Применение современных программно-вычислительных комплексов для решения задач тепломассообмена в промышленных агрегатах. Модели физических процессов в Ansys Fluent

Москва 2022

М ИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ЭКОТЕХНОЛОГИЙ И ИНЖИНИРИНГА

Кафедра энергоэффективных и ресурсосберегающих промышленных 
технологий

И.А. Левицкий

ПРИМЕНЕНИЕ СОВРЕМЕННЫХ 
ПРОГРАММНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ 
КОМПЛЕКСОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ 
ЗАДАЧ ТЕПЛОМАССООБМЕНА 
В ПРОМЫШЛЕННЫХ АГРЕГАТАХ

Модели физических процессов в Ansys Fluent

Учебник

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 3987

УДК 669.04:001.573 
 
Л37

Р е ц е н з е н т ы : 
канд. техн. наук, зам. начальника отдела АО «НИИ «Полюс»  
В.А. Капитанов; 
д-р техн. наук, профессор кафедры ОМД НИТУ «МИСиС» А.Г. Радюк

Левицкий, Игорь Анисимович.
Л37  
Применение современных программно-вычислительных 
комплексов для решения задач тепломассообмена в 
промышленных агрегатах. Модели физических процессов 
в Ansys Fluent : учебник / И.А. Левицкий. – Москва : 
Издательский Дом НИТУ «МИСиС», 2022. – 500 с.
ISBN 978-5-907560-02-4

В учебнике рассматривается теория сложных физических процессов 
(радиационного, конвективного и кондуктивного теплообмена, 
турбулентности, горения, движения однофазных и многофазных 
потоков, плавления/затвердевания), которые могут происходить 
в промышленных агрегатах, и рассматриваются их модели, реализованные 
в программно-вычислительном комплексе Ansys Fluent 
(на примере Ansys Academic Research CFD версии 15.07).
Учебник предназначен для аспирантов, обучающихся по направлению 
подготовки 22.06.01 «Технологии материалов» (направленность «
Теплофизика и экология металлургического производства»).

УДК 669.04:001.573

 Левицкий И.А., 2022
ISBN 978-5-907560-02-4
 НИТУ «МИСиС», 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ........................................................................ 9
Глава 1. Теоретические предпосылки создания  
программно-вычислительных комплексов  
для моделирования газодинамики и теплообмена .............. 11
1.1. Обобщенное уравнение диффузионно-конвективного 
переноса ................................................................... 11
1.2. Концепция дискретизации и некоторые понятия 
теории разностных схем .............................................. 18
1.3. Одномерная стационарная конвективно- 
диффузионная задача ................................................. 29
Контрольные вопросы ................................................ 36
Глава 2. Общие сведения о ПВК Ansys Fluent ................... 38
2.1. История создания и развития ПВК Ansys ............... 38
2.2. Структура ПВК Ansys Fluent и этапы выполнения 
проекта .................................................................... 42
2.3. Этапы работы в приложении Ansys Fluent .............. 50
Контрольные вопросы ................................................ 70
Глава 3. Решение базовой газодинамической задачи ......... 72
3.1. Уравнения сохранения массы и импульса ............... 72
3.2. Основные трудности и способы определения полей 
скорости и давления ................................................... 74
Контрольные вопросы ................................................ 88
Глава 4. Моделирование турбулентности в приложении 
Fluent .......................................................................... 90
4.1. История вопроса и основные понятия ..................... 90
4.2. Модели турбулентности ....................................... 98
4.3. Структура пристеночной области и подходы 
к ее моделированию ..................................................119
Контрольные вопросы ...............................................125
Глава 5. Моделирование теплообмена в ПВК Ansys Fluent ...127
5.1. Моделирование кондуктивного и конвективного 
теплообмена .............................................................127
5.1.1. Общие сведения о моделировании  
кондуктивного и конвективного теплообмена ............127
5.1.2. Задание граничных условий в задачах  
теплообмена ..........................................................134

Применение современных программно-вычислительных комплексов для решения задач тепломассообмена

