Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Математический анализ. Часть I

Покупка
Новинка
Университетский учебник для студентов физико-математических специальностей. Может быть полезен студентам факультетов и вузов с расширенной математической подготовкой, а также специалистам в области математики и ее приложений.
Зорич, В. А. Математический анализ. Часть I : учебник / В. А. Зорич. - 11-е изд., испр. - Москва : МЦНМО, 2021. - 564 с. - ISBN 978-5-4439-3304-7. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1900074 (дата обращения: 08.12.2022). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
В. А. Зорич

Математический анализ

Часть I

Электронное издание

Издательство МЦНМО
Москва, 2021
УДК 517
ББК 22.16
З86

Зорич В. А.
Математический анализ. Часть I
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2021
xii+564 с.
ISBN 978-5-4439-3304-7

Университетский учебник для студентов физико-математических специальностей. Может
быть полезен студентам факультетов и вузов с расширенной математической подготовкой, а
также специалистам в области математики и ее приложений.

Подготовлено на основе книги:
Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — Изд. 11-е, испр. — М.: МЦНМО,
2021. — xii+564 с. Библ.: 54 назв. Илл.: 65. ISBN 978-5-4439-1676-7.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11.
Тел. (495) 241-74-83
www.mccme.ru

ISBN ----
© В. А. Зорич, 2001—2021.
© Издательство МЦНМО, 2021.
Оглавление

Из предисловия к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
Из предисловия ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
Предисловие к седьмому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi

Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения

§ 1. Логическая символика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

1. Связки и скобки (1). 2. Замечания о доказательствах (2). 3. Некоторые 
специальные обозначения (3). 4. Заключительные замечания (3).
Упражнения (4)

§ 2. Множества и элементарные операции над множествами . . . . . . . . .
4

1. Понятие множества (4). 2. Отношение включения (6). 3. Простейшие 
операции над множествами (7). Упражнения (10)

§ 3. Функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

1. Понятие функции (отображения) (10). 2. Простейшая классификация 
отображений (14). 3. Композиция функций и взаимно обратные
отображения (16). 4. Функция как отношение. График функции (18).
Упражнения (21)

§ 4. Некоторые дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

1. Мощность множества (кардинальные числа) (23). 2. Об аксиоматике 
теории множеств (25). 3. Замечания о структуре математических
высказываний и записи их на языке теории множеств (27). Упражнения (
29)

Глава II. Действительные (вещественные) числа

§ 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных 
чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

1. Определение множества действительных чисел (32). 2. Некоторые
общие алгебраические свойства действительных чисел (36). 3. Аксиома 
полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества (
39)

§ 2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты 
операций с действительными числами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

1. Натуральные числа и принцип математической индукции (41). 2. Рациональные 
и иррациональные числа (44). 3. Принцип Архимеда (48).
iv
-
4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и
вычислительные аспекты операций с действительными числами (49).
Задачи и упражнения (61)
§ 3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных 
чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши—Кантора) (65).
2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля—Лебега) (66). 3.
Лемма о предельной точке (принцип Больцано—Вейерштрасса) (66).
Задачи и упражнения (67)
§ 4. Счетные и несчетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
1. Счетные множества (68). 2. Мощность континуума (70). Задачи и
упражнения (71)

Глава III. Предел

§ 1. Предел последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
1. Определения и примеры (72). 2. Свойства предела последовательности (
74). 3. Вопросы существования предела последовательности (78).
4. Начальные сведения о рядах (87). Задачи и упражнения (96).
§ 2. Предел функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
1. Определения и примеры (98). 2. Свойства предела функции (102).
3. Общее определение предела функции (предел по базе) (117). 4. Вопросы 
существования предела функции (121). Задачи и упражнения
(135).

Глава IV. Непрерывные функции

§ 1. Основные определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
1. Непрерывность функции в точке (138). 2. Точки разрыва (142).
§ 2. Свойства непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
1. Локальные свойства (145). 2. Глобальные свойства непрерывных
функций (147). Задачи и упражнения (155).

