Математический анализ. Часть II

В. А. Зорич

Математический анализ

Часть II

Электронное издание

Издательство МЦНМО
Москва, 2021

УДК 517
ББК 22.16
З86

Зорич В. А.
Математический анализ. Часть II
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2021
xii+675 с.
ISBN 978-5-4439-3305-4

Университетский учебник для студентов физико-математических специальностей. Может
быть полезен студентам факультетов и вузов с расширенной математической подготовкой, а
также специалистам в области математики и ее приложений.

Подготовлено на основе книги:
Зорич В. А. Математический анализ. Часть II. — Изд. 11-е, испр. — М.: МЦНМО,
2021. — xii+676 с. Библ.: 57 назв. Илл.: 41. ISBN 978-5-4439-1677-4.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11.
Тел. (495) 241-74-83
www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-3305-4
ffi В. А. Зорич, 2001—2021.
ffi Издательство МЦНМО, 2021.

Оглавление

Предисловие к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xii
Предисловие ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xiii
Предисловие к седьмому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xiii

* Глава IX. Непрерывные отображения (общая теория)
1
§ 1. Метрическое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1. Определение и примеры (1). 2. Открытые и замкнутые подмножества 
метрического пространства (4). 3. Подпространство метрического 
пространства (6). 4. Прямое произведение метрических
пространств (7). Задачи и упражнения (8)
§ 2. Топологическое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1. Основные определения (9). 2. Подпространство топологического
пространства (13). 3. Прямое произведение топологических пространств (
13). Задачи и упражнения (13)
§ 3. Компакты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1. Определение и общие свойства компакта (14). 2. Метрические компакты (
16). Задачи и упражнения (18)
§ 4. Связные топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Задачи и упражнения (19)
§ 5. Полные метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1. Основные определения и примеры (20). 2. Пополнение метрического 
пространства (23). Задачи и упражнения (27)
§ 6. Непрерывные отображения топологических пространств . . . . . . . .
27
1. Предел отображения (27). 2. Непрерывные отображения (29). Задачи 
и упражнения (32)
§ 7. Принцип сжимающих отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Задачи и упражнения (38)

* Глава X. Дифференциальное исчисление с более общей точки
зрения (общая теория)
40
§ 1. Линейное нормированное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1. Некоторые примеры линейных пространств анализа (40). 2. Норма
в линейном пространстве (41). 3. Скалярное произведение в вектор-
ном пространстве (43). Задачи и упражнения (46)

iv
§ 2. Линейные и полилинейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47

1. Определения и примеры (47). 2. Норма оператора (49). 3. Простран-
ство непрерывных операторов (53). Задачи и упражнения (57)

§ 3. Дифференциал отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58

1. Отображение, дифференцируемое в точке (58). 2. Общие законы
дифференцирования (59). 3. Некоторые примеры (60). 4. Частные про-
изводные отображения (66). Задачи и упражнения (67)

§ 4. Теорема о конечном приращении и некоторые примеры ее исполь-
зования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69

1. Теорема о конечном приращении (69). 2. Некоторые примеры при-
менения теоремы о конечном приращении (71). Задачи и упражнения
(75)

§ 5. Производные отображения высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

1. Определение n-го дифференциала (75). 2. Производная по вектору
и вычисление значений n-го дифференциала (76). 3. Симметричность
дифференциалов высшего порядка (78). 4. Некоторые замечания (80).
Задачи и упражнения (81)

§ 6. Формула Тейлора и исследование экстремумов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82

1. Формула Тейлора для отображений (82). 2. Исследование внутрен-
них экстремумов (82). 3. Некоторые примеры (84). Задачи и упражне-
ния (89)

§ 7. Общая теорема о неявной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

Задачи и упражнения (99)

Глава XI. Кратные интегралы
101
§ 1. Интеграл Римана на n-мерном промежутке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101

1. Определение интеграла (101). 2. Критерий Лебега интегрируемости
функции по Риману (103). 3. Критерий Дарбу (107). Задачи и упражне-
ния (109)

§ 2. Интеграл по множеству . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110

