Статистический анализ данных в психологии

Статистический
анализ данныx
в  п с и хол о г и и

В. К. Романко

Ре комендова но
Советом по психологии УМО
по классическому университетскому 
образованию в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению
и по специальностям психологии

Москва
Лаборатория знаний
2020

Учебное пособие

4-е издание, электронное

УДК 519.22(075.8)+159.9(075.8)
ББК 22.17я73+88я73
Р69

Романко В. К.
Р69
Статистический анализ данных в психологии : учебное
пособие / В. К. Романко. — 4-е изд., электрон. — М. : Лаборатория
знаний, 2020. — 315 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10".— Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-802-5
В учебном пособии описываются основные математические методы,
предлагаемые математической теорией и широко применяемые на практике
в современных психолого-педагогических исследованиях.
Излагаются основные понятия теории вероятностей и описываются
конкретные математические методы обработки данных. В приложении
даются общие рекомендации по использованию статистических пакетов
программ.
Изложение ведется практически без строгих математических доказа-
тельств, но с подробными обсуждениями, объяснениями и иллюстрациями.
Для конкретных методов статистического анализа разъясняются их сущность
и
границы
применимости.
Приведено
большое
количество
задач
для
самостоятельной работы.
Для студентов и преподавателей вузов.
УДК 519.22(075.8)+159.9(075.8)
ББК 22.17я73+88я73

Деривативное издание на основе печатного аналога: Статистический ана-
лиз данных в психологии : учебное пособие / В. К. Романко. — М. : БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2009. — 312 с. : ил. — ISBN 978-5-94774-849-9.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-802-5
c○ Лаборатория знаний, 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

ГЛАВА 1
Случайные события и их вероятности
. . . . . . . . . . . . .
11

§ 1. Случайные события и операции над ними
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11

§ 2. Вероятности случайных событий
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17

§ 3. Основные правила действий с вероятностями случайных событий
.
.
22

З а д а ч и к г л а в е 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
32

ГЛАВА 2
Случайные величины
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36

§ 1. Понятие
случайной
величины.
Функции
распределения
случайных
величин
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
36

§ 2. Многомерные случайные величины. Функции случайных величин
.
.
45

§ 3. Числовые характеристики случайных величин
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
52

§ 4. Корреляционно-регрессионный
анализ
зависимости
двух
случайных
величин
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
59

§ 5. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема
.
.
.
.
.
.
.
65

§ 6. Понятие о случайных процессах
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
68

З а д а ч и к г л а в е 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
72

ГЛАВА 3
Генеральная совокупность, случайная выборка, статистическая
модель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76

§ 1. Основные понятия
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
76

§ 2. Измерение психологических признаков
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
80

§ 3. Первоначальная обработка наблюдений случайной выборки
.
.
.
.
.
84

§ 4. Основные выборочные характеристики и их свойства
.
.
.
.
.
.
.
90

З а д а ч и к г л а в е 3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
99

ГЛАВА 4
Статистическое оценивание параметров распределения случайной
величины
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101

§ 1. Точечные оценки и их свойства
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
101

§ 2. Метод максимального правдоподобия. Интервальные оценки. Понятие
о робастном оценивании
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
104

З а д а ч и к г л а в е 4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
109

Оглавление

ГЛАВА 5
Статистическая проверка гипотез
. . . . . . . . . . . . . . .
111

ГЛАВА 6
Некоторые статистические критерии
. . . . . . . . . . . . .
116

§ 1. Биномиальный критерий и критерий знаков
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
116

§ 2. Критерии проверки гипотез о числовых значениях параметров нормального 
распределения
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
120

§ 3. Критерии согласия
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
128

З а д а ч и к г л а в е 6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
132

ГЛАВА 7
Непараметрические критерии о сдвиге
. . . . . . . . . . . .
136

§ 1. Критерий ранговых сумм Уилкоксона и критерий Манна—Уитни для
двухвыборочных задач
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
136

§ 2. Критерий знаковых рангов Уилкоксона для повторных парных наблюдений
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

140

З а д а ч и к г л а в е 7
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
142

ГЛАВА 8
Однофакторный анализ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144

§ 1. Непараметрические критерии Краскела—Уоллиса и Джонкхиера
.
.
.
144

§ 2. Однофакторный дисперсионный анализ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
149

§ 3. Понятие о двухфакторном анализе
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
153

З а д а ч и к г л а в е 8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
156