Глава V. Дифференциальное исчисление

§ 1. Дифференцируемая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
1. Задача и наводящие соображения (160). 2. Функция, дифференцируемая 
в точке (165). 3. Касательная; геометрический смысл производной 
и дифференциала (167). 4. Роль системы координат (170). 5.
Некоторые примеры (172). Задачи и упражнения (177).
§ 2. Основные правила дифференцирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178
1. Дифференцирование и арифметические операции (178). 2. Дифференцирование 
композиции функций (181). 3. Дифференцирование обратной 
функции (184). 4. Таблица производных основных элементарных 
функций (188). 5. Дифференцирование простейшей неявно заданной 
функции (189). 6. Производные высших порядков (193). Задачи и
упражнения (197).
-
v

§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления . . . . . . . . . . . . . .
198

1. Лемма Ферма и теорема Ролля (198). 2. Теоремы Лагранжа и Коши
о конечном приращении (200). 3. Формула Тейлора (203). Задачи и
упражнения (214).

§ 4. Исследование функций методами дифференциального исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

217

1. Условия монотонности функции (217). 2. Условия внутреннего экстремума 
функции (218). 3. Условия выпуклости функции (224). 4. Правило 
Лопиталя (230). 5. Построение графика функции (232). Задачи и
упражнения (240).

§ 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций . . . . . . .
244

1. Комплексные числа (244). 2. Сходимость в -
и ряды с комплексными 
членами (247). 3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных
функций (251). 4. Представление функции степенным рядом, аналитичность (
255). 5. Алгебраическая замкнутость поля -
комплексных
чисел (259). Задачи и упражнения (265).

§ 6. Некоторые примеры использования дифференциального исчисления 
в задачах естествознания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
267

1. Движение тела переменной массы (267). 2. Барометрическая формула (
269). 3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел
(270). 4. Падение тел в атмосфере (273). 5. Еще раз о числе e и функции 
exp x (274). 6. Колебания (277). Задачи и упражнения (280).

§ 7. Первообразная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284

1. Первообразная и неопределенный интеграл (284). 2. Основные общие 
приемы отыскания первообразной (286). 3. Первообразные рациональных 
функций (291). 4. Первообразные вида
-
R(cos x, sin x) dx
(295). 5. Первообразные вида
-
R(x, y(x)) dx (297). Задачи и упражнения (
300).

Глава VI. Интеграл

§ 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
305

1. Задача и наводящие соображения (305). 2. Определение интеграла
Римана (306). 3. Множество интегрируемых функций (308). Задачи и
упражнения (320).

§ 2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла . . . . . . . . . . . .
321

1. Интеграл как линейная функция на пространстве [a, b] (321). 2.
Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирования (322). 3.
Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем (325).
Задачи и упражнения (332).

§ 3. Интеграл и производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333

1. Интеграл и первообразная (333). 2. Формула Ньютона—Лейбница
(335). 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и фор-
vi
-
мула Тейлора (336). 4. Замена переменной в интеграле (338). 5. Некоторые 
примеры (340). Задачи и упражнения (344).
§ 4. Некоторые приложения интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
347
1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл
(347). 2. Длина пути (349). 3. Площадь криволинейной трапеции (355).
4. Объем тела вращения (356). 5. Работа и энергия (356). Задачи и
упражнения (362).
§ 5. Несобственный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363
1. Определения, примеры и основные свойства несобственных интегралов (
363). 2. Исследование сходимости несобственного интеграла
(368). 3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями
(373). Задачи и упражнения (376).

Глава VII. Функции многих переменных, их предел и непрерывность

§ 
1. Пространство m и важнейшие классы его подмножеств . . . . . . . . .
378
1. Множество m и расстояние в нем (378). 2. Открытые и замкнутые
множества в m (380). 3. Компакты в m (382). Задачи и упражнения
(384).
§ 2. Предел и непрерывность функции многих переменных . . . . . . . . . . .
384
1. Предел функции (384). 2. Непрерывность функции многих переменных 
и свойства непрерывных функций (389). Задачи и упражнения
(394).

Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

§ 
1. Векторная структура в m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
395
1. m как векторное пространство (395). 2. Линейные отображения
L: m → n (396). 3. Норма в m (397). 4. Евклидова структура в m

(398).
§ 2. Дифференциал функции многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
400
1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке (400). 2.
Дифференциал и частные производные вещественнозначной функции
(401). 3. Координатное представление дифференциала отображения.
Матрица Якоби (403). 4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость 
функции в точке (404).
§ 3. Основные законы дифференцирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
405
1. Линейность операции дифференцирования (405). 2. Дифференцирование 
композиции отображений (407). 3. Дифференцирование обратного 
отображения (412). Задачи и упражнения (414).
§ 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественнозначных 
функций многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
419
1. Теорема о среднем (419). 2. Достаточное условие дифференцируемости 
функции многих переменных (421). 3. Частные производные выс-
-
vii

шего порядка (422). 4. Формула Тейлора (425). 5. Экстремумы функций 
многих переменных (427). 6. Некоторые геометрические образы,
связанные с функциями многих переменных (433). Задачи и упражнения (
437).

§ 5. Теорема о неявной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
443

1. Постановка вопроса и наводящие соображения (443). 2. Простейший 
вариант теоремы о неявной функции (445). 3. Переход к случаю
зависимости F(x1, …, xm, y) = 0 (449). 4. Теорема о неявной функции
(451). Задачи и упражнения (455).

§ 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции. . . . . . . . . . . . . . . .
459

1. Теорема об обратной функции (459). 2. Локальное приведение гладкого 
отображения к каноническому виду (464). 3. Зависимость функций (
468). 4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию
простейших (469). 5. Лемма Морса (472). Задачи и упражнения (475).

§ 7. Поверхность в n и теория условного экстремума. . . . . . . . . . . . . . . . .
476

1. Поверхность размерности k в n (476). 2. Касательное пространство
(481). 3. Условный экстремум (486). Задачи и упражнения (497)

Некоторые задачи коллоквиумов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
502
Вопросы к экзамену . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
511

Дополнения

1. Математический анализ (вводная лекция для первого курса). . . . . . .
515
2. Начальные сведения о численных методах решения уравнений . . . .
523
3. Преобразование Лежандра (первое обсуждение). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
526
4. Интеграл Римана—Стилтьеса, дельта-функция и идея обобщенных
функций (начальные представления) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
529
5. Формула Эйлера—Маклорена. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
537
6. Теорема о неявной функции (альтернативное изложение). . . . . . . . . .
542

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
550
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
553
Указатель имен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
563
И-
-
-
-
-
Создание Ньютоном и Лейбницем три столетия тому назад основ дифференциального 
и интегрального исчисления даже по нынешним масштабам
представляется крупнейшим событием в истории науки вообще и математики 
в особенности.
Математический анализ (в широком смысле слова) и алгебра, переплетаясь, 
образовали теперь ту корневую систему, на которой держится разветвленное 
дерево современной математики и через которую происходит
его основной живительный контакт с внематематической сферой. Именно
по этой причине основы анализа включаются как необходимый элемент даже 
самых скромных представлений о так называемой высшей математике,
и, вероятно, поэтому изложению основ анализа посвящено большое количество 
книг, адресованных различным кругам читателей.
Эта книга в первую очередь адресована математикам, желающим (как
и должно) получить полноценные в логическом отношении доказательства
фундаментальных теорем, но вместе с тем интересующимся также их внема-
тематической жизнью.
Особенности настоящего курса сводятся в основном к следующему.
По характеру изложения. В пределах каждой большой темы изложение,
как правило, индуктивное, идущее порой от постановки задачи и наводящих
эвристических соображений по ее решению к основным понятиям и формализмам.

Подробное вначале, изложение становится все более сжатым по мере
продвижения по курсу.
Упор сделан на эффективном аппарате гладкого анализа. При изложении
теории я (в меру своего понимания) стремился выделить наиболее существенные 
методы и факты и избежать искушения незначительного усиления
теорем ценой значительного усложнения доказательств.
Изложение геометрично всюду, где это представлялось ценным для раскрытия 
существа дела.
Основной текст снабжен довольно большим количеством примеров, а
почти каждый параграф заканчивается набором задач, которые, надеюсь,
существенно дополняют даже теоретическую часть основного текста. Следуя
великолепному опыту Полиа и Сеге, я часто старался представить красивый
математический или важный прикладной результат в виде серий доступных
читателю задач.
Расположение материала диктовалось не только архитектурой математики 
в смысле Бурбаки, но и положением анализа как составной части единого
математического или, лучше сказать, естественно-математического образования.