1. Допустимые множества (110). 2. Интеграл по множеству (111). 3.
Мера (объем) допустимого множества (112). Задачи и упражнения
(114)

§ 3. Общие свойства интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114

1. Интеграл как линейный функционал (114). 2. Аддитивность инте-
грала (115). 3. Оценки интеграла (116). Задачи и упражнения (118)

§ 4. Сведение кратного интеграла к повторному . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119

1. Теорема Фубини (119). 2. Некоторые следствия (121). Задачи и
упражнения (125)

v

§ 5. Замена переменных в кратном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127

1. Постановка вопроса и эвристический вывод формулы замены переменных (
127). 2. Измеримые множества и гладкие отображения (128).
3. Одномерный случай (130). 4. Случай простейшего диффеоморфизма
в n (132). 5. Композиция отображений и формула замены переменных (
134). 6. Аддитивность интеграла и завершение доказательства
формулы замены переменных в интеграле (134). 7. Некоторые следствия 
и обобщения формулы замены переменных в кратных интегралах (
135). Задачи и упражнения (139)

§ 6. Несобственные кратные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141

1. Основные определения (141). 2. Мажорантный признак сходимости
несобственного интеграла (144). 3. Замена переменных в несобственном 
интеграле (146). Задачи и упражнения (149)

Глава XII. Поверхности и дифференциальные формы в n
152
§ 1. Поверхность в n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152

Задачи и упражнения (160)

§ 2. Ориентация поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161

Задачи и упражнения (167)

§ 3. Край поверхности и его ориентация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168

1. Поверхность с краем (168). 2. Согласование ориентации поверхности 
и края (170). Задачи и упражнения (173)

§ 4. Площадь поверхности в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . .
174

Задачи и упражнения (180)

§ 5. Начальные сведения о дифференциальных формах . . . . . . . . . . . . . . .
183

1. Дифференциальная форма, определение и примеры (183). 2. Координатная 
запись дифференциальной формы (187). 3. Внешний дифференциал 
формы (190). 4. Перенос векторов и форм при отображениях
(192). 5. Формы на поверхностях (195). Задачи и упражнения (196)

Глава XIII. Криволинейные и поверхностные интегралы
199
§ 1. Интеграл от дифференциальной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199

1. Исходные задачи, наводящие соображения, примеры (199). 2. Определение 
интеграла от формы по ориентированной поверхности (205).
Задачи и упражнения (208)

§ 2. Форма объема, интегралы первого и второго рода . . . . . . . . . . . . . . .
213

1. Масса материальной поверхности (213). 2. Площадь поверхности
как интеграл от формы (214). 3. Форма объема (215). 4. Выражение
формы объема в декартовых координатах (216). 5. Интегралы первого
и второго рода (218). Задачи и упражнения (220)

vi
§ 3. Основные интегральные формулы анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223

1. Формула Грина (223). 2. Формула Гаусса—Остроградского (227). 3.
Формула Стокса в 3 (230). 4. Общая формула Стокса (232). Задачи и
упражнения (236)

Глава XIV. Элементы векторного анализа и теории поля
240
§ 1. Дифференциальные операции векторного анализа . . . . . . . . . . . . . . .
240

1. Скалярные и векторные поля (240). 2. Векторные поля и формы
в 3 (240). 3. Дифференциальные операторы grad, rot, div и ∇ (243).
4. Некоторые дифференциальные формулы векторного анализа (246).
* 5. Векторные операции в криволинейных координатах (248). Задачи
и упражнения (256)

§ 2. Интегральные формулы теории поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257

1. Классические интегральные формулы в векторных обозначениях
(257). 2. Физическая интерпретация div, rot, grad (260). 3. Некоторые
дальнейшие интегральные формулы (264). Задачи и упражнения (266)

§ 3. Потенциальные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
269

1. Потенциал векторного поля (269). 2. Необходимое условие потенци-
альности (270). 3. Критерий потенциальности векторного поля (271).
4. Топологическая структура области и потенциал (273). 5. Векторный
потенциал. Точные и замкнутые формы (276). Задачи и упражнения
(279)

