Методы анализа и синтеза цифровых систем автоматического управления


А. В. Хорхордин, О. С. Волуева, В. В. Турупалов










            МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ



Учебник




Под общей редакцией кандидата технических наук, профессора В. В. Турупалова











Москва Вологда
« Инфра-Инженерия» 2022

УДК 681.511(075.8)
ББК 32.965.4я73
      Х82




Р е ц е н з е н т ы: доктор технических наук, профессор кафедры автоматики, телемеханики, связи и вычислительной техники, ректор Донецкого института железнодорожного транспорта Чепцов Михаил Николаевич;
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики Донецкого национального технического университета Павлыш Владимир Николаевич





     Хорхордин, А. В.
Х82       Методы анализа и синтеза цифровых систем автоматического уп-
      равления : учебник / А. В. Хорхордин, О. С. Волуева, В. В. Турупалов ; под общ. ред. к. т. н., проф. В. В. Турупалова. - Москва ; Вологда : ИнфраИнженерия, 2022. - 204 с. : ил., табл.
           ISBN 978-5-9729-0878-3

      Приведены сведения, включающие методологию исследования и синтеза, формализованное описание и алгоритмизацию, оптимизацию и имитационное моделирование функционирования систем автоматического управления, в том числе системы с прогнозирующими моделями, а также стабилизирующими и робастными регуляторами. Рассматриваются методические примеры, приводятся вопросы и задания для самоконтроля.
      Для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Управление в технических системах». Может быть полезно читателям, владеющим базовыми знаниями в сфере анализа, синтеза и проектирования систем автоматического управления.
УДК 681.511(075.8)
ББК 32.965.4я73









ISBN 978-5-9729-0878-3

  © Хорхордин А. В., Волуева О. С., Турупалов В. В., 2022
  © Издательство «Инфра-Инженерия», 2022
                         © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022

СОДЕРЖАНИЕ


ПРЕДИСЛОВИЕ............................................................... 5
РАЗДЕЛ 1    ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ................................... 7
       1.1 Общие понятия о цифровых системах управления.................... 7
            Функциональная схема цифровой системы......................... 9
            Понятие о решетчатых функциях и дискретном преобразовании Лапласа 11
            Разностные уравнения цифровых систем управления............... 12
            Понятие о Z-преобразовании.................................... 13
            Вопросы и задачи для самоконтроля............................. 16
       1.2  Передаточные функции цифровой системы управления.............. 17
            Передаточные функции разомкнутой цифровой системы управления.. 18
            Передаточные функции замкнутой цифровой системы управления.... 24
            Вопросы и задачи для самоконтроля............................. 28
       1.3  Описание цифровых систем в пространстве состояний.
            Свойства цифровых систем: достижимость, управляемость, наблюдаемость, восстанавливаемость............................ 29
            Получение уравнений состояния цифровой системы на основе разностного уравнения......................................... 29
            Описание в пространстве состояний многомерной системы......... 32
            Описание системы в пространстве состояний в канонической форме управляемости................................................. 38
            Свойства цифровых динамических систем......................... 39
            Вопросы и задачи для самоконтроля............................. 46
       1.4  Частотные характеристики цифровых систем...................... 48
            Вопросы и задачи для самоконтроля............................. 52
       1.5  Устойчивость и точность цифровых систем управления............ 53
            Устойчивость цифровых систем. Критерии устойчивости........... 53
            Анализ точности цифровых систем............................... 60
            Вопросы и задачи для самоконтроля............................. 61
РАЗДЕЛ 2 СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ............................... 64
       2.1  Реализация алгоритмов управления цифровыми контроллерами...... 64
            Параметрически оптимизируемые регуляторы...................... 66
       2.2  Синтез модальных регуляторов.................................. 67
            Синтез регулятора на основе преобразования матричных уравнений к канонической форме управляемости.............................. 67
            Синтез регулятора цифровой системы на основе метода Аккермана. 73
            Вопросы и задачи для самоконтроля............................. 77
       2.3  Проектирование компенсационного регулятора с конечным временем переходного процесса.............................................. 77
            Вопросы и задачи для самоконтроля............................. 81
       2.4  Q-параметризация. Проектирование стабилизирующих регуляторов цифровых систем................................................... 82
            Понятие внутренней устойчивости............................... 85
            Расчет стабилизирующего регулятора цифровой системы........... 86
            Вопросы и задачи для самоконтроля............................. 91

