Элементарный курс теории вероятностей. Стохастические процессы и финансовая математика

Kai Lai Chung, Farid AitSahlia

ELEMENTARY
PROBABILITY THEORY

WITH STOCHASTIC PROCESSES AND 
AN INTRODUCTION TO MATHEMATICAL FINANCE

Fourth Edition

With 57 Figures 

К. Л. Чжун, Ф. АитСахлиа

ЭЛЕМЕНТАРНЬIЙ КУРС
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
И ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Перевод с 4го английского
издания М. Б. Лагутина

4е издание, электронное

Москва
Лаборатория знаний
2021

УДК 519.2
ББК 22.17
Ч-57

Чжун К. Л.
Ч-57
Элементарный курс теории вероятностей. Стохастические
процессы и финансовая математика / К. Л. Чжун, Ф. Аит-
Сахлиа ; пер. с англ. — 4-е изд., электрон. — М. : Лабо-
ратория знаний, 2021. — 458 с. — Систем. требования: Adobe
Reader
XI
;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст
:
электронный.
ISBN 978-5-93208-572-1
Перевод 4-го издания популярного учебника по теории вероят-
ностей и ее приложениям, написанного известными американскими
математиками из Станфордского университета. Четвертое издание
дополнено двумя новыми главами, посвященными финансовой ма-
тематике.
Для студентов, преподавателей, исследователей и практиков
в экономике, психологии, социологии, медицине и в других областях,
где используются статистические методы и теория вероятностей.
УДК 519.2
ББК 22.17

Деривативное издание на основе печатного аналога: Элемен-
тарный курс теории вероятностей. Стохастические процессы и фи-
нансовая математика / К. Л. Чжун, Ф. АитСахлиа ; пер. с англ. —
М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. — 455 с. : ил.
ISBN 978-5-94774-347-0.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-572-1

Translation from the English language
edition:
Elementary Probability Theory
by Kai Lai Chung and Farid AitSahlia

© 2003, 1979, 1975, 1974 Springer-Verlag
New York, Inc.
Springer is a part of Springer
Science+Business
Media
All Rights Reserved

© Перевод на русский язык,
Лаборатория знаний, 2015

Предисловие к четвертому изданию

В этом издании добавлены две новые главы, 9 и 10, посвященные финан-
совой математике. Они написаны доктором Фаридом АитСахлиа, ancien
´el`eve, который читал курс лекций по данному предмету и работал в ис-
следовательских отделах нескольких промышленных и финансовых ор-
ганизаций.
Новый текст начинается с подробного перечня специфических фи-
нансовых терминов, относящихся к разнообразным опционам и другим
сделкам с ценными бумагами, подверженным влиянию колебаний кур-
сов на финансовом рынке. Экономические процессы описаны на ясном
и точном математическом языке, что позволяет исследовать их с по-
мощью вероятностных методов, изложенных в предшествующих гла-
вах. Многочисленные практические примеры и задачи различной сте-
пени трудности иллюстрируют применимость теории к решению реаль-
ных финансовых проблем. Для понимания материала двух последних
глав читателю, который интересуется в основном финансовыми вопро-
сами, достаточно лишь поверхностно ознакомиться с содержанием пер-
вых восьми глав. Более углубленное изучение можно осуществить с по-
мощью предметного указателя.
При переиздании я воспользовался возможностью заполнить брешь
в разд. 8.1 и расширил дополнение 3, поместив в него полезное утвер-
ждение о мартингале, остановленном в случайный момент времени. По-
следнее понятие играет важную роль в более продвинутой теории фи-
нансового рынка и других дисциплинах. Несмотря на это, уровень наше-
го изложения остается элементарным, соответственно названию и про-
екту книги. Добавлены также несколько реальных эпизодов из области
современных финансов, чтобы разрядить, для начинающих, многослой-
ную атмосферу экономической науки. Мы благодарны Руфи Уильямс за
прочтение черновика новых глав и внесение ценных предложений, а так-
же Бернару Брю и Марку Барбю за информацию о законах Парето—
Леви, введенных с целью описания распределения доходов. Доступный,
по нашему мнению, обзор этой хорошо известной теории содержится
в новом дополнении 4.

К. Л. Чжун, 3 августа 2002 г.

Предисловие к третьему изданию

Новой деталью этого издания является включение в него восьми фо-
тографий ученых, внесших значительный вклад в современную теорию
вероятностей*). Все они упоминаются в тексте, хотя, конечно, несколько
ссылок не могут адекватно отразить их выдающуюся роль. Я надеюсь,
что эти одухотворенные лица вызовут у читателя ощущение, что наша
наука — живой организм, созданный и развиваемый реально существу-
ющими людьми. Мне посчастливилось встречаться или быть знакомым
почти со всеми из них после того, как я изучил их работы, и теперь мне
приятно представить этих ученых более молодому поколению. В полу-
чении фотографий мне помогали Мари-Хелен Шварц, Джоан Эллиот,
Мило Кейнс и Ю. А. Розанов, которым я искренне благодарен.
Совсем недавно моя книга была издана на немецком языке. Я крайне
признателен д-ру Герберту Фогту за аккуратный и точный перевод,
в результате чего в текст текущего издания внесено много улучше-
ний. Я также благодарю читателей, любезно приславших свои замеча-
ния: Марвина Гринберга, Луизу Хэй, Нору Холмквист, Х.-И. Ламана
и Фреда Уолока. Еще раз выражаю свою признательность издательству
«Шпрингер» за желание довести свои публикации «до совершенства».