-
-
-
-
-
ix

По содержанию. Курс издается в двух книгах (части I и II).
Настоящая первая часть содержит дифференциальное и интегральное
исчисление функций одной переменной и дифференциальное исчисление
функций многих переменных.
В дифференциальном исчислении выделена роль дифференциала как
линейного эталона для локального описания характера изменения переменной 
величины. Кроме многочисленных примеров использования
дифференциального исчисления для исследования функциональных зависимостей (
монотонность, экстремумы), показана роль языка анализа в записи
простейших дифференциальных уравнений — математических моделей конкретных 
явлений и связанных с ними содержательных задач.
Рассмотрен ряд таких задач (например, движение тела переменной массы, 
ядерный реактор, атмосферное давление, движение в сопротивляющейся 
среде), решение которых приводит к важнейшим элементарным функциям. 
Полнее использован комплексный язык, в частности, выведена формула
Эйлера и показано единство основных элементарных функций.
Интегральное исчисление сознательно изложено по возможности на наглядном 
материале в рамках интеграла Римана. Для большинства приложений 
этого вполне хватает1. Указаны различные приложения интеграла, в
том числе приводящие к несобственному интегралу (например, работа выхода 
из поля тяготения и вторая космическая скорость) или к эллиптическим
функциям (движение в поле тяжести при наличии связей, маятник).
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных довольно 
геометрично. В нем, например, рассмотрены такие важные и полезные
следствия теоремы о неявной функции, как криволинейные координаты и
локальное приведение к каноническому виду гладких отображений (теорема 
о ранге) и функций (лемма Морса), а также теория условного экстремума.

Результаты, относящиеся к теории непрерывных функций и дифференциальному 
исчислению, подытожены и изложены в общем инвариантном
виде в двух главах, которые естественным образом примыкают к дифференциальному 
исчислению вещественнозначных функций нескольких переменных. 
Эти две главы открывают вторую часть курса. Вторая книга, в которой,
кроме того, изложено интегральное исчисление функций многих переменных, 
доведенное до общей формулы Ньютона—Лейбница—Стокса, приобретает, 
таким образом, определенную целостность.
Более полные сведения о второй книге мы поместим в предисловии к
ней, а здесь добавим только, что кроме уже перечисленного материала она
содержит сведения о рядах функций (степенных рядах и рядах Фурье в том

1Более «сильные» интегралы, как известно, требуют более кропотливых и выбивающихся 
из основного русла теоретико-множественных рассмотрений, мало что прибавляя
к эффективному аппарату анализа, который и должен быть освоен в первую очередь.
x
-
-
-
-
-
числе), об интегралах, зависящих от параметра (включая фундаментальное
решение, свертку и преобразование Фурье), а также об асимптотических
разложениях (они обычно мало представлены в учебной литературе).
Остановимся теперь на некоторых частных вопросах.
О введении. Вводного обзора предмета я не писал, поскольку большинство 
начинающих студентов уже имеют из школы первое представление о
дифференциальном и интегральном исчислении и его приложениях, а на
большее вступительный обзор вряд ли мог бы претендовать. Вместо него я
в первых двух главах довожу до определенной математической завершенности 
представления бывшего школьника о множестве, функции, об использовании 
логической символики, а также о теории действительного числа.
Этот материал относится к формальным основаниям анализа и адресован 
в первую очередь студенту-математику, который в какой-то момент захочет 
проследить логическую структуру базисных понятий и принципов, используемых 
в классическом анализе. Собственно математический анализ в
книге начинается с третьей главы, поэтому читатель, желающий по возможности 
скорее получить в руки эффективный аппарат и увидеть его приложения, 
при первом чтении вообще может начать с главы III, возвращаясь к
более ранним страницам в случае, если что-то ему покажется неочевидным
и вызовет вопрос, на который, надеюсь, я тоже обратил внимание и предусмотрительно 
дал ответ в первых главах.

