
пространстве, многие чертежи, построенные по правилам ортогонального 
проецирования, иллюстрируются наглядными изображениями.

Глава IX написана А.А. Чекмаревым. Им же чертежи переведены в 

двухцветное изображение: реальные объекты даны черным, аппарат про-
ецирования и вспомогательные построения, в основном, – зеленым цве-
том. 

ВВЕДЕНИЕ

Начертательная геометрия является одним из разделов геометрии, 

в котором пространственные фигуры, представляющие собой совокуп-
ность точек, линий, поверхностей, изучаются по их проекционным изо-
бражениям на плоскости (или какой-либо другой поверхности).

Основными задачами начертательной геометрии являются: а) создание 

метода изображения геометрических фигур на плоскости (поверхности), 
б) разработка способов решения позиционных и метрических задач, свя-
занных с этими фигурами, при помощи их изображений на плоскости 
(поверхности).

Начертательная геометрия по своему содержанию занимает особое по-

ложение среди других наук: она является лучшим средством развития у 
человека пространственного воображения, без которого немыслимо ника-
кое инженерное творчество.

Начертательная геометрия является теоретической базой для составле-

ния чертежа – гениального изобретения человеческой мысли.

Чертеж – это своеобразный язык, с помощью которого, используя все-

го лишь точки, линии и ограниченное число геометрических знаков, букв 
и цифр, человек имеет возможность изобразить на поверхности, в частно-
сти на плоскости, геометрические фигуры или их сочетания (машины, 
приборы, инженерные сооружения и т.д.). Причем этот графический язык 
является интернациональным, он понятен любому технически грамотно-
му человеку независимо от того, на каком языке он говорит.

Решение задач способами начертательной геометрии осуществляется 

графическим путем. Простейшей геометрической операцией, которую 
приходится выполнять в процессе решения, является определение точки 
пересечения двух линий. Вследствие того, что все геометрические по-
строения осуществляются с помощью только линейки и циркуля, линия-
ми, точку пересечения которых следует определять, являются прямые и 
окружности. Иными словами, путем проведения отрезков прямых и дуг 
окружностей (в редких случаях участков лекальных кривых) в определен-
ной последовательности, устанавливаемой теоремами и правилами на-
чертательной геометрии, можно решать сложные задачи из различных 
областей науки и техники.

Возможность расчленения процесса решения задач на выполнение эле-

ментарных, однотипных операций позволяет получить итерационные спо-
собы решения задач, которые легко и естественно могут быть автоматизи-
рованы с помощью вычислительной техники.

Использование начертательной геометрии является рациональным при 

конструировании сложных поверхностей технических форм с наперед за-
данными параметрами, применяемых в авиационной и автомобильной 

промышленности, при создании корпусов судов и судовых движителей и 
во многих других областях техники.

Достижения многомерной начертательной геометрии находят приме-

нение при исследовании диаграмм состояния многокомпонентных систем 
и сплавов в тех случаях, когда другие способы исследования оказываются 
чрезвычайно сложными и не обеспечивают требуемой точности.

Известна роль начертательной геометрии в архитектуре, строительстве, 

изобразительном искусстве. Проекционные способы, разработанные в на-
чертательной геометрии, дают возможность получать наглядные изобра-
жения проектируемых объектов и целых комплексов.

Благодаря начертательной геометрии появилась возможность изобра-

жать на плоскости рельеф земной поверхности и решать простыми графи-
ческими способами задачи, связанные с проектированием дорог, каналов, 
тоннелей, а также определять объемы выполняемых при этом земляных 
работ.

Естественные науки достигают еще большего расцвета в тех случаях, 

когда изучаемые свойства сопровождаются доступными для человеческого 
восприятия наглядными геометрическими моделями.

Способы начертательной геометрии, позволяющие решать математи-

ческие задачи в их графической интерпретации, находят широкое приме-
нение в физике, химии, механике, кристаллографии и многих других на-
уках. Как и другие отрасли математики, начертательная геометрия разви-
вает логическое мышление.

Приведенный далеко не полный перечень вопросов, которые составля-

ют предмет исследования в начертательной геометрии, не оставляет со-
мнения, что начертательная геометрия входит в число фундаментальных 
дисциплин, составляющих основу инженерного образования.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛИКА

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображе-

ния отношения между ними, а также для краткости записей геометриче-
ских предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем в 
курсе используется геометрический язык, составленный из обозначений и 
символов, принятых в курсе математики (в частности, в новом курсе гео-
метрии в средней школе).

