Математический анализ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 
АНАЛИЗ

В.Г. ШЕРШНЕВ

Москва
ИНФРА-М
2023

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению
38.03.01 «Экономика»

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
 
Ш50

Шершнев В.Г.
Ш50  
Математический анализ : учебное пособие / В.Г. Шершнев. — 
Москва : ИНФРА-М, 2023. — 288 с. — (Высшее образование: Бакалав-
риат).

ISBN 978-5-16-005488-9 (print)
ISBN 978-5-16-102414-0 (online)
Учебное пособие подготовлено на основе лекций, читаемых автором 
на экономических факультетах Российского экономического университе-
та имени Г.В. Плеханова. В пособии содержится теоретический материал 
по разделам математического анализа: множества, пределы последова-
тельностей и функций, дифференциальное исчисление функций одной 
и нескольких переменных — неопределенный и определенный интегралы, 
дифференциальные уравнения и ряды. Приводится решение характерных 
заданий. 
Предназначено для студентов экономических направлений подготовки.

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73

ISBN 978-5-16-005488-9 (print)
ISBN 978-5-16-102414-0 (online)
© Шершнев В.Г., 2014

Глава 1.  ВВедение В математический анализ

1.1.  
множестВа

1.1.1.  определение множества

Математическим анализом называется раздел математики, зани-
мающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно ма-
лой функции.
Основными понятиями математического анализа являются ве-
личина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, 
производная, интеграл и т.д.
Величиной называется все, что может быть измерено и выражено 
числом.
Множеством называется совокупность некоторых элементов. 
Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, поня-
тия и т.п.
Множества обозначаются прописными буквами, а элементы 
множеств — строчными буквами. Элементы множеств заключаются 
в фигурные скобки. Если элемент  х  принадлежит множеству  Х, 
то записывают  х ∈ Х  (∈ — принадлежит). Если множество  А  явля-
ется частью множества  В,  то записывают  А ⊂ В  (⊂ — содержится).
Множество может быть задано одним из двух способов: перечис-
лением и с помощью определяющего свойства.
Например, перечислением заданы следующие множества:
1) A = {2, 5, 7, 10, 8} — множество чисел;
2) X = {x1, x2, ..., xn} — множество некоторых элементов  x1, x2, ..., xn;
2) N = {1, 2, ..., n, ...} — множество натуральных чисел;
3) Z = {0, ±1, ±2, ..., ±n, ...} — множество целых чисел.
В общем случае множество элементов  х  с помощью определяю-
щего свойства  f(x)  записывается в виде  X = {x | f(x)}.
Например:

1) Q
m
n m n
Z
n
=
∈
≠
,
,
0  — множество рациональных чисел;

2) X
x y
R x
y
=
∈
+
≤
{ ,
}
2
2
1  — множество вещественных чисел 

x, y,  для которых сумма квадратов не превосходит единицу.
Если множество не содержит ни одного элемента, то оно назы-
вается пустым множеством и записывается  ∅.
При записи математических выражений часто используются 
кванторы.

Квантором называется логический символ, который характери-
зует следующие за ним элементы в количественном отношении.
∀ — квантор общности, используется вместо слов «для всех», 
«для любого».
∃ — квантор существования, используется вместо слов «суще-
ствует», «имеется». Используется также сочетание символов  ∃!,  ко-
торое читается как существует единственный.
Например, запись  ∀ x ∈ D ∃! y ∈ E  означает, что для любого  x, 
принадлежащего множеству  D,  существует единственное  y,  прина-
длежащее множеству  E.

1.1.2.  операции над множествами

Два множества А и В равны (А = В), если они состоят из одних 
и тех же элементов.
Например, если  A = {1, 2, 3, 4},  B = {3, 1, 4, 2},  то  А = В.
Объединением (суммой) множеств  А  и В  называется множество 
А ∪ В,  элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Например, если  A = {1, 2, 4},  B = {3, 4, 5, 6},  то  А ∪ В = {1, 2, 3, 
4, 5, 6}.
Если объединяются  n  множеств, то записывают  А1 ∪ А2 ∪ ... ∪

∪
=

=
A
A
n
i
i

n

1∪
.

