Циклида Дюпена и ее приложение

Москва
ИНФРА-М
2023

ЦИКЛИДА ДЮПЕНА 

И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ

Í.À. ÑÀËÜÊÎÂ

МОНОГРАФИЯ

Сальков Н.А. 
С16 
 
Циклида Дюпена и ее приложение : монография / Н.А. Саль-
ков. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 141 с. — (Научная мысль). — 
DOI 10.12737/18824.

ISBN 978-5-16-011910-6 (print)
ISBN 978-5-16-104431-5 (online)

В монографии исследуется поверхность, образованная двумя семейст-
вами окружностей — циклида Дюпена, названная так в честь открывшего 
ее великого французского ученого Пьера Шарля Франсуа Дюпена, учени-
ка Гаспара Монжа.
Рассматриваются свойства циклиды Дюпена, ее приложение к различ-
ным геометрическим построениям, а также возможность практического 
применения в технике и архитектуре.
Монография может быть интересна профессионалам в области ин-
женерной геометрии (специальность 05.01.01 «Инженерная геометрия 
и компьютерная графика»), а также аспирантам, преподавателям и инте-
ресующимся геометрическими построениями.
 
УДК 514.18(075.4)
ББК 22.151

УДК 514.18(075.4)
ББК 22.151
 
С16

©  Сальков Н.А., 2016
ISBN 978-5-16-011910-6 (print)
ISBN 978-5-16-104431-5 (online)

Р е ц е н з е н т ы: 
Трушин С.И., д-р техн. наук, профессор МГСУ;
Вышнепольский В.И., канд. пед. наук, доцент, зав. кафедрой инженер-
ной графики МИТХТ

Подписано в печать 03.10.2022.
Формат 6090/16. Печать цифровая. Бумага офсетная.
Гарнитура Newton. Усл. печ. л. 8,81.
ППТ12. Заказ  № 00000

ТК 407000-1911732-280416

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1.
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86.     Факс: (495) 280-36-29.
E-mail: books@infra-m.ru                 http: //www.infra-m.ru

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

Посвящается моему отцу 
Андрею Васильевичу Салькову 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
В учебном курсе начертательной геометрии изучается класс по-
верхностей, образованный окружностями и названный «Циклические 
поверхности» [25; 40; 42; 49]. Внутри этого класса поверхностей есть 
так называемые каналовые поверхности. Циклиды Дюпена принадле-
жат к каналовым поверхностям, более того – они являются частным 
случаем [6; 7; 19, 27; 29] этих поверхностей, но в курсе начертатель-
ной геометрии их формирование не рассматривается. В учебном курсе 
инженерной графики изучается ряд сопряжений, но опять-таки не 
упоминается о циклидах Дюпена, хотя, прочитав данную книгу, можно 
убедиться, что все построения сопряжений основаны на свойствах 
циклиды Дюпена. 

 

 

Пьер Шарль Франсуа Дюпен (1784–1873) 
 
Циклиды Дюпена были открыты Пьером Шарлем Франсуа Дюпе-

ном [65] в начале XIX в. и названы в его честь. Сам Дюпен был учеником 
Гаспара Монжа, как и многие великие ученые Франции того времени. 

1.  СВОЙСТВА ЦИКЛИД ДЮПЕНА 
 
1.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ 
 

Циклиды Дюпена обычно представляются как огибающие семейства 
сфер, касающихся трех заданных [19; 27; 29]. Общеизвестная поверхность 
тор – это частный случай циклид Дюпена. Еще более частный 
случай – конусы и цилиндры вращения [19]. 

Циклиды – единственные поверхности, у которых фокальные поверхности 
вырождаются в линии, а все линии кривизны являются окружностями. 
На рис. 1.1–1.5 представлены гипсовые модели циклид 
(рисунки взяты из [19]). 

Что такое фокальная поверхность? Если к некоторой поверхности 

провести нормаль, то центры окружностей главных кривизн на этой 
нормали дадут две точки. Два множества этих точек при перемещении 
нормали по поверхности создают две фокальные поверхности. 
 

 
 
 
Рис. 1.1  
                    
Рис. 1.2 
 
 

 

Рис. 1.3 

Рис. 1.4  
 
                       Рис. 1.5 
 
Как уже было сказано, фокальные поверхности циклид Дюпена 

вырождаются в линии. Имеются три случая превращения фокальных 
поверхностей в фокальные линии. 

1. Фокальные линии представляют собой софокусные эллипс и ги-

перболу. Такие циклиды Дюпена представлены на рис. 1.1–1.3. Они 
являются поверхностями четвертого порядка. 

2. Фокальные линии представляют собой софокусные параболы. 

Такие циклиды Дюпена представлены на рис. 1.4, 1.5. Они являются 
поверхностями третьего порядка. 

3. Одна из фокальных линий является прямой (осью вращения). 

Тогда получим два варианта: 

а) фокальные линии представляют собой окружность и перпенди-

кулярную к ее плоскости прямую (ось), проходящую через центр ок-
ружности. Полученная циклида будет тором; 

б) одна из фокальных линий представляет собой прямую (ось), вто-

рая лежит в бесконечности. Полученные циклиды будут конусом вра-
щения или цилиндром вращения. 
 
