Теоретическая механика. Раздел «Кинематика»

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации 

Департамент образования, научно-технологической политики 

и рыбохозяйственного комплекса 

Федеральное государственное бюджетное образовательное  

учреждение высшего образования 

«Волгоградский государственный аграрный университет» 

 

Кафедра «Механика» 

 
 
 

Н. С. Воробьева 
Н. В. Бабоченко 

Е. Н. Захаров 
А. В. Дяшкин 

 
 
 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. 

РАЗДЕЛ «КИНЕМАТИКА» 

 

Учебно-методическое пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Волгоград 

Волгоградский ГАУ 

2021 
 

УДК 531 
ББК 22.21 
Т-33 

 
 
 

Рецензент – 

кандидат технических наук, доцент кафедры «Детали машин и подъемно-
транспортные устройства» ФГБОУ ВО Волгоградский ГТУ       
А. В. Попов 

 
 

 
Т-33  Теоретическая механика. Раздел «Кинематика»: учебно-
методическое пособие / Н. С. Воробьева, Н. В. Бабоченко, Е. Н. Захаров, 
А. В. Дяшкин. – Волгоград: ФГБОУ ВО Волгоградский ГАУ, 
2021. – 76 с. 
 
 
 

Учебно-методическое пособие составлено для проведения практических 
занятий и самостоятельного решения задач по теоретической 
механике согласно Государственному образовательному стандарту 
высшего образования по направлениям подготовки бакалавров: 
35.03.06 Агроинженерия, 20.03.01 Техносферная безопасность, 
43.03.01 Сервис, 20.03.02 Природообустройство и водопользование. 

Изложены основные теоретические сведения по разделу «Кине-

матика» курса теоретической механики. Представлены подробно ил-
люстрированные примеры с указанием планов решения задач и при-
ведены формулировки индивидуальных задач по вариантам для орга-
низации аудиторной и самостоятельной учебной работы студентов, 
вопросы для самоконтроля. 
 
 

 
УДК 531 

ББК 22.21 

 
 

© ФГБОУ ВО Волгоградский 
ГАУ, 2021 
© Авторы, 2021 
 

Раздел 1. 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ПО РАЗДЕЛУ «КИНЕМАТИКА» 

 

1.1 
Основные понятия 

 

Кинематика – один из разделов теоретической механики, в ко-

тором изучается перемещение материальных предметов (объектов) 
вне зависимости от причин, вызывающих движение. 

Законом (или уравнением) движения материального объекта назы-

вается математическая связь (формула), устанавливающая зависимость 
положения точки в пространстве с изменением времени, или по-
другому, закон движения – это математическая модель движения тела. 

Законы движения материальных объектов задаются тремя фор-

мами: векторным, координатным и естественным. 

 

1.2 Способы задания движения 

 

1.2.1 Векторная форма задания движения точки 

Место нахождение движущейся точки М в данном случае ука-

зывается радиусом-вектором    , проведенным из неподвижной точки в 
точку М (рис. 1.1). 

 

 

Рисунок 1.1 

 
Отдельному моменту времени t соответствует конкретное зна-

чение радиуса-вектора: 

 

                                 
)
(t
r
r 
.                                               (1.1) 

 

Выражение (1.1) является законом движения точки М в вектор-

ной форме. Нарисованная линия конеца радиуса-вектора точки при 
его изменении, называется годографом радиуса-вектора. Значит, тра-
ектория движения точки служит годографом ее радиуса-вектора. 

 

 

 

Рисунок 1.2 

 

Скорость движения точки М. Под скоростью движения любого 

объекта физика понимает путь, пройденный телом в единицу времени, 
т.е. отношение отрезка пути, пройденного за некоторый промежуток 
времени, к этому промежутку времени. В рассуждениях о состоянии 
движущегося объекта, о его способности изменять свое положение 
используются понятия средней и  мгновенной скоростей. 

Перемещение точки М за взятый временной промежуток     

∆t=(t1-t2) определяется вектором 
r
M
M


2
1
. Вектор r
  направлен по 

хорде траектории (совпадает он с нею только тогда, когда движение 
является прямолинейным). 

Из векторного треугольника рисунка 1.2 следует:  
.
1
2
r
r
r




Тогда средняя скорость vср движения точки М может быть оценена отношением: 

 

.
t

r
vcp



 
 
 
 
 
(1.2) 

 

Так как ∆t – скалярная величина, то направление вектора 
cp
v  

совпадает с направлением r
 . Величина оцениваемой скорости изменяется 
в зависимости от выбранного положения точки М2 в момент 

времени (t1+∆t), фактически от величины выбранного значения ∆t. 
Для получения значения мгновенной скорости движения надо определить 
предел отношения (1.2) при ∆t→0: 

 

 

 

Рисунок 1.3 

 

.
,
lim
0
dt

r
d
v
dt

r
d
v
v
cp
t





 
 
 
(1.3) 

 
Скорость точки М в конкретный момент времени численно определяется 
через первую дериват от радиуса-вектора точки по времени. 


