Финансовая математика

Москва 2022

М ИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫМИ ПРЕДПРИЯТИЯМИ 
ИМ. В.А. РОМЕНЦА

Кафедра промышленного менеджмента

И.М. Зайцев 
О.О. Скрябин 
А.С. Богачев

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Курс лекций

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 4600

УДК 33 
 
З-17

Р е ц е н з е н т 
канд. экон. наук, доц. А.В. Алексахин

Зайцев, Иван Михайлович.
З-17  
Финансовая математика : курс лекций / И.М. Зайцев, 
О.О. Скрябин, А.С. Богачев. – Москва : Издательский Дом 
НИТУ «МИСиС», 2022. – 96 с.
ISBN 978-5-907560-12-3

В курсе лекций рассмотрены основные разделы дисциплины 
«Финансовая математика» – основные понятия и конструкции фи-
нансовой математики (финансовые события, потоки и ренты, про-
стые и общие кредитные операции, процентные и учетные ставки, 
различные схемы погашения долга и др.). Большое внимание уде-
лено технике работы с финансовыми потоками – основным инстру-
ментом финансового анализа. 
Соответствует рабочей программе дисциплины «Финансовая 
математика».
Предназначено для студентов высших учебных заведений, обуча-
ющихся по направлениям подготовки бакалавров 38.03.01 «Эконо-
мика» и 38.03.02 «Менеджмент». Также может быть использовано 
студентами как экономических, так и технологических направле-
ний при подготовке экономических разделов выпускной квалифика-
ционной работы.

УДК 33

 Зайцев И.М., 
Скрябин О.О., 
Богачев А.С., 2022
ISBN 978-5-907560-12-3
 НИТУ «МИСиС», 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие .................................................................. 4
1. Простые проценты ...................................................... 6
1.1. Наращение по простой процентной ставке [1–2] ........ 6
1.2. Ломбардный кредит [1] .......................................... 9
1.3. Форфейтная операция [3] ..................................... 11
1.4. Дисконтирование и учет по простым процентным 
ставкам. Рост по учетной ставке [2] .............................. 13
2. Сложные проценты [2] ............................................... 17
2.1. Начисление сложных процентов ........................... 17
2.2. Дисконтирование по сложной ставке процента [2] ... 22
2.3. Непрерывное наращение и дисконтирование [2] ...... 24
3. Эквивалентность процентных ставок [2] ....................... 26
3.1. Финансовая эквивалентность обязательств ............. 26
3.2. Консолидация задолженности [2] .......................... 27
3.3. Эквивалентность процентных ставок [2] ................. 32
3.4. Налоги, инфляция и конверсия валюты [2] ............. 36
3.5. О проблемах начисления процентов [3] ................... 50
4. Модели потоков платежей .......................................... 54
4.1. Виды потоков платежей и их основные  
параметры [2] ............................................................ 54
4.2. Наращенная сумма постоянной ренты  
постнумерандо [2] ...................................................... 59
4.3. Современная стоимость постоянной ренты 
постнумерандо [2] ...................................................... 65
5. Показатели эффективности инвестиций [6] .................. 70
5.1. Методы экономической оценки эффективности 
инвестиций ............................................................... 70
5.2. Расчет денежного потока и определение ставки 
дисконтирования ....................................................... 77
5.3. Сравнительный анализ показателей  
эффективности .......................................................... 79
5.4. Имитационное моделирование денежного потока .... 86
Заключение ................................................................. 91
Библиографический список ............................................ 92
Приложение. Вопросы и задания для самостоятельной 
работы и подготовки к зачету .......................................... 93

