Математическое моделирование в системах управления

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Федеральное государственное бюджетное 
образовательное учреждение высшего образования 
«Казанский национальный исследовательский 
технологический университет» 

М. Л. Шустрова, Н. А. Староверова

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  
МОДЕЛИРОВАНИЕ В СИСТЕМАХ 
УПРАВЛЕНИЯ

Учебно-методическое пособие 

Казань 
Издательство КНИТУ 
2019 

УДК 004.451.7(075) 
ББК 32.97я7

Ш97

Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 

Рецензенты: 
канд. техн. наук Ю. Н. Зацаринная 
канд. техн. наук С. А. Терентьев 

Ш97 

Шустрова М. Л. 
Математическое моделирование в системах управления : учебно-методическое 
пособие / М. Л. Шустрова, Н. А. Староверова; Минобр-
науки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во 
КНИТУ, 2019. – 128 с. 

ISBN 978-5-7882-2742-9

Рассмотрены основные вопросы математического моделирования стохастических 
и детерминированных процессов на основании эмпирических 
данных, а также формирования аналитических математических моделей. Приведены 
примеры построения математических моделей и задачи для самостоятельного 
решения. 
Предназначено для бакалавров направления подготовки 27.03.04 
«Управление в технических системах» и магистрантов направления подготовки 
09.04.01 «Информатика и вычислительная техника». 
Подготовлено на кафедре автоматизированных систем сбора и обработки 
информации. 

ISBN 978-5-7882-2742-9
© Шустрова М. Л., Староверова Н. А., 2019
© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2019

УДК 004.451.7(075) 
ББК 32.97я7

СОДЕРЖАНИЕ 

Введение .......................................................................................................... 4 
Глава 1. Основные сведения о математическом моделировании ....... 5 
1.1. Основные понятия и определения .......................................................... 5 
1.2. Основные положения системного анализа .......................................... 10 
1.3. Классификация процессов ..................................................................... 11 
1.4. Классификация математических моделей ........................................... 12 
1.5. Этапы построения математической модели процесса ........................ 15 
1.6. Программное обеспечение математического моделирования ........... 18 
Глава 2. Методы построения эмпирических математических 
моделей .......................................................................................................... 20 
2.1. Математическое моделирование стохастических процессов ............ 20 
2.2. Пример расчета статистической модели стохастической 
величины ........................................................................................................ 30 
2.3. Определение уравнения регрессии от одного параметра ................... 32 
2.4. Функции Matlab и Scilab для автоматизации поиска уравнения 
регрессии ........................................................................................................ 44 
Глава 3. Аналитические математические модели ................................ 48 
3.1. Особенности построения аналитических моделей ............................. 48 
3.2. Построение математической модели теплообменного аппарата ...... 50 
3.3. Построение модели пневматической камеры ...................................... 58 
Практическая часть .................................................................................... 71 
Лабораторная работа 1. Основы работы в Matlab и Scilab ........................ 71 
Лабораторная работа 2. Построение статистической модели с 
применением Matlab и Scilab ....................................................................... 91 
Лабораторная работа 3. Построение регрессионной модели 
термоэлектрического преобразователя ....................................................... 94 
Лабораторная работа 4. Математическая модель САР уровня ................. 99 
Лабораторная работа 5. Моделирование теплообменного аппарата ..... 102 
Лабораторная работа 6. Моделирование пневматической камеры ........ 104 
Задачи для самостоятельного решения ................................................ 106 
Библиографический список .................................................................... 116 
Приложения ................................................................................................ 117 
Критические значения Критерия Стьюдента ........................................... 117 
Значения критерия Кохрена ....................................................................... 120 
Значения критерия Фишера ........................................................................ 121 

