Мера и интеграл: краткий курс

Москва
Горячая линия – Телеком 
2022

Рекомендовано Федеральным учебно-методическим
объединением в системе высшего образования по укрупненной
группе специальностей и направлений подготовки 10.00.00 –
«
»
Информационная безопасность
в качестве учебного пособия
для студентов образовательных организаций высшего
образования, обучающихся по специальностям
10.05.01 – «Компьютернаяная безопасность» и
10.05.06 – «Криптография»

УДК 517.518.112:517.98 (075.8) 
ББК 22.162 я73 
 Т41 

Р е ц е н з е н т ы : ведущий научный сотрудник лаборатории математического 
анализа механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова 
канд. физ.-мат. наук, с.н.с. В. А. Носов; профессор кафедры дифференци-
альных уравнений МГУ имени М. В. Ломоносова, доктор физ.-мат. наук 
И. В. Асташова. 

Тимашев А. Н. 

Т41    Мера и интеграл: краткий курс. Учебное пособие для вузов. −  
М.:  Горячая линия – Телеком, 2022. – 132 с.: ил.  

ISBN 978-5-9912-0687-7. 

Кратко изложен курс теории меры и интеграла Лебега, предна-
значенный для изучения на механико-математических и физико-
математических факультетах университетов и других вузов с повы-
шенной математической подготовкой. В основу пособия положены ма-
териалы лекционного курса, который автор многие годы читал на фа-
культете прикладной математики Института криптографии, связи и 
информатики. 
Для студентов (слушателей) высших учебных заведений, обучаю-
щихся по техническим специальностям.  

   ББК 22.162 я73 

Учебное издание 
Тимашев Александр Николаевич 
МЕРА И ИНТЕГРАЛ: КРАТКИЙ КУРС 
Учебное пособие для вузов 

Тиражирование книги начато в 2018 г.   

Все права защищены.
Любая часть этого издания не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и 
какими бы то ни было средствами без письменного разрешения правообладателя
© ООО «Научно-техническое издательство «Горячая линия – Телеком»

www.techbook.ru
  © А. Н. Тимашев 

Предисловие

Математические доказательства, как
алмазы, тверды и прозрачны и подда-
ются лишь самой строгой логике
Дж. Локк
Книга написана на основе обработанных и несколько расши-
ренных записей лекций по курсу «Мера и интеграл», которые ав-
тор многие годы читал на факультете прикладной математики Ин-
ститута криптографии, связи и информатики.
Как и в предыду-
щих книгах автора «Математический анализ» и «Аналитические
функции комплексного переменного», по форме изложения это нечто
среднее между учебным пособием и конспектом лекций. Хотелось
«. . . соединить доступность изложения, свойственную учебнику, с
краткостью конспекта» [1; c. 5]. Насколько это удалось — судить
читателю.
Объем материала соответствует программе курса теории меры 
и интеграла, читаемого обычно в IV–V семестрах на механико-
математических и физико-математических факультетах университетов 
и других вузов с повышенной математической подготовкой.
Имеется достаточно много хороших учебников, курсов лекций и
учебных пособий по курсу «Мера и интеграл», как отечественных,
так и переводных. Не пытаясь кого-либо копировать, при написании
книги автором были, однако, использованы идеи, заимствованные
из [7], [19] и, особенно, [13] (эти издания являлись вдохновляющими
примерами).
Материал книги разбит на главы. Нумерация осуществляется
по следующему принципу: разделы нумеруются в пределах каждой 
главы, причем номеру раздела предшествует номер главы. Для
утверждений используется тройная нумерация: номер главы, номер
раздела, номер утверждения. Утверждения нумеруются подряд в
пределах данного раздела независимо от их типа. Равенство, справедливое 
по определению, обозначается символом ≡.
Для понимания материала достаточно знания курса математического 
анализа в объеме первых двух лет обучения на механико-
математических и физико-математических факультетах университетов.

С благодарностью вспоминаю своих учителей: П.С. Александрова, 
И.А. Вайнштейна, А.И. Узкова, И.Я. Верченко, И.Ф. Лохина,
Г.П. Толстова и других.
Хочется выразить признательность товарищам по кафедре за
полезные замечания, дружескую критику и, самое главное, многолетние 
содержательные беседы и обсуждения.
Сентябрь 2017 г.