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предмет финансовой математики в узком смысле – это ком-
мерческие расчеты между двумя экономическими субъектами 
и их основные экономические характеристики. Указанные рас-
четы между субъектами возникают на основе специально созда-
ваемых долговых обязательств. Природа долга устанавливает, 
что взятые в долг денежные ресурсы обладают свойствами сроч-
ности, платности и возвратности; соответственно, долговые ре-
сурсы имеют свою цену для должника и полезность для креди-
тора. Если платежи в рамках долговых обязательств являются 
долгосрочными и многоразовыми, возникает феномен ренты, 
полезность которой для кредитора и затратность для заемщика 
должны быть определены.
На стыке предмета коммерческих расчетов и предмета ана-
лиза финансовых рынков возникает предмет оценки стоимости 
бизнеса, который включает в себя, наряду с указанной темати-
кой, специальные вопросы финансового и экономического ана-
лиза. Аспект стоимости бизнеса, в ее рыночном и нерыночном 
оценочном признании, увязывает в единое целое большую часть 
знаний, относящихся к предмету финансовой математики в ши-
роком смысле.
В дисциплине в ходе изложения используются две концеп-
ции времени. 
Непрерывное время. Используется для оценки доходности 
финансовых инструментов, когда цена инструмента наблюда-
ется часто или когда в расчетах необходимо знать начальное 
или конечное значение цены инструмента.
Дискретное время, представленное в модели набором вре-
менных отсчетов. Такой подход применяется при анализе рент, 
состоящих из множества одинаковых платежей, равномерно 
сгруппированных на временной оси.
Принцип платности денег предполагает, что реальная сто-
имость денег падает во времени даже при сохранении их номи-
нальной стоимости. Причина такого снижения – инфляционное 
обесценение денег, а также снижение спроса на деньги по мере 
отдаления факта получения денег от момента возникновения 
спроса. Обесценение денег отображается в модели посредством 

введения в нее фактора дисконтирования. Чтобы скомпенсиро-
вать снижение стоимости денег и частично – скомпенсировать 
потенциальные риски кредитора, в модель вводится фактор на-
ращения денежных сумм, частично связанный с процентной 
ставкой по кредиту. Все факторы наращения/дисконтирования 
в модели приводятся либо к стандартному году (проценты годо-
вых), либо к периоду между платежами.
Здесь же следует коснуться этической стороны взимания 
процентов c заемщика. Первоначально процент (лихва) была за-
прещена во многих странах, в том числе в древней Иудее (приме-
нительно к соплеменникам; на инородцев это правило не распро-
странялось). В исламской традиции сегодня взимание процента 
запрещено (там эта практика называется рибой). Точка зрения 
большинства состоит в том, что процент необходим, поскольку 
это плата за ресурс и плата за риск потери капитала.

1. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ

1.1. Наращение по простой процентной 
ставке [1–2]

Простые проценты – это метод расчета дохода кредитора 
от предоставления денег в долг заемщику. Значительная часть 
времени в финансовой деятельности приходится на использо-
вание сложных процентов, за исключением краткосрочных 
операций (рассчитанных на срок до одного года), таких как век-
сель, текущий счет, ломбардный кредит.
Под процентными деньгами, или кратко процентами (interest), поднимают абсолютную величину дохода от предостав-
ления денег в долг в любой форме: выдача ссуды, продажа 
товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, учет 
векселя, покупка облигации и т.д. Какой бы вид или проис-
хождение не имели проценты, это всегда конкретное проявле-
ние такой экономической категории, как ссудный процент.
При заключении финансового или кредитного соглашения 
стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере про-
центной ставки. Под процентной ставкой (rate of interest) пони-
мается относительная величина дохода за фиксированный отре-
зок времени, т.е. отношение дохода (процентных денег) к сумме 
долга за единицу времени.
Временной интервал, к которому приурочена процентная 
ставка, называют периодом начисления. В качестве последнего 
принимают год, полугодие, квартал, месяц или день.
Проценты согласно договоренности между кредитором и за-
емщиком выплачиваются по мере их начисления или присое-
диняются к основной сумме долга (капитализация процентов). 
Процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присо-
единением процентов называют наращением, или ростом, этой 
суммы. 
Размер процентной ставки зависит от ряда как объектив-
ных, так и субъективных факторов, а именно от общего состо-
яния экономики, в том числе денежно-кредитного рынка; кра-
тковременных и долгосрочных ожиданий его динамики; вида 
сделки, ее валюты; срока кредита: особенностей заемщика (его 

