Электротехника и электроника. Электрические цепи постоянного и переменного тока

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Федеральное государственное бюджетное 
образовательное учреждение высшего образования 
«Казанский национальный исследовательский 
технологический университет» 
 
 
 
 
 
 
 
 
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА 
И ЭЛЕКТРОНИКА 
 
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ 
ПОСТОЯННОГО И ПЕРЕМЕННОГО 
ТОКА 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Казань 
Издательство КНИТУ 
2020 

УДК 621.3(075) 
ББК 31.2я7

Э45

Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 

Рецензенты: 
д-р техн. наук, проф. Е. В. Мартынов 
канд. техн. наук, доц. Т. Х. Мухаметгалеев 

Э45 

Авторы: В. Г. Макаров, И. Р. Хайруллин, И. Г. Цвенгер, 
А. В. Толмачева 
Электротехника и электроника. Электрические цепи постоянного и 
переменного тока : учебно-методическое пособие / В. Г. Макаров 
[и др.]; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : 
Изд-во КНИТУ, 2020. – 96 с. 

ISBN 978-5-7882-2930-0

Представлены теоретические основы и рекомендации по выполнению 
расчетных заданий по разделам одно- и трехфазных цепей, а также цепей 
постоянного тока. 
Предназначено для студентов всех форм обучения. 
Подготовлено на кафедре электропривода и электротехники. 

ISBN 978-5-7882-2930-0 
© Макаров В. Г., Хайруллин И. Р., 

Цвенгер И. Г., Толмачева А. В., 2020

© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2020

УДК 621.3(075) 
ББК 31.2я7

В В Е Д Е Н И Е  

Данное пособие предназначено для студентов всех форм обуче-
ния и направлений подготовки, изучающих курс «Электротехника и 
Электроника» на кафедре электропривода и электротехники, который 
может быть успешно усвоен, если теоретические знания подкреплены 
соответствующими расчетными примерами. 
Практика показывает, что самостоятельное решение задач по 
данному курсу не всегда доступно студентам. С учетом этого в посо-
бии рассматриваются примеры решения типовых задач, выполняемых 
в рамках самостоятельной работы студентов. При этом в каждом при-
мере приводятся основные положения и формулы, облегчающие про-
ведение расчета, а следовательно и изучение соответствующего разде-
ла. В пособии рассматриваются примеры решения задач по расчету: 
1) разветвленных цепей постоянного тока;
2) разветвленных цепей синусоидального переменного тока;
3) трехфазных цепей.
Следует отметить, что примеры решения задач основываются на
использовании метода комплексных чисел. Следовательно студентом 
необходимо повторить раздел «Комплексные числа» курса «Высшей 
математики» пройденный ранее. 
Сведения, приведенные в пособии, позволяют решать задачи без 
дополнительного справочного материала. 

1 .  Р А С Ч Е Т  Э Л Е К Т Р И Ч Е С К И Х  Ц Е П Е Й  
С И Н У С О И Д А Л Ь Н О Г О  П Е Р Е М Е Н Н О Г О  Т О К А  
М Е Т О Д О М  К О М П Л Е К С Н Ы Х  Ч И С Е Л  

1.1. Понятие о комплексных числах. Комплексная 
плоскость 

Из курса высшей математики известно, что число вида 

, 

где a и b – любые действительные числа, i – мнимая единица, называ-
ется комплексным числом в алгебраической форме. 
При этом a является действительной (реальной) частью ком-
плексного числа c и обозначается 
, соответственно b является 
мнимой частью комплексного числа c и обозначается 
. 
Мнимая единица удовлетворяет соотношению 

 или 
. 

Если 
, то очевидно, что комплексное число с = а является 
действительным числом; и если 
, то комплексное число с = ib яв-
ляется чисто мнимым числом. 
Два комплексных числа 
 и 
, имеющих одинаковые 
действительные и противоположные мнимые части, называются 
сопряженными комплексными числами. 
Модуль комплексного числа 

  (1.1) 

и его аргумент 

.                                         (1.2) 

Комплексное число 
 можно изобразить точкой 
 или радиус-вектором на комплексной плоскости (рис. 1.1). 
При этом длина радиус-вектора соответствует модулю комплексного 

c
a
ib
=
+

a
Rec
=

b
Imc
=

i
1
=
-
2i
1
= -

b
0
=

а
0
=

c
a
ib
=
+
c
a
ib
=
-

2
2
с
a
b
=
+

b
arctg a
y =

c
a
ib
=
+

c
(a,b)
º

числа, определяемого по формуле (1.1), а угол 
 между действительной 
осью комплексной плоскости и радиус-вектором соответствует 
аргументу комплексного числа, определяемому по формуле (1.2). 