§ 4. Примеры приложений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282

1. Уравнение теплопроводности (282). 2. Уравнение неразрывности
(284). 3. Основные уравнения динамики сплошной среды (286). 4.
Волновое уравнение (287). Задачи и упражнения (289)

* Глава XV. Интегрирование дифференциальных форм на многооб-
разиях
292
§ 1. Некоторые напоминания из линейной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
292

1. Алгебра форм (292). 2. Алгебра кососимметрических форм (293). 3.
Линейные отображения линейных пространств и сопряженные отобра-
жения сопряженных пространств (295). Задачи и упражнения (297)

§ 2. Многообразие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
298

1. Определение многообразия (298). 2. Гладкие многообразия и глад-
кие отображения (303). 3. Ориентация многообразия и его края (306).
4. Разбиение единицы и реализация многообразий в виде поверхно-
стей в n (310). Задачи и упражнения (313)

§ 3. Дифференциальные формы и их интегрирование на многообразиях
315

1. Касательное пространство к многообразию в точке (315). 2. Диффе-
ренциальная форма на многообразии (318). 3. Внешний дифференци-
ал (321). 4. Интеграл от формы по многообразию (322). 5. Формула
Стокса (323). Задачи и упражнения (325)

vii

§ 4. Замкнутые и точные формы на многообразии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
330

1. Теорема Пуанкаре (330). 2. Гомологии и когомологии (333). Задачи
и упражнения (337)

Глава XVI. Равномерная сходимость и основные операции анализа
над рядами и семействами функций
339
§ 1. Поточечная и равномерная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
339

1. Поточечная сходимость (339). 2. Постановка основных вопросов
(340). 3. Сходимость и равномерная сходимость семейства функций,
зависящих от параметра (342). 4. Критерий Коши равномерной сходи-
мости (345). Задачи и упражнения (346)

§ 2. Равномерная сходимость рядов функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
347

1. Основные определения и критерий равномерной сходимости ряда
(347). 2. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда (349).
3. Признак Абеля—Дирихле (351). Задачи и упражнения (354)

§ 3. Функциональные свойства предельной функции . . . . . . . . . . . . . . . . .
355

1. Конкретизация задачи (355). 2. Условия коммутирования двух
предельных переходов (356). 3. Непрерывность и предельный переход
(357). 4. Интегрирование и предельный переход (360). 5. Дифференцирование 
и предельный переход (362). Задачи и упражнения (367)

* § 4. Компактные и плотные подмножества пространства непрерывных 
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
370

1. Теорема Арцела—Асколи (370). 2. Метрическое пространство
C(K, Y) (373). 3. Теорема Стоуна (374). Задачи и упражнения (377)

Глава XVII. Интегралы, зависящие от параметра
379
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра . . . . . . . . . . . . . . . .
379

1. Понятие интеграла, зависящего от параметра (379). 2. Непрерывность 
интеграла, зависящего от параметра (380). 3. Дифференцирование 
интеграла, зависящего от параметра (381). 4. Интегрирование интеграла, 
зависящего от параметра (384). Задачи и упражнения (385)

§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра . . . . . . . . . . . . .
386

1. Равномерная сходимость несобственного интеграла относительно
параметра (386). 2. Предельный переход под знаком несобственного
интеграла и непрерывность несобственного интеграла, зависящего от
параметра (394). 3. Дифференцирование несобственного интеграла по
параметру (396). 4. Интегрирование несобственного интеграла по па-
раметру (399). Задачи и упражнения (403)

§ 3. Эйлеровы интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
406

1. Бета-функция (407). 2. Гамма-функция (408). 3. Связь между функ-
циями B и Г (411). 4. Некоторые примеры (411). Задачи и упражнения
(413)

viii
§ 4. Свертка функций и начальные сведения об обобщенных функциях
417

1. Свертка в физических задачах (наводящие соображения) (417).
2. Некоторые общие свойства свертки (419). 3. Дельтаобразные се-
мейства функций и аппроксимационная теорема Вейерштрасса (422).
* 4. Начальные представления о распределениях (427). Задачи и упраж-
нения (437)

§ 5. Кратные интегралы, зависящие от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
442