ГЛАВА 9
Статистический анализ корреляционной зависимости
. . . . .
157

§ 1. Мера силы корреляционной связи двух количественных признаков
.
.
157

§ 2. Мера силы множественных корреляционных связей
.
.
.
.
.
.
.
.
163

§ 3. Коэффициенты ранговой корреляции
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
166

§ 4. Анализ связи номинальных признаков
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
172

З а д а ч и к г л а в е 9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
176

ГЛАВА 10
Регрессионный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179

§ 1. Простая линейная регрессия
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
179

§ 2. Непараметрическая линейная регрессия и множественная линейная регрессия. 
Понятие о нелинейной регрессии
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
187

З а д а ч и к г л а в е 10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
192

Оглавление
5

ГЛАВА 11
Анализ временных рядов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194

§ 1. Определение и структура временных рядов
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
194

§ 2. Стационарные временные ряды
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
196

§ 3. Анализ детерминированной составляющей временного ряда
.
.
.
.
.
201

ГЛАВА 12
Методы многомерной классификации
. . . . . . . . . . . . .
209

§ 1. Дискриминантный анализ с обучением
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
209

§ 2. Кластерный анализ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
215

З а д а ч и к г л а в е 12
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
225

ГЛАВА 13
Методы снижения размерностей и выделения главных характеристик
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

227

§ 1. Метод главных компонент
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
227

§ 2. Факторный анализ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
233

§ 3. Многомерное шкалирование
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
239

З а д а ч и к г л а в е 13
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
244

Заключение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Таблицы математической статистики
. . . . . . . . . . . . .
248

Замечания к использованию таблиц
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
267

ПРИЛОЖЕНИЕ 2
О статистических пакетах программ для анализа данных на персональных 
компьютерах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
269

Общая характеристика статистических пакетов программ
.
.
.
.
.
.
.
.
269

Методические указания по проведению статистического анализа в пакете
STATISTIСA (В. Т. Бордукова, Т. И. Бордукова)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
271

Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
308

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
310

Предметный указатель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
311

ВВЕДЕНИЕ

Эта книга является учебным пособием для студентов-психологов
по курсу «Математические методы в психологии». В ней описываются 
основные математические методы, которые предлагаются математической 
теорией и которые широко применяются на практике
в современных психолого-педагогических исследованиях.
В предлагаемом учебном пособии автор поставил цель доступно
познакомить читателей, не имеющих специального математического
образования, с основами современного статистического анализа данных.
Эта цель определяет характер изложения материала. Изложение ведет-
ся практически без строгих математических доказательств, но с подроб-
ными обсуждениями, объяснениями и иллюстрациями. Ограничи-
ваясь простыми математическими средствами, мы стараемся по воз-
можности не только описывать конкретные методы статистического
анализа, но и разъяснять их сущность и границы применимости.
Имеющиеся в настоящее время руководства по статистическому
анализу данных либо требуют достаточно хорошей математической
подготовки, либо предназначены для технических приложений,
либо не отражают современный уровень статистических методов
обработки данных, либо являются для широкого круга читателей
малопонятными из-за отсутствия точного описания излагаемых
статистических моделей. Эти обстоятельства послужили одной из
причин, побудивших автора написать эту книгу.
Книга написана на основе курса лекций «Математические мето-
ды в психологии», которые в течение ряда лет автор читал студентам
Московского городского психолого-педагогического университета
(МГППУ). Необходимость дать студентам сравнительно простое
учебное пособие по прикладной статистике было второй причиной
появления этой книги.
Поскольку книга адресована психологам и педагогам, то этим
определяются не только отбор материала и характер его изложения,
но и подбор иллюстрированных примеров. Эти примеры берутся
из психологии и педагогики. Однако они носят учебный (гипотети-
ческий) характер и не являются результатами каких-либо реальных
психолого-педагогических исследований. Приведено большое коли-
чество примеров для самостоятельной работы.

