Математические методы в горном деле


О. Г. Латышев|, О. О. Казак















МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ДЕЛЕ


Допущено учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по образованию в области горного дела в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся по направлению подготовки 21.00.00 «Прикладная геология, горное дело, нефтегазовое дело и геодезия»

















Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2022

УДК 622.01
ББКЗЗ+22.16
    Л27


Рецензенты:
профессор, доктор технических наук, заведующий кафедрой подземной разработки МПИ Магнитогорского государственного технического университета В. Н. Калмыков;
профессор, доктор технических наук, заведующий лабораторией геодинамики и горного давления Института горного дела Уральского отделения РАН О. В. Зотеев






     Латышев, О. Г.|                                    ______________
Л27 Математические методы в горном деле : учебник / |О. Г. Латышев|, О. О. Казак. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2022. - 172 с. : ил., табл.
        ISBN 978-5-9729-0801-1

      Приводятся необходимые сведения о теории вероятностей и математической статистике. Даются систематические сведения по организации и планированию инженерного эксперимента и его обобщенная стратегия. Излагаются методы обработки и анализа результатов исследования процессов горного производства, основанные на статистической проверке гипотез, дисперсионном и корреляционном анализе. Обсуждаются основы инженерного прогнозирования, включающие анализ временных и пространственных рядов, построение эмпирических зависимостей, и экспертные оценки.
      Для студентов, изучающих горное дело. Может быть полезно при организации научно-исследовательской работы студентов, выполнении курсовых проектов и выпускных квалификационных работ инженеров.

                                                           УДК 622.01
ББКЗЗ+22.16







ISBN 978-5-9729-0801-1

     ©|Латышев ОТ^Казак О. О., 2022
     © Издательство «Инфра-Инженерия», 2022
                            © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ


Введение..........................................................4
1. Элементы теории вероятностей и математической статистики.......6
  1.1. Случайные события и их вероятностная оценка................6
  1.2. Генеральная и выборочная совокупности......................9
  1.3. Вариационные ряды и их графическое представление..........11
  1.4. Характеристики вариационного ряда.........................15
  1.5. Вероятностные законы распределения дискретной случайной величины.............................................21
  1.6. Нормальное распределение и его свойства...................29
  1.7. Моменты распределения. Асимметрия и эксцесс...............33
  1.8. Распределение Вейбулла....................................36
  1.9. Показательное распределение...............................39
2. Организация и планирование инженерного эксперимента...........44
  2.1. Характеристики инженерного эксперимента...................44
  2.2. Обобщенная стратегия эксперимента.........................46
  2.3. Измерения и их погрешности................................48
  2.4. Организация экспериментальных исследований................55
  2.5. Последовательность проведения эксперимента. Рандомизация..61
  2.6. Элементы теории размерности...............................65
3. Обработка и анализ результатов инженерного эксперимента.......74
  3.1. Проверкаэкспериментальных данных..........................74
  3.2. Статистическая проверка гипотез...........................79
  3.3. Дисперсионный анализ......................................90
  3.4. Корреляционный анализ.....................................94
4. Инженерноепрогнозирование.....................................105
  4.1. Основы инженерного прогноза...............................105
  4.2. Анализ временных и пространственных рядов (тренд-анализ)...110
  4.3. Построение эмпирических зависимостей......................129
  4.4. Фрактальное представление объектов........................138
  4.5. Экспертные методы оценки..................................157
Заключение.......................................................164
Список рекомендуемой литературы..................................165
Приложения.......................................................166

3

ВВЕДЕНИЕ


     Горное дело - одна из определяющих отраслей народного хозяйства. Технология горного производства направлена на разработку месторождений полезных ископаемых и включает проектирование горного предприятия, строительство горных выработок, добычу и обогащение полезных ископаемых. Объектом воздействия горной технологии являются горные породы и их массивы, отличающиеся крайней неоднородностью состава и строения. Поэтому основой проектирования процессов в горном деле является инженерный эксперимент, включающий различные методы моделирования.
     Организация, постановка и анализ результатов экспериментальных исследований базируются на математических методах. Специфика горных процессов, параметры которых определяются множеством случайных независимых факторов, требует привлечения методов теории вероятностей и математической статистики, теории прогнозирования и принятия решений.
     В соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС-3) в результате изучения данной дисциплины студент должен:
     Знать:
   • основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики;
   • численные методы решения алгебраических и дифференциальных уравнений.
     Уметь:
   • применять методы математического анализа при решении инженерных задач;
   • применять компьютерную технику и информационные технологии в своей профессиональной деятельности.