1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметра (443). 2.
Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра (443).
3. Несобственные интегралы с переменной особенностью (445).
* 4. Свертка, фундаментальное решение и обобщенные функции в
многомерном случае (449). Задачи и упражнения (459)

Глава XVIII. Ряд Фурье и преобразование Фурье
464
§ 1. Основные общие представления, связанные с понятием ряда Фурье
464

1. Ортогональные системы функций (464). 2. Коэффициенты Фурье и
ряд Фурье (470). * 3. Об одном важном источнике ортогональных си-
стем функций в анализе. (480). Задачи и упражнения (484)

§ 2. Тригонометрический ряд Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
490

1. Основные виды сходимости классического ряда Фурье (490). 2. Ис-
следование поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье
(494). 3. Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов Фу-
рье (503). 4. Полнота тригонометрической системы (507). Задачи и
упражнения (514)

§ 3. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
521

1. Представление функции интегралом Фурье (521). 2. Взаимосвязь
дифференциальных и асимптотических свойств функции и ее преобра-
зования Фурье (533). 3. Важнейшие аппаратные свойства преобразова-
ния Фурье (535). 4. Примеры приложений (540). Задачи и упражнения
(545)

Глава XIX. Асимптотические разложения
552
§ 1. Асимптотическая формула и асимптотический ряд . . . . . . . . . . . . . . .
554

1. Основные определения (554). 2. Общие сведения об асимптотиче-
ских рядах (559). 3. Степенные асимптотические ряды (563). Задачи
и упражнения (565)

§ 2. Асимптотика интегралов (метод Лапласа) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
568

1. Идея метода Лапласа (568). 2. Принцип локализации для интеграла
Лапласа (571). 3. Канонические интегралы и их асимптотика (573). 4.
Главный член асимптотики интеграла Лапласа (576). * 5. Асимптоти-
ческие разложения интегралов Лапласа (579). Задачи и упражнения
(589)

ix

Некоторые вопросы и задачи коллоквиумов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
595
Вопросы к экзамену . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
597
Экзаменационное задание (математический анализ, третий семестр)
601
Промежуточное контрольное задание (математический анализ, чет-
вертый семестр). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
602

Дополнения
603
1. Ряд как инструмент (вводная лекция) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
603
2. Замена переменных в кратном интеграле (вывод и первое обсужде-
ние формулы замены переменных) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
609
3. Многомерная геометрия и функции очень многих переменных
(концентрация мер и законы больших чисел) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
616
4. Функции многих переменных и дифференциальные формы с термо-
динамическими интерпретациями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
624
5. Операторы теории поля в криволинейных координатах . . . . . . . . . . .
636
6. Современная формула Ньютона—Лейбница и единство математи-
ки (заключительный обзор) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
646

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
655
Указатель основных обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
658
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
661
Указатель имен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
674

ПВ предисловии к первой части была дана достаточно подробная характе-
ристика курса в целом, поэтому я ограничусь здесь замечаниями по содер-
жанию лишь этой второй его части.
Основной материал настоящего тома составляют, с одной стороны, крат-
ные, криволинейные и поверхностные интегралы, доведенные до общей
формулы Стокса и примеров ее приложений, а с другой стороны, аппарат
рядов и интегралов, зависящих от параметра, включающий ряды Фурье,
преобразование Фурье и представления об асимптотических разложениях.
Таким образом, эта часть II в основном соответствует программе второго
года обучения на математических факультетах университетов.
Чтобы не закреплять жестко порядок следования указанных двух больших 
тем по семестрам, я изложил их практически независимо.
Главы IX и X, с которых начинается эта книга, в сжатом и общем виде воспроизводят 
по существу почти все самое ценное, что было получено в первой 
части в отношении непрерывных и дифференцируемых функций. Они
отмечены звездочкой и написаны как дополнение к первой части. В нем,
однако, содержится много таких понятий, которые уже сейчас фигурируют
в любом изложении анализа математикам. Наличие этих двух глав делает
вторую книгу формально почти независимой от первой при условии, что
читатель достаточно подготовлен, чтобы при чтении этих двух глав обойтись
без многочисленных примеров и наводящих соображений, которые в первой
части предшествовали излагаемому здесь формализму.
Основной новый материал книги, посвященный интегральному исчислению 
функций многих переменных, начинается с главы XI, с которой, собственно, 
без потери связности восприятия после первой части можно читать
эту вторую часть курса.
При изложении теории криволинейных и поверхностных интегралов
разъясняется и используется язык дифференциальных форм и сначала на
элементарном материале вводятся все основные геометрические понятия и
аналитические конструкции, которые потом составляют лестницу абстрактных 
определений, ведущую к общей формуле Стокса.
Такому итоговому изложению интегрирования дифференциальных форм
на многообразиях посвящена глава XV, которую я рассматриваю как весьма
желательное систематизирующее дополнение к изложенному и разъясненному 
на конкретных объектах в обязательных для изучения главах XI—XIV.
В разделе, относящемся к рядам и интегралам, зависящим от параметра,
наряду с традиционным материалом даны (гл. XIX) начальные сведения об
асимптотических рядах и асимптотике интегралов, поскольку это, несомненно, 
полезный, благодаря своей эффективности, аппарат анализа.