надежности) и кредитора, истории их предыдущих отношений 
и т.д. 
В финансовом анализе процентная ставка применяется не 
только как инструмент наращения суммы долга, но и в более 
широком смысле – как измеритель степени доходности (эф-
фективности) любой финансовой, кредитной, инвестиционной 
или коммерческо-хозяйственной деятельности вне зависимо-
сти от того, имел место или нет факт непосредственного инве-
стирования денежных средств и процесс их наращения.
Проценты различаются по базе их начисления. Применя-
ется постоянная или последовательно изменяющаяся база для 
расчета. В последнем случае за базу принимается сумма, полу-
ченная на предыдущем этапе наращения, проще говоря, про-
центы начисляются на проценты. При постоянной базе исполь-
зуют простые, при переменной – сложные процентные ставки.
Под наращенной суммой (amount, maturity value) ссуды 
(долга, депозита, других видов выданных в долг или инвести-
рованных денег) понимают первоначальную ее сумму с начис-
ленными процентами к концу срока (date of maturity, due date). 
Наращенная сумма определяется умножением первоначальной 
суммы долга (principal) на множитель наращения, который по-
казывает, во сколько раз наращенная сумма больше первона-
чальной. Для записи формулы наращения простых процентов 
(simple interest) примем обозначения:
I – проценты за весь срок ссуды;
P – первоначальная сумма долга;
S – наращенная сумма, или сумма в конце срока;
i – ставка наращения;
n – срок ссуды.
Срок обычно измеряется в годах, соответственно, i – годовая 
ставка. Каждый год приносит проценты в сумме Pi. Начислен-
ные за весь срок проценты (accrued interest) составят

 
I = Pni.

Наращенная сумма, таким образом, находится как

 
(
).
1
S
P
I
P
ni
=
+
=
+

Данную формулу называют формулой наращения по про-
стым процентам, или кратко – формулой простых процентов, 
а множитель – множителем наращения простых процентов. 
График роста по простым процентам представлен на рис. 1.1. 

Рис. 1.1. График роста по простым процентам

Обычно к наращению по простым процентам прибегают при 
выдаче краткосрочных ссуд (на срок до одного года) или в случа-
ях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а перио-
дически выплачиваются кредитору. Поскольку ставка, как пра-
вило, фиксируется в контракте в расчете за год, то при сроке 
ссуды менее года необходимо определить, какая часть годового 
процента уплачивается кредитору. Похожая проблема возника-
ет и в других случаях, когда срок ссуды меньше периода начис-
ления. 
Чаще всего на практике применяются три варианта расче-
та простых процентов:
 – точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вари-
ант, естественно, дает самые точные результаты. Данный способ 
применяется центральными банками многих стран и крупными 
коммерческими банками, например в Великобритании, США. 
В коммерческих документах он обозначается как 365/365, или 
ACT/ACT;
 – обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом 
дней ссуды. Этот метод, иногда называемый банковским, рас-
пространен в ссудных операциях коммерческих банков, в част-
ности во Франции, Бельгии, Швейцарии. Он обозначается как 

365/360, или АТС/360. Этот вариант дает несколько больший 
результат, чем применение точных процентов;
 – обыкновенные проценты с приближенным числом дней 
ссуды. Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой 
точности, например при промежуточных расчетах. Он применяется 
в практике коммерческих банков Германии. Этот метод 
обозначается как 360/360.
Вариант расчета с точными процентами и приближенным 
числом дней ссуды лишен смысла и не применяется.

1.2. Ломбардный кредит [1]

Смысл ломбардного кредита в том, что обеспечение получаемого 
кредита производится ценными бумагами или материальными 
ценностями. При этом в мировой практике принято, 
что сумма ломбардного кредита не должна составлять более 
75–80 % номинальной стоимости залога. Если же кредит дается 
под ценные бумаги, то его сумма рассчитывается исходя 
из такой же доли текущей курсовой стоимости данных ценных 
бумаг.
Обычно ломбардный кредит выдается на трехмесячный 
срок, при этом возможны различные варианты возвращения 
долга. Заемщик может:
1) весь долг погасить вовремя;
2) продлить срок погашения на следующие три месяца;
3) оплатить вовремя лишь часть долга, а остаток погасить 
позже и т.д.
В расчетах, как правило, учитывается точное количество 
дней в месяце или принимается, что в году 360 дней. Если заемщик 
не погашает кредит вовремя, он должен рассчитываться 
с кредитором по увеличенной (штрафной) процентной ставке 
в течение периода превышения времени кредитования.
Пример. Клиент обратился в банк 16 марта для получения 
ломбардного кредита и предоставил в залог 150 единиц ценных 
бумаг. Величина займа рассчитывается исходя из 80 % их курсовой 
стоимости, кредит берется на 3 месяца, ежегодная процентная 
ставка равна 9 %, а затраты банка по обслуживанию 
долга – 200.