Рис. 1.1 

1.2. Формы записи комплексных чисел 

Существуют три формы записи комплексных чисел. 
Алгебраическая: 

. 

Тригонометрическая: 

. 

Показательная: 
Существует формула Эйлера: 

. 

На основании данной формулы комплексное число в показательной 
форме записи имеет вид 

, 

где 
 – поворотный множитель. 

y

c
a
ib
=
+

b
a
sin
; cos
; c
c (cos
i sin
)
c
c
y =
y =
=
y + ×
y

i
(cos
i sin
)
e y
y + ×
y =

i
с
с е y
=
×

iе y

Поворотный множитель показывает, что вектор повернут относительно 
действительной оси на угол 
. Отсчет угла 
 принято вести 
от действительной оси против хода часовой стрелки. 

1.3. Действия над комплексными числами 

Над комплексными числами можно производить следующие 
действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение 
в степень, извлечение корня.  
При сложении и вычитании наиболее удобной является алгебраическая 
форма записи. Сложение комплексных чисел в алгебраической 
форме производится по формуле 

. 

Аналогично производится вычитание комплексных чисел: 

. 

Умножение и деление комплексных чисел можно осуществлять 
как в алгебраической, так и в показательной форме. Следует отметить, 
что при этом наиболее удобной является показательная форма. 
Умножение комплексных чисел в алгебраической форме осуществляется 
по формуле: 

Умножение комплексных чисел в показательной форме осуществляется 
по формуле: 

. 

При делении комплексных чисел в алгебраической форме следует 
числитель и знаменатель умножить на комплексное число, сопряженное 
знаменателю: 

y
y

1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
с
с
(a
ib )
(a
ib )
(a
a )
i(b
b )
+
=
+
+
+
=
+
+
+

1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
с
с
(a
ib )
(a
ib )
(a
a )
i(b
b )
-
=
+
-
+
=
-
+
-

1
2
1
1
2
2

1
2
1
2
1
2
2
1

1
2
1
2
1
2
2
1

с
с
(a
ib ) (a
ib )

(a
a
ib
ib
ib
a
ib
a )

(a
a
b
b
ib
a
ib
a )

×
=
+
×
+
=

=
×
+
×
+
×
+
×
=

=
×
-
×
+
×
+
×

1
2
1
2
i
i
i(
)
1
2
1
2
1
2
с
с
с e
с e
с с e
y
y
y +y
×
=
×
=

. 

Деление комплексных чисел в показательной форме производится 
в соответствии с формулой: 

. 

1.4. Способы изображения синусоидальных функций 
времени 

Синусоидальные функции времени могут быть представлены 
тригонометрической формой записи, временными диаграммами, вращающимися 
векторами и комплексными числами. 
Тригонометрическая форма записи тока, изменяющегося во 
времени по синусоидальному закону, может быть представлена выражением 

,    
    (
1.4) 

где  – мгновенное значение тока; 
 – максимальное (амплитудное)
значение тока; 
 – угловая частота, характеризующая скорость изменения 
фазового угла; t – текущее значение времени; 
 – начальная 
фаза (начальный фазовый угол). 
Геометрический смысл параметров, входящих в выражение 
(1.4), раскрывает временная диаграмма, представленная на рис. 1.2б. 
Переход от временных диаграмм к вращающимся векторам для 
различных моментов времени показан на рис. 1.2а,б. Очевидно, что 
вектор длиной 
 вращается с постоянной угловой частотой 
. При 
этом за положительное направление вращения в электротехнике принимается 
направление против хода часовой стрелки. Проекция вращающегося 
вектора на ось ординат определяет мгновенное значение 
синусоидального тока. 
В электротехнике, кроме мгновенных и максимальных значений 
синусоидальных величин, используются средние и действующие зна-

1
1
1
1
1
2
2

2
2
2
2
2
2
2

с
(a
ib )
(a
ib )(a
ib )
с
(a
ib )
(a
ib )(a
ib )
+
+
-
=
=
+
+
-

1

1
2

2

i
i(
)
1
1
1
i
2
2
2

с
e
с
с
e
с
с
e
с

y
y -y
y
×
=
=
×
×

m
i
i
I
sin(ω t
)
=
×
+ j

i
m
I

w

ij

m
I
w

чения. Именно эти значения показывают большинство измерительных 
приборов, поэтому условимся, что далее в расчетах будут использоваться 
только действующие значения синусоидальных электродвижущих 
сил (ЭДС), напряжений и токов. 