5.2. Моделирование радиационного теплообмена  
в Ansys Fluent ..........................................................139
5.2.1. Модели РТО, доступные в Ansys Fluent ............139
5.2.2. Законы излучения абсолютно черного тела ......140
5.2.3. Излучение реальных тел ...............................144
5.2.4. Особенности излучения и поглощения  
газовыми объемами ................................................149
5.2.5. Уравнение переноса излучения ......................153
5.2.6. Теория радиационной модели «поверхность – 
поверхность» (S2S) .................................................155
5.2.7. Теория радиационной модели P-1 ...................159
5.2.8. Теория радиационной модели Росселанда ........166
5.2.9. Теория модели дискретного переноса  
излучения (DTRM) .................................................168
5.2.10. Теория радиационной модели дискретных 
ординат (DO) .........................................................173
5.2.11. Выбор модели излучения .............................179
Контрольные вопросы ...............................................180
Глава 6. Моделирование химических реакций и горения 
в Ansys Fluent ..............................................................183
6.1. Подходы, предлагаемые в Ansys Fluent 
для моделирования химических реакций .....................183
6.2. Модель переноса компонентов (Species Transport) ...184
6.2.1. Уравнения переноса компонентов ...................184
6.2.2. Обобщенная постановка задачи моделирования 
реакций с конечными скоростями ............................186
6.2.3. Опция релаксации к состоянию 
химического равновесия .........................................196
6.3. Моделирование диффузионного горения ................199
6.3.1. Общее представление о диффузионном  
горении ................................................................199
6.3.2. Теория восстановленной концентрации ...........200
6.3.3. Табуляция химии .........................................210
6.3.4. Ограничения и специальные случаи  
применения модели диффузионного горения .............214
6.4. Теория диффузионных моделей микрофакелов.......218
6.4.1. Ограничения и допущения.............................218
6.4.2. Микрофакельная концепция .........................218

Оглавление

6.4.3. Стационарная диффузионная микрофакельная 
модель..................................................................226
6.4.4. Теория нестационарной диффузионной модели 
микрофакелов .......................................................229
6.5. Модель горения с предварительным смешением 
реагентов .................................................................236
6.5.1. Общая информация о модели горения 
с предварительным смешением реагентов ..................236
6.5.2. Ограничения модели .....................................238
6.5.3. Модели, основанные на с-уравнении ...............238
6.5.4. Модели, основанные на G-уравнении ...............240
6.5.5. Моделирование скорости турбулентного  
пламени ...............................................................243
6.5.6. Расширенная когерентная микрофакельная 
модель (ECFM) ......................................................250
6.5.7. Вычисление характеристик среды в моделях 
для предварительно смешанных реагентов ................261
6.6. Моделирование горения с частичным 
предварительным смешением .....................................264
6.6.1. Общие сведения о модели и ее ограничения ......264
6.6.2. Теория горения с частичным предварительным 
смешением ...........................................................265
6.7. Модель переноса PDF смеси .................................278
6.7.1. Общие сведения и ограничения модели............278
6.7.2. Теория переноса PDF смеси ............................279
Контрольные вопросы ...............................................290
Глава 7. Моделирование плавления и затвердевания .......292
7.1. Возможности Ansys Fluent для моделирования 
плавления/затвердевания ..........................................292
7.2. Ограничения модели плавления/затвердевания  
Ansys Fluent .............................................................293
7.3. Теория модели плавления/затвердевания  
Ansys Fluent .............................................................294
7.4. Обратная диффузия ............................................301
7.5. Скорость вытягивания при непрерывной разливке ... 302
7.6. Контактное сопротивление на стенках ..................304
7.7. Термическая и концентрационная плавучесть ........305
Контрольные вопросы ...............................................307

Применение современных программно-вычислительных комплексов для решения задач тепломассообмена