Пересечением (произведением) множеств  А  и В  называется множество  
А ∩ В,  элементы которого принадлежат как множеству  А, 
так и множеству В.
Например, если  A = {1, 2, 4},  B = {3, 4, 5, 2},  то  А ∩ В = {2, 4}.
Если множество является пересечением n множеств, то записывают 
A
A
A
A
n
i
i

n

1
2
1
∩
∩
∩
=

=
...
.
∩

Разностью множеств  А  и В  называется множество  А\В,  элементы 
которого принадлежат множеству  А,  но не принадлежат множеству  
В.
Например, если  A = {1, 2, 3, 4},  B = {3, 4, 5},  то  А\В = {1, 2}.
Симметрической разностью множеств  А  и В  называется множество  
А Δ В,  являющееся объединением разностей множеств  А\В  и 
В\А ,  т.е.  А Δ В = (А\В) ∪ (В\А).
Например, если  A = {1, 2, 3, 4},  B = {3, 4, 5, 6},  то  А Δ В =
= {1, 2} ∪ {5, 6} = {1, 2, 5, 6}.

1.1.3.  свойства операций над множествами

1. Свойство перестановочности (коммутативность) для объединения 
и пересечения множеств, т.е.  А ∪ В = В ∪ А;   А ∩ В = В ∩ А.
2. Сочетательное свойство (ассоциативность) для объединения 
и пересечения множеств, т.е. (А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С);  (А ∩ В) ∩ С =
= А ∩ (В ∩ С).
3. Распределительное свойство (дистрибутивность) для объединения 
и пересечения множеств:
1) (А ∪ В) ∩ С = (А ∩ С) ∪ (В ∩ С);
2)  А ∩ (В ∪ С) = (А ∩ В) ∪ (А ∩ С);
3) (А ∩ В) ∪ С = (А ∪ С) ∩ (В ∪ С);
4)  А ∪ (В ∩ С) = (А ∪ В) ∩ (А ∪ С).
Разность множеств не обладает этими свойствами.
Если множество  В  содержится в множестве D (В ⊂ D), то разность  
D\В  называется дополнением множества  В  до множества  D. 
Записывают  CD(B) = D\В.  Для дополнений множеств справедлив 
закон Моргана:
1) CD(А ∪ В) = CD(A) ∩ CD(B); 
2) CD(А ∩ В) = CD(A) ∪ CD(B).

1.1.4.  декартово произведение множеств

Декартовым произведением множеств называется множество 
точек  (x, y)  Rx × Ry = {(x, y)| х ∈ Rx, y ∈ Ry}.  В частном случае, если 
Rx = {х ∈ R| х ∈ [a, b]},  Ry = {y ∈ R|  y ∈ [c, d]},  то  Rx × Ry = {(x, y)| х ∈
∈ [a, b], y ∈ [c, d]}.

1.1.5.  модуль числа, его свойства

По определению x
x
x
x
x
=
≥
−
<
,
;
,
.
если
если
0
0

1) |x ⋅ y| = |x| ⋅ |y|;
2) |x + y| ≤ |x| + |y|;
3) |x - y| ≥ |x| - |y|   или   |x - y| ≥ |y| - |x|;
4) ||x| - |y|| ≤ |x - y| ≤ |x| + |y|.

1.1.6.  Грани числовых множеств

Число  К  называется верхней гранью множества  А,  если 
∀х ∈ A   x ≤ K.  Если  С > 0,  то  К + С  также является верхней гранью 
этого множества.
Число  k  называется нижней гранью множества  А,  если  ∀х ∈ A 
x ≥ k.  Если  С > 0,  то  k - С  также является нижней гранью этого 
множества.

Аксиома отделимости. Если  ∀х ∈ A  и  ∀y ∈ B   x ≤ y,  то существует 
такое число  с,  что  x ≤ c ≤ y   ∀х ∈ A  и  ∀y ∈ B.
Среди множества верхних граней  K + С  множества  А  существует 
наименьшая верхняя грань  M,  которая называется точной 
верхней гранью или «супремум»  М = sup (A).  Также среди множества 
нижних граней  k - С  для множества  А  существует наибольшая 
нижняя грань  m,  которая называется точной нижней гранью или 
«инфимум»  m = inf (A).
Например: 1) если  А = [0; 1],  то  sup (A) = 1,  inf (A) = 0;  2) если 
А = (0; 1),  то  sup (A) = 1,  inf (A) = 0.

