Школьные олимпиады СПбГУ 2021. Математика

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ШКОЛЬНЫЕ ОЛИМПИАДЫ СПбГУ 2021

МАТЕМАТИКА

Учебно-методическое пособие

ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 51
ББК 22.1
Ш673

С о с т а в и т е л и:
Н. Ю. Власова, М. В. Гончарова,
А. Л. Громов, А. В. Дементьев, Т. О. Евдокимова,
К. П. Кохась, К. Ю. Лавров, А. Г. Савельева,
К. А. Сухов, А. И. Храбров

Ш673
Школьные олимпиады СПбГУ 2021. Математика: 
учеб.-метод. пособие. — СПб.: Изд-во С.-Петерб.
ун-та, 2022. — 120 с.

ISBN 978-5-288-06226-1

В пособии представлены примеры заданий отборочного и заключительного 
этапов Олимпиады школьников СПбГУ по математике 
за 2020/2021 учебный год. Все задачи сопровождаются 
подробными решениями; также даются общие методические
указания с разбором типичных ошибок участников.
Издание предназначено для подготовки к участию в Олимпиадах 
школьников СПбГУ.

УДК 51
ББК 22.1

ISBN 978-5-288-06226-1

c⃝
Санкт-Петербургский
государственный
университет, 2022

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

История Олимпиады школьников СПбГУ
по математике. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Порядок проведения Олимпиады .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

Условия задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Отборочный этап. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
6–7-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
8–9-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
10–11-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Заключительный этап. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
6–7-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
8–9-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
10–11-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24

Ответы и решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Отборочный этап. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
6–7-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
8–9-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
10–11-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Заключительный этап. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6–7-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
8–9-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
10–11-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60

Общие методические указания
и типичные ошибки участников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108

Литература, рекомендуемая для подготовки
к Олимпиаде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117

ПРЕДИСЛОВИЕ

Олимпиада
по
математике
для
школьников,
которую
Санкт-Петербургский государственный университет проводит
ежегодно вот уже более 30 лет, даёт возможность участникам
проверить и оценить свои знания и силы. Задания Олимпиа-
ды, хотя и являются нестандартными, основаны на школьной
программе, поэтому их интересно решать учащимся с разным
уровнем подготовки — каждый год в Олимпиаде принимают
участие тысячи ребят из разных регионов.
В настоящий сборник вошли задачи отборочного и заклю-
чительного этапов Олимпиады школьников СПбГУ по матема-
тике за 2020/2021 учебный год. В разделы с условиями и реше-
ниями заданий отборочного этапа включены отдельные, наи-
более интересные по мнению составителей, задачи этого этапа.
Они разбиты на группы в соответствии со сложностью (10, 20,
30, 40 или 50 баллов). В разделах, которые посвящены заклю-
чительному этапу, приведён полный набор вариантов заданий
этого этапа. Все задачи, представленные в сборнике, сопровож-
даются ответами и подробными решениями; для некоторых за-
дач приводятся два или три способа решения. Кроме того, да-
ются общие методические указания и разбор типичных оши-
бок, которые были сделаны участниками при решении заданий
Олимпиады.
Олимпиада школьников СПбГУ по математике вот уже ко-
торый год подряд получает первый — самый высокий — уро-
вень в перечне олимпиад школьников, утверждаемом Мини-
стерством науки и высшего образования РФ. Это даёт возмож-
ность победителям и призёрам заключительного этапа Олим-
пиады претендовать на получение особых прав при поступле-
нии в высшие учебные заведения.
Данное издание предназначено для подготовки к участию
в олимпиадах школьников по математике и может быть полез-
но как учащимся, так и преподавателям.