Глава 8. Модель дискретной фазы .................................309
8.1. Общее представление о подходе Эйлера – Лагранжа ...309
8.2. Теория движения частиц .....................................314
8.2.1. Уравнения движения частиц ..........................314
8.2.2. Турбулентное разделение частиц ....................319
8.2.3.  Интегрирование уравнений движения 
для частицы ..........................................................328
8.3. Законы для коэффициентов сопротивления ...........332
8.3.1. Закон сопротивления для сферических частиц ... 332
8.3.2. Закон сопротивления для несферических  
частиц ..................................................................333
8.3.3. Закон сопротивления Стокса – Каннингема .....333
8.3.4. Закон сопротивления для больших чисел Маха .. 334
8.3.5. Теория динамической модели сопротивления ...334
8.3.6. Законы сопротивления модели плотной 
дискретной фазы ...................................................335
8.4. Законы для тепло- и массообмена .........................336
8.4.1. Инертный нагрев или охлаждение  
(законы 1 и 6) ........................................................340
8.4.2. Испарение капель (закон 2) ............................343
8.4.3. Кипение капель (закон 3) ..............................349
8.4.4. Выделение летучих компонентов (закон 4) .......351
8.4.5. Поверхностное горение (закон 5) ....................356
8.4.6. Задание многокомпонентной частицы  
(закон 7) ...............................................................364
8.5. Равновесная теория испарения жидкости ..............367
8.6. Граничные условия для дисперсной фазы ..............371
8.6.1. Возможные виды граничных условий 
для дисперсной фазы ..............................................371
8.6.2. Модель пристеночной струи ...........................372
8.6.3. Модель пристеночной пленки ........................374
8.7. Теория эрозии частиц и настылеобразования .........376
8.8. Модели распылителей в Ansys Fluent ....................378
8.9. Модели вторичного распада .................................379
8.9.1. Общие сведения о моделях распада капель .......379
8.9.2. Модель аналогии Тейлора для распада  
капель (TAB) .........................................................381
8.9.3. Волновая модель распада ...............................386

Оглавление

8.9.4. Модель распада KHRT ..................................391
8.9.5. Модель стохастической вторичной  
капли (SSD) ..........................................................394
8.10. Модель столкновения и слияния капель ..............396
8.10.1. Трудности учета столкновения и слияния  
капель ..................................................................396
8.10.2. Применение и ограничения модели  
столкновений ........................................................398
8.10.3. Теория модели столкновений .......................399
8.11. Конечно-элементная модель столкновений ...........402
8.11.1. Область применения конечно-элементного 
подхода в DPM ......................................................402
8.11.2. Пакеты частиц при конечно-элементном  
подходе ................................................................404
8.11.3. Декартова коллизионная сетка .....................405
8.12. Однонаправленное и двунаправленное сопряжение 
дискретной и сплошной фаз ........................................406
8.12.1. Общее представление о сопряжении  
дискретной и сплошной фаз ....................................406
8.12.2. Межфазный обмен импульсом ......................406
8.12.3. Теплообмен между фазами ...........................408
8.12.4. Массообмен между фазами ...........................409
8.12.5. Нижняя релаксация для членов межфазного 
обмена ..................................................................409
8.12.6. Межфазный обмен при разыгрывании 
стохастических траекторий .....................................410
8.12.7. Межфазный обмен при разыгрывании  
траекторий в модели облака частиц ..........................411
8.13. Осреднение по узлам .........................................411
Контрольные вопросы ...............................................413
Глава 9. Модели многофазных потоков в Ansys Fluent .....415
9.1. Классификация многофазных потоков ..................415
9.2. Подходы к моделированию многофазных  
потоков ...................................................................418
9.2.1. Общее представление о подходах  
к моделированию многофазных систем .....................418
9.2.2. Влияние нагруженности частицами ................423
9.2.3. Значимость числа Стокса ...............................425

Применение современных программно-вычислительных комплексов для решения задач тепломассообмена