3

РАЗДЕЛ 3 РОБАСТНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ.................................. 93
       3.1 Описание неопределенности моделей объекта................... 93
           Вопросы и задачи для самоконтроля.......................... 101
       3.2  Робастная устойчивость системы управления................. 102
           Общая форма описания системы для робастного регулирования....... 102
           Одномерная система управления с мультипликативной неопределенностью.......................................... 106
           Робастная устойчивость многомерных систем.................. 107
           Вопросы и задачи для самоконтроля.......................... 108
       3.3  Проектирование робастных систем автоматического управления..... 110
           Методика проектирования робастных многомерных систем управления... 116
           Синтез робастного регулятора MIMO системы с использованием "2-Риккати подхода" (в пространстве состояний)............. 118
           Синтез робастного регулятора с использованием частотного метода. 121
           Вопросы и задачи для самоконтроля.......................... 125
РАЗДЕЛ 4 СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ПРОГНОЗИРУЮЩИМИ МОДЕЛЯМИ.... 126
       4.1 Концепция построения САУ с прогнозирующими моделями........ 126
           Модели объекта............................................. 127
           Расчет оптимального управления при заданных горизонтах прогнозирования и управления............................... 135
           Замкнутая система управления с прогнозирующими моделями.... 136
           Вопросы и задачи для самоконтроля.......................... 144
       4.2  Управление при наличии ограничений........................ 145
           Типы ограничений и задача квадратичного программирования... 145
           Решение задачи квадратичного программирования и поиск несущественных ограничений................................. 154
           Вопросы и задачи для самоконтроля.......................... 157
       4.3  Функции Лагерра в задаче управления с прогнозирующими моделями ... 159
       4.4  Управление с функциями Лагерра при наличии ограничений.... 169
           Ограничение на управление.................................. 169
           Ограничения на выходную величину объекта................... 176
           Вопросы и задачи для самоконтроля.......................... 178
       4.5  Управление многомерным и многосвязным объектом............ 180
   ЗАКЛЮЧЕНИЕ......................................................... 185
   ЛИТЕРАТУРА......................................................... 187
   ПРИЛОЖЕНИЕ П.1 .................................................... 189
   ПРИЛОЖЕНИЕ П.2..................................................... 193
   ПРИЛОЖЕНИЕ П.3..................................................... 194

4

ПРЕДИСЛОВИЕ


      Программой подготовки специалистов и магистров в области автоматики предусматривается изучение студентами дисциплины «Современные проблемы теории управления». В отличие от классического курса «Теория автоматического управления», курс «Современные проблемы теории управления» призван раскрыть для студентов новые и новейшие методы анализа и синтеза систем управления. Эти методы разработаны для решения технических задач, возникших вследствие развития средств вычислительной техники, использования в качестве каналов передачи информации современных сетей коммуникаций, а также из-за необходимости принимать решения об управлении объектом или технологическим процессом при неполной информации о состоянии объекта.
      Современные системы управления - все более важные элементы при создании объединенных или многосвязных систем, обеспечивающих высокие эксплуатационные характеристики, конфиденциальность, возможности реконфигурирования в условиях неопределенности.
      Развитие техники и технологий привели к созданию объектов и технологических процессов, при управлении которыми необходимо одновременно контролировать и управлять многими параметрами, обеспечивая требуемое взаимодействие различных взаимосвязанных контуров управления. Примерами могут служить управление автомобилями в городском потоке, управление летательным аппаратом или группой летательных аппаратов при их совместной отработке сложных маневров. В области робототехники также возникает необходимость одновременного управления многими приводами для обеспечения требуемой траектории движения робота. В технологических установках зачастую требуется контролировать и стабилизировать в определенных границах такие параметры, как значение pH, давление, температуру и т.п.
      Современная система управления - это гетерогенная совокупность физической и информационной систем со сложными связями и взаимодействием.
      При создании систем необходима как можно более точная информация о структуре и параметрах объекта управления. К сожалению, математические модели объектов или технологических процессов представляют собой идеализированные модели, отображающие реальные объекты с некоторой погрешностью как в отношении его структуры, так и параметров. Подобные проблемы привели к разработке методов анализа и синтеза робастных систем и систем управления многомерными объектами.