xi

Для удобства ориентировки дополнительный материал или разделы, которые 
при первом чтении можно опустить, помечены звездочкой.
Нумерация глав и рисунков этой книги продолжает нумерацию уже вы-
шедшей из печати первой части.
Биографические сведения здесь даются только о тех ученых, которые не
упоминались в первой части.
Как и прежде, для удобства читателя и сокращения текста начало и конец
доказательства отмечаются знаками ◀ и ▶ соответственно, а когда это удоб-
но, определения вводятся специальными символами := или =: (равенства
по определению), в которых двоеточие ставится со стороны определяемого
объекта.
Сохраняя традиции части I, в этой книге много внимания мы уделяем
как прозрачности и логической четкости самих математических конструк-
ций, так и демонстрации содержательных естественно-научных приложений
развиваемой теории.

ПОтличия второго издания этой книги от первого, помимо того, что ис-
правлены замеченные опечатки первого издания, в основных чертах состоят
в следующем. Заново изложены (надеюсь, к лучшему) некоторые разделы
отдельных тем (например, это коснулось рядов и преобразований Фурье).
Даны более прозрачные доказательства отдельных важных теорем (напри-
мер, общей теоремы о конечном приращении). Включены некоторые новые
примеры приложений и новые содержательные задачи, примыкающие к со-
ответствующим разделам теории и порой заметно расширяющие ее. Приве-
дены экзаменационные вопросы, а также вопросы и задачи коллоквиумов.
Расширен список дополнительной литературы.

ПЯ только что написал предисловие к новому английскому изданию этого
учебника, поэтому позволю себе повторить то, что в равной мере относится
и к этому седьмому русскому изданию книги.
Время, прошедшее с момента выхода предыдущих изданий учебника, на-
ука не стояла на месте. Например, решена проблема Ферма, доказана гипо-
теза Пуанкаре, найден бозон Хиггса. Сделано еще многое, что, возможно, не
имеет прямого отношения к учебнику классического математического ана-
лиза, но косвенно сказывается в том, что автор за это время тоже кое-что
выучил, обдумал, понял и углубил свои знания. А они, эти дополнительные
знания, полезны, даже когда вы рассказываете вроде бы совсем о другом.

xii
Кроме исходного русского издания, учебник вышел на английском, не-
мецком и китайском языках. Внимательные разноязычные читатели нашли
в тексте много погрешностей. К счастью, это локальные погрешности, в ос-
новном опечатки. Конечно, они учтены и исправлены в этом новом издании.
Главное, что отличает седьмое русское издание от шестого, — новые до-
полнения. В первой книге оно одно («Формула Эйлера—Маклорена»), а во
второй их три («Функции многих переменных и дифференциальные фор-
мы с термодинамическими интерпретациями»; «Операторы теории поля в
криволинейных координатах»; «Современная формула Ньютона—Лейбница
и единство математики»). Чтобы не нарушать прежний текст, дополнения
помещены в конце каждой книги. Они могут быть полезны как студентам
(математикам, физикам), так и преподавателям, — каждому для своих целей.
Последнее из них можно рассматривать как итоговый обзор, который со-
держит важнейшие концептуальные достижения всего курса, связывающие
анализ с другими разделами единой математики.
Мне приятно, что книга оказалась в какой-то мере полезной и математи-
кам, и физикам, и даже инженерам в высших технических школах с углуб-
ленным изучением математики. Это вдохновило меня на написание допол-
нения, в котором математика и элементарная, но вполне содержательная
термодинамика идут рука об руку.
Удовольствие видеть новое поколение, когда оно мыслит шире, понимает
глубже и умеет больше, чем поколение, на плечах которого оно поднялось.