9.2.4. Схемы дискретизации по времени  
в многофазных потоках ..........................................426
9.2.5. Устойчивость и сходимость ............................428
9.3. Теория модели объема жидкости (VOF) .................429
9.3.1. Общие сведения о модели VOF  
и ее ограничения ...................................................429
9.3.2. Основные уравнения модели VOF ...................430
9.3.3. Моделирование потока в открытом канале .......435
9.3.4. Моделирование волн на поверхности потока 
в открытом канале .................................................437
9.4. Теория модели смеси ..........................................439
9.4.1. Общие сведения о модели смеси и ее  
ограничения .........................................................439
9.4.2. Основные уравнения модели смеси .................442
9.4.3. Относительная скорость (скорость 
проскальзывания) и скорость дрейфа ........................443
9.4.4. Гранулярные характеристики ........................453
9.5. Теория модели Эйлера ........................................455
9.5.1. Общие сведения о модели Эйлера и ее  
ограничения .........................................................455
9.5.2. Основные уравнения модели Эйлера ................457
9.5.3. Учет подъемной силы ...................................462
9.5.4. Учет эффекта пристеночного скольжения ........466
9.5.5. Учет силы виртуальной массы ........................469
9.5.6. Учет силы турбулентного рассеяния ...............470
9.5.7. Учет межфазного теплообмена .......................472
9.5.8. Модель плотной дискретной фазы ...................474
9.5.9. Многожидкостная модель VOF .......................477
9.5.10. Модели кипения .........................................478
9.6. Модель влажного пара ........................................484
Контрольные вопросы ...............................................487
Заключение ................................................................489
Библиографический список ...........................................491

ВВЕДЕНИЕ

Использование современных компьютерных технологий 
позволяет автоматизировать проектирование различных конструкций (
в том числе технологических агрегатов), а также 
моделирование происходящих в них физических процессов. 
Как аппаратная, так и программная сторона этих технологий 
сегодня развиваются очень интенсивно.
Программно-вычислительные комплексы (ПВК) принято 
делить на две категории: CAD-системы (Computer-Aided De-
sign) и CAE-системы (Computer-Aided Engineering).
CAD-системы представляют собой ПВК, предназначенные 
для автоматизации процесса проектирования, их основной 
целью является оптимизация и повышение эффективности 
труда проектировщика путем совершенствования набора инструментов 
и технологий для подготовки проектных чертежей 
и 3D-моделей. Примерами CAD-систем являются такие продукты, 
как AutoCAD, NanoCAD, SolidWorks, Компас.
CAE-системы предназначены для моделирования и анализа 
разнообразных физических процессов, таких как нагружение 
балки, разрушение конструкции, движение газов, теплообмен, 
горение и т.д. Большинство современных CAE-систем 
основано на полных детерминированных математических моделях 
описываемых процессов, представляющих собой системы 
уравнений в частных производных, которые решаются численно 
после соответствующей дискретизации. CAE-системы, 
служащие для моделирования движения текучих сред и происходящих 
в них процессов тепломассообмена, горения и т.п., 
относят к инструментам Computational Fluid Dynamics (CFD – 
вычислительной гидрогазодинамики). Примерами CFD-систем 
являются Ansys Fluent, Ansys CFX, Flow Vision, PHOENICS, 
FloEFD.
Часто СAD- и САЕ-системы используются совместно, так 
как для качественного анализа физических процессов необходимо 
корректное описание геометрии расчетной области. Разработчики 
стремятся объединить в одном ПВК свойства обеих 
систем или создать эффективные механизмы взаимодействия, 
интеграции и обмена данными между ними [1].