4

     Владеть:
   • инструментарием для решения математических задач в своей предметной области;
   • средствами компьютерной техники и информационных технологий.
     Требования образовательного стандарта определяют содержание данного учебного пособия.
     Основные задачи исследования: изучение основ теории вероятностей и математической статистики в их практическом приложении; освоение методов организации и планирования инженерного эксперимента, обработки и анализа его результатов; овладение методами инженерного прогнозирования в области горного дела.
     Изучение курса «Математические методы в горном деле» опирается на освоенном студентом материале геологического и физико-математического цикла дисциплин. В свою очередь, данная учебная дисциплина является базой для изучения специальных курсов подготовки горного инженера.

5

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

1.1. Случайные события и их вероятностная оценка

     Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности появления случайных событий и явлений. Случайным называют событие, которое при данных условиях может произойти или не произойти. Так, к случайным относятся все погодные явления, индексы мировых цен и пр. Термодинамики и квантовая механика имеют в своей основе случайные события. Это же в полной мере относится ко всем аспектам горного дела. При этом, следует отличать случайное событие от неопределенного. Например, событие - студент возьмет на экзамене билет № 7 будет случайным. Но то, что он выдержит экзамен и получит какую-то положительную оценку не является случайным событием; это событие относится к категории неопределенных.
     Рассмотрим основные характеристики случайных событий. Два события называют несовместными, если наступление одного из них исключает появление другого. Например, при данной нагрузке горная порода может разрушиться или нет. В противном случае события называют совместными.
     Событие называют достоверным, если оно обязательно произойдет в данных условиях. Напротив, если событие заведомо не произойдет в данных условиях, это событие называют невозможным.
     События называют единственно возможными, если одно из них в данных условиях обязательно произойдет. К таким событиям относятся, например, получение какой-либо оценки студентом на экзамене.
     Мерой возможности события является его вероятность. Она определяется отношением числа случаев m, благоприятствующих событию, к общему числу n единственно возможных, равновозможных и несовместных событий:

Р (А) = m/n.                     (1.1)


6

      Пример: пределить вероятность выпадения числа 8 при бросании двух игральных костей. Возможные комбинации: 2+6; 6+2; 3+5; 5+3; 4+4. Итого m = = 5. Общее число возможных комбинаций т = 36. Тогда вероятность Р(А) = = 5/36 = 0,139 = 13,9 %.
      Свойства вероятности:
    •  вероятность принимает значения отОдо 1;
    •  вероятность достоверного события равна единице;
    •  вероятность невозможного события равна нулю.
      Для подсчета числа возможных исходов в зависимости от условий задачи используются соединения элементов в виде перестановок, размещений и сочетаний.

      Перестановками из n элементов называют соединения, отличающиеся только порядком элементов. Число перестановок:
Pn = n!                           (1.2)
      Так, число возможных перестановок их 36 карт составляет Р36 = 36! = = 7,2-10⁴¹.
      Размещения из n элементов по k образуют соединения, отличающиеся либо самими элементами, либо порядком их расположения. Число размещений: ₖ n!
An " (n-t)i ■                        +³’

      Например, из 3 элементов (a, b, c) можно образовать следующие размещения: ab, ac, ba, bc, cb.

      Сочетания из n элементов по k образуют соединения, которые отличают

ся друг от друга, по крайней мере, одним элементом. Число сочетаний:

С k ₌ п ₌     n!
ⁿ    Pₙ  (n - k)!kГ

(1.4)

      Например, из 3 элементов (a, b, c) можно образовать следующие сочетания: ab, ac, bc.

7

     Теорема сложения вероятностей: вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей.
     Пример 1.1.1
     При испытании прочности n = 100 образцов горных пород получены сле-

дующие значения:

асж, МПа 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22
   m       5    15    45    25    10  

      Какова вероятность, что в единичном испытании прочность породы:
      а) не превысит 20 МПа?
      б) будет находиться в интервале 14-20 МПа?
      Решение: очевидно, что события несовместны. Тогда:
      а) Р(Ъсж < 20 МПа) = 5/100+15/100+45/100+25/100 = 0,90.
      б) Р(Ъсж = 16-20 МПа) = 45/100+25/100 = 70/100 = 0,70.
      Теорема умножения вероятностей: вероятность сложного события, представляющего совмещение двух событий, равняется произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло.
      Пример 1.1.2
      Среди 25 электродетонаторов четыре нестандартные. Какова вероятность того, что два последовательно используемых электродетонаторов окажутся нестандартными?
      Решение: вероятность обнаружения нестандартного электродетонатора Р(А) = 4/25 = 0,16. Если это событие произошло (т. е. был использован нестандартный детонатор), то нестандартных осталось 3, и условная вероятность составит Ра(Б) = 3/24. Тогда вероятность того, что дважды подряд будут использованы нестандартные электродетонаторы составит Р(АБ) = 4/25-3/24 = 0,02.
      Практическое использование классического определения вероятности (уравнение (1.1)) сталкивается с двумя трудностями. Первое - подразумевается, что число событий m и n конечно. В реальных задачах это чаще всего не так.