а 
б 
Рис. 1.2 

Действующие значения синусоидальных ЭДС, напряжений и 
токов могут быть определены на основании максимальных значений 
с помощью следующих выражений: 

. 

На рис. 1.2а показано, что длина вращающегося вектора равна 
амплитудному значению синусоидальной величины. Однако следует 
отметить, что вращающиеся векторы могут иметь длину, равную действующему 
значению. 

1.5. Метод комплексных чисел. Законы электрических 
цепей в комплексной форме 

Метод комплексных чисел нашел широкое применение в элек-
тротехнике при расчетах электрических цепей синусоидального пере-

m
m
m
E
U
I
E
; U
; I
2
2
2
=
=
=

менного тока. При этом в качестве векторов на комплексной плоско-
сти изображаются синусоидальные функции времени (ЭДС, напряже-
ния и токи). 
Сущность расчета электрических цепей с помощью данного ме-
тода заключается в том, что графические операции над векторами за-
меняют алгебраическими действиями над комплексными числами. 
В электротехнике, чтобы избежать сходства мнимой единицы i 
с силой тока, мнимую единицу обозначают буквой j. 
При использовании метода комплексных чисел уравнения элек-
трических цепей записывают на основании законов Ома и Кирхгофа. 
Математическое выражение закона Ома в комплексной форме 
имеет вид 

, 

где 
 – комплекс действующего значения силы тока (комплекс тока); 
 – комплекс действующего значения напряжения, приложенного 
к цепи (комплекс напряжения); 
 – полное комплексное сопротивление. 
Отличие обозначения комплексного сопротивления 
 от обо-
значения комплексных напряжения 
 и тока 
 связано с тем, что 
комплексное сопротивление не является синусоидальной функцией 
времени. 
Математическое выражение первого закона Кирхгофа в ком-
плексной форме имеет вид 

,     
  (1.5) 

где k – число комплексных токов, сходящихся в узле электрической 
цепи. 
В соответствии с (1.5) сумма комплексных токов, сходящихся в 
узле электрической цепи, равна нулю. 
Математическое выражение второго закона Кирхгофа в ком-
плексной форме имеет вид 

,            
     (1.6) 

где k – число комплексных напряжений вдоль замкнутого контура. 

U
I
Z
=
!
!

I!

U!

Z

Z

U!
I!

n

k
k 1
I
0

=
=
å!

n

k
k 1
U
0

=
=
å !

В соответствии с (1.6) сумма комплексных напряжений вдоль 
любого замкнутого контура равна нулю. 

1.6. Понятие о полном комплексном сопротивлении 

Составными элементами цепей синусоидального тока являются 
активное сопротивление R, индуктивность L и емкость C. Каждый из 
этих элементов оказывает сопротивление переменному току. 
На активном сопротивлении R энергия электрического тока 
преобразуется в тепловую энергию. Такое преобразование является 
необратимым. 
На индуктивности L происходит периодическое преобразование 
энергии электрического тока в энергию магнитного поля, накопление 
и обратное преобразование. 
На емкости С происходит периодическое преобразование энергии 
электрического тока в энергию электрического заряда, накопление 
и обратное преобразование. 
Поскольку процессы в индуктивности и емкости являются обратимыми, 
то эти элементы называют реактивными. 
Индуктивность обладает реактивным сопротивлением, которое 
называют индуктивным сопротивлением: 

 

где f – частота переменного синусоидального напряжения, Гц; L – индуктивность, 
Гн. 
Конденсатор обладает реактивным сопротивлением, которое 
называют емкостным сопротивлением: 

где С – емкость, Ф. 
Если элементы R, L, C соединены последовательно, то полное 
комплексное сопротивление можем записать в виде 

.    
        (1.7) 

L
X
L
2 fL, Ом
= w
= p

с
1
1
X
, Ом
С
2 fС
=
=
w
p

L
C
L
C
Z
R
jX
jX
R
j(X
X ), Ом
=
+
-
=
+
-