5

     Для воплощения теоретических решений в конкретные технические системы требуются специалисты по автоматике, причем специалисты высокого уровня. Дело в том, что специалист по автоматике все чаще играет роль «системного интегратора» в сложных инженерных проектах. Отсюда возникает необходимость сделать автоматику и теорию управления более доступной широкому кругу студентов технических специальностей. Поэтому возникла необходимость создания учебника, адаптированного для этой категории студентов.
     На основании многолетнего опыта сотрудничества с Магдебургским Отто-фон-Герике университетом и с учетом опыта преподавания теории автоматического управления в Донецком национальном техническом университете на кафедре автоматики и телекоммуникаций в предлагаемый учебник включаются такие разделы, как «Цифровые системы», «Синтез регуляторов цифровых систем», «Робастное управление». В каждом из разделов содержатся примеры, позволяющие в деталях разобраться с методами анализа и проектирования систем управления.

Авторы

6

Раздел 1. Цифровые системы управления

РАЗДЕЛ 1 ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

     1.1 Общие понятия о цифровых системах управления

     Быстрое развитие вычислительной техники создало благоприятные условия для использования ее в системах автоматического управления. Законы управления, которые необходимы для обеспечения нужного качества системы, реализуются путем циклического выполнения алгоритмов средствами цифровых вычислительных устройств, таких как промышленные компьютеры или микроконтроллеры. С помощью цифрового регулирующего устройства в составе системы управления стало возможным осуществить такие алгоритмы управления, которые было невозможно реализовать в аналоговых системах.
     Цифровые регуляторы могут реализовать дополнительные функции, как, например, проверку номинальных режимов, подстройку параметров регулятора, контроль граничных значений сигналов, обмен информацией с другими регуляторами, взаимное резервирование, автоматическую диагностику и поиск неисправностей, выбор необходимых управляющих алгоритмов и реализацию адаптивных законов управления.
     Аналоговые величины, как известно, в каждый момент времени могут принимать любые значения в определенных границах. Аналоговые выходные величины объекта управления являются непрерывными как во времени, так и по своим значениям. Если эти величины измерять только в равноотстоящие моменты времени, то получают сигнал, непрерывный по своему значению и дискретный во времени. Длина интервала времени между двумя измерениями сигнала называют периодом дискретности Т. Дискретные во времени сигналы, вследствие ограниченной разрядности слов в вычислительном устройстве, могут принимать только ограниченное число значений, то есть с помощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП) значения аналогового сигнала преобразуются в соответствующие дискретные значения. Возникает дискретный во времени и по своему значению сигнал. На примере выходной переменной системы управления x(t) на рис. 1.1 представлены типы сигналов. Непрерывный сигнал x (t) в моменты времени t=kT, k=0,1,2,3,... измеряется с периодом дискретности T=2 с, в результате чего возникает сигнал x(kT).


7

Раздел 1. Цифровые системы управления

непрерывный во времени

времени и непрерывный

времени и по

и по значению

по значению

значению

Рисунок 1.1 - Дискретизация непрерывного сигнала


     Вместо непрерывного времени t далее рассматривается дискретная переменная времени к, которая принимает только целые значения к=0,1,2,3 ,....
     В дискретных и цифровых системах управления регулятор рассчитывает управляющее воздействие на основании информации о состоянии объекта. Эта информация для использования в соответствующем алгоритме управления представлена двоичным кодом. Следовательно, управляющее воздействие также является двоичным кодом, который с помощью цифро-аналогового преобразователя трансформируется в непрерывную во времени и дискретную по значению физическую величину (см. рис. 1.2).