Москва, 2015 г.
В. Зорич

* Глава IX

Непрерывные отображения
(общая теория)

В этой главе будут обобщены и изложены с единой точки зрения свойства
непрерывных отображений, которые были ранее установлены для числовых
функций и отображений типа f : m → n. При этом будет введен ряд про-
стых, но важных понятий, имеющих общематематическое употребление.

§ . М1. Определение и примеры
О1. Говорят, что множество X наделено метрикой или
структурой метрического пространства, или что X есть метрическое про-
странство, если указана функция

d: X × X → ,
(1)

удовлетворяющая условиям
a) d(x1, x2)=0 ⇔ x1 = x2,
b) d(x1, x2)= d(x2, x1) (симметричность),
c) d(x1, x3)⩽ d(x1, x2)+ d(x2, x3) (неравенство треугольника),
где x1, x2, x3 — произвольные элементы X.
Функцию (1) называют в этом случае метрикой или расстоянием в X.
Таким образом, метрическое пространство есть пара (X, d), состоящая
из множества X и заданной на нем метрики. Элементы множества X в соот-
ветствии с геометрической терминологией обычно называют точками.
Заметим, что если в неравенстве треугольника c) положить x3 = x1, то с
учетом аксиом a) и b) метрики получим, что

0 ⩽ d(x1, x2),

т. е. расстояние, удовлетворяющее аксиомам a), b), c), неотрицательно.
Рассмотрим некоторые примеры.
П1. Множество действительных чисел становится метричес-
ким пространством, если для чисел x1, x2 положить d(x1, x2) = |x1 − x2|, как
мы это всегда и делали.
П2. На можно ввести и много других метрик. Тривиальной
метрикой является, например, такая, при которой между любыми двумя раз-
личными точками расстояние полагается равным единице.

. . ()

Значительно содержательнее следующая метрика на . Пусть x → f (x) —

определенная для x ⩾ 0 неотрицательная функция, обращающаяся в нуль
лишь при x = 0. Если эта функция строго выпукла вверх, то, полагая для
точек x1, x2 ∈d(x1, x2) = f (|x1 − x2|),
(2)

получим метрику на .
Аксиомы a), b) здесь, очевидно, выполнены, а неравенство треугольника
следует из того, что, как легко проверить, f строго монотонна и при 0< a< b
удовлетворяет неравенствам

f (a+ b)− f (b) < f (a)− f (0) = f (a).

В частности, можно было бы положить d(x1, x2)=
|x1 − x2| или d(x1, x2)=

=
|x1 − x2|

1+|x1 − x2|. В последнем случае расстояние между любыми точками прямой

меньше единицы.
П3. В n, кроме традиционного расстояния

d(x1, x2) =

ni=1
|xi
1 − xi
2|2
(3)

между точками x1 =(x1
1, ‌, xn
1), x2 =(x1
2, ‌, xn
2), можно ввести расстояние

dp(x1, x2) =
ni=1
|xi
1 − xi
2|p
1/p
,
(4)