Применение современных программно-вычислительных комплексов для решения задач тепломассообмена

В данном учебнике рассматриваются возможности ПВК An-
sys Fluent применительно к решению задач теплообмена, движения 
текучих сред, конвективной диффузии и горения (на примере 
пакета Ansys Academic Research CFD версии 15.0.7).
Этот пакет является составной частью мощного универсального 
продукта Ansys, который объединяет и связывает множество 
приложений для расчета задач механики деформируемого 
твердого тела, гидрогазодинамики, теплообмена и электромагнетизма. 
ПВК Ansys предоставляет широкие возможности для подготовки 
геометрических и сеточных моделей и последующей 
обработки результатов расчета. Кроме того, ПВК Ansys основан 
на эффективных алгоритмах распараллеливания, что позволяет 
существенно сократить время расчета для ресурсоемких задач.
В тексте учебника значком R будут отмечены тезисы, которые 
имеют прямое отношение к описываемому материалу и являются 
значимыми для его понимания, но не вытекают непосредственно 
из предшествующего материала.

ГЛАВА 1. Теоретические предпосылки 
создания программно-вычислительных 

комплексов для моделирования 

газодинамики и теплообмена

1.1. Обобщенное уравнение диффузионно-

конвективного переноса

Процессы переноса теплоты изучены несколько лучше (по 
крайней мере, исторически раньше), чем процессы переноса 
других субстанций, отчасти из-за большей важности их роли 
в жизни человечества, отчасти из-за того, что они в большей 
степени «даны в ощущениях» исследователю.
Движущей силой процесса теплообмена является неоднородность 
температурного поля, однако осуществляться перенос 
теплоты может различными механизмами. Если перенос 
теплоты осуществляется путем хаотического теплового движения 
или тепловых колебаний микрочастиц (молекул, атомов, 
ионов), то такой перенос называют молекулярным переносом 
теплоты или теплопроводностью. Если перенос теплоты осуществляется 
в движущейся жидкости или газе в результате 
перемещения макрообъемов среды, то такой процесс называют 
конвективным переносом или конвекцией теплоты. Процессы 
конвективного переноса теплоты всегда сопровождаются процессами 
молекулярного переноса. При турбулентном режиме 
движения текучей среды в процессе переноса теплоты важную 
роль играют турбулентные вихри (турбулентные моли), размер 
которых является промежуточным между микрообъемом 
и макрообъемом; этот способ переноса субстанции (называемый 
пульсационным) некоторые исследователи предлагают 
считать отдельным механизмом, а другие рассматривают как 
возможное дополнительное явление в рамках конвективно-
го переноса. Перенос теплоты электромагнитными волнами в 
определенном диапазоне частот называется излучением или 
радиационным теплообменом (РТО).
Феноменологические теории переноса субстанции не объ-
ясняют причин этого явления, а основываются на постулате, 

Применение современных программно-вычислительных комплексов для решения задач тепломассообмена

описывающем процесс переноса (который всегда содержит ха-
рактеристики среды, подлежащие нахождению эксперимен-
тально), и законе сохранения субстанции.
Для молекулярного переноса теплоты таким постулатом яв-
ляется постулат Фурье, в соответствии с которым плотность 
потока теплоты, переносимой теплопроводностью q

→
мол, Вт/м2, 
пропорциональна градиенту температуры T:

 
мол
grad ,
q
T
= −l

 
(1.1)

а коэффициентом пропорциональности в этом выражении яв-
ляется характеристика вещества, называемая коэффициен-
том теплопроводности l, Вт/(м⋅К). Если ввести обозначение 
а = l/(rсp), где r – плотность, кг/м3; сp – изобарная теплоем-
кость вещества, Дж/(кг⋅К), и считать, что плотность и тепло-
емкость – постоянные величины, то выражение закона Фурье 
можно представить в виде

 
мол
grad ,
q
a
h
= −

 
(1.2)

где h = rcрТ – объемная энтальпия, Дж/м3, т.е. количество 
теплоты, содержащееся в единице объема вещества с тем-
пературой Т.