а) управляющее воздействие на выходе цифрового регулятора

б) управляющее воздействие на входе объекта управления

Рисунок 1.2 - Преобразование кода цифро-аналоговым преобразователем


     Таким образом, системы управления с цифровыми вычислительными устройствами (ЦВУ) или с микроконтроллерами характеризуются в сравнении с аналоговыми системами следующим:

8

Раздел 1. Цифровые системы управления

     -       законы управления в цифровых системах с прямыми или обратными связями реализуются в форме алгоритмов;
     -       регуляторы получают информацию о состоянии объекта только в дискретные моменты времени, что существенно влияет на общие свойства системы управления, такие, как устойчивость системы и качество управления;
     -       сигналы могут принимать только определенные дискретные значения вследствие квантования по амплитуде в аналого-цифровых и цифроаналоговых преобразователях и в центральном процессоре. Однако, современные микроконтроллеры, а также аналого-цифровые (АЦП) и цифроаналоговые преобразователи (ЦАП) используют минимум 12-разрядную сетку, что дает возможность во многих случаях не учитывать погрешности из-за квантования сигналов по амплитуде.

     Функциональная схема цифровой системы управления

     Систему автоматического управления, содержащую минимум один элемент дискретного действия (или ЦВУ), называют дискретной или импульсной (рис. 1.3). Для преобразования аналоговой переменной в код аналого-цифровому преобразователю требуется время, в течение которого аналоговая переменная должна быть зафиксирована. Вследствие этого последовательное соединение АЦП, микроконтроллера и ЦАП может быть представлено как последовательное включение идеального импульсного элемента и формирующего элемента.
     На выходе элемента сравнения в аналоговой форме появляется сигнал e(t) отклонения управляемой переменной y(t) от задающего воздействия w (t), то есть e(t)=w(t)-y(t). Этот сигнал называют еще сигналом рассогласования. В дискретные моменты времени kT, (k = 0,1,2,3,...) с периодом дискретности Т идеальный импульсный элемент формирует последовательность импульсов e(kT). С математической точки зрения сигнал e(kT) может быть представлен как произведение e(t) на функцию Дирака 8(t - kT). АЦП формирует соответствующий код, подлежащий обработке в микроконтроллере, на выходе которого формируется управляющее воздействие в форме цифрового кода. ЦАП на основании цифрового кода на его входе формирует физическую величину U(kT), которая является управляющим воздействием для объекта O и остается постоянной в течение всего периода дискретности Т.


9

Раздел 1. Цифровые системы управления

    Рисунок 1.3 - Функциональная схема цифровой системы управления: АЦП - аналого-цифровой преобразователь, ЦАП - цифро-аналоговый преобразователь, MK - микроконтроллер, O - объект управления, e(t) и е(кТ) -отклонения управляемой переменной объекта y(t) от задающего воздействия w(t) в аналоговой и дискретной форме, U(kT) - управляющее воздействие

     Хорошей математической абстракцией цифрового кода на выходе микроконтроллера является функция Дирака 8( t - kT). Реакцией формирующего элемента на эту 8( t - kT)-функцию является прямоугольный импульс, который можно представить как сумму двух единичных ступенчатых функций 1(t) и -1(t - T), сдвинутых по времени на период дискретности Т (случай, когда скважность импульса менее 1, не рассматривается). Так как преобразование Лапласа единичной ступенчатой функции L{1(t)} = 1/ s, (s = а + ja - комплексная переменная преобразования Лапласа), то передаточная функция формирующего элемента может быть получена как преобразование Лапласа от суммы функций:
                                             - sT
                                       1  1 • e
WH(s) = L{1(t) -1(t-T)} =-------= (1 -e-sT)/s .  (1.1)
                                       s s
     Линейную дискретную систему с амплитудно-импульсной модуляцией можно рассматривать как последовательное соединение идеального импульсного элемента с передаточной функцией, равной единице, формирующего элемента с передаточной функцией WH(s) и непрерывной части системы с передаточной функцией WS(s). Соединение формирующего элемента и непрерывной части системы обозначают как приведенную непрерывную часть системы с передаточной функцией
Whs(s) =Wh(s)Wₛ(s) .                    (1.2)
     Дискретные системы подразделяются на системы с амплитудноимпульсной модуляцией (АИМ), частотно-импульсной модуляцией (ЧИМ) и


10

Раздел 1. Цифровые системы управления

широтно-импульсной модуляцией (ШИМ). Импульсные системы с АИМ являются линейными системами, а системы с ЧИМ и ШИМ - нелинейными системами. В дальнейшем рассматриваются только системы с амплитудноимпульсной модуляцией.