1.1.7.  счетные и несчетные множества

Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества  А  и В,  между 
их элементами устанавливают соответствие.
Если это соответствие взаимнооднозначное, то множества называются 
эквивалентными или равномощными,  А ~ В  или  А ⇔ В.
Примеры.
1. Множества  А = {1, 2, 3, …, n, …}  и  B = {21, 22, 23, ..., 2n, ...} 
являются равномощными, так как между их элементами можно установить 
взаимнооднозначное соответствие:  1 ↔ 21,  2 ↔ 22,  3 ↔ 23, 
…, n ↔ 2n, ….
2. Множество точек катета  BC  и гипотенузы  AC  треугольника 
ABC  являются равномощными (рис. 1).

Рис. 1

3. Можно установить взаимнооднозначное соответствие между 
точками отрезка [0; 1] и множеством точек всей числовой прямой 
(-∞; +∞). Построим полуокружность радиуса  r = 0,5  с центром 
в точке  С  (0,5; 0,5)  (рис. 2).

Рис. 2

Через точку  x1,  принадлежащую отрезку [0; 1], проведем прямую 
параллельно оси  Oy  до пересечения с полуокружностью в точке  M1. 
Через точки  С  и M1  проведем прямую до пересечения с осью  Ox 
в точке  x11.  Следовательно, точке  x1  соответствует точка  x11  и на-
оборот. Таким образом, можно установить соответствие между любой 
точкой отрезка [0; 1] и точкой множества точек числовой прямой 
(-∞; +∞).  В частности, если  x1 = 0,5,  то  x11 = 0,5;  если  x1 = 1,  то 
x11 = ∞. Следовательно, эти множества равномощные, [0; 1] ~ (-∞; ∞).
Последовательностью называется множество чисел, перенумеро-
ванных с помощью натуральных чисел и расставленных в порядке 
возрастания их номеров   u1, u2, ..., un , ....
Счетным множеством называется множество эквивалентное 
множеству натуральных чисел.
Следовательно, любая последовательность является счетным 
множеством.
Предложение 1. Для того, чтобы множество было счетным, необ-
ходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде по-
следовательности.
Предложение 2. Декартово произведение конечного или счетного 
числа счетных множеств является счетным множеством.
Предложение 3. Любое подмножество счетного множества явля-
ется либо конечным, либо счетным.
Таким образом, счетное множество является наименее мощным из 
бесконечных множеств.
Более мощным, чем счетное множество, является множество 
действительных чисел  R = (-∞; +∞).  Его мощность называют мощ-
ностью континуума. Так как  [0; 1] ~ R,  то множество точек отрезка 
[0; 1] обладает также мощностью континуума.

1.2.  
Функции, их классиФикация

Одним из основных понятий математического анализа является 
функция.
Зачатки определения функции имелись у П. Ферма и Б. Паскаля. 
Впервые слово функция употребил Лейбниц в 1692 г.
Определение функции, наиболее близкое к современному, дал  
И. Бернулли в 1718 г.
До недавнего времени наиболее распространенным было следу-
ющее определение функции.
Переменная величина y называется функцией переменной вели-
чины x, если каждому значению х соответствует единственное определенное 
значение y. Записывается  y = f(x).
В настоящее время обычно употребляют определение функции, 
основанное на теории множеств.

Переменная величина y называется функцией переменной величины  
x  с областью определения  D  и множеством значений  E,  если 
для любого значения  х,  принадлежащего множеству  D  (∀х ∈ D) 
существует единственное значение  y,  принадлежащее множеству Е 
(y ∈ E)  (рис. 3), т.е.

y = f(x) ⇔ ∀х ∈ D  ∃!  y ∈ E.

Рис. 3

Например, найти область определения и множество значений 

функции y
x
=
−

1

1
2 . Получаем  D(y) = {х ∈ R| |x| < 1},  E(y) = [1, +∞).