В такой формулировке закон Фурье означает, что плот-
ность теплового потока пропорциональна градиенту объемной 
энтальпии. Коэффициент пропорциональности в этом выра-
жении а = l/(rcp) носит название коэффициента температу-
ропроводности, м2/с, и является характеристикой интенсив-
ности молекулярного переноса теплоты.
Аналогично процесс переноса массы примеси, осущест-
вляемый диффузионными механизмами, принято описывать 
постулатом, который называется законом Фика и связывает 
плотность потока массы примеси, переносимую молекулярны-
ми механизмами m

→ i
мол, с градиентом концентрации этой при-
меси Ci:

 
мол
grad
.
i
i
m
D
C
= −
r

 
(1.3)

Глава 1. Теоретические предпосылки создания программно-вычислительных комплексов

Введя объемную плотность массы примеси mi = rCi, можно 
постулату Фика придать форму, аналогичную (1.2):

 
мол
grad
.
i
i
m
D
m
= −

 
(1.4)

Коэффициент пропорциональности в этом выражении D, 
м2/с, называется коэффициентом (молекулярной) диффузии. 
В случае когда происходит движение потока вдоль оси x, а пе-
ренос субстанции молекулярными механизмами в основном 
вдоль оси y, постулаты (1.2) и (1.4) могут быть представлены 
в скалярной форме:

 
мол.
;
y
h
q
a y
∂
= −
∂
 
(1.5)

 
мол.
.
i
i
y
m
m
D
y
∂
= −
∂
 
(1.6)

Формула Ньютона для касательного напряжения трения 
(имеющего смысл плотности результирующего потока продоль-
ного импульса в поперечном направлении вследствие молекуляр-
ного переноса) имеет вид, похожий на вид формул (1.5) и (1.6):

 
,
x
u
y
∂
t = m ∂
 
(1.7)

где t – касательное напряжение трения, Па;  
m – динамический коэффициент вязкости среды, Па⋅с;  
ux – скорость движения среды в продольном направле-
нии, м/с;  
y – поперечная координата, м.

Вводя понятие объемной плотности потока импульса rui, мож-
но и этой формуле придать структуру выражений (1.5) и (1.6):

 
(
),
x
u

y

∂ r
t = n
∂
 
(1.8)

где n = m/r – кинематический коэффициент вязкости, м2/с.

Применение современных программно-вычислительных комплексов для решения задач тепломассообмена

Общая формулировка для выражений (1.5), (1.6) и (1.8) мо-
жет быть такой: «плотность потока субстанции, переносимой 
молекулярными механизмами, пропорциональна поперечному 
градиенту объемной плотности этой субстанции». Коэффициенты 
пропорциональности в этих выражениях (a, D, n) имеют 
одинаковую размерность – квадратный метр в секунду (м2/с), 
и называются константами молекулярного переноса (соответствующих 
субстанций).

R Отмеченная аналогия в описаниях молекулярного переноса 
теплоты и массы примеси применима к переносу импульса 
с некоторыми оговорками, поскольку импульс является 
величиной векторной (поэтому для сопоставления с формулой 
Ньютона пришлось постулаты Фика и Фурье рассматривать 
для одномерного случая).
R Сам термин «молекулярный перенос» нельзя считать удачным, 
он вошел в обиход тогда, когда предполагалось, что во всех 
телах, независимо от агрегатного состояния, перенос субстанции 
осуществляется тепловым движением молекул; затем оказалось, 
что это представление в полной мере справедливо лишь для газов 
и в некоторой степени – для капельных жидкостей; в твердых телах 
перенос теплоты осуществляется колебаниями атомов вблизи 
равновесного положения, а в металлах – свободными электронами 
и частично колебаниями ионов кристаллической решетки. 
Общим во всех случаях является участие в процессе переноса 
теплоты микрочастиц и хаотический характер их движения (поступательного 
или колебательного).
R Молекулярные механизмы переноса разных субстанций 
из-за сходства их математического описания иногда называют 
градиентными; также встречается в литературе термин «диффузионный 
перенос» не только применительно к переносу массы 
примеси, а как обобщенное понятие молекулярного переноса 
субстанций.
R Приведенные выражения для молекулярного переноса 
разных субстанций (1.5), (1.6) и (1.8) описывают диффузионный 
перенос только при ламинарном режиме; однако, как будет 
показано в главе 4, один из наиболее распространенных в 
настоящее время подходов к описанию турбулентных потоков 