      Понятие о решетчатых функциях и дискретном преобразовании Лапласа

      Анализ и проектирование систем с АИМ значительно упрощается, если все сигналы рассматривать в дискретные моменты времени:
x(t) ^ x(kT), kT = 0,T,2T,..., ^.
      Решетчатой называется функция, которая определена только в дискретные равноотстоящие друг от друга моменты времени как ординаты непрерывной функции (рис. 1.4).

Рисунок 1.4 - Решетчатая функция в системе с АИМ

      Прямое преобразование Лапласа функции x(t) определяется следующим выражением
X(s) = L{x(t)}= Jx(t)e-sTdt,               (1.3)
0
а дискретное преобразование Лапласа функции x(kT) - выражением
                  X*(s) = D{x(kT)}= £x(kT)e~kTs, kT = 0,T,2T,... . (1.4) k=0
      Пусть, например, имеется аналоговый сигнал вида x(t) = e⁻at, t ^0. Решетчатая функция, образованная из непрерывной функции в дискретные моменты времени с периодом дискретности T, имеет вид x(kT) = e ~akT, а дискретное преобразование Лапласа для нее рассчитывается следующим образом:

11

Раздел 1. Цифровые системы управления

                со   .   .
     X *( s) = Еe - akTe -kTs = 1 + e⁻⁽a⁺s)T + e '²⁽ a⁺s)T + e ’³⁽ a ⁺ s)T + k=0

1
1- e-⁽a ⁺ s)T '

      От дискретного преобразования Лапласа можно перейти к Z -преобразованию, используя для этой цели обозначение z=esT. Таким образом, для решетчатой функции x(kT) = e⁻akT на основании ее дискретного преобразования Лапласа легко найти Z-преобразования, то есть

X ⁽z) = X•(s ) e„ = z = 1-^T

esT = z

sT e
Tr     -aT
es - e⁻a

esT = z

z
     -aT . z - e

(1.5)

      Решетчатая функция x(kT), ее дискретное преобразование Лапласа X*(s) и Z-преобразование несут в себе информацию о величине непрерывной переменной x(t) в дискретные моменты времени kT, k=0,1,2,3,... . С целью расчета величины переменной x(t) в промежутке между соседними k и (k+1 )-м моментами времени используют смещенную решетчатую функцию x(kT+eT), 0<е<1. Для упрощения записи для смещенной решетчатой функции используют символ x(k, е) . Очевидно, что смещенная функция x(k,E) для е =1 равна x(k+1). Дискретное преобразование Лапласа смещенной функции, например x(k,E) = e a⁽k⁺е⁾t , рассчитывается также по формуле (1.6):

         v
X * ( s ) = Е e - a ⁽k⁺s) Te - kTs k=0

   - a sT v - akT - kts
= e • Е e       e
k=0

ₑ ⁻ asT
1 ₋ ₑ-(a+s)T ■

(1.6)

     Если Z -преобразование применяют к смещенной решетчатой функции, то Z-преобразование в данном случае называют модифицированным.
     С помощью смещенной решетчатой функции удобно описывать сигналы, которые именно в дискретные моменты времени претерпевают разрывы или мгновенно изменяются. Для определения величины x(kT) в моменты разрыва берут смещенную решетчатую функцию x(k-1, е) для е=1, то есть x(k-1, 1).


     Разностные уравнения цифровых систем управления

     Аналогом дифференциальных уравнений, описывающих непрерывные динамические системы, являются разностные уравнения, представляющие собой математическую модель цифровой системы.
     Пусть, например, движение непрерывной динамической системы описывается дифференциальным уравнением третьего порядка, то есть


12