5

ИСТОРИЯ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ СПбГУ
ПО МАТЕМАТИКЕ

На протяжении всего времени своего существования Санкт-
Петербургский (Ленинградский) государственный университет
традиционно уделял большое внимание привлечению в Универ-
ситет способной молодёжи. Особую роль в этом играла рабо-
та со школьниками. По инициативе профессора Г. М. Фихтен-
гольца при ЛГУ был создан первый школьный математиче-
ский кружок. В 1934 году Ленинградский университет провёл
первую в стране математическую олимпиаду, оргкомитет которой 
возглавил ряд крупных учёных: Б. Н. Делоне, Г. М. Фих-
тенгольц, В. А. Тартаковский, В. И. Смирнов.
Первая олимпиада по математике Ленинградского государственного 
университета для учащихся выпускных классов
состоялась весной 1990 года. В ней приняли участие около
200 учащихся, в основном из ведущих физико-математических
школ города. В определённой степени эта олимпиада была
и профориентационным мероприятием, но основная её цель
была в другом. Дело в том, что с конца 1970-х годов городская 
олимпиада школьников по математике стала по сути дела 
спортивным соревнованием. Для успешного выступления на
ней была необходима специальная тренировка в решении задач
по тематике, слабо связанной с материалом, который изучается
в школе (даже в физико-математической). Задачи же олимпиады 
выпускников были не «олимпиадными» и не школьными,
а «почти школьными», поэтому эта олимпиада начала привлекать 
учащихся обычных школ — ведь в ней интересно было
участвовать всем тем, кто хорошо знал и понимал школьную
математику, а также умел логически рассуждать. Со временем
олимпиада завоевала авторитет среди школьников, и успешное

6

выступление на ней стало приравниваться к высшему баллу на
вступительном экзамене по математике в Университет.
С 1998 года олимпиада получила статус региональной и ста-
ла проводиться не только в Санкт-Петербурге, но и в других
городах России. С 2004 года олимпиада получила название
«Олимпиада Санкт-Петербургского государственного универ-
ситета по математике», а с 2009 года — «Олимпиада школьни-
ков Санкт-Петербургского государственного университета по
математике». В этот период активно участвовать в олимпиа-
де стали ученики не только выпускных, но и средних клас-
сов (с 6-го по 10-й). С 2011 года отборочный этап Олимпиады
стал проводиться как в очной, так и в заочной форме — че-
рез Интернет. Тем самым обеспечивается широкая география
Олимпиады: например, в 2020/2021 учебном году в отбороч-
ном этапе приняли участие более 8000 школьников практиче-
ски из всех субъектов Российской Федерации, а также из де-
вяти государств ближнего и дальнего зарубежья; около 600
из них участвовало в заключительном этапе. Победителями
и призёрами заключительного этапа Олимпиады стали ребя-
та из 33 субъектов РФ, а также из Белоруссии, Казахстана
и Швейцарии.
Организацией Олимпиады долгие годы руководил член-
корреспондент РАН профессор Г. А. Леонов, который привлёк
к этой работе профессиональных математиков, представите-
лей научно-технической сферы и практикующих педагогов-ма-
тематиков. В результате, несмотря на высокий уровень зада-
ний Олимпиады, большинство задач, предлагаемых участни-
кам, оказывается полезным для них и с методической точки
зрения. Кроме того, в заданиях Олимпиады регулярно встре-
чаются задачи, которые появились непосредственно в ходе на-
учных исследований.
Жюри Олимпиады с самого начала её проведения возглав-
ляли известные специалисты по преподаванию математики —
среди них профессор О. А. Иванов и профессор Ю. В. Чурин.
Председателем Методической комиссии Олимпиады в настоя-
щее время является профессор Н. А. Широков.

7

ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ОЛИМПИАДЫ

В 2020/2021 учебном году Олимпиада проводилась в два
этапа — отборочный и заключительный. Вследствие ограни-
чений, связанных с пандемией коронавирусной инфекции, оба
этапа проводились в заочной форме через Интернет. Отбо-
рочный этап проходил в октябре — январе; при этом каждый
участник мог выбрать удобное для себя время, чтобы присту-
пить к выполнению заданий Олимпиады. Итоги отборочного
этапа были опубликованы в конце января. Победители и при-
зёры отборочного этапа принимали участие в заключительном
этапе, который проводился в марте в заранее объявленную да-
ту. Также в заключительном этапе могли участвовать без про-
хождения отборочного этапа победители и призёры заключи-
тельного этапа Олимпиады прошлого года при условии, что
они ещё продолжают обучение в школе. Окончательные итоги
Олимпиады были подведены в апреле.
Как на отборочном, так и на заключительном этапе ис-
пользовались разные наборы задач для учащихся 6–7-х, 8–9-х
и 10–11-х классов.
Вариант отборочного этапа состоял из задач разного типа,
которые располагались в порядке возрастания сложности; при
этом задание для каждого участника формировалось автома-
тически системой проведения Олимпиады через Интернет. Для
участников 6–7-х классов варианты состояли из трёх задач, ко-
торые оценивались в 20, 30 и 50 баллов: в первой задаче доста-
точно было дать только ответ, а в двух других требовалось
также привести полное решение. В варианты для участников
8–9-х и 10–11-х классов входило по четыре задачи, которые оце-
нивались в 10, 20, 30 и 40 баллов. Первая задача для участни-
ков 8–9-х классов была тестовой — в ней нужно было выбрать