 
 
 
1.2. ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЦИКЛИДЫ 
 
1.2.1.  Геометрия циклиды Дюпена 
 
Рассмотрим аналитическое представление фокальных линий для 
общего случая задания циклиды Дюпена, представленного на рис. 1.1. 
Пусть будут заданы три сферы разного радиуса R1, R2 и R3 
(рис. 1.6). 
Для упрощения расчетов пусть центры сфер принадлежат плоско-
сти проекций П2, центр первой сферы находится в начале координат 
(в точке О), а центр второй сферы – на оси х. 
Рассмотрим случай однородного касания (или внешнего, или внут-
реннего) сферы переменного радиуса R к трем заданным сферам. 

Рис. 1.6 
 
При изменении радиуса R образуется множество сфер, касатель-
ных к трем данным. Образуется поверхность циклиды Дюпена, при 
этом каждая из множества касательных сфер дает одну окружность, 
касающуюся трех заданных сфер. 
И как результат, образуются четыре линии: линия центров каса-
тельных сфер и три линии множеств точек касания на трех заданных 
сферах. 
Рассмотрим, что представляют собой эти линии и каково их взаим-
ное положение. Для их анализа воспользуемся следующей системой 
уравнений: 
 
Х2 + Y2 + Z2 = (R ± R1)2; 
(1) 
 
(Х – X2)2 + Y2 + Z2 = (R ± R2)2; 
(2) 
 
(Х – X3)2 + Y2+ (Z – Z3)2 = (R ± R3)2; 
 (3) 
 
X / XK = Y / YK = Z / ZK; 
(4) 
 
2
2
2
2
1
K
K
K
X
Y
Z
R
+
+
=
; 
 (5) 
 
(X – Х2) / (XK – Х2) = Y / YK = Z / ZK; 
       (6) 

 
2
2
2
2

2
2
(
)
K
K
K
X
X
Y
Z
R
−
+
+
=
; 
(7) 

 
(X – Х3) / (XK – Х3) = Y / YK = (Z – Z3) / (ZK – Z3); 
(8) 

 
2
2
2
2

3
3
3
(
)
(
)
K
K
K
X
X
Y
Z
Z
R
−
+
+
−
=
, 
(9) 

где (1), (2), (3) – уравнения вспомогательных сфер с центрами О1, О2 
и О3, которые при взаимном пересечении определяют для каждого 
значения радиуса R положение двух центров касательных сфер; (4) – 
уравнение прямой, соединяющей центр О сферы переменного радиуса 
R с центром заданной сферы (в данном конкретном случае со сферой 
с центром О1); (5) – уравнение первой заданной сферы (R1, O1). 
На самом деле – уравнение множества точек касания на первой сфе-

ре; (6) – уравнения прямой, проходящей через центры О2 второй заданной 
и О касательной сфер; (7) – уравнение второй заданной сферы 
(R2, O2); (8) – уравнения прямой, проходящей через центры О3 третьей 
заданной и О касательной сфер; (9) – уравнение третьей заданной сферы (
R3, O3); Х, Y, Z – координаты центров касательных сфер; ХK, YK, 
ZK – координаты точки касания сферы переменного радиуса с первой 
заданной сферой. 
Решая систему (1)–(5), получаем два уравнения: 

 

3
3
2

3
1
2
1
3
1

2
2
2
3
3
2
2
3
3
1
2
1

2
2
2

0;

X
Z
X
X
Z
R
R
R
R
R
R

X
Z
X
R
R
R
R
R
R





−
+
−




−
−
−







+
−
−
+
−
=




−
−



 
(10) 

 

2
2
2
2
2

2
3
1
3
3
3
2
1
2

2
2
2
2
3
3
2
1
3
1
2
1
2

2
2
2
2
2
3
1
3
3
1
3
2
1
2

2
2
2

1
2
3
1
3
3

{
[(
)
]
[(
)
]}

{
[(
)
]}
{
[(
)

(
) ]
]
[(
)
]

[(
)
]}
0,

K

K

X
X
R
R
X
Z
X
R
R
X

Z
Z
R
R
X
R
R
R
X

R
R
X
Z
R R
R
R
X

R R
R
R
X
Z

−
−
−
−
−
−
−

−
−
−
+
−
−
−

−
−
−
+
−
−
−
+

+
−
−
−
=

 
(11) 

где (10) – уравнение проецирующей плоскости ∆о, в которой расположены 
линии центров множества касательных сфер; (11) – уравнение 
проецирующей плоскости ∆1 (фронтальной проекции линии, образуемой 
множеством точек касания, принадлежащих первой сфере). 
Если составить систему уравнений (1)–(3), (6), (7), а затем систему 
(1)–(3), (8), (9), то в результате решении этих двух систем кроме уравнения (
11) получим еще два уравнения: 

 