Введение
7

Для приведенных в учебном пособии примеров характерен
небольшой объем исходных данных. Это сделано не только дня об-
легчения расчетов вручную, но и потому, что на практике большин-
ство психолого-педагогических исследований проводится именно
для малых объемов исходных данных. Решение простых примеров
в учебном процессе позволяет наглядно ощутить, как работают на
практике статистические методы и подготовить студентов к исполь-
зованию компьютерных статистических программ. Решение задач
вручную возможно во многих случаях лишь при наличии соот-
ветствующего набора таблиц математической статистики. Учебное
пособие (см. приложение 1) снабжено достаточно полным набором
таких таблиц, который включает малодоступные статистические
таблицы для основных непараметрических критериев.
В главах 1—2 данного пособия излагаются основные понятия те-
ории вероятностей. Знание психологами элементов теории вероят-
ностей важно потому, что многие психологические признаки и свя-
зи между ними описываются вероятностными характеристиками.
Далее, в главах 3—13 излагаются конкретные математические методы
обработки экспериментальных данных в современной психологии.
Если психологические исследования базируются на некоторых
конкретных измерениях того или другого психологического фено-
мена, свойства, характеристики, черты и т. д., то для получения
научных и практических выводов из таких измерений необходимо
использовать математические методы современного статистического
анализа данных. Эти методы позволяют психологу-практику обос-
новывать правильность используемых методик и приемов, обобщать
данные эксперимента, находить зависимости между исследуемыми
психологическими признаками, выявлять существенные различия
между различными группами испытуемых с точки зрения исследуе-
мого признака, строить прогнозы поведения испытуемых, избегать
логических и содержательных ошибок при интерпретации получен-
ных данных и т. д.
При этом необходимо помнить, что математические методы
статистического анализа данных — лишь инструменты психологи-
ческих исследований. Наиболее важным в каждом эксперименте
является четкая постановка задачи, детальное планирование опыта,
выбор непротиворечивых гипотез и метода исследования, содержа-
тельная интерпретация результатов обработки экспериментальных
данных, полученных с помощью использования того или иного ме-
тода статистического анализа. С этой точки зрения психолог играет
ведущую роль. Выработку профессионализма и хорошей интуиции

Введение

психолога стимулирует его знакомство с основами современного
статистического анализа данных. Это позволяет психологу либо
самостоятельно, либо совместно с привлекаемыми математиками
грамотно ставить задачу психологического эксперимента, выбирать
конкретный метод статистического анализа, использовать стати-
стические пакеты программ для персональных компьютеров при
реализации выбранного метода анализа, давать содержательную
интерпретацию полученных
математических результатов
анали-
за данных. Противоречия в психологических и математических
выводах свидетельствуют о некорректности решения задачи или
некорректности интерпретации результатов.
Множество математических методов современного статистиче-
ского анализа данных можно разбить на две большие группы. К пер-
вой группе относятся методы, предназначенные для анализа дан-
ных, имеющих вероятностную (случайную) природу. Они преду-
сматривают вероятностную интерпретацию обрабатываемых дан-
ных и полученных в результате обработки статистических выводов.
Для понимания таких методов необходимо знание элементов те-
ории вероятностей. Теория вероятностей изучает математические
модели, имитирующие механизмы функционирования гипотетиче-
ского (неконкретного) реального явления, результат которого зави-
сит от влияния большого числа взаимодействующих случайных (не
поддающихся строгому учету и контролю) факторов. Такого рода
математические модели называют вероятностными моделями. Они
используются в тех ситуациях, когда имеется хотя бы принципиаль-
но мыслимая возможность приближенного многократного воспро-
изведения всего комплекса условий, при которых производились
измерения анализируемых данных.
Методы первой группы статистического анализа данных — это
методы математической статистики. Они позволяют по результа-
там наблюдений конкретного явления или системы (исходным ста-
тистическим данным) строить статистическую модель явления или
системы, т. е. такую вероятностную модель, которая в определен-
ном смысле наилучшим образом соответствует исходным статисти-
ческим данным.
В большинстве руководств по математической статистике излага-
ются лишь так называемые параметрические методы, которые пред-
полагают, что исследуемые психологические (случайные) признаки
имеют нормальный закон распределения. В данном учебном пособии 
кроме параметрических методов излагаются и наиболее распространенные 
на практике непараметрические (ранговые) методы,