где p ⩾1. То, что для функции (4) выполнено неравенство треугольника, вы-
текает из неравенства Минковского (см. гл. V, § 4, п. 2).
П4. Если в печатном тексте встретилось слово с искаженными
буквами, то, если дефектов не слишком много, мы без особого труда восста-
навливаем слово, исправляя ошибки. Однако исправление ошибок и получе-
ние слова — операция не всегда однозначная, и потому при прочих равных
условиях предпочтение надо отдать той расшифровке искаженного текста,
для получения которой потребуется сделать меньше исправлений. В соответ-
ствии со сказанным в теории кодирования на множестве всех последователь-
ностей длины n, состоящих из нулей и единиц, используется метрика (4) при
p =1.
Геометрически множество таких последовательностей интерпретируется
как множество вершин единичного куба I = {x ∈ n | 0 ⩽ xi ⩽ 1, i = 1, ‌, n}
в n. Расстояние между двумя вершинами — это число перемен нулей и единиц, 
необходимое, чтобы получить из координат одной из этих вершин координаты 
другой вершины. Каждая такая перемена есть переход вдоль одного
из ребер куба. Таким образом, рассматриваемое расстояние есть кратчайший 
путь по ребрам куба между рассматриваемыми его вершинами.
П5. При сравнении результатов двух серий из n однотипных измерений 
чаще всего используют метрику (4) при p = 2. Расстояние между

§ . 3

точками в этой метрике называют обычно их средним квадратичным уклонением.

П6. Если в (4) сделать предельный переход при p → +, то, как
легко видеть, получается следующая метрика в n:

d(x1, x2) = max
1⩽i⩽n |xi
1 − xi
2|.
(5)

П7. Множество C[a, b] функций, непрерывных на отрезке, становится 
метрическим пространством, если для функций f , g из C[a, b] положить

d( f , g) = max
a⩽x⩽b | f (x)− g(x)|.
(6)

Аксиомы a), b) метрики, очевидно, выполнены, а неравенство треугольника 
следует из того, что

| f (x)−h(x)| ⩽ | f (x)− g(x)|+|g(x)−h(x)| ⩽ d( f , g)+d(g, h),

т. е.
d( f , h) = max
a⩽x⩽b | f (x)−h(x)| ⩽ d( f , g)+d(g, h).

Метрика (6) — так называемая равномерная, или чебышевская, метрика в
C[a, b] — используется тогда, когда мы желаем заменить одну функцию другой, 
например, полиномом, по которой можно было бы вычислять значения
первой функции с нужной точностью в любой точке x ∈ [a, b]. Величина
d( f , g) как раз характеризует точность такого приближенного расчета.
Метрика (6) в C[a, b] очень схожа с метрикой (5) в n.
П8. Подобно метрике (4) в C[a, b] при p ⩾ 1 можно ввести метрику


dp( f , g) =

ba
| f − g|p(x) dx

1/p
.
(7)

То, что при p ⩾ 1 это действительно метрика, следует из неравенства
Минковского для интегралов, получающегося предельным переходом из
неравенства Минковского, которое можно написать для интегральных сумм.
Особо важными частными случаями метрики (7) являются: при p = 1 —

интегральная метрика; при p =2 — метрика среднего квадратичного уклонения; 
при p =+— равномерная метрика.
Пространство C[a, b], наделенное метрикой (7), часто обозначают символом 
Cp[a, b]. Можно проверить, что C[a, b] есть пространство C[a, b],
наделенное метрикой (6).
П9. Метрику (7) можно было бы использовать также на множе-
стве [a, b] функций, интегрируемых по Риману на отрезке [a, b]. Однако
поскольку интеграл от модуля разности двух функций может обратиться в
нуль, даже если функции не совпадают тождественно, то аксиома а) в этом
случае не будет выполнена. Мы знаем, однако, что интеграл от неотрица-

. . ()

тельной функции ϕ ∈[a, b] равен нулю тогда и только тогда, когда ϕ(x)=0
почти во всех точках отрезка [a, b].
Таким образом, если разбить [a, b] на классы эквивалентных функций,
причем функции из [a, b] считать эквивалентными, если они отличаются
не более чем на множестве меры нуль, то на совокупности [a, b] таких
классов эквивалентности соотношение (7) действительно задает метрику.
Множество [a, b], наделенное этой метрикой, обозначается через p[a, b],
а иногда и просто через p[a, b].
П10. В множестве C(k)[a, b] функций, определенных на [a, b] и
имеющих на этом отрезке непрерывные производные до порядка k включи-
тельно, можно определить следующую метрику:

d( f , g) = max{M0, ‌, Mk},
(8)

где
Mi = max
a⩽x⩽b | f (i)(x)− g(i)(x)|,
i = 0, 1, ‌, k.