8

При измерении непрерывных величин, например, горного давления, площади сечения выработки и т. п. число исходов (измеренных величин) будет бесконечно большим. В таких случаях используют понятие геометрической вероятности:
Р, (A) Sа/Sо,                        (1.5)
где Sа - интервал изменчивости измеренной величины (с учетом точности измерений); Sо - общий интервал изменчивости данной величины.

1.2. Генеральная и выборочная совокупности

      При изучении некоторого процесса или объекта производят испытания с целью измерения какого-либо качественного или количественного показателя. Сделать это можно двумя способами.
      1.      Обследовать каждый из объектов (сплошное опробование). Такой способ дает исчерпывающую информацию, но его использование ограничивается следующим:
  • Трудно или невозможно исследовать все объекты при их большом числе. Например, испытать все буровые станки на предприятии, да еще во всех возможных режимах их работы.
  • Нецелесообразно исследовать все объекты (даже при их малом числе), если при этом объект уничтожается или изменяет свои свойства. Например, проверка электродетонаторов путем их взрывания, или испытание всех стоек шахтной крепи на изгиб.
      2.      Исследовать только часть объектов (выборочный контроль). На практике чаще всего используют именно данных способ. При этом из всей совокупности случайно отбирают ограниченное число объектов и подвергают их изучению.
      Совокупность отобранных для контроля объектов называется выборкой. Вся совокупность объектов, из которых производилась выборка, называется генеральной совокупностью. Число объектов обычно называют объемом (генеральной или выборочной совокупности).


9

     При составлении выборки можно поступить двояко: после того, как объект отобран и испытан, он может быть возвращен в генеральную совокупность, либо не возвращен. В соответствии с этим выборки подразделяют на повторные и бесповторные. Например, при выборочном опросе людей мы не можем их удалить из общества (генеральной совокупности). Поэтому всегда существует вероятность повторного опроса одного и того же человека. Однако на производстве чаще всего организуется бесповторная выборка.
     Для того, чтобы по данным выборочного исследования можно было достаточно уверенно судить о свойствах всей генеральной совокупности, выборка должна быть представительной (репрезентативной). Требование репрезентативности удовлетворяется, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. Насколько важно свойство репрезентативности видно из следующих примеров.
     Пример 1.2.1
     В настоящее время все чаще проводят опросы по Интернету. Однако Интернетом пользуется вполне определенная и ограниченная категория людей. Будет ли такая выборка представительной? Очевидно - нет!
     Пример 1.2.2
     Пусть требуется определить производительность нового шахтного оборудования. Предположим, имеется 10 обученных работе на нем проходчиков. Как выбрать одного из них для тестирования? Даже если такой выбор будет производиться крайне добросовестным человеком, все равно неизбежен элемент субъективизма. Если руководитель испытаний заинтересован в приобретении этого нового оборудования, он подспудно выберет одного из наиболее подготовленных проходчиков. Если не заинтересован - ситуация обратная.
     Пример 1.2.3
     Интересен такой случай, описанный в литературе. Вычислителям было поручено произвести расчеты таблиц стрельбы для нового вида оружия. Руководителю представили таблицу, где было десять тысяч пятизначных чисел. Он

10

полистал странички, выбрал наугад одно число, сам произвел вычисления и обнаружил ошибку. Тогда он взял другое число, тоже наугад, и после вычислений вновь обнаружил ошибку. Страшно рассердившись, руководитель накричал на вычислителей и заставил пересчитать всю таблицу вновь. Каково же было его удивление, когда остальные 9998 чисел оказались верными!
      Руководитель не сомневался, что выбрал два числа «наугад», т. е. совсем случайно. Однако это было не так - руководитель - человек опытный и выделил числа, которые хотя и не очень заметно, но все же уклонялись от значений, которые должны были бы быть. Но сделал он это подсознательно, не отдавая себе отчета в мотивах этих поступков.
      Таким образом, репрезентативность выборки можно обеспечить только чисто случайным отбором (жребием), например с помощью таблиц случайных чисел. При этом все объекты генеральной совокупности предварительно нумеруются (ранжируются).

1.3. Вариационные ряды и их графическое представление

      При изучении какого-либо объекта или процесса получают выборку значений соответствующих параметров. Эти значения записывают в журнал испытаний в той последовательности, в которой они наблюдались. Анализировать такие данные (особенно при их большом числе) весьма трудно, а подчас просто невозможно. Для выявления закономерностей значения исследуемого признака нужно каким-то образом упорядочить. Простейшим приемом является сортировка чисел по возрастанию или убыванию величин. Удобным средством обработки и анализа данных является Microsoft Excel. Поэтому здесь и далее будем ориентироваться на компьютерные возможности данного инструмента.
      Пуст       ь: x 1, x2, ... xn- отдельные значения исследуемого признака, которые называются вариантами. Числа, показывающие, сколько раз наблюдался вариант, называют частотами и обозначают соответственно: m 1, m2, ... m,. Расположение вариантов в возрастающем или убывающем порядке с указанием их

11