О рубрикации. Материал обеих книг разбит на главы, имеющие сплошную 
нумерацию. Параграфы нумеруются в пределах каждой главы отдельно;
подразделения параграфа нумеруются только в пределах этого параграфа.
Теоремы, утверждения, леммы, определения и примеры для большей логической 
четкости выделяются, а для удобства ссылок нумеруются в пределах
каждого параграфа.

О вспомогательном материале. Несколько глав книги написаны как
естественное окаймление классического анализа. Это, с одной стороны, уже
упоминавшиеся главы I, II, посвященные его формально-математическим
основаниям, а с другой стороны, главы IX, X, XV второй части, дающие современный 
взгляд на теорию непрерывности, дифференциальное и интегральное 
исчисление, а также глава XIX, посвященная некоторым эффективным
асимптотическим методам анализа.
Вопрос о том, какая часть материала этих глав включается в лекционный
курс, зависит от контингента слушателей и решается лектором, но некоторые 
вводимые здесь фундаментальные понятия обычно присутствуют в
любом изложении предмета математикам.
В заключение я хотел бы поблагодарить тех, чья дружеская и квалифицированная 
профессиональная помощь была мне дорога и полезна при работе
над этой книгой.
Предлагаемый курс довольно тщательно и во многих аспектах согласовывался 
с последующими современными университетскими математическими
-
-
-
-
xi

курсами — такими, например, как дифференциальные уравнения, дифференциальная 
геометрия, теория функций комплексного переменного, функциональный 
анализ. В этом отношении мне были весьма полезны контакты и
обсуждения с В. И. Арнольдом и, особенно многочисленные, с С. П. Новиковым 
в период совместной работы в экспериментальном потоке при отделении 
математики.
Много советов я получил от Н. В. Ефимова, заведующего кафедрой математического 
анализа механико-математического факультета МГУ.
Я признателен также коллегам по кафедре и факультету за замечания к
ротапринтному изданию моих лекций.
При работе над книгой ценными оказались предоставленные в мое распоряжение 
студенческие записи моих лекций последнего времени, за что я
благодарен их владельцам.
Я глубоко признателен официальным рецензентам издательства Л.Д.Кудрявцеву, 
В. П. Петренко, С. Б. Стечкину за конструктивные замечания, значительная 
часть которых учтена в предлагаемом читателю тексте.

И-
-
-
-
-
В этом, втором издании книги, наряду с попыткой устранить опечатки
первого1, сделаны отдельные изменения изложения (в основном это касается 
вариантов доказательств отдельных теорем) и добавлены некоторые
новые задачи, как правило, неформального характера. [...]
В заключение хотел бы поблагодарить знакомых и незнакомых мне коллег 
и студентов за отзывы и конструктивные замечания к первому изданию 
курса. Особенно интересно и полезно мне было прочитать рецензии
А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда. Разные по объему, форме и стилю, они в
профессиональном плане имели так ободряюще много общего.

П-
-
-
-
Я только что написал предисловие к новому английскому изданию этого
учебника, поэтому позволю себе повторить то, что в равной мере относится
и к этому седьмому русскому изданию книги.
Время, прошедшее с момент выхода предыдущих изданий учебника, наука 
не стояла на месте. Например, решена проблема Ферма, доказана гипотеза 
Пуанкаре, найден бозон Хиггса. Сделано еще многое, что, возможно, не

1Не следует огорчаться: вместо исправленных опечаток не сохранившегося набора
первого издания заведомо появится комплект новых опечаток, так оживляющих, по мнению 
Эйлера, чтение математического текста.
xii
-
-
-
-
имеет прямого отношения к учебнику классического математического анализа, 
но косвенно сказывается в том, что автор за это время тоже кое-что
выучил, обдумал, понял и углубил свои знания. А они, эти дополнительные
знания, полезны, даже когда вы рассказываете вроде бы совсем о другом.1