Введение
9

т. е. методы, свободные от предположений о законе распределения
признака и поэтому более универсальные.
Ко второй группе методов современного статистического анализа 
данных относятся методы, предназначенные для обработки данных, 
не имеющих вероятностной природы. Другими словами, эти
методы используются в ситуации, когда изучаемое явление детерминировано (
т. е. не зависит от мешающего влияния случайных факторов), 
или в ситуации, когда принципиально невозможно многократно 
повторить опыт хотя бы в приблизительно одинаковых условиях.
В подобных ситуациях невозможна вероятностная интерпретация
исходных статистических данных и получаемых в результате их обработки 
выводов. Методы анализа и моделирования данных из второй 
группы принято называть логико-алгебраическими, поскольку
эти методы основаны на обычной логике и используют алгебраический 
и геометрический подходы. Ко второй группе методов современного 
статистического анализа данных относятся, например,
методы кластерного анализа и многомерного шкалирования.
Если методы первой группы (назовем их вероятностно-статистическими) 
позволяют решать традиционные для статистики задачи
(например, оценка неизвестных параметров, проверка гипотез, моделирование 
связи изучаемых признаков), то методы второй группы
(логико-алгебраические) позволяют решать новые, специфические
задачи, такие, как классификация объектов и признаков, сжатие информации, 
визуализация (наглядное представление) данных, отбор
наиболее информативных показателей, включая выявление латентных 
факторов, моделирование сложных систем (латентно-структурный 
анализ) и т. д. Настоящее учебное пособие дает достаточно
полное представление о современных логико-алгебраических методах. 
Отметим также, что логико-алгебраические методы на практике 
могут применяться в комплексе с вероятностно-статистическими
методами.
Статистические программные пакеты для персональных компьютеров 
сделали методы статистического анализа данных более
доступными, менее трудоемкими и наглядными.
В приложении 2 учебного пособия даются общие рекомендации
по использованию статистических пакетов программ, а также под-
готовленные В. Т. Бордуковой и В. И. Бордуковой методические
рекомендации по использованию пакета SТAТISТIСА. Знакомство
с данным учебным пособием позволяет успешно применять мате-
матические методы для обработки материалов психолого-педагоги-
ческих экспериментальных измерений, начиная с постановки задач,

Введение

выбора метода ее решения, включая использование статистического
пакета программ, и кончая интерпретацией результатов анализа и
практическими рекомендациями.
В приведенном списке литературы можно найти более глубокое
описание приведенных в учебном пособии методов анализа данных,
а также некоторые другие, более специальные методы.
Первый вариант этого учебного пособия был издан в 2006 году
издательским центром МГППУ при всемерной поддержке ректо-
ра МГППУ, академика РАО В. В. Рубцова и первого проректора
МГППУ, профессора А. А. Марголиса. Им автор выражает свою
глубокую благодарность.
В настоящем издании учебного пособия были устранены заме-
ченные опечатки и внесены небольшие дополнения при изложении
некоторых вопросов.
Автор благодарен В. Т. Бордуковой и В. И. Бордуковой за их
согласие включить в учебное пособие подготовленные ими мето-
дические указания по пакету SТАТISТIСА. Автор также благодарен
М. В. Ивановой за большую техническую помощь при подготовке
настоящего издания учебного пособия.

ГЛАВА 1

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ

§ 1. Случайные события и операции над ними

В природе часто наблюдаются явления и события, исходы кото-
рых практически однозначно определяются заданными условиями.
Такие явления и события принято называть детерминированными
или закономерными. Например, при равномерном и прямолиней-
ном движении материальной точки пройденный путь S однозначно
определяется формулой S = v · t, если задать скорость v и время t.
Другой пример дает второй закон Ньютона классической механи-
ки: сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на
сообщаемое этой силой ускорение.
Но бывают такие явления и события, для которых сохранение
основных условий опыта не гарантирует однозначность исхода. При
подбрасывании монеты нельзя предсказать исход: упадет монета
гербом вверх или нет. При измерении одной и той же физической
характеристики одним и тем же прибором, в одних и тех же усло-
виях получаем различные результаты. Результаты таких опытов не
определяются заранее однозначно в силу влияния большого числа
разнообразных причин, не поддающихся строгому учету и контро-
лю. Такого рода явления и события принято называть недетермини-
рованными или случайными.
Перейдем к более детальному описанию событий с неопределен-
ным исходом.
Будем считать, что проводится реальный или мысленный опыт при
не изменяющемся во времени действии большого числа случайных
(не поддающихся строгому учету и контролю) факторов, не позволя-
ющих сделать однозначные выводы о том, произойдет или не про-
изойдет интересующее нас событие. При этом предполагается, что
имеется принципиальная возможность многократного повторения
опыта при одних и тех же условиях. Неконтролируемый (случайный)
разброс в результатах наблюдений объясняется многочисленностью,
сложностью и неизученностью формирующих их факторов.
Наиболее простые примеры опытов, для которых полностью вы-
полнены описанные условия, дают азартные игры. Действительно,
опыты с подбрасыванием монеты, игральной кости или с вытягива-