2
2
2

2
3
2
1
2
2
2
3

2
2
2
2
2
3
3
3
2
1
2

2
2
2
1
2
2
3
2
2
3
2

2
2
2
2

2
1
2
2
2
3
2
3
3

{(
)[(
)
]
[(
)

(
)
]}
{
[(
)
]}

{[(
)
][(
)
(
)
]

[(
)
][(
)
(
)
]}
0;

K

K

X
X
X
R
R
X
X
R
R

X
X
Z
Z
Z
R
R
X

R
R
X
R
R R
X
X
X

R
R R
X
R
R
X
X
Z

−
−
−
−
−
−

−
−
−
−
−
−
+

+
−
−
−
−
−
−

−
−
−
−
−
−
−
=

 
(12) 

 

2
2
2
2

3
2
3
1
3
3
3
3
2

2
2
2
2
1
2
3
3
3
1
3
2

2
2
2
2
2

3
2
3
3
1
3
3
3
2
3

2
2
2
2
3
2
3
3
3
2
3
2
3

2
2

3
1
3
3
3

{(
)[(
)
]
[(
)

(
)
]}
{
[(
)
(
)

(
)
]} {[(
)
][(
)

(
)
]
[(
)
(
)
]

[(
)
]}
0,

K

K

X
X
X
R
R
X
Z
X
R
R

X
X
Z
Z
Z
R
R
R
R

X
X
X
R
R
X
Z
R
R
R

X
X
X
X
R
R
X
X
Z

R
R R
X
Z

−
−
−
−
−
−
−

−
−
−
+
−
−
−
+

+
−
−
+
−
−
−
−
−

−
−
−
−
−
−
−
−
×

×
−
−
−
=

 (13) 

где (12) – уравнение плоскости ∆2, в которой расположено множество 
точек касания, принадлежащих сфере О2; (13) – уравнение плоско-

сти ∆3, в которой расположено множество точек касания, принадлежащих 
сфере О3. 
В уравнениях (11), (12), (13) трех фронтально проецирующих плоскостей 
заменим обозначения текущих координат ХK, ZK на Х, Y и, взяв 
четвертое уравнение (10), решаем их попарно сначала относительно Х, 
а затем относительно Z. В результате мы все время получаем следующие 
одинаковые выражения как для Х, так и для Y: 

 

2
2
2

1
2
2

2

;
2

R
R
X
X
X
−
+
=
 
(14) 

 
(
) (
)

2
2
2
2
2
2
3
1
3
2
1
2
3
3
3
3
2

1
,
2
X
Z
R
R
R
R
X X
X
Z
Z
X



=
−
+
−
−
+
+






 
(15) 

что говорит о наличии оси – одной прямой, по которой пересекаются 
все четыре плоскости: плоскости окружностей касания и плоскость 
линии центров касательных сфер, являющаяся плоскостью симметрии 
циклиды. 
Анализ полученных результатов позволяет сделать описание 
свойств циклиды Дюпена. 
Свойство 1. Задание трех сфер определяет в пространстве положение 
четырех циклид Дюпена. 
Свойство 2. Сечение циклиды Дюпена и данных трех сфер их общей 
плоскостью симметрии представляет собой два из восьми возможных 
решений задачи Аполлония. 
Свойство 3. Множество центров касательных сфер (вырожденная 

фокальная поверхность) расположены в плоскости (10), являющейся 
плоскостью симметрии циклиды Дюпена, и представляют собой в общем 
случае кривую второго порядка. 
Свойство 4. Линия касания циклиды с вписанной в нее сферой 
представляет окружность (одну из линий кривизны), плоскость которой 
перпендикулярна их общей плоскости симметрии – уравнения 
(11), (12), (13). 
Свойство 5. Три конуса вращения, вершинами которых являются 
центры трех заданных сфер, а направляющими – окружности касания, 
принадлежащие этим сферам, имеют одну общую плоскую линию пересечения – 
кривую второго порядка, которой принадлежат центры 
всего множества сфер, касательных к трем данным сферам. Эту кривую 
можно рассматривать как результат сечения любого из отмеченных 
выше трех конусов основной плоскостью симметрии ∆о (рис. 1.7) 
циклиды Дюпена, огибающей данные сферы. 
Свойство 6. Плоскость, которой принадлежит линия центров множества 
сфер, касательных трем данным сферам, и плоскости трех окружностей 
касания, принадлежащих данным сферам, пересекаются по 
одной прямой – по оси циклиды Дюпена (см. уравнения (14), (15)). 
Следовательно, все плоскости окружностей касания любых вписанных 
в циклиду Дюпена сфер будут пересекаться по оси циклиды. 

Рис. 1.7 
 
Другими словами, если даны три сферы, то плоскость линии центров 
множества касательных к ним сфер и плоскости окружностей касания  
являются пучком плоскостей. 
При этом, поскольку все взятые в (1–9) уравнения не конкретизируют 
именно только внешнего или только внутреннего касания, 
то для всех четырех циклид Дюпена, получающихся в результате огибания 
сферой переменного радиуса трех данных сфер, ось циклиды, выражающаяся 
формулами (14), (15) – одна (рис. 1.7, 2.4, 2.5, 2.7, ось j).