1. Определите, на какой кредит может рассчитывать этот 
клиент, если курс одной его ценной бумаги составляет 300.
2. Предположим, что заемщик 16 июня решил выплатить 
лишь часть долга (6000) и продлить погашение кредита еще на 
3 месяца. Определите, сколько всего он должен будет заплатить 
за продление, если штрафная ставка в этом случае не используется.

Решение.
1. Весь расчет может быть представлен в виде:
курсовая стоимость залога 300 × 150
45 000
величина займа 80 % от 45 000
36 000
проценты за период с 16.03 по 16.06
828
затраты банка
200
клиент получит на руки
34 972

2. 16 июня проценты начисляются по основной ставке на 
остаток долга, который равен 30 000 = 36 000 – 6000. Кроме 
того, период с 16 июня по 16 сентября также составляет 
92 дня. Поэтому проценты за продление I = 30 000 ⋅ 0,09 ⋅ 92 / 
/ 360 = 690 и, следовательно, весь расчет принимает следующий 
вид:

новая величина займа 36 000 – 6000
30 000
проценты за период с 16.06 по 16.09
690
затраты банка
0
клиент всего заплатит
6690
если банк не берет комиссионных за эту услугу.

3. (Продолжение) Предположим, что 16 июня клиент обнаружил, 
что помимо 6000 имеет 15 000. Но по-прежнему просит 
продлить срок погашения на 3 месяца и, соответственно, 
рассчитать остаток долга, который он должен будет вернуть 
16 сентября.
Решение:

 
15 000 0,09 92
353,12.
360 8,28
I
⋅
⋅
=
=
−

1.3. Форфейтная операция [3]

Среди новых финансово-кредитных операций, используемых 
всего лишь примерно 40 последних лет XX в., есть одна, 
название которой на первый взгляд совсем непонятно – фор-
фейтная операция. Правда, буквальный перевод с французского 
несколько проливает свет1: получение кредита на заранее 
оговоренных условиях. Она получила особое распространение 
во внешней торговле, где послужила важным стимулирующим 
фактором развития. Хотя отметим, что нет веских причин, препятствующих 
ее использованию и внутри страны. Кроме того, 
эта операция дает пример финансовой сделки, в которой принимают 
участие более двух сторон.
При продаже какого-либо крупного объекта (комплекта оборудования, 
судна, предприятия, значительной партии товара) 
нередко возникает следующая ситуация. Покупатель (или импортер) 
хочет приобрести товар в рассрочку, поскольку у него 
нет или не хватает денежных ресурсов. Продавец же (или экспортер) 
не может отложить получение денег на будущее и продать 
товар в кредит. Возникающее противоречие разрешается 
тем, что покупатель выписывает комплект векселей на сумму, 
равную стоимости товара, плюс проценты за кредит, который 
как бы предоставляется покупателю. Ну а затем продавец сразу 
же после получения портфеля векселей учитывает его в банке, 
получая деньги немедленно, как и хотел.
Таким образом, в форфейтной операции (рис. 1.2) фактически 
не продавец кредитует покупателя, а банк предоставляет 
кредит и берет весь риск на себя. Последнее обстоятельство 
нередко приводит к тому, что в этой сделке появляется и четвертый 
участник: гарант-банк покупателя. Он гарантирует 
погашение задолженности по векселям. Но, конечно, каждая 
из участвующих в сделке сторон преследует свои собственные 
цели и, соответственно, следит за разработкой условий соглашения.

Цель продавца – получить при учете векселей сумму, равную 
оговоренной цене товара. Некоторую помеху для него создает 
тот факт, что покупатель и банк часто являются разными 

1 Acheter a forfait – купить подрядным способом, т.е. заключив договор.