8

правильные варианты ответа из предложенных; во второй за-
даче требовалось дать свой ответ, решение приводить было не
нужно; в третьей и четвёртой задачах участник должен был
представить полные решения. В первой задаче для участников
10–11-х классов нужно было дать свой ответ, решение приво-
дить не требовалось; в остальных задачах участник должен
был представить полные решения. Для всех участников на ре-
шение варианта отборочного этапа отводилось 90 минут. Перед
тем как приступить к выполнению заданий отборочного этапа,
участники имели возможность прорешать для тренировки де-
монстрационные варианты, составленные из заданий отбороч-
ного этапа Олимпиады прошлого года.
Вариант заключительного этапа состоял из задач различ-
ной тематики, каждая из которых оценивалась одинаковым
количеством баллов. При этом вариант для участников из 6–
7-х классов состоял из четырёх задач, для участников из 8–9-х
классов — из шести задач, а для участников из 10–11-х клас-
сов — из пяти задач. На решение варианта для всех участников
отводилось 230 минут.
Как в отборочном этапе, так и в заключительном допуска-
лось только однократное участие. Подробнее о порядке прове-
дения Олимпиады см. в Регламенте Олимпиады школьников
СПбГУ на официальном сайте.

Сайт Олимпиады школьников СПбГУ:
https://olympiada.spbu.ru/

Интернет-страница
Олимпиады школьников СПбГУ по математике:

https://olympiada.spbu.ru/index.php/olimpiada-
shkolnikov/matematika

9

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

Отборочный этап

6–7-й классы

1. На доске выписали все двузначные числа, делящиеся на 5,
у которых число десятков больше числа единиц. Таких чисел
оказалось A штук. Затем выписали все двузначные числа, де-
лящиеся на 5, у которых число десятков меньше числа единиц.
Таких чисел оказалось B штук. Чему равно 100B +A? (20 бал-
лов).

2. Найдите количество различных четырёхзначных чисел, ко-
торые можно получить, переставляя цифры числа 2021 (вклю-
чая и это число). (20 баллов).

3. На уроке математики каждому из семи гномов нужно най-
ти одно двузначное число, при прибавлении к которому числа
18 получалось бы число, записанное теми же цифрами, но в
обратном порядке. Могут ли все числа, найденные гномами,
оказаться различными? (30 баллов).

4. Пусть натуральные числа m и n удовлетворяют равенству

1
m + 1

n =
1

2020.

Докажите, что m и n не могут одновременно быть нечётными.
(30 баллов).

5. При распределении земельных участков фермеру Новосё-
лову выделили 2 квадратных участка разной площади, имею-
щих целочисленные стороны. Возможно ли выделить фермеру

10

Малинникову также 2 квадратных участка с целочисленными
сторонами, чтобы суммарная площадь участков Mалинникова
была в 2 раза больше суммарной площади участков Новосёло-
ва? (50 баллов).

6. Пусть A — арифметическая прогрессия с A1 = 3 и разно-
стью 5. Докажите, что существует бесконечно много арифме-
тических прогрессий B с B1 = 7, имеющих бесконечно много
общих членов с A. (50 баллов).

7. Любопытная Варвара пишет рассказ о хороших людях. Она
выписала из толкового словаря хорошие человеческие каче-
ства: 12 качеств, начинающихся на букву «К»; 6 качеств, на-
чинающихся на букву «Л»; 8 качеств, начинающихся на букву
«М»; 4 качества, начинающихся на букву «Н». Варвара хочет
распределить выписанные качества между героями своего рас-
сказа следующим образом: каждый герой обладает ровно дву-
мя качествами; эти качества обязательно начинаются с разных
букв; любое качество можно использовать только для одного
героя. Какое максимальное количество героев с хорошими ка-
чествами из списка Варвары может быть в рассказе? (50 бал-
лов).

11