Глава I
Элементы теории меры

1.1. Классы множеств

В дальнейшем классом множеств будем называть непустое множество, 
элементы которого сами являются множествами (точнее,
подмножествами некоторого «универсального» множества X ̸= H).
Таким образом, если M — класс множеств, то M ̸= H и M ⊂ P(X),
где P(X) — множество всех подмножеств X (включая само множество 
X и пустое множество). Заметим, что если класс M содержит
только пустое множество, то из включения H ∈ P(X) следует, что
M ̸= H.
1.1.1. Определение. Класс множеств K называется кольцом,
если из условий A ∈ K; B ∈ K всегда следует, что (A ∪ B) ∈ K
и (A \ B) ∈ K (в этом случае говорят, что класс K инвариантен
относительно объединений и разностей).
Свойства колец.
Пусть K — кольцо. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) H ∈ K
Действительно, так как K ̸= H, то ∃A ∈ K, и поэтому A \ A =
= H ∈ K.
б) ∀A, B ∈ K (A ∩ B) ∈ K (т. е. кольцо К инвариантно относительно 
пересечений).
Д о к a з a т е л ь c т в о. Имеем A ∩ B = A \ (A \ B) ∈ K.
в) ∀n ∈
∀A1, . . . , An ∈ K
⎛

⎝
nj=1
Aj

⎞

⎠ ∈ K;

⎛

⎝
nj=1
Aj

⎞

⎠ ∈ K

(т. е. кольцо K инвариантно относительно конечных объединений и
пересечений).
Д о к a з a т е л ь c т в о. Индукция по n ∈
.

Элементы теории меры
5

г) Пусть {Kα | α ∈ I} — семейство колец, и пусть

K =
α∈I
Kα.

Тогда K — кольцо.
Д о к a з a т е л ь c т в о. Согласно свойству а) ∀α ∈ I H ∈ Kα, так
что H ∈ K и с учетом сделанного выше замечания K ̸= H. Если
A, B ∈ K, то ∀α ∈ I A ∈ Kα и B ∈ Kα, и поэтому (A ∪ B) ∈ Kα и
(A\B) ∈ Kα Значит, (A∪B) ∈ K и (A\B) ∈ K, так что K — кольцо.
д) Пусть M — произвольный класс множеств. Тогда существует
единственное кольцо K, такое что M ⊂ K и из условий M ⊂ K′ и
K′ — кольцо всегда следует, что K ⊂ K′

Д о к a з a т е л ь c т в о. Так как M ⊂ P(X) и P(X) — кольцо, то
можно рассматривать семейство всех колец, содержащих класс M
(хотя бы одно такое кольцо существует).
Пусть {Kα | α ∈ I} — такое семейство, и пусть

K =
α∈I
Kα.

Так как ∀α ∈ I M ⊂ Kα, то M ⊂ K, и согласно свойству г) K —
кольцо. Если K′ — кольцо и M ⊂ K′, то ∃α′ ∈ I: K′ = Kα′ ⊃ K. Для
заданного класса M такое кольцо K единственно. Действительно,
если K и ˜K — два таких кольца, то K ⊂ ˜K и ˜K ⊂ K, так что K = ˜K.
1.1.2. Определение. Построенное в доказательстве свойства
д) кольцо K называется кольцом минимальным над классом M.
1.1.3. Замечание. Кольцо K, минимальное над классом M,
содержит все те и только те множества, каждое из которых либо
принадлежит M, либо может быть получено из множеств класса M
путем использования операций объединения и разности, последовательно 
примененных n раз; n = 1, 2, . . ..
1.1.4.
Пример.
Пусть M = {H; A; B}, где A = [0, 1]; B =
= [2, 3] Тогда

A \ B = A;
A ∩ B = H;
B \ A = B;
A ∪ B = [0, 1] ∪ [2, 3],

так что (A ∪ B) /∈ M.
Таким образом, класс M не является кольцом, хотя он инвариантен 
относительно пересечений и разностей.
1.1.5.
Пример.
Пусть M = {H; A; B}, где A = [0, 1]; B =
= [0, 2].
Тогда

A ∪ B = B;
A ∩ B = A;
B \ A = (1, 2] /∈ M.

Значит, такой класс M также не является кольцом, хотя он инвариантен 
относительно объединений и пересечений.

Г л а в а I

1.1.6. Определение. Пусть M — класс множеств, и пусть

A0 =
A∈M
A.

Если A0 ∈ M, то множество A0 называется единицей класса M,
а M называется классом с единицей.
1.1.7. Замечание. Если A0 — единица класса M, то ∀A ∈ M
A ⊂ A0, так что A ∩ A0 = A.
1.1.8. Определение. Кольцо с единицей называется алгеброй.
1.1.9. Следствие. Пусть K — алгебра с единицей A0. Тогда
∀A ∈ K
¯A ≡ A0 \ A ∈ K.

1.1.10. Определение. Пусть {Aα | α ∈ I} — семейство попарно 
непересекающихся множеств (т. е. ∀α, β ∈ I: (α ̸= β) ⇒ (Aα∩Aβ =
= H)). Тогда объединение
α∈I
Aα ≡
α∈I
Aα

называется разложением.
1.1.11.
Замечание. Если, в частности, I — одноэлементное
множество, то {Aα | α ∈ I} — семейство попарно непересекающихся
множеств, поскольку не существует индексов α, β ∈ I, таких, что
α ̸= β.
1.1.12.
Определение.
Класс множеств H называется полукольцом, 
если из условий A ∈ H; B ∈ H всегда следует, что
(A ∩ B) ∈ H и ∃n ∈
∃A1, . . . , An ∈ H:

A \ B =

n
j=1
Aj.