3

ВВЕДЕНИЕ 

Математическое моделирование представляет собой один из подходов 
к исследованию процессов и систем, при котором эксперимент 
ставится не непосредственно на исследуемом объекте, в на некоем программном 
продукте, заменяющем объект-прототип. К построению математических 
моделей прибегают в ряде ситуаций: 
– при невозможности постановки физического эксперимента на
объекте в силу его труднодоступности, существующей опасности для 
экологии, здоровья экспериментатора или  рисков экономических потерь 
при постановке эксперимента на объекте  
– при создании обучающих тренажерных комплексов для подго-
товки персонала производства  к работе 
– при решении задач оптимизации процессов
– в процессе проектирования оборудования для расчета опти-
мальных параметров установок 
При создании математических моделей могут применяться раз-
личные подходы и программные комплексы, подразумевающие различ-
ный уровень владения математическим аппаратом и программными 
средствами. Данное учебное пособие написано для учащихся, находя-
щихся на начальном этапе изучения математического моделирования и 
призвано помочь приобретению понимания специфики создания моде-
лей стохастических и детерминированных процессов на основе экспери-
ментальных данных и аналитической информации о них. 
В приложениях представлены все необходимые для проведения 
расчетов справочные данные. 
Для закрепления изученного теоретического и практического ма-
териала и проверки полученных знаний студентам предлагаются за-
дачи для самостоятельного решения. 

4

Глава 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ 
МОДЕЛИРОВАНИИ 

1.1. Основные понятия и определения 

Методология математического моделирования сводится к иссле-
дованию свойств объекта посредством изучения свойств математиче-
ской модели, представляющей собой систему математических уравне-
ний, которая отражает поведение объекта моделирования. Математиче-
ская модель дает возможность прогнозировать это поведение при изме-
няющихся условиях функционирования объекта, в данном случае анало-
гом эксперимента на модели при физическом моделировании служит вы-
числительный эксперимент, который проводится на ЭВМ.  
Математическая модель процесса/объекта/системы представляет 
собой совокупность информации о данном объекте, представленную 
в виде математических формул, уравнений, начальных и граничных 
условий, таблиц, графиков, а также математические соотношения для 
описания взаимодействия и взаимосвязей элементов рассматриваемого 
объекта/системы между собой. 
Ввиду того что большинство реальных объектов отличаются 
большой сложностью и высоким числом параметров, имеющих то или 
иное влияние на изучаемые параметры, при написании математических 
моделей принимается система допущений. В ней указываются огра-
ничения, принимаемые в процессе моделирования, исключается ряд па-
раметров, имеющих не существенное влияние на результирующие пе-
ременные, и выделяются те параметры, которые имеют существенное 
влияние на результат. 

Математическая модель – совокупность математических выра-

жений, уравнений, таблиц и графиков, необходимая и достаточная для 
математического описания объекта моделирования. 
Математический эксперимент – виртуальный эксперимент, за-
ключающийся в изучении процесса посредством математической мо-
дели, алгоритмизированной на ЭВМ. 
Фактически постановка математического эксперимента на мате-
матической модели какого-либо процесса или явления является альтер-
нативой более затратному физическому исследованию на реальном 
оборудовании. Математическая модель представляет собой формали-
зованное описание на языке математики исследуемого объекта. Таким 
формализованным описанием может быть система линейных, 

5

 

