Численные методы


И. К. Локтионов Л. П. Мироненко В. В. Турупалов










ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ


Учебник




Под общей редакцией кандидата технических наук, профессора В. В. Турупалова











Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2022

УДК 004:519.6
ББК 32.973:22.193
     Л73

                 Рекомендовано ученым советом ГОУ ВПО «Донецкий национальный технический университет» (г. Донецк) в качестве учебника для студентов высших учебных заведений



Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математического анализа Донецкого национального университета (г. Донецк) В. В. Волчков;
доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник ГУ «Донецкий физико-технический институт им. А. А. Галкина» (г. Донецк) В. В. Малашенко




     Локтионов, И. К.
Л73     Численные методы : учебник / И. К. Локтионов, Л. П. Ми-
     роненко, В. В. Турупалов ; под общ. ред. канд. техн. наук, проф. В. В. Турупалова. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2022. - 380 с. : ил., табл.
         ISBN 978-5-9729-0786-1

     Рассмотрены численные методы решения систем линейных уравнений, нелинейных уравнений и их систем, способы аппроксимации функций, численного дифференцирования и интегрирования, а также приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебник содержит значительное количество задач с подробными решениями и задания для самостоятельного выполнения в виде лабораторных работ с контрольными вопросами по прикладным разделам, рассмотренным в книге.
     Для студентов, обучающихся по техническим направлениям подготовки, а также научных и инженерно-технических работников, использующих в практической деятельности методы вычислений.

УДК 004:519.6
ББК 32.973:22.193




ISBN 978-5-9729-0786-1  © Локтионов И. К., Мироненко Л. П., Турупалов В. В., 2022
                        © Издательство «Инфра-Инженерия», 2022 © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ....................................... 7
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ...................................... 10
ВВЕДЕНИЕ......................................... 11
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ 14
  § 1. Абсолютная и относительная погрешности.... 14
  § 2. Значащие цифры числа и правила округления. 15
  § 3. Погрешности арифметических операций над приближенными числами.......................... 19
ГЛАВА 2. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ.................................. 26
  § 4. Определение метрического пространства..... 26
  § 5. Принцип сжимающих отображений............. 29
  § 6. Теорема Банаха и метод последовательных приближений.................................... 34
ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.............. 36
  § 7. Метод простых итераций для систем линейных алгебраических уравнений....................... 36
  § 8. Сходимость итерационных методов решения СЛАУ........................................... 39
  § 9. Оценка погрешности метода итераций........ 44
  § 10. Метод Зейделя............................ 46
  § 11. Метод Гаусса............................. 49
ГЛАВА 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ.................... 56
  § 12. Общие сведения об уравнениях............. 56
  § 13. Условия существования корней уравнения... 59
  § 14. Метод половинного деления................ 62
  § 15. Метод хорд............................... 64
  § 16. Метод Ньютона............................ 69
  § 17. Модифицированный метод Ньютона........... 76
  § 18. Метод секущих............................ 77
  § 19. Комбинированный метод хорд и касательных. 78
  § 20. Метод простых итераций................... 79

3

Численные методы

  § 21. Обзор некоторых приближенных методов решения нелинейных уравнений............. 86
ГЛАВА 5. СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ...              90
  § 22. Метод Ньютона...................... 91
  § 23. Метод простых итераций............. 95
  § 24. Метод Ньютона и метод простых итераций в векторной форме................................. 103
  § 25. Метод продолжения по параметру.............. 113
  § 26. Метод скорейшего спуска..................... 114
ГЛАВА 6. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ................. 118
  § 27. Общие замечания............................. 118
  § 28. Теория метода наименьших квадратов.......... 120
  § 29. Линейное и квадратичное приближения в методе наименьших квадратов..................... 122
  § 30. Некоторые эмпирические зависимости в методе наименьших квадратов..................... 124
ГЛАВА 7. ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИИ........................ 132
  § 31. Понятие полиномиального интерполирования.... 132
  § 32. Конечные разности........................... 136
  § 33. Интерполяционные формулы Ньютона............ 143
  § 34. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга и Бесселя......................................... 151
  § 35. Разделённые разности........................ 157
  § 36. Интерполяционный многочлен Ньютона для неравноотстоящих узлов............................ 159
  § 37. Интерполяционная формула Лагранжа........... 161
  § 38. Оценка погрешности интерполяционных формул.. 165
ГЛАВА 8. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ.......... 170
  § 39. Определение производной в численном анализе. 170
  § 40. Производные некоторых интерполяционных многочленов....................................... 178
  § 41. Вычисление производных интерполяционных полиномов с помощью формулы повышенной точности.......................................... 182

