Расчеты на прочность - это просто!


В. Б. Порошин








                РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ - ЭТО ПРОСТО!




Учебное пособие





4-е издание, переработанное и дополненное
















Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2022

УДК 539.4(075.8)
ББК 22.251

    П59


Р е ц е н з е н т ы :
главный научный сотрудник ФГУП «РФЯЦ-ВНИИТФ» доктор технических наук А. П. Журавлев;
заведующий кафедрой прикладной механики ЮУрГАУ доцент, кандидат технических наук М.А. Гутров



     Порошин, В. Б.
П59 Расчеты на прочность - это просто! : учебное пособие / В. Б. Порошин. - 4-е изд., перераб. и доп. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2022. - 76 с.: ил., табл.
          ISBN 978-5-9729-0871-4

     Рассмотрены анализ внутренних силовых факторов в стержневых системах и подход к расчетам на прочность по допускаемым напряжениям. Приведены примеры построения эпюр внутренних силовых факторов и расчетов на прочность при простых видах нагружения: растяжении-сжатии, поперечном изгибе (для пластичного и хрупкого материалов), кручении. Особое внимание уделено условным расчетам на прочность элементов узлов и соединений. Представлены расчетные зависимости для определения нормальных и касательных напряжений при простых видах нагружения и объемные эпюры их распределения по сечению; справочные данные, касающиеся механических характеристик некоторых марок сталей, сплавов цветных и легких металлов, серых чугунов, а также необходимые при решении задач геометрические характеристики простейших сечений.
     Для студентов, изучающих сопротивление материалов в курсах прикладной и технической механики.


                                                              УДК 539.4(075.8)
                                                              ББК 22.251







ISBN 978-5-9729-0871-4

   © Порошин В. Б., 2022
   © Издательство «Инфра-Инженерия», 2022
                         © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022

            СОДЕРЖАНИЕ



ОТАВТОРА......................................................4

1. ПОДХОД К ОЦЕНКЕ ПРОЧНОСТИ ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ..........................................5

2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СЕЧЕНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ..............6
2.1. Простые виды нагружения...................................8
2.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов с помощью метода сечений.............................9

3. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ........................................22
3.1. Опасные и допускаемые напряжения.........................22
3.2. Коэффициент запаса прочности - фактический и нормативный.23
3.3. Типы расчета на прочность................................26
3.4. Примеры расчетов на прочность по допускаемому напряжению.27

4. УСЛОВНЫЕ РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ..............................43

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК......................................68

ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1. ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ И ХАРАКТЕР ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО СЕЧЕНИЮ ПРИ ПРОСТЫХ ВИДАХ НАГРУЖЕНИЯ.........................69
Приложение 2. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ И СОПРОТИВЛЕНИЯ НЕКОТОРЫХ СЕЧЕНИЙ....................................71
Приложение 3. МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕКОТОРЫХ МАРОК СТАЛЕЙ, СЕРЫХ ЧУГУНОВ
           И СПЛАВОВ ЦВЕТНЫХ И ЛЕГКИХ МЕТАЛЛОВ................72
Приложение 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ПРОЧНОСТИ ПРИ СДВИГЕ.................................73


3

            ОТ АВТОРА



    Пособие, которое Вы держите в руках, адресовано студентам немеханических специальностей всех факультетов, изучающих Сопротивление материалов или Прикладную (Техническую) механику в течение одного семестра.
    Пособие, конечно, лишь дополняет лекционный курс, ни в коем случае не заменяя его, поскольку в нем обсуждаются всего два раздела: анализ внутренних силовых факторов в стержневых системах и принципы расчетов на прочность по допускаемым напряжениям. Именно с ними приходится особенно часто иметь дело при выполнении курсовой работы или расчетно-графических заданий и, конечно, на экзамене. Не случайно большую часть пособия занимают примеры, что позволяет рекомендовать его, в первую очередь, для самостоятельной работы.
    Многолетний опыт свидетельствует, что первый из этих разделов вызывает затруднение, в основном, потому, что он первый и закладывает основы понимания (или непонимания) всего курса. Что же касается второго, то ни с каким другим вопросом не возникает большей путаницы, чем с расчетами на прочность; попытки вычислить нормативный коэффициент запаса прочности стали уже притчей во языцех и караются беспощадно - потому, что «вычислитель» просто не понимает смысла того, что он делает. К тому же на эти обстоятельства накладываются осложнения субъективного характера: на

некоторых специальностях курс изучается в весеннем семестре, когда сол

нышко сияет, птички чирикают, студенты гуляют парами - по три пары

в день, а при всем при этом сдача сопромата, как известно, есть непременное условие будущей благополучной семейной жизни.
    Все сказанное и побудило автора рассказать об этом предмете пусть не очень строго, зато просто и понятно, в форме разговора с авторитетным в данной области человеком, назовем его Наставником.