К. Л. Чжун, 19 сентября 1978 г.

Предисловие ко второму изданию

При подготовке второго издания основное внимание было уделе-
но исправлению ошибок, допущенных в первом издании. В этой рабо-
те участвовали Чао Хунг-по, Дж. Л. Дуб, Р. М. Экснер, В. Х. Флеминг,
А. М. Глисон, Карен Кафадор, С. Х. Полит и П. ван Морбек. Г-жа Ка-
фадор и д-р Полит аккуратно объединили все списки замечаний. Наи-
более огорчительные ошибки были обнаружены в решениях задач. Все
решения проверены мною лично в главах 1–5 и господином Чао — в гла-
вах 6–8. Я очень надеюсь, что ошибок там почти не осталось. Также
были внесены некоторые усовершенствования и добавления, но не все ре-
комендации удалось реализовать к настоящему моменту. Просим чита-
телей присылать критические замечания и комментарии для принятия
их во внимание в будущем издании. Благодарю персонал издательства
«Шпрингер» за предоставление возможности внести данные корректи-
вы сразу после выхода в свет этой книги.
К. Л. Чжун

*) В издании на русском языке эти фотографии отсутствуют. — Прим. ред.

Предисловие к первому изданию

За последние полвека теория вероятностей выросла из незначитель-
ного изолированного предмета в разветвленную и бурно развивающуюся
дисциплину, оказывающую влияние на многие другие направления ма-
тематики. В то же время она играет важнейшую роль в математизации
многих прикладных наук, таких как статистика, исследование опера-
ций, биология, экономика и психология (в названиях некоторых из них
до сих пор прочно закрепилось слово «математическая»). Факт дости-
жения теорией вероятностей совершеннолетия отразился на материале
учебников по этому предмету. В прежние времена большинство таких
книг демонстрировали явное «раздвоение личности»: в них излагался
либо комбинаторный подход к описанию игр, в которых присутствует
случайность, либо так называемая «теория ошибок» наблюдений, свя-
занная с нормальным распределением. Данный период завершился с по-
явлением в 1950 г. классической монографии У. Феллера [9], из которой
я отбирал материал для моего первого курса по теории вероятностей.
Спустя некоторое время теория вероятностей и ее приложения уверен-
но заняли свое место в учебных программах в качестве математической
дисциплины, необходимой для многих областей знаний. Начальные све-
дения по этой теории теперь преподаются на разных уровнях сложно-
сти, иногда даже до изучения математического анализа. Данная кни-
га предназначена для составления курса, ориентированного на студен-
тов, скорее всего, второго года обучения. Не предполагается никакого
предварительного знакомства с предметом, первые три главы можно
читать, почти совсем не зная математического анализа. Следующие три
главы уже требуют умения обращаться с бесконечными рядами и близ-
кими к ним понятиями. При рассмотрении случайных величин, имею-
щих плотность, необходимо владеть основами математического анализа.
Подобные темы, относящиеся к «непрерывному случаю» (как противо-
положности «дискретного»), легко отделяются от остальных и могут
быть отложены. Материал первых шести глав, как нам представляется,
должен образовывать каркас любого содержательного введения в тео-
рию вероятностей. Рекомендуем дополнить его следующими разделами:
7.1 (распределение Пуассона, которое даже может быть включено в ос-
новной курс), 7.3, 7.4, 7.6 (нормальное распределение и закон больших
чисел), 8.1 (простое случайное блуждание, которое не только вызывает
интерес, но и полезно). Все это можно изложить в течение одного се-
местра. Для курса продолжительностью в одну четверть придется про-
извести некоторые сокращения. Конкретно: для такого короткого курса
с гл. 1 и 3 можно ознакомиться поверхностно, не рассматривая темы, от-
меченные звездочкой. Во всяком случае, глубокое изучение теоремы о
нормальной аппроксимации из гл. 7 следует проводить только при усло-
вии, что времени достаточно (как в семестровом или двухчетвертном