Глава 1. Теоретические предпосылки создания программно-вычислительных комплексов

предполагает плотности потоков соответствующих субстанций, 
обусловленные действием пульсационных механизмов, 
описывать в той же форме, что и соответствующие молекулярные 
постулаты, но с заменой молекулярных констант переноса 
на эффективные, равные сумме молекулярных и турбулентных (
при этом молекулярная составляющая остается 
свойством вещества, а турбулентная вычисляется по характеристикам 
турбулентности в соответствии с выбранной моделью); 
при этом продолжают использовать терминологию, 
принятую для молекулярных механизмов переноса (турбулентная 
теплопроводность, турбулентная диффузия и т.п.), 
что заставляет иногда для случаев применения этих терминов 
в первичном смысле добавлять к ним характеристику «молекулярная».


При описании конвективного переноса величина плотности 
потока субстанции, переносимой конвекцией, может быть 
вычислена как произведение плотности потока массы жидкости (
ru

→) на массовую плотность субстанции F по общей формуле

 

конв.
,
j
u
F = r F


 
(1.9)

что свидетельствует о наличии аналогии математического описания 
также и процессов конвективного переноса для разных 
субстанций.

R Из упомянутых выше механизмов переноса теплоты только 
радиационный является уникальным, не имеющим аналогий 
при переносе других субстанций.

Подстановка в закон сохранения субстанции выражений, 
описывающих потоки субстанции под действием различных 
механизмов, позволяет получить обобщенный закон сохранения (
уравнение конвективно-диффузионного переноса) [2]:

 
(
)
(
)
(
)

источник
конвективный
диффузионный
нестационарный

div
div
grad
,
u
S
t
F
F
∂ rF
+
r F
=
Γ
F +
∂






 
(1.10)

Применение современных программно-вычислительных комплексов для решения задач тепломассообмена

где r – плотность жидкости (здесь и далее этим словом будет 
называться любая текучая среда), кг/м3;  
u

→ – скорость жидкости, м/с;  
ГФ – коэффициент «диффузии» (молекулярного переноса) 
для зависимой переменной F, м2/с;  
SФ – объемная плотность источника генерации зависимой 
переменной (размерность зависит от размерности F).

Таким образом, в обобщенное дифференциальное уравнение 
входят четыре члена: нестационарный, конвективный, диффузионный 
и источниковый. Конкретный вид ΓF зависит только 
от физического смысла переменной F, а SF – также и от особенностей 
рассматриваемой задачи и принятых допущений.
Зависимая переменная F может обозначать различные величины, 
такие как массовая концентрация химического компонента, 
энтальпия или температура, компонента вектора скорости, 
кинетическая энергия турбулентности или скорость ее 
диссипации и т.п. При этом коэффициенту диффузии ΓF и источниковому 
члену SF следует придать соответствующий каждой 
из этих переменных смысл. Примеры конкретных значений 
для некоторых из этих величин в зависимости от смысла 
обобщенной переменной F приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Примеры значений источникового слагаемого 
и коэффициента «диффузии» для разных переменных

Название уравнения
F
ΓF
SF
Неразрывности
1
1
0
Навье – Стокса
ui, i = 1, 2, 3
m

(
)
1
div
3
i
i

p
u
x
x
∂
∂
−
m
∂
∂


Энергии
cpT
ra
0
Конвективной диффузии
Cj
rDj
0

Примечание. ui – компонента скорости жидкости в направлении 
i-й координаты, м/с; m – коэффициент динамической вязкости жидкости, 
Па⋅с; p – статическое давление, Па; xi – декартова координата, м; 
cp – удельная изобарная теплоемкость жидкости, Дж/(кг⋅К); T – температура, 
К; r – плотность, кг/м3; a – коэффициент температуропроводности, 
м2/с; Сj – массовая концентрация j-го компонента смеси; 
Dj – коэффициент молекулярной диффузии j-го компонента, м2/с.