Кстати, вот он, прошу любить и жаловать.

    Вопросы ему мы будем задавать пО-ГКн«КИ, а уж отвечать он будет по-русски, иначе понять что-либо будет очень трудно: представьте себе - сопромат по-древнегречески!
    Термины, понятия и определения в тексте набраны курсивом, а моменты, на которые необходимо обратить особое внимание - жирным шрифтом.
    Ну, кажется, все, о чем следовало бы договориться предварительно, сказано. А теперь к делу! Первый вопрос.

— <КАЖИт< У&АЖА<МЩЙ HA<TAWK, НТО ТАКО< Л|>ОЧНО<Тк И КАК rA«W'&AtOT НА ПЮЧНО<ТК?

4

            1. ПОДХОД К ОЦЕНКЕ ПРОЧНОСТИ ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ



    Под прочностью в широком смысле понимают способность конструкции или отдельных ее частей выдерживать заданную нагрузку не разрушаясь и без проявления остаточных деформаций, нарушающих работоспособность изделия.

    В курсе сопротивления материалов получают зависимости (приложение 1), с помощью которых можно рассчитать напряжения в конструкции. Определение этого понятия посмотрите в своем конспекте лекций или учебнике. Однако сама по себе величина напряжения еще мало о чем говорит. Пусть в некоторой области детали напряжение оказалось равным, например, 250 МПа (мегапаскалям). Много это или мало? Будет деталь работать или нет? Все зависит от механических свойств материала; для малоуглеродистой стали Ст.З такое напряжение приведет к чрезмерной деформации и, как следствие, потере работоспособности. Деталь же из легированной стали, скажем, 40ХН при таких напряжениях вполне работоспособна.
    Таким образом, оценка прочности обязательно включает две стороны:
    -     определение действующих в конструкции напряжений, зависящих от внешней нагрузки и геометрических параметров системы;
    -     назначение максимально возможного, допустимого (из соображений надежности) напряжения, зависящего от прочностных свойств материала и ответственности конструкции,
    -     и, наконец, сопоставление действующего и максимально допустимого напряжений.

    Первый этап - определение действующих напряжений - начинается с анализа нагруженности объекта. Под нагруженностью понимается распределение внутренних усилий вдоль оси стержня (именно с такими, пожалуй, самыми простыми телами, будем иметь дело в нашем курсе). С этой целью в сопротивлении материалов применяется так называемый метод сечении.

— 1*А«КАЖИт< О Н<М.


5

            2.     ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СЕЧЕНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ



Рис. 1. Твердое тело находится в равновесии под действием системы обобщенных нагрузок {F }п

                                       Рис. 2. Внутренние силовые факторы в поперечном сечении тела(k<n)


    Пусть твердое тело (рис. 1) находится в равновесии под действием приложенных к нему n внешних нагрузок (активных и реактивных -реакций отброшенных связей). Роль нагрузки может играть любое воздействие - сосредоточенная (приложенная в точке) сила, сила, распределенная вдоль линии, по поверхности или объему тела, или же пара сил - сосредоточенная или распределенная. К слову, если вид воздействия - сила ли, момент - не имеет значения, будем использовать термин «усилие». Чтобы освежить в памяти эти и некоторые другие основные понятия, загляните в учебник, например, [1] или пособие [2].
    Проведем произвольное поперечное сечение тела и рассмотрим любую из двух получившихся частей, например, правую (рис. 2), на которую действует ствует система нагрузок {Fi}ₖ (k<n). В общем случае она окажется неуравновешенной.
    — Н<        IfcM- ИЖАЧДАМЧф т<ЛО БМО &
    - А почему вообще твердое тело - твердое, почему оно не распадается на части? Всему «виной» взаимодействие отдельных его частиц - атомарного, молекулярного ли характера - сейчас это не важно. Важно лишь, что эти внутренние усилия - всегда распределенные, их-то мы и «потеряли», разделив части сечением. Понятно, что такая своеобразная реакция матери