Если между множествами  D  и E  можно установить взаимно 
однозначное соответствие, то существует обратная функция
x = f -1(y)  или  x = ϕ(y).
Если аргумент функции  y = f(u)  является в свою очередь функцией 
переменной величины  х  u = ϕ(x),  то  y = f(ϕ(x))  называется 
сложной функцией.
Здесь функции  y = f(u)  и  u = ϕ(x)  называются составляющими 
функциями.
Например,   y = sin x3  сложная функция, ее составляющие функции  
y = sin u  и  u = x3.
Основными элементарными функциями являются следующие:
1) y = xa,  a ∈ R — степенная функция;
2) y = ax,  a > 0,  a ≠ 1 — показательная функция;
3) y = loga x,  a > 0,  a ≠ 1 — логарифмическая функция;
4) y = sin x,  y = cosx,  y = tg x,  y = ctg x — тригонометрические 
функции;
5) y = arcsin x,  y = arccosx,  y = arctg x,  y = arcctg x — обратные 
тригонометрические функции.
Функция называется элементарной, если она образована из ос-
новных элементарных с помощью конечного числа алгебраических 
действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения 
в рациональную степень.

Например, y
x

x
= log

sin

2
3

.

Функция называется алгебраической, если она образована из 
независимой переменной  x  с помощью конечного числа алгебраи-
ческих действий: сложения, вычитания, умножения, деления, воз-
ведение в степень с рациональным показателем.
Функция называется трансцендентной, если она не является ал-
гебраической.
Алгебраическая функция называется иррациональной, если она 
содержит операцию извлечение корня.
Функция называется рациональной, если она является алгебраи-
ческой и не содержит корней независимой переменной.
Простейшей рациональной функцией является многочлен вида

P(x) = a0xn + a1xn - 1 + ... + an - 1x + an ,

где  a0, a1, ..., an - 1, an — числовые коэффициенты;  х – независимая 
переменная;  n – целое положительное число.
Любую рациональную функцию можно представить в виде отно-
шения двух многочленов

y
P x
Q x
=
( )
( ) ,

где  Q(x) = b0xm + b1xm - 1 + ... + bm - 1x + bm,   b0, b1, ..., bm - 1, bm — чис-
ловые коэффициенты;  m – целое положительное число.

1.3.  
ПРедел ПоследоВательности

Окрестностью точки  x0  называется любой интервал, содержа-
щий эту точку.
d-окрестностью точки x0  Ud(x0) называется интервал длиной  2d 
с центром в этой точке.
В математическом анализе обычно рассматривается  d-окрест-
ность точки  x0  Ud(x0),  которая не содержит точку  x0  (рис. 4).

Рис. 4

Кратко записывается

Ud(x0) = {х ∈ R|   0 < |x - x0| < d}
или
Ud(x0) = (x0 - d < x < x0 ∪ x0 < x < x0 + d).

Пусть в некоторой области  D  имеется предельная точка  x0.
Точка называется предельной, если любая, сколь угодно малая,
 ее окрестность содержит бесконечное множество точек этого мно-
жества. Из любого бесконечного множества точек можно выбрать 
бесконечное счетное множество, т.е. последовательность  {xn} = x1, 
x2, ..., xn, ....  Пусть эта последовательность такая, что с увеличением 
номера n члены последовательности  xn  неограниченно приближа-
ются к  x0 ,  но никогда не достигают его. Так что расстояние от точки 
х  до точки  x0  становится сколь угодно мало, но никогда не стано-
вится равным нулю. В этом случае говорят, что члены последователь-
ности  {xn}  стремятся к  x0.  Стремятся к  x0 — значит неограниченно 
приближаются, но не достигают  x0  (рис. 5).

Рис. 5

Определение предела последовательности. Число  b  называется 

пределом последовательности  {xn} = x1, x2, ..., xn, ... lim{
}
,
n
n
x
b
→∞
=
(
)  

если для любого, сколь угодно малого, положительного  d  суще-
ствует такое положительное число  N,  что если номер члена после-
довательности  n > N,  то  xn  принадлежит  d-окрестности числа  b 
(xn ∈ Ud(b)).
Кратко с помощью кванторов можно записать

lim{
}
( )
:
.
n
n
n
x
b
N
n
N
x
b
→∞
=
⇔ ∀
>
∃
>
>
⇒
<
−
<
δ
δ
δ
0
0
0

Например, доказать, что  lim
.
n
n
→∞
=
1
0  Запишем последнее соот-

ношение из определения предела и преобразуем его, учитывая, что 

x
n
n = 1 , а  b = 0. Получим x
b
n
n
n
N
n −
=
−
=
<
⇔
>
⇒
=
1
0
1
1
1
δ
δ
δ
δ
( )
. 

Отсюда следует, что для того, чтобы член последовательности x
n
n = 1