Все многообразие обозначений и символов, а также связи между ними 

могут быть подразделены на две группы:

группа I – обозначения геометрических фигур и отношений между ними;
группа II – обозначения логических операций, составляющие синтаксиче-

скую основу геометрического языка.

Обозначения и символика

Ниже приводится полный список математических символов, использу-

емых в данном курсе. Особое внимание уделяется символам, которые 
применяются для обозначения проекций геометрических фигур.

ГРУППА I
СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ 
И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ

А. Обозначение геометрических фигур

1. Геометрическая фигура обозначается – Φ.

2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или 

арабскими цифрами:

А, В, С, D, ..., L, М, N, ...

1, 2, 3, 4, ..., 12, 13, 14, ...

3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям 

проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:

a, b, c, d, ..., l, m, n, …

Линии уровня обозначаются: h – горизонталь; f – фpoнтaль.
Для прямых используются также следующие обозначения:
(АВ) – прямая, проходящая через точки А и В;
[АВ) – луч с началом в точке А;
[АВ] – отрезок прямой, ограниченный точками А и В.

4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:

α, β, γ, δ, ..., ζ, η, ν, ... 

Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, следует указывать 

геометрические элементы, которыми она определяется, например:

α (a || b) – плоскость α определяется параллельными прямыми a и b;
β (d1d2gα) – поверхность β определяется направляющими d1 и d2, образующей 
g и плоскостью параллелизма α.

5. Углы обозначаются:
∠ABC – угол с вершиной в точке В, а также ∠α°, ∠β°, ..., ∠ϕ°, ...

6. Угловая величина (градусная мера) обозначается знаком , который 

ставится над углом:

ABC
– величина угла АВС,
ϕ°
– величина угла ϕ.
Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри 
.

7. Расстояния между геометрическими фигурами обозначаются двумя 

вертикальными отрезками – | |.

Обозначения и символика

Например:

|АВ| – расстояние между точками А и В (длина отрезка АВ);
|Аа| – расстояние от точки А до линии а;
|Aα| – расстояние от точки А до поверхности α;
|ab| – расстояние между линиями а и b;
|αβ| – расстояние между поверхностями α и β.

8. Для плоскостей проекций приняты обозначения: π1 и π2, 
где π1 – горизонтальная плоскость проекций;
 
π2 – фронтальная плоскость проекций.

При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей последние 
обозначают π3, π4 и т.д.

9. Оси проекций обозначаются: х, у, z, где х – ось абсцисс; у – ось ординат; 
z – ось аппликат.

Постоянную прямую эпюра Монжа обозначают k.

10. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фигуры 
обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, 
с добавлением верхнего индекса, соответствующего плоскости проекции, 
на которой они получены:

A′, B′, C′, D′, ..., L′, M′, N′, ... – горизонтальные проекции точек;
A′′, B′′, C′′, D′′, ..., L′′, M′′, N′′, ... – фронтальные проекции точек;
a′, b′, c′, d′, ..., l′, m′, n′, ... – горизонтальные проекции линий;
a′′, b′′, c′′, d′′, ..., l′′, m′′, n′′, ... – фронтальные проекции линий;
α′, β′, γ′, δ′, ..., ζ′, η′, ν′, ... – горизонтальные проекции поверхностей;
α′′, β′′, γ′′, δ′′, ..., ζ′′, η′′, ν′′, ... – фронтальные проекции поверхностей.

11. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми же буквами, 

что и горизонталь или фронталь, с добавлением подстрочного индекса 0α, 
подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекции и принадлежат 
плоскости (поверхности) α.

Так: h0α – горизонтальный след плоскости (поверхности) α;
 
f0α – фронтальный след плоскости (поверхности) α.

12. Следы прямых (линий) обозначаются заглавными буквами, с которых 
начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) 
плоскости проекции, которую пересекает линия, с подстрочным индексом, 
указывающим принадлежность к линии.

Например: Ha – горизонтальный след прямой (линии) а;
 
Fa – фронтальный след прямой (линии) а.

13. Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается под-

строчными индексами 1, 2, 3, …, n:

A1, A2, А3, ... , An;

Обозначения и символика

а1, a2, a3, ... , an;

α1, α2, α3, ... , αn;

Φ1, Φ2, Φ3, ... , Φn и т.п.

Вспомогательная проекция точки, полученная в результате преобразо-

вания для получения действительной величины геометрической фигуры, 
обозначается той же буквой с подстрочным индексом 0:

A0, В0, C0, D0, ...

Аксонометрические проекции

14. Аксонометрические проекции точек, линий, поверхностей обозна-

чаются теми же буквами, что и натура с добавлением верхнего индекса 0:

A0, B 0, C 0, D 0, …

10, 20, 30, 40, ...

a0, b0, c0, d 0, ...