6

ала на деформирование возникает только в том случае, когда к объекту прикладываются внешние нагрузки. В связи с этим в сопротивлении материалов принимается гипотеза о начальном ненапряженном состоянии тела. Заметим, что в действительности в конструкции могут существовать внутренние усилия и до приложения внешней нагрузки, скажем, после отливки заготовки, сварки отдельных частей, механической обработки или в результате неточности сборки.
    В соответствии с известной теоремой статики (теоремой Пуансо) любая система усилий может быть заменена ей эквивалентной - силой и парой сил. Силу определяет главный вектор сил Л, а момент - вектор главного момента Ж исходной системы (см. рис. 2). Представим их в виде составляющих, разложив по ортогональным осям x, y, z:
Л N + Q~ₓ + Q~y,   Ж = T + М~х + МТу;
x, y, z — главные оси, проведенные через центр тяжести фигуры, представляющей сечение.
    Величины N - нормальная сила; Qₓ,Qy - горизонтальная и вертикальная составляющие поперечной (или перерезывающей) силы; T — крутящий момент; Мх, Му - составляющие изгибающего момента в вертикальной и горизонтальной плоскостях, соответственно, носят название «внутренние силовые факторы». Внутренние силовые факторы можно рассматривать как результат действия левой (отброшенной) части на правую (вспомните: «сила есть мера взаимодействия тел»). Они могут быть определены из условия равновесия любой из отсеченных частей (главное, чтобы были известны все - активные и реактивные - действующие на нее внешние нагрузки) с помощью известных уравнений статики:


k
E F⁺N = °;
i =1
k
E Fix + Qx = °;
i =1
k
Е Fiy + Qy = °;
i =1

    k     /—X     ¹
Е Mx (Fi ) + E M + Mx = °;
    i=1           j =1
    k             1
    E My (Fi ).+E Mjy + My = °;
    i=1       i   j=1
    k             1
EM; (Fi)i +EM]₂ + T = °;
    i =1          j =1


(1)

Mj - моменту-й внешней пары сил общим числом 1 штук, приложенных к рассматриваемой части; F, N, Q,M, T - величины скалярного характера.

7

    2.1. Простые виды нагружения


    Разумеется, в сечении могут присутствовать не все шесть внутренних силовых факторов одновременно - это зависит от вида внешней нагрузки и способа ее приложения. В зависимости от того, какие внутренние силовые факторы оказались отличны от нуля, различают несколько простых видов нагружения стержня.
    Если в сечении присутствует только нормальная сила N, в стержне реализуется растяжение или сжатие, при этом растягивающая сила считается положительной, а сжимающая - отрицательной (рис. 3).

Рис. 3. Нормальная сила N в сечении стержня при растяжении-сжатии

   При наличии лишь крутящего момента T говорят о кручении стержня. Крутящий момент в сечении, направленный против часовой стрелки, считается положительным, по часовой стрелке - отрицательным (рис. 4).

Рис. 5. Изгибающий момент M и поперечная сила Q в сечении при чистом и поперечном изгибе стержня

Рис. 4. Образование крутящего момента T в сечении при кручении стержня и правило знаков

8

    В том случае, когда в сечении ненулевым будет лишь изгибающий момент M., говорят, что стержень испытывает чистый изгиб; знак изгибающего момента определяется знаком кривизны балки (рис. 5). Таким образом, положительному изгибающему моменту соответствуют сжатые волокна сверху, отрицательному - снизу.
    Если же помимо изгибающего момента M в сечении стержня действует еще и поперечная (перерезывающая) сила Q, в нем реализуется поперечный изгиб. Знак поперечной силы удобно определять по тому, в каком направлении пытается повернуть отсеченную часть балки результирующая поперечной нагрузки относительно рассматриваемого сечения (см. рис. 5): если по часовой стрелке - сила считается положительной, против часовой стрелки - отрицательной.
— <КА>АМ ЧТО Лкто>          МОЖНО 0<ПОЛ^О&АП ОЛЯ АнАЛИЭА нАГ0УЖ«ннО<тИ
  кон<т?укций Как?
- Применение метода сечений с этой целью поясним на паре примеров.