нелинейных или дифференциальных уравнений, система неравенств, 
определенный интеграл, многочлен с неизвестными коэффициентами 
и т. д. Математическая модель должна охватывать важнейшие характе-
ристики исследуемого объекта и отражать связи между ними. 
Для физического процесса модель обычно состоит из уравнений, 
описывающих процесс, в эти уравнения в виде коэффициентов входят 
характеристики рабочих сред и аппаратурные параметры, необходимые 
для описания процесса. 
Простая математическая модель – совокупность алгебраических 
формул, по которым явно вычисляются искомые величины. Однако 
чаще всего поведение параметров описывается сложными алгебраиче-
скими или дифференциальными уравнениями в частных производных. 
При работе с математическими моделями следует помнить, что 
всякая система состоит из взаимосвязанных и взаимодействующих 
между собой и внешней средой частей и представляет собой единое за-
мкнутое целое. Поэтому для их изучения необходимо принимать си-
стемы упрощений и допущений, выделяя значимые и исключая из рас-
смотрения незначимые параметры, а также применяя методы систем-
ного анализа, рассматривая анализируемую систему по схеме «от слож-
ного – к простому».  
Объект моделирования 
Система взаимодействует с внешней средой и может быть коли-
чественно оценена через свои входы Х и выходы У (рис. 1.1), т. е. при 
моделировании объект моделирования рассматривается как «черный 
ящик», с набором входов, выходов, действующих на него возмущений 
и методами управления. Математическая модель системы управления 
представляет собой математическое описание данной системы, содер-
жащее уравнения, графики и таблицы, описывающие процессы, проте-
кающие в каждом из ее элементов, а также уравнения взаимосвязи и 
взаимного влияния параметров процессов друг на друга. 
Входами могут быть параметры перерабатываемого сырья, его 
количество, состав, температура и т. д., выходами могут быть количе-
ство готового продукта, его свойства, температура и т.п. Для  соответ-
ствия выходных переменных заданным значениям на них воздействуют 
при помощи управляющих переменных. 
Примером системы может быть любой регулируемый  химиче-
ский процесс, протекающий в объекте (например, реакторе), подлежа-
щий управлению (рис. 1.2). Параметры процесса контролируются дат-
чиком D; поступающие от него сигналы усиливаются усилителем У и 

6

далее подаются в преобразователь сигналов П (например, электриче-
ские в механические). Преобразованные сигналы воздействуют на 
установку регулятора Р, который выдает сигналы на исполнительный 
механизм (например, клапан на линии ввода сырья или теплоносителя). 

Рис. 1.1. Простейшая структура объекта моделирования 

Рис. 1.2. Типовая структура системы управления 

Таким образом, технологическая система – это достаточно слож-
ный объект, который можно расчленить (провести декомпозицию), на 
составляющие элементы, или подсистемы. Эти элементы информаци-
онно связаны друг с другом и с окружающей средой объекта. 
Поэтому для того, чтобы смоделировать систему управления, 
необходимо осуществить моделирование каждого элемента и связей 

7

между ними, а также для проверки работоспособности системы – про-
исходящих в них технологических процессов. При этом переменными 
уравнений математической модели будут параметры процессов, проис-
ходящих в элементах системы. 
Большие и малые кибернетические системы 
При моделировании все системы условно делятся на малые и 
большие.  
Малые системы однозначно определяются свойствами процесса, 
который в них протекает, а также особенностями аппаратурного 
оформления и функций. Они  ограничены одним типовым процессом.  
Большие системы представляют совокупность малых, им прису-
щих систем и отличаются от них в количественном и качественном от-
ношениях. 
Большим системам присущи 
1) определенная целостность
2) наличие общих целей и назначения
3) большое число выполняемых и дополнительных функций
4) сложность
5) большие размеры
6) наличие конкурирующих и состязательных тенденций
Иерархическая структура современного предприятия
Любое технологическое производство представляет собой последо-
вательность трех основных операции: подготовки сырья, собственно  хи-
мического превращения и выделения целевых продуктов. Эта последова-
тельность операций воплощается в единую сложную химико-технологи-
ческую систему (ХТС). Современное химическое предприятие как си-
стема большого масштаба состоит из большого числа взаимосвязанных 
подсистем, между ними существует отношения соподчиненности, имею-
щие иерархическую структуру с тремя основными ступенями (рис. 1.3). 
Первую низшую степень иерархической структуры химического 
предприятия образуют типовые процессы химической технологии (ме-
ханические, гидродинамические, тепловые, химические и т.п.) в опре-
деленном аппаратурном оформлении и локальные системы управления 
ими. Задача управления этой ступенью сводится к локальной стабили-
зации технологических параметров типовых процессов. 
Основу второй ступени иерархии химического предприятия со-
ставляют агрегаты, комплексы и т. д. Под агрегатом понимают взаимо-
связанную совокупность отдельных типовых технологических процес-
сов и аппаратов. 

8

На данной ступени иерархии при управлении подсистемами воз-
никают задачи оптимальной координации работы аппаратов и опти-
мального распределения нагрузок между ними. 