4

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА 9. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ................ 186
  § 42. Основные квадратурные формулы с равноотстоящими узлами....................... 187
  § 43. Оценка погрешности квадратурных формул...    193
  § 44. Метод парабол (Симпсона)................. 200
  § 45. Метод двойного пересчёта оценки погрешностей квадратурных формул............................ 207
  § 46. Аппроксимация подынтегральной функции полиномами Лагранжа............................ 208
  § 47. Формулы Ньютона - Котеса................. 210
  § 48. Интегрирование с помощью степенных рядов. 214

ГЛАВА 10. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ........................................ 216
  § 49. Метод последовательного дифференцирования... 221
  § 50. Метод последовательных приближений....... 223
  § 51. Метод последовательных приближений для дифференциальных уравнений высших порядков..... 226
  § 52. Метод неопределенных коэффициентов....... 229
  § 53. Метод введения малого параметра.......... 231
  § 54. Методы Рунге - Кутта..................... 232
  § 55. Метод Эйлера (метод ломаных)............. 234
  § 56. Метод Эйлера - Коши (исправленный метод Эйлера).................... 237
  § 57. Модифицированный метод Эйлера............ 240
  § 58. Метод Рунге - Кутта четвертого порядка... 242
  § 59. Метод Рунге - Кутта для дифференциального уравнений второго порядка...................... 249
  § 60. Метод Адамса............................. 249

ГЛАВА 11. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В ЧИСЛЕННОМ
АНАЛИЗЕ.......................................... 253
  § 61. Определение степенного ряда.............. 253
  § 62. Стандартные степенные ряды............... 255
  § 63. Использование стандартных степенных рядов для приближенных вычислений.................... 259


5

Численные методы

II. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ....................... 264
  № 1. Элементы теории погрешностей.............. 265
  № 2. Системы линейных алгебраических уравнений. 274
  № 3. Нелинейные уравнения...................... 291
  № 4. Системы нелинейные уравнений.............. 301
  № 5. Метод наименьших квадратов................ 311
  № 6. Интерполяция.............................. 323
  № 7. Численное дифференцирование............... 336
  № 8. Численное интегрирование.................. 349
  № 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения... 356
  № 10. Степенные ряды в приближенных методах.... 366

  СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.............................. 375

6

ПРЕДИСЛОВИЕ

     Одним из аспектов профессиональной деятельности инженера является математическое моделирование процессов и явлений в различных областях техники. Для изучения свойств моделей, расчетов их характеристик исследователь должен иметь необходимый набор алгоритмов вычислительной математики, позволяющих успешно решать поставленные задачи и владеть способами их программной реализации. Такие знания необходимы и при использовании современных пакетов прикладных программ, которые в настоящее время получили широкое распространение среди специалистов различных направлений.
     Привлекательность этих программных продуктов объясняется, в частности, возможностью быстрого получения результата при сравнительно небольших временных затратах на обучение пользователя. Однако «слепое» использование готовых математических программ иногда приводит к побочным негативным эффектам в виде различных сообщений об ошибках и даже к неверным результатам.
     Для пользователя, знакомого с элементами теории численных методов, лежащих в основе всех математических пакетов, устранение указанных издержек работы не составит труда. Кроме того, следует иметь в виду, что самый совершенный пакет математических программ не сможет исчерпать множество нестандартных ситуаций, возникающих при решении исследовательской задачи. Поэтому создание новых или модификация уже известных подходов к решению задач потребует определённых знаний в области приближённых вычислений, получение которых будет более эффективным, если исследователь владеет основными понятиями высшей математики. Таким образом, изучение методов численного анализа и приобре-

7

Численные методы

тение опыта их использования определяют профессиональные качества будущего инженера.
     В книге представлен материал курса численного анализа, предусмотренный программой подготовки инженеров технических специальностей и рассчитанный на изучение методов решения систем линейных уравнений, нелинейных уравнений и их систем, методов теории приближения функций одной переменной и их применения в численном дифференцировании и интегрировании, а также приближенных аналитических и численных методов решения задачи Коши.
     Среди книг на русском языке, объединяющих систематическое изложение методов вычислительной математики с лабораторными работами известно немного ([12], [20]), и скоро они могут оказаться раритетными в силу ограниченности тиражей. Необходимость пополнения этого небольшого списка изданием «универсального» характера явилось одним из побудительных мотивов для написания настоящего пособия. В рамках ограниченного объёма авторы попытались изложить методы в максимально доступной форме, сохраняя при этом достаточный уровень строгости, отвечающий требованиям подготовки специалистов, для которых вычислительная математика не является профильным предметом. Достигнуты ли указанные цели, судить читателям.
     Другой особенностью настоящего учебника является изложение целого ряда итерационных методов, рассмотренных в нескольких разделах, на основе принципа сжимающих отображений, использованного для обоснования итерационных схем и установления их сходимости. Автором некоторых доказательств и графического представления интерполяционных полиномов Ньютона, Гаусса, Стирлинга и Бесселя в удобном для восприятия виде является Л. П. Мироненко. Представленный материал следует

8

ПРЕДИСЛОВИЕ

рассматривать не только как руководство для изучения традиционных численных методов, но и как стартовую платформу для более глубокого освоения предмета.
     Авторы будут признательны читателям за предложения и критические замечания, которые можно направлять по адресу lok_ig@mail.ru.