Глава 1. Случайные события и их вероятности

нием наугад карты из колоды карт можно многократно повторять в
одинаковых условиях, но они не позволяют делать полностью опре-
деленные заключения о том, произойдет или не произойдет в ре-
зультате данного опыта интересующее нас событие, например, по-
явление герба, шестерки или туза пик.
Соблюдение вышеуказанных условий проведения опытов в более
серьезных и сложных сферах человеческой деятельности — в психо-
логии, медицине, экономике, технике и т. д. — требует в каждом
конкретном случае специального рассмотрения.
С каждым опытом связано множество всех возможных взаимно
исключающих исходов опыта. Каждый из этих исходов будем на-
зывать элементарным событием (или элементарным исходом), а мно-
жество всех таких исходов — пространством элементарных событий
(или исходов). Элементарные события будем обозначать ω, а про-
странство элементарных событий — Ω. Таким образом, например, в
результате опыта с конечным числом исходов ω обязательно проис-
ходит одно из элементарных событий, причем одновременно с ним
не может произойти никакое другое элементарное событие.
Если пространство Ω содержит конечное или счетное число элемен-
тарных событий, то Ω называется дискретным пространством элемен-
тарных событий. В противном случае Ω называется непрерывным.
Пусть сначала Ω — дискретное пространство. Тогда элементар-
ные события можно занумеровать. Обозначив их через ω1, ω2, . . .
. . ., ωn, . . ., получаем, что все пространство Ω = {ω1, ω2, . . ., ωn, . . .}.
Рассмотрим несколько примеров опытов с дискретными про-
странствами Ω. В этих примерах под монетой понимается идеально
симметричная монета, очень тонкая и однородная по плотности, а
под игральной костью понимается геометрически правильный куб
с занумерованными гранями, однородный по плотности.
Здесь уместно отметить модельный характер вышеуказанных
условий проведения опытов с монетой и игральной костью. Опыты
проводятся не с реальными монетами и костями, а с их абстрак-
циями, точнее с их математическими моделями, т. е. такими аб-
стракциями, в которых отношения между реальными элементами
заменены подходящими отношениями между математическими ка-
тегориями. Точность математической модели описания реального
явления проверяется практикой.
Как будет ясно из дальнейшего, теория вероятностей изучает ве-
роятностные модели реальных явлений, т. е. математические моде-
ли, имитирующие механизмы функционирования таких явлений, на
которые существенно влияет большое число случайных факторов.

§ 1. Случайные события и операции над ними
13

Примеры.
1) Подбрасывание монеты. Если обозначить через ω1 выпадения
герба Г, а через ω2 выпадение решки Р, то Ω = {ω1, ω2}.
2) Выбрасывание игральной кости. Тогда Ω = {ω1 = 1, ω2 = 2,
ω3 = 3, ω4 = 4, ω5 = 5, ω6 = 6}.
3) Двукратное бросание монеты. Имеем: Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4}, где
ω1— выпадение ГГ, ω2 — выпадение ГР, ω3 — выпадение РГ, ω4 —
выпадение РР.
4) Двукратное бросание игральной кости. Тогда Ω представляет
собой множество {ωk, k = 1, 2, 3, . . ., 36}, где каждое ωk обозначает
некоторую пару чисел (m, n), где m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, n = 1, 2, 3, 4, 5, 6
и m означает количество выпавших очков при первом бросании, а
n означает количество выпавших очков при втором бросании.
Кроме элементарных (или неразложимых) событий приходится
иметь дело и с составными (или разложимыми) событиями. Состав-
ное событие в случае дискретного Ω имеем в том случае, если про-
исходит какое-либо из элементарных событий, причем таких эле-
ментарных событий можно указать, по меньшей мере, два. В таком
случае говорят, что составное событие состоит, по меньшей мере,
из двух элементарных событий.
Случайным событием называется любое подмножество дискрет-
ного пространства Ω элементарных событий.
Случайные события будем обозначать буквами A, B, C, . . .. При-
ведем примеры случайных событий.

Примеры.
1) В опыте с выбрасыванием игральной кости можно говорить
о событии A, состоящем в том, что выпало четное число очков, или
о событии B, состоящем в том, что выпало нечетное число очков.
Тогда A = {ω2, ω4, ω6}, B = {ω1, ω3, ω5}.
2) При двукратном бросании монеты можно говорить о собы-
тии A, состоящем в том, что выпал хотя бы один раз герб, или о
событии B, состоящем в том, что дважды выпал герб или дважды
выпала решка. Тогда A = {ω1, ω2, ω3}, B = {ω1, ω4}.
3) При двукратном бросании игральной кости можно говорить
о событии A, состоящем в том, что сумма выпавших очков не менее
десяти. В этом случае событие A содержит 6 элементарных собы-
тий, означающих соответственно выпадение пар чисел (4, 6); (5, 5);
(5, 6); (6, 4); (6, 5); (6, 6).

До сих пор мы рассматривали задачи, в которых пространство Ω
состояло из не более чем счетного числа элементарных событий.