α0, β0, γ0, δ0, ...

15. Вторичные проекции обозначаются путем добавления верхнего ин-

декса 1:

A10, B 10, C 10, D10, …

110, 210, 310, 410, …

a10, b10, c10, d10, ...

α10, β10, γ10, δ10, ...

Для облегчения чтения чертежей в учебнике при оформлении иллюст-

ративного материала использованы два цвета, каждый из которых имеет 
определенное смысловое значение: линиями (точками) черного цвета 
обозначены исходные данные и результаты. Зеленый цвет использован 
для линий вспомогательных графических построений.

Таблица 1

Б. Символы, обозначающие отношения 

между геометрическими фигурами

№
Обозначение
Содержание
Пример символической записи

1
≡
Совпадают
(AB) ≡ (CD) – прямая, проходящая 
через точки А и В, совпадает с 
прямой, проходящей через точки 
С и D

Обозначения и символика

2
Конгруентны
∠ABC ∠MNK – угол АВС конгру-
ентен углу MNK

3
Подобны
ΔABC ΔMNK – треугольники 
АВС и MNK подобны

4
| |
Параллельны
α | | β – плоскость α параллельна 
плоскости β

5
⊥
Перпендикулярны
a ⊥ b – прямые a и b перпендику-
лярны

6
•—
Скрещиваются
c •— d – прямые с и d скрещива-
ются

7
∩
—
Касательные
t ∩
— l – прямая t является касатель-

ной к линии l
β ∩
— α – плоскость β касательная к 

поверхности α

8
→
Отображаются
Φ1 → Φ2 – фигура Φ1 отобража-
ется на фигуру Φ2

9
S
Центр проецирова-
ния. Если центр 
проецирования 
несобственная точка, 
то его положение 
обозначается стрел-
кой, указывающей 
направление проеци-
рования

–

10
s
Направление 
проецирования

–

11
P
Параллельное 
проецирование

P α

s – параллельное проецирование 

на плоскость α в направлении s

Продолжение таблицы 1

В. Обозначения теоретико-множественные

№
Обозна-

чение
Содержание
Пример 

символической записи

Пример символической 

записи в геометрии

1
M, N
Множества
–
–

2
А, В, С, ...
Элементы 
множества

–
–

3
{…}
Состоит из ...
Φ{A, B, C, ... }
Φ{А, В, С, ...} – фигура Φ 
состоит из точек А, В, С, ...

4
∅
Пустое 
множество

L – ∅ – множество L 
пустое (не содержит 
элементов)

–

Обозначения и символика

5
∈
Принадлежит, 
является элементом


2 ∈ N (где N – множество 
натуральных 
чисел) – число 2 принадлежит 
множеству N

A ∈ a – точка А принадлежит 
прямой а (точка А 
лежит на прямой а)

6
⊂
Включает, 
содержит

N ⊂ M – множество N 
является частью (подмножеством) 
множества 
M всех рациональных 
чисел

a ⊂ α – прямая а принадлежит 
плоскости α 
(понимается в смысле: 
множество точек прямой 
а является подмножеством 
точек плоскости α)

7
∪
Объединение
C = A ∪ B – множество 
С есть объединение 
множеств A и В; 
{1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 
3} ∪ {4, 5}

ABCD = [AB] ∪ [BC] ∪ 
∪ [CD] – ломаная линия, 
ABCD есть объединение 
отрезков [АВ], [ВС], [CD]

8
∩
Пересечение 
множеств

M = K ∩ L – множество 
М есть пересечение 
множеств K 
и L (содержит в себе 
элементы, принадлежащие 
как множеству 
K, так и множеству L). 
M ∩ N = ∅ – пересечение 
множеств М и 
N есть пустое множество (
множества M 
и N не имеют общих 
элементов)

a = α ∩ β – прямая a есть 
пересечение плоскостей 
α и β

a ∩ b = ∅ – прямые а и b 
не пересекаются (не име-
ют общих точек)

Продолжение таблицы 1

ГРУППА II
СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

№
Обозначение
Содержание
Пример символической записи

1
∧
Конъюнкция предложе-
ний; соответствует союзу 
«и». Предложение (p ∧ q) 
истинно тогда и только 
тогда, когда р и q оба 
истинны

α ∩ β = {K : K ∈ α ∧ K ∈ β} 
Пересечение поверхностей α 
и β есть множество точек 
(линия), состоящее из всех 
тех и только тех точек K, 
которые принадлежат как 
поверхности α, так и поверх-
ности β

Обозначения и символика