Рис. 1.3. Иерархия технологического предприятия 

Третья высшая ступень иерархии структуры химического пред-
приятия – это системы организации производства, планирования запа-
сов сырья и реализации готовых продуктов, а также оперативного 
управления совокупностью цехов (АСУП). На этой ступени иерархии 
возникают задачи ситуационного анализа и оптимального управления 
всем предприятием. 
При рассмотрении систем автоматизированного управления су-
ществует подобная иерархия: 
– полевое оборудование, призванное осуществлять измерение
технологических параметров на месте осуществлять изменение поло-
жения регулирующих органов (т. е. управление типовыми технологи-
ческими процессами) 
– управление комплексами
– управление производством
– управление предприятием

9

1.2. Основные положения системного анализа 

Системный анализ – стратегия изучения сложных систем. В ка-
честве метода исследования в нем используется математическое моде-
лирование, а основным принципом является декомпозиция сложной си-
стемы на более простые подсистемы. 
Математическая модель строится по блочному принципу: общая 
модель подразделяется на блоки, которым можно дать сравнительно 
простые математические описания. Необходимо отметить, что все под-
системы взаимодействуют между собой  
В основе стратегии системного анализа лежат следующие общие 
положения: 
1. Четкая формулировка цели исследования.
2. Постановка задачи по реализации этой цели и определение
критерия эффективности решения задачи. 
3. Разработка плана исследования.
4. Последовательное продвижение по всем этапам и по всем
направлениям. 
5. Организация последовательных приближений на отдельных
этапах. 
6. Принцип нисходящей иерархии анализа и восходящей иерар-
хии синтеза. 
С позиции системного анализа решаются задачи моделирования, 
оптимизации, управления и оптимального управления любыми процес-
сами. Любую технологическую цепочку можно разделить на опреде-
ленное число типовых технологических звеньев, соответствующих ти-
повым процессам технологии.  
Применение стратегии системного анализа для расчета сложных 
процессов позволяет использовать блочный принцип. Таким образом, 
любая системы может быть изучена по принципу «от простого к слож-
ному». Сначала выделяются и анализируются простейшие элементы 
системы – своеобразные составляющие ее кирпичики, затем, с учетом 
присущих этим кирпичикам взаимосвязи – более крупные элементы ар-
хитектуры системы, которые так же взаимосвязаны друг с другом и все 
вместе составляют еще более крупное целостное объединение. 
Так, при рассмотрении химического процесса, протекающего 
в реакторе, можно выделить пять блоков. Вначале исследуют гидроди-
намику процесса и структуру потоков, далее добавляется влияние пе-
реноса тепла и вещества и, наконец, химическая кинетика; на 

10

контрольном этапе проверяется соблюдение материальных и тепловых 
балансов. 
Применение методов кибернетики в химической технологии от-
крывает возможность осуществления системного анализа при исследо-
вании или организации производственного процесса как системы. 

1.3. Классификация процессов 

По характеру физико-химических, материальных и энергетиче-
ских внутренних связей все процессы делятся на следующих классы: 
1) гидродинамические
2) тепловые
3) механические
4) химические
5) массообменные
6) диффузионные
7) электрические
По своей природе они делятся на детерминированные и стохасти-
ческие. Детерминированным называют такой процесс, в котором зна-
чение выходной характеризующей величины однозначно определяется 
значением входной величины. Стохастические – процессы, в которых 
изменение определяющей величины происходит беспорядочно, 
т. е. значение выходной величины не находится в однозначном соот-
ветствии с входной.  Расчет таких систем производится с помощью ста-
тистико-вероятностных методов.  
В целом, реальным системам характерна детерминированно-сто-
хастическая природа.  
По характеру прохождения сигнала через звено выделяются: 
– безынерционное звено;
– инерционное звено;
– дифференциальное звено;
– интегрирующее звено;
– звено чистого запаздывания;
– колебательное звено.
Если основные переменные процесса изменятся во времени и
в пространстве, то эти называются объектами с распределенными па-
раметрами. Обычно эти модели записываются в виде дифференциаль-
ных уравнений в частных производных. 

11