Скорость (вектор v ), как и вектор r
d , в пределе стремится по 

касательной к траектории. В системе СИ скорость движения – (м/с). 

Ускорение движения точки. Ускорение – это скорость (быстрота) 

изменения скорости движения с течением времени.  Следовательно, 

 

.t

v
acp



  
 
 
 
(1.4) 

 

Вектор ускорения направлен по вектору ∆v (рис. 1.4). Если так-

же устремить ∆t→0, то справедливо будет: 

 

.
2

2

dt

r
d

dt
v
d
a


 
 
 
 
(1.5) 

 

Ускорение точки М в конкретный момент времени численно 

определяется через первую дериват от скорости движения по време-
ни и второй дериват от радиуса-вектора по времени. Ускорение в 

системе СИ измеряется в [м/с2]. При криволинейном движении мгно-
венный вектор ускорения a (как впрочем, и средний 
ср
а
) направлен в 

сторону вогнутости кривой (см. рис. 1.3). 

 

1.2.2 Координатная форма задания движения 

Прямоугольная декартова система координат (на том же рис. 

1.1) показывает, что изменение положения точки М может быть опи-
сано уравнениями, представляющими собой зависимости координат 
точки М от времени: 

 

x=x(t), y=y(t), z=z(t). 
 
 
 
(1.6) 

 

В этой записи аргумент (время) выступает как параметр, кото-

рый может быть исключен из этих уравнений: 

 

y=y(x), z=z(x), 
 
 
 
(1.6a) 

 

которые и являются уравнениями траекторий точки как линии, обра-
зованной пересечением двух поверхностей. 

Функции времени (1.6) могут рассматриваться как функции из-

менения проекций радиуса-вектора движущейся точки М по заданной 
кривой на оси прямоугольной системы координат. 

Скорости изменения координат движущейся точки (скорости 

движения по прямолинейным осям координат) могут быть представ-
лены как первые производные названных функций 

 

.
;
;
dt
dz
v
dt
dy
v
dt
dx
v
z
y
x



 
 
 
(1.7) 

 

По этим проекциям на основании правила параллелепипеда для 

любого вектора следует: 

 

.
2
2
2
2
2
2
z
y
x
v
v
v
v
z
y
x









  
(1.8) 

 

Направляющие косинусы вектора скорости v, как любого векто-

ра, определяются отношениями: 

 

.
cos
;
cos
;
cos
v
v

v

v

v
v
z

V

y

V

x

V






 
 
(1.9) 

 

Ускорение движущейся точки М в координатном способе зада-

ния движения определяется аналогичными рассуждениями: 

 

.
;
;
2

2

2

2

2

2

dt

z
d

dt
dv
a

dt

y
d

dt

dv
a

dt

x
d

dt
dv
a
z

z

y

y

x

x






 
(1.10) 

Модуль ускорения точки М считается по формуле: 
 

,
2
2
2

z
y
x
а
а
а
а



 
 
 
(1.11) 

 

а направляющие косинусы вектора а : 
 

.
cos
;
cos
;
cos
a
a

a

a

a
a
z

a

y

a

x

a






 
(1.12) 

 

Случай плоской задачи является частным случаем пространст-

венной. 

 

1.2.3 Естественная форма задания движения точки 

Тела иногда вынуждены (принудительно) двигаться по заданной 

траектории. Трамвай, троллейбус, поезд, – вот небольшой перечень 
реальных объектов, движущихся в описанных условиях. Кинематиче-
ские характеристики движущегося материального объекта (точки), в 
частности его ускорение, тесно связаны с геометрическими свойства-
ми траектории. Для изучения этих свойств и особенностей движения 
точки в таких условиях используются естественные координаты, 
опирающиеся на эти свойства. При этом траектория считается задан-
ной, т.е. закон движения известен: это функция, устанавливающая за-
висимость длины кривой s, пройденной точкой, от времени: 

 

s=f(t). 
 
 
 
    (1.13) 

 

Начало отсчета (начало движения точки и направление движе-

ния) для s устанавливается (выбирается) в зависимости от условий за-
дачи. 

В связи с тем, что траектория движения точки в общем случае 

пространственная и криволинейная, все элементарные перемещения 
по ней рассматриваются в дифференциальной форме.  

Предельное положение соприкасающейся плоскости (плоскость, 

которая соприкасается  с кривой М1, М2 в точке М1  см раздел 1.1.1.)в 
точке М кривой демонстрирует на нем плоскость П. Положение каса-
тельной в точке М определяет единичный вектор  . Проведем через 
точку М плоскость N, перпендикулярную заданной кривой 
.