Предисловие к первому изданию

курсе). Заключительная гл. 8 представляет собой замкнутое введение
в проблематику цепей Маркова и углубляет основной материал на бо-
лее высоком уровне. Вместе с отмеченными звездочкой разд. 5.3, 5.4
(последовательный отбор и урновая схема Пойа), 7.2 (пуассоновский
процесс) и, вероятно, с какими-то фрагментами из дополнений, дан-
ный материал обеспечивает постепенный логичный переход к изучению
теории случайных процессов. Курс, включающий все указанные выше
темы, рассчитан на две четверти (именно в такой форме я много раз чи-
тал его студентам математической и инженерных специализаций). Тем
не менее, читатель, проработавший всего шесть глав, сможет перейти
к ознакомлению с более тонкими вопросами, обсуждаемыми, например,
в уже упоминавшейся монографии У. Феллера. Если же читатель имеет
хорошую математическую подготовку, то он будет способен к изучению
формального и строгого курса, подобного изложенному в моей более
продвинутой книге [4].
Немало усилий ушло на отбор, упорядочение и представление ма-
териала с целью приспособления его к условиям преподавания. Одна-
ко автор не намеревался предложить некий поверхностный пакет, со-
ответствующий заданному расписанию занятий или программе, кото-
рый обычно требуется при ускоренной форме образования. Определен-
ная свобода и право выбора остается у преподавателя: он лучше зна-
ет, что именно использовать для обучения студентов его группы. Каж-
дая глава начинается с легко читаемого текста, предназначенного для
того, чтобы заинтересовать читателя и проиллюстрировать материал.
Благодаря этому, преподаватель имеет возможность сконцентрировать-
ся на более формальных аспектах темы. Каждая глава включает также
и более сложные разделы (например, 1.4, 2.5) для выборочного изуче-
ния. Надеюсь, они не отпугнут начинающих, а послужат приглашением
к последующей проработке. Акцент делается на всестороннем и нето-
ропливом обсуждении основных понятий и вычислительных приемов
элементарной теории вероятностей с минимумом излишеств и техни-
ческих сложностей. Многие примеры предназначены для предупрежде-
ния затруднений у начинающих и стимулирования мышления. Часто это
осуществляется путем постановки ключевых вопросов с последующим
сообщением ответов. Исторические, философские и авторские коммен-
тарии служат приправой к содержательному предмету. Хотелось бы,
чтобы читатель не только узнал из этой книги что-то новое, но, возможно, 
также получил некоторое удовольствие от самого чтения.
Первые шесть глав включают более двухсот задач, а две последние —
более восьмидесяти задач. Многие из них — простые, более сложные отмечены 
звездочкой. В конце книги даны ответы к задачам. Разделы,
отмеченные звездочкой, содержат более специальный или трудный ма-

Предисловие к первому изданию
9

териал. Их можно пропустить, но рекомендуем прежде бегло их просмотреть.

Автор любого элементарного учебника, конечно же, многим обязан 
многочисленным предшественникам. Несколько персональных благодарностей 
приведено ниже. Мишель Надзела записал курс лекций,
прочитанный мной в Стэнфорде в 1970 г. Жан-Карло Рота, просмотрев 
эти записи, дал мне начальный импульс для преобразования их
в книгу. Д. Г. Кендэлл прокомментировал наброски нескольких первых
глав и оказал дальнейшую моральную поддержку. Дж. Л. Дуб вызвался
прочитать большую часть рукописи и внес много полезных предложений. 
К. Б. Эриксон использовал некоторый материал для преподавания.
А. А. Балкема проверил практически окончательную версию и исправил
много погрешностей. Дэн Рудольф прочитал все доказательства вместе
со мной. Перфекто Мэри нарисовал замечательные иллюстрации. Гейл
Лемонд напечатала текст с присущей ей быстротой и безошибочностью.
Наконец, мне приятно поблагодарить издательство «Шпрингер», с ко-
торым я давно сотрудничаю, за выбор моей книги в качестве первой
в новой серии учебников для студентов.

К. Л. Чжун, март 1974 г.

О введении в финансовую математику

Две новые главы, 9 и 10, представляют собой замкнутые введения, соот-
ветственно, в оптимальное инвестирование на основе средних и диспер-
сий и проблему определения цены опциона. Тему главы 9 иначе назы-
вают современной теорией формирования портфеля ценных бумаг. Она
широко используется менеджерами крупных финансовых учреждений.
Для понимания материала главы достаточно знания основ теории ве-
роятностей и скромного владения математическим анализом. Глава 9
также содержит обсуждение устойчивых законов в рассматриваемом
контексте (эту тему часто не включают в элементарные вероятност-
ные и финансовые курсы). В свою очередь, глава 10 знакомит читате-
ля с теорией вычисления справедливой цены опциона, проблемой, кото-
рая способствовала, как отмечено во многих недавно опубликованных
книгах по данной тематике, превращению финансового анализа в ак-
тивно развивающуюся математическую дисциплину. Эта глава может
служить введением в мартингальную теорию опционов, выражающую
на математическом языке задачу определения цены опциона на рынке.
Мартингальная теория изучается в контексте биномиального случайно-
го блуждания. Несмотря на простоту, в данной модели без арбитража
проявляется сущность многих общих теоретических результатов. Ее ча-
сто используют на практике для получения начального приближения
при вычислении цены сложных финансовых инструментов.
Я хотел бы поблагодарить профессора Кай Лай Чжуна за приглаше-
ние написать новый материал для четвертого издания, а также мою же-
ну Уннур за моральную поддержку во время этой важной деятельности.

Фарид АитСахлиа,
1 ноября 2002 г.