    2,2, Построение эпюр внутренних силовых факторов с помощью метода сечений


    Как уже было сказано, для расчета на прочность по допускаемым напряжениям вначале необходимо выявить наиболее опасную (а таковой будет, конечно, наиболее нагруженная) область конструкции. Такой областью логично считать наиболее нагруженное сечение. Его, в свою очередь,

удобно выбирать, построив график распределения того или иного внутреннего силового фактора вдоль продольной оси стержня; кстати, этот график в сопротивлении материалов называется эпюрой.

    Пример 1. Для системы, изображенной на рис. 6, нужно построить эпюры всех отличных от нуля внутренних силовых факторов. Удельный вес материала у. Наставник пытается приподнять колонну с силой, в полтора раза превышающей вес верхней части.




Рис. 6. Наставник пытается поднять ступенчатую колонну, обладающую собственным весом

9

    Прежде всего, необходимо составить расчетную схему объекта. В плане геометрии дальнейшей схематизации не требуется, а вот нагрузки еще предстоит определить.
    Очевидно, на колонну действует сила веса, причем неравномерно, и усилие Наставника. Определим интенсивность распределенной нагрузки на верхнем и нижнем участках. По определению интенсивность q распределенной нагрузки численно равна силе (в данном случае, силе веса), действующей на единицу длины рассматриваемого участка; тогда q₁ = yVY = yS -1 = q; q₂ = yV₂ = у2S -1 = 2q (см. рис. 6). Сила, которую прикладывает Наставник, равна
1,5yV = 1,5yS - 3l = 4,5 ql.
    И только теперь появляется возможность изобразить расчетную схему конструкции (рис. 7) и приступить к построению эпюры. Поскольку сейчас сила веса представлена явно, в виде распределенной нагрузки, положение колонны уже не играет никакой роли, поэтому для удобства изобразим

ее горизонтально. Между прочим, ступенчатость конструкции (разные площади сечений участков) на этом этапе - построения эпюры - тоже не имеет значения.
    Анализ нагруженности начнем с определения неизвестной пока внешней нагрузки - реакции опоры (в нашем случае, жесткого защемления, или заделки). Для этого достаточно записать условие равновесия системы в форме суммы проекций всех сил на ось, совпадающую с осью бруса (по традиции ее обозначают z):
2FZ= - q• 31+ 4,5ql- 2q• 21-R= 0;
R = -2,5 ql.


Рис. 7. Расчетная схема колонны и построение эпюры нормальной силы

10

Остальные условия равновесия удовлетворяются тождественно. Знак «-», как нетрудно догадаться, означает, что первоначальное предположение о направлении реакции было ошибочным.
   Итак, для каждого из двух участков бруса применим метод сечений.


Рис-х- Леваяотсе— часть (первый участок)

- на этом участке:

   Участок @
   В любом месте на первом участке (см. рис. 7) проведем сечение и рассмотрим равновесие одной из получившихся частей, какой - безразлично (рис. 8). Главное, чтобы была известна вся приложенная к ней внешняя нагрузка - активная и реактивная. Записав условие равновесия для этой части, найдем закон изменения нормальной силы - единственного ненулевого внутреннего силового фактора

XFz= qz-N(z) = 0, N(z) = qz.
Как видно, функция N(z) представляет линейную зависимость. Для ее построения найдем два значения N(z) - в начале и в конце участка:
z=0, N(0) = 0; z=3l, N(31) = 3ql.
Заметьте, положительный знак перед силой N говорит лишь о правильном выборе ее направления - и только. Сила на всем участке оказалась сжимающей, а это означает, что она отрицательна (см. рис. 3). Осталось изобразить график изменения силы N на соответствующем участке, заштриховать его и проставить найденные значения, точнее, их абсолютные величины - знаки ставятся на самой эпюре (см. рис. 7).


Участок (2)
   Проведем сечение 2 на втором участке (см. рис. 7) и рассмотрим равновесие одной, как и прежде, левой, отсеченной части (рис. 9). Излишне говорить, что в каждый момент времени рассматривается только одно сечение. Для того, чтобы уравнение получилось как можно проще, начало системы координат лучше поместить в начало рассматриваемого участка. Условие равновесия имеет вид

Рис. 9. Левая отсеченная часть (второй участок)

FFz= 3ql - 4,5ql + 2qz + N(z) = 0, N(z) = 1,5ql - 2qz; z = 0, N(0) = 1,5ql;

z=21, N(2l)=- 2,5ql.

11