1.1.13. Утверждение. Всякое кольцо является полукольцом.
Д о к a з a т е л ь c т в о.
Пусть K — кольцо и A ∈ K; B ∈ K.
Тогда согласно свойству б) колец (A ∩ B) ∈ K. Кроме того, если
A1 ≡ A \ B, то A1 ∈ K и

A \ B =

1
j=1
Aj

— конечное разложение согласно замечанию 1.1.11.
Значит K —
полукольцо.
1.1.14.
Пример. Пусть H0 ≡ {[a, b) | a, b ∈
; a ⩽ b}, тогда 
H0 — полукольцо, не являющееся кольцом. Действительно, если
[a1, b1) ∈ H0; [a2, b2) ∈ H0, то [a1, b1)∩[a2, b2) — либо пустое множество, 
либо некоторый полуинтервал [a, b), a < b. Кроме того, разность

Элементы теории меры
7

[a1, b1) \ [a2, b2) — либо пустое множество, либо некоторый полуинтервал [
c, d), где c < d, либо разложение

2
i=1
[ci, di),

где ci < di, 1 ⩽ i ⩽ 2.
Значит, H0 — полукольцо. Если b1 < a2, то ([a1, b1) ∪ [a2, b2)) /∈
/∈ H0, так что H0 не является кольцом.

Свойства полуколец

Пусть H — полукольцо. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) H ∈ H.
Действительно, так как H ̸= H, то ∃A ∈ H.
Тогда ∃n ∈
∃A1, . . . , An ∈ H:

A \ A = H =

n
i=1
Ai.

Следовательно, A1 = . . . = An = H ∈ H.
б) ∀n ∈
∀A1, . . . , An ∈ H
n
i=1
Ai

∈ H

(т. е. полукольцо H инвариантно относительно конечных пересечений).

Д о к a з a т е л ь c т в о. Индукция по n ∈
.
в) Кольцо, минимальное над H, совпадает с классом K = {A}
множеств A, допускающих конечные разложения вида

A =

n
i=1
Ai,

где n ∈
; A1, . . . , An ∈ H.
Д о к a з a т е л ь c т в о. Пусть A ∈ K и B ∈ K, тогда

A =

n
i=1
Ai;
B =

m
j=1
Bj,

где n ∈
; m ∈
; A1, . . . , An, B1, . . . , Bm ∈ H.
Имеем

A ∩ B =

n
i=1

m
j=1
(Ai ∩ Bj),

причем (Ai ∩ Bj) ∈ H, i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , m.

Г л а в а I

Значит, (A ∩ B) ∈ K, и поэтому, если n ∈
и C1, . . . , Cn ∈ K, то
n
i=1
Ci

∈ K

(достаточно использовать метод математической индукции по n ∈
∈
).
Кроме того,

A \ B =

n
i=1

⎛

⎝
m
j=1
(Ai \ Bj)

⎞

⎠ ,

и так как Ai ∈ H; Bj ∈ H, то (Ai \ Bj) ∈ K, i = 1, .., n; j = 1, . . . , m.
Поэтому
⎛

⎝
m
j=1
(Ai \ Bj)

⎞

⎠ ∈ K,
i = 1, .., n,

и из определения класса K и выписанного выше равенства следует,
что (A \ B) ∈ K. Значит,

A ∪ B = (A \ B)
B ∈ K,

т. е. K — кольцо.
Из замечания 1.1.11 следует, что H ⊂ K. Пусть H ⊂ K′ и K′ —
кольцо. Если A ∈ K, т. е.

A =

n
i=1
Ai,

где n ∈
и A1, . . . , An ∈ H, то A1, . . . , An ∈ K′ и поэтому A ∈ K′.
Таким образом, K ⊂ K′. Это означает, что K — кольцо, минимальное 
над полукольцом H.
1.1.15.
Определение.
Кольцо K называется борелевским
кольцом (или σ-кольцом), если из условий Ai ∈ K, i = 1, 2, . . ., всегда 
следует, что
∞
i=1
Ai

∈ K.

1.1.16. Определение. Кольцо K называется δ-кольцом, если
из условий Ai ∈ K, i = 1, 2, . . ., всегда следует, что
∞
i=1
Ai

∈ K.

1.1.17.
Замечание.
Кольцо P(X) является как σ-кольцом,
так и δ-кольцом.

Элементы теории меры
9

1.1.18. Пример. Пусть K — класс всех конечных подмножеств
множества
(включая пустое множество). Тогда K — кольцо, не
являющееся σ — кольцом (однако являющееся δ кольцом).