 Пе-

ресечение этой плоскости с плоскостью П является линией, перпенди-
кулярной касательной к точке М (вектору   ). Её направление в сторо-
ну вогнутости кривой характеризует единичный вектор   . Он называ-
ется главной нормалью. 
 
 

Рисунок 1.4 

 

Чтобы завершить рисунок 1.4, необходимо провести плоскость, 

включающую единичный вектор касательной   и перпендикулярную 
вектору главной нормали. Она пересекает нормальную плоскость по 
линии, перпендикулярной соприкасающейся плоскости П. Направле-
ние этого перпендикуляра отражает вектор b  (направлен в сторону 
вогнутости кривой в рассматриваемой плоскости В). 

Плоскость В называется спрямляющей в том смысле, что эта 

плоскость «пытается» удержать на себе участок кривой в окрестности 
точки М, а вектор b  – бинормалью. 

Векторы 
b
n,
,

 – взаимно перпендикулярны и направлены так, 

что выполняется следующее соотношение 

 

,n
b


 
 
 
 
 
(1.14) 

 

т.е. они (
b
n,
,

) образуют правую тройку взаимно перпендикулярных 

векторов. 

Группировка координат
b
n,
,

 образуют естественную систему 

координат иначе подвижную систему координат (сопровождающий 
трехгранник). Использование естественной системы координат упрощает 
оценку кинематических параметров движения точки, особенно 
ускорения. 

Скорость движения точки в естественных координатах. Рассматривая 
заданные движения точки в векторной форме, мы уже установили, 
что вектор скорости в ней устремлен по касательной, проведенной 
через точку М расположенной на пути движения. Местона-

хождение вектора в пространстве не зависит от выбора системы координат, 
поэтому при использовании естественной системы координат 
тоже ничего не изменится: направление вектора скорости будет определять 
единичный вектор  . 

Модуль вектора мгновенной скорости, исходя из определения 

физического понятия скорости как пути, пройденного в единицу времени, 
оказывается равным первой производной от пути (длины пройденной 
траектории) по времени, т.е. 

 

.
)
(
v
dt
ds

dt

t
ds
v



 
 
 
     (1.15) 

 

Сам вектор скорости v  может быть определен как величина, 

пропорциональная единичному вектору : 

 

.

v
v 
 
 
 
 
        (1.16) 

 
Кинематические величины при естественном и координатном 

методах  задания движения точки объединяют геометрические соотношения 
между длиной участков пространственных кривых и координатами 
движущейся точки в прямоугольной (декартовой) системе, а 
также некоторые особенности скалярных и векторных произведений 
векторов. Результаты таких вычислений представлены следующими 
зависимостями: 

 






t

dt
z
y
x
v

0

2
2
2



,                                  (1.17) 

 

2
2
2

z
y
x

z
z
y
y
x
x

v
v
v

v
a
v
a
v
a
a








,                               (1.18) 

 








,

2
2
2

2
2
2

z
y
x

z
x
x
z
y
z
z
y
x
y
y
x

n
v
v
v

a
v
a
v
a
v
a
v
a
v
a
v

a












       (1.19) 

 

где x , y , z  – производные по времени от координат движущейся точки (скорости 
их изменения), vx,vy,vz – проекции скорости; ax,ay,az – проекции ускорения на оси 
трехмерных декартовых координат. 

 

1.3 Возможные варианты перемещения точки 

 
1) Вариант прямолинейного перемещения точки: радиус кривизны =  (
бесконечно большой)  аn=0, a=a. 

2) Вариант равномерного криволинейного перемещения точки: 

v=consta=0, a=an. Ускорение появляется только за счет изменения 
направления скорости. Закон движения: s=s0+vt, при s0=0   v=s/t. 

3) Вариант равномерного прямолинейного перемещения точки: 

а=a=an=0. Единственное движение, где а=0. 

4) Вариант равнопеременного перемещения точки: a=const, 

v=v0+at,  
2

2

0
0

t
a
t
v
s
s




                                                             (1.20) 

При равноускоренном перемещении точки знаки у a и v одинаковы, 
при равнозамедленном знаки у a и v разнличны. 

 

1.4 Простейшие виды изменения траектории твердого тела 

 
Изменение траектории твердого тела, при котором любая 

прямая, неизменно связанная с телом, перемещается параллельно самой 
себе, называется поступательным. 

Возможные наглядные случаи поступательного изменения траектории: 
кабина колеса обозрения, опорная ось педали велосипеда, 
задвижка гидравлического крана, поршень двигателя внутреннего 
сгорания внутри блока цилиндров, движение планок мотовила комбайнов. 
Все эти движения не обязательно происходят по прямолинейным 
траекториям, ими могут быть любые кривые. 

Утверждение: в случае поступательного изменения траектории 
твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории 
и имеют равные скорости и ускорения. 

 

 

 

Рисунок 1.5