Используя то, что (6) есть метрика, легко проверить, что и (8) есть метрика.
Предположим, например, что f есть координата движущейся точки как
функция времени. Если ставится ограничение на допустимый район пребы-
вания точки в промежуток времени [a, b] и запрещается превышать опреде-
ленную скорость, а, кроме того, желают иметь некоторый комфорт, состоя-
щий в том, что ускорения не должны превышать определенный уровень, то
естественно рассмотреть для функции f ∈ C(2)[a, b] набор
max
a⩽x⩽b | f (x)|, max
a⩽x⩽b | f ′(x)|, max
a⩽x⩽b | f ′′(x)|
и по этим характеристикам два движения f , g считать близкими, если вели-
чина (8) для них мала.
Рассмотренные примеры показывают, что одно и то же множество можно
метризовать различными способами. Введение той или иной метрики дикту-
ется обычно самой постановкой задачи. Сейчас же мы будем интересоваться
самыми общими свойствами метрических пространств, присущими им всем.

2. Открытые и замкнутые подмножества метрического пространства.

Пусть (X, d) — метрическое пространство. Подобно тому, как это было сде-
лано в главе VII, § 1 для случая X = n, в общем случае тоже можно ввести
понятия шара с центром в данной точке, открытого множества, замкнутого
множества, окрестности точки, предельной точки множества и т. д.
Напомним эти основные для дальнейшего понятия.
О2. При δ >0 и a∈ X множество

B(a, δ) = {x ∈ X | d(a, x) < δ}

называется шаром с центром a ∈ X радиуса δ или также δ-окрестностью
точки a.

§ . 5

В случае общего метрического пространства это название удобно, но его
не следует отождествлять с традиционным геометрическим образом, к которому 
мы привыкли в 3.
П11. Единичный шар в C[a, b] с центром в функции, тождественно 
равной нулю на [a, b], состоит из тех функций, непрерывных на отрезке
[a, b], модуль которых меньше единицы на этом отрезке.
П12. Пусть X — единичный квадрат в 2, расстояние между точками 
которого определяется как расстояние между этими же точками в 2.
Тогда X является метрическим пространством, причем взятый сам по себе
квадрат X с такой метрикой можно считать шаром любого радиуса ρ ⩾
2/2
относительно своего центра.
Ясно, что так можно было бы построить шары весьма причудливой формы. 
Так что термин шар не следует понимать слишком буквально.

О3. Множество G ⊂ X называется открытым в метрическом 
пространстве (X, d), если для любой точки x ∈ G найдется шар B(x, δ)
такой, что B(x, δ)⊂ G.
Из этого определения, очевидно, следует, что само X — открытое в (X, d)
множество; пустое множество ∅ также открыто. Теми же рассуждениями,
что и в случае n, можно доказать, что шар B(a, r) или его внешность {x ∈
∈ X | d(a, x)> r} суть открытые множества. (См. гл. VIII, § 1, примеры 3, 4.)

О4. Множество ⊂ X называется замкнутым в (X, d), если 
его дополнение X \открыто в (X, d).
В частности, отсюда заключаем, что замкнутый шар

B(a, r) := {x ∈ X | d(a, x) ⩽ r}

является множеством, замкнутым в метрическом пространстве (X, d).
Для открытых и замкнутых множеств в метрическом пространстве (X, d)
справедливо

У1. a) Объединение
α∈A
Gα множеств любой системы

{Gα, α∈ A} множеств Gα, открытых в X, является множеством, открытым
в X.

b) Пересечение

ni=1
Gi, конечного числа множеств, открытых в X, является 
множеством, открытым в X.
a′)Пересечение
α∈A
α множеств любой системы {α, α∈ A} множеств α,

замкнутых в X, является множеством, замкнутым в X.

b′) Объединение

ni=1
i конечного числа множеств, замкнутых в X, явля-

ется множеством, замкнутым в X.
Доказательство утверждения 1 дословно повторяет доказательство соот-
ветствующего утверждения для открытых и замкнутых множеств в n, и мы
его опускаем. (См. гл. VII, § 1, утверждение 1.)