Свойства σ-колец
а) Всякое σ-кольцо является δ-кольцом.
Д о к a з a т е л ь c т в о. Пусть K — σ-кольцо и Ai ∈ K, i = 1, 2, . . .,
тогда

A0 ≡

∞
i=1
Ai ∈ K,

причем Ai ⊂ A0, i = 1, 2, . . .. Следовательно, согласно закону двойственности
∞

i=1
Ai = A0 \

∞
i=1
(A0 \ Ai)

∈ K,

поскольку (A0 \ Ai) ∈ K, i = 1, 2, . . . . Значит K — δ-кольцо.
б) Пересечение любого семейства σ-колец является σ-кольцом.
Д о к a з a т е л ь c т в о. Пусть {Kα | α ∈ I} — семейство σ-колец,
и пусть

K =
α∈I
Kα.

Согласно свойству г) колец K является кольцом. Если Ai ∈ K, то
∀α ∈ I Ai ∈ Kα, i = 1, 2, . . ., так что
∞
i=1
Ai

∈ Kα.

Значит,
∞
i=1
Ai

∈ K,

и поэтому K — σ-кольцо.
в) Для любого класса M существует единственное σ-кольцо
K ⊃ M, такое, что K ⊂ K′ при любом выборе σ-кольца K′ ⊃ M.
Д о к a з a т е л ь c т в о. Пусть {Kα | α ∈ I} — семейство всех σ-
колец, содержащих класс M (хотя бы одно такое σ-кольцо существует, 
например P(X)). Если

K ≡
α∈I
Kα,

то согласно б) K — σ-кольцо, причем K ⊃ M.
Если K′ ⊃ M и
K′ — σ-кольцо, то ∃α ∈ I: K′ = Kα ⊃ K. Единственность такого
σ-кольца K следует из его определения.

Г л а в а I

1.1.19. Определение. Построенное в доказательстве свойства
в) σ-кольцо K называется σ-кольцом, минимальным над классом M
(или борелевским замыканием класса M).
1.1.20.
Определение.
σ-кольцо с единицей называется σ-
алгеброй.
1.1.21. Пример. P(X) — σ-алгебра с единицей X.
1.1.22.
Пример.
Если M = {H; X}, то M — σ-алгебра с
единицей X.
1.1.23. Утверждение. δ-кольцо с единицей является σ-алгеб-
рой.
Д о к a з a т е л ь c т в о. Пусть K — δ-кольцо с единицей A0, тогда
A0 ∈ K, и если Ai ∈ K, i = 1, 2, . . ., то

∞
i=1
Ai = A0 \

∞
i=1
(A0 \ Ai)

∈ K.

Значит, K — σ-кольцо, а поэтому и σ-алгебра.

Борелевские множества

Пусть M — класс всех замкнутых подмножеств множества X =
=
k, k ∈
, тогда M — класс с единицей
k. Пусть Bk — борелев-
ское замыкание класса M, тогда Bk — σ-алгебра с единицей
k.
1.1.24. Определение. Если B ∈ Bk, то B называется боре-
левским множеством в
k.
Пусть ˜M — класс всех открытых подмножеств
k, тогда ˜M —
класс с единицей
k. Пусть ˜Bk — борелевское замыкание класса ˜M,
тогда ˜Bk — σ-алгебра с единицей
k.
1.1.25. Утверждение. Bk = ˜Bk, k = 1, 2 . . ..
Д о к a з a т е л ь c т в о. Имеем
k ∈ Bk и
k ∈ ˜Bk. Если множест-
во G открыто в
k, то G ∈ ˜M и ˜M ⊂ ˜Bk, так что
k \ G ≡ F ∈ ˜Bk,
причем F замкнуто в
k. Обратно, если F замкнуто в
k, то F ∈ M
и M ⊂ Bk, так что
k \ F ≡ G ∈ Bk. Значит, M ⊂ ˜Bk и ˜
M ⊂ Bk, и из
определения 1.1.19 следует, что Bk ⊂ ˜Bk и ˜Bk ⊂ Bk. Таким образом,
при k = 1, 2, . . . Bk = ˜Bk.
1.1.26.
Замечание. Можно доказать, что Bk ̸= P(k) (т. е.
существует подмножество
k, не являющееся борелевским), k =
= 1, 2, . . ..
1.1.27.
Следствие. Любой промежуток в
(конечный или
бесконечный) является борелевским множеством.
Д о к a з a т е л ь c т в о.
Достаточно, не ограничивая общности,
рассмотреть случай конечного промежутка, поскольку любой беско-
нечный промежуток может быть представлен в виде счетного объ-
единения конечных промежутков.
Если a, b ∈
и a ⩽ b, то от-
резок [a, b] — замкнутое множество, а интервал (a, b) — открытое