От авторов.

9

I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

10

ВВЕДЕНИЕ

     Численные методы часто используются при проектировании элементов конструкций и узлов электронной и другой современной аппаратуры. При этом обычно реализуется следующая схема:
    - постановка задачи в конкретной области исследования;
    - построение математической модели;
    - выбор оптимального аналитического или численного метода;
    - составление алгоритма;
    - разработка программного обеспечения для получения результата в точках области существования решения.
     Математические методы делятся на аналитические и численные. Аналитические методы применяются к математическим моделям с непрерывной областью изменения параметров задачи. Эти методы дают наиболее полную информацию об объектах, поскольку позволяют получать решения в виде аналитических выражений (формул). Однако класс задач, допускающих точное решение, сильно ограничен. Поэтому решение подавляющего числа задач осуществляется численными методами.
     Численные методы - это методы приближенного решения задач. Численные методы также называют численным анализом, или вычислительной математикой.
     В отличие от аналитических методов, численные методы являются дискретными, они дают решения в областях изменения независимой переменной с постоянным или переменным шагом. При этом требуется выполнить достаточное количество арифметических операций над числовыми массивами. При этом приближённый вычислительный процесс характеризуется некоторыми понятиями -

11

Численные методы

устойчивостью схемы вычисления; сходимостью, точностью, экономичностью, числом параметров метода.
      Метод называется сходящимся, если при стремлении параметров метода к определённым предельным значениям, последовательность приближений сходится к точному решению, и расходящимся в противном случае, т. е., если последовательность приближенных решений не сходится к точному решению, имеет бесконечный предел, или предел не существует вообще.
      Задача является хорошо обусловленной, если при небольших изменениях входных данных результаты её решения изменяются незначительно (непрерывная зависимость решения от исходных данных) и при любых исходных данных из возможного диапазона их изменения задача однозначно разрешима.
      Численный метод называется устойчивым, если результаты расчёта непрерывно зависят от исходных данных задачи (выполняется условие хорошей обусловленности задачи) и погрешность округления, связанная с реализацией метода, при заданных пределах изменения параметров метода, остаётся ограниченной.
      В численных методах используются два класса методов решения уравнений и систем уравнений:
      1)       Прямые методы, позволяющие найти решение за определённое число операций.
      2)       Итерационные методы, основанные на использовании повторяющегося (циклического) процесса и позволяющие получить решение в результате последовательных приближений. Операции, входящие в повторяющийся процесс, составляют итерацию.
     Итерационные методы состоят в последовательном приближении к истинному решению x. Итерация (от лат. iterario - повторение) - повторение применения какой-либо математической операции к математическому объекту.

12

ВВЕДЕНИЕ

     Итерационный процесс начинается с некоторого начального приближения xₒ и состоит в последовательном приближении к истинному значению корня x1, x₂,..., xₙ. Каждый шаг называется итерацией. Если итерационный процесс сходится, то lim xₙ — x. n ^<X)
     Объем вычислений часто определить трудно, поэтому итерации продолжают до получения решения с требуемой точностью.

13

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ


     Численные методы непосредственно связаны с приближенными вычислениями. Поэтому теория погрешностей является важной составляющей численных методов.
     Выделяют три причины, приводящие к необходимости использования теории погрешностей.
     Первая из них связана с неточностью исходных данных, которые получены в результате измерений. Эти факторы приводят к понятию неустранимой погрешности.
     Следующей причиной является погрешность вычислений . Она обусловлена двумя факторами - округлениями числовых данных, таких как л/2, л/з , трансцендентных чисел л, e и погрешностью арифметических операций над числами, таких как сумма, разность, произведение, частное и т.д.
     Третьей причиной является погрешность метода, используемого при решении задачи. Погрешность метода может быть учтена в конечном результате.
     Теория погрешностей решает первые две проблемы -учитывает погрешность исходных данных и погрешность их математической обработки.


  § 1. Абсолютная и относительная погрешности


     Пусть A является точным числом (его часто называют истинным числом), а a - его приближенное значение. Модуль разности |A - а| называется абсолютной погрешностью приближенного числа а и обозначается А или А а .
Замечание. Точное число A часто неизвестно (например, числа л, е ), поэтому используют верхнюю границу разности |А - а|, полагая Аа > sup|A - а\.


14