Кроме исходного русского издания, учебник вышел на английском, немецком 
и китайском языках. Внимательные разноязычные читатели нашли
в тексте много погрешностей. К счастью, это локальные погрешности, в основном 
опечатки. Конечно, они учтены и исправлены в этом новом издании.
Главное, что отличает седьмое русское издание от шестого, — новые дополнения. 
В первой книге оно одно («Формула Эйлера—Маклорена»), а во
второй их три («Функции многих переменных и дифференциальные формы 
с термодинамическими интерпретациями»; «Операторы теории поля в
криволинейных координатах»; «Современная формула Ньютона—Лейбница
и единство математики»). Чтобы не нарушать прежний текст, дополнения
помещены в конце каждой книги. Они могут быть полезны как студентам
(математикам, физикам), так и преподавателям, — каждому для своих целей.
Последнее из них можно рассматривать как итоговый обзор, который содержит 
важнейшие концептуальные достижения всего курса, связывающие
анализ с другими разделами единой математики.
Мне приятно, что книга оказалась в какой-то мере полезной и математикам, 
и физикам, и даже инженерам в высших технических школах с углубленным 
изучением математики. Это вдохновило меня на написание дополнения, 
в котором математика и элементарная, но вполне содержательная
термодинамика идут рука об руку.
Удовольствие видеть новое поколение, когда оно мыслит шире, понимает
глубже и умеет больше, чем поколение, на плечах которого оно поднялось.

Москва, 2015 г.
В. Зорич

1Про Эрдёша, который, подобно Адамару, прожил большую математическую и человеческую 
жизнь, рассказывают следующее. Когда он уже был на склоне лет, какая-то
журналистка, бравшая у него интервью, под конец спросила, сколько ему лет. Эрдёш
задумался и ответил: «Помню, что когда я был совсем молодым, наука установила, что
Земле два миллиарда лет. Сейчас наука утверждает, что Земле уже четыре с половиной
миллиарда лет. Значит, мне примерно два с половиной миллиарда лет».
Глава I

Некоторые общематематические
понятия и обозначения

§ . Л-
-
. Связки и скобки. Язык этой книги, как и большинства математических 
текстов, состоит из обычного языка и ряда специальных символов излагаемых 
теорий. Наряду с этими специальными символами, которые будут
вводиться по мере надобности, мы используем распространенные символы
математической логики ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔ для обозначения соответственно отрицания «
не» и связок «и», «или», «влечет», «равносильно»1.
Возьмем, например, три представляющих и самостоятельный интерес высказывания:


L. «Если обозначения удобны для открытий …, то поразительным образом 
сокращается работа мысли» (Г. Лейбниц2).
P. «Математика — это искусство называть разные вещи одинаковыми
именами» (А. Пуанкаре3).
G. «Великая книга природы написана языком математики» (Г. Галилей4).

Тогда в соответствии с указанными обозначениями:

Запись
L⇒ P означает L влечет P
L⇔ P
L равносильно P
((L⇒ P)∧(¬P))⇒(¬L)
Если P следует из L и P неверно, то L неверно
¬((L⇔ G)∨(P ⇔ G))
G не равносильно ни L, ни P

1В логике вместо символа ∧ чаще используется символ &. Символ ⇒ импликации логики 
чаще пишут в виде →, а отношение равносильности — в виде ←→ или ↔. Однако
мы будем придерживаться указанной в тексте символики, чтобы не перегружать традиционный 
для анализа знак → предельного перехода.
2Г. В. Лейбниц (1646—1716) — выдающийся немецкий ученый, философ и математик,
которому наряду с Ньютоном принадлежит честь открытия основ анализа бесконечно
малых.
3А. Пуанкаре (1854—1912) — французский математик, блестящий ум которого преобразовал 
многие разделы математики и достиг ее фундаментальных приложений в математической 
физике.
4Г. Галилей (1564—1642) — итальянский ученый, крупнейший естествоиспытатель.
Его труды легли в основу всех последующих физических представлений о пространстве
и времени. Отец современной физической науки.
. . -
-
-
-
-
Мы видим, что пользоваться только формальными обозначениями, избегая 
разговорного языка, — не всегда разумно.
Мы замечаем, кроме того, что в записи сложных высказываний, составленных 
из более простых, употребляются скобки, выполняющие ту же синтаксическую 
функцию, что и при записи алгебраических выражений. Как и
в алгебре, для экономии скобок можно договориться о «порядке действий».
Условимся с этой целью о следующем порядке приоритета символов:

¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔.

При таком соглашении выражение ¬A ∧ B ∨ C ⇒ D следует расшифровать
как (((¬A) ∧ B) ∨ C) ⇒ D, а соотношение A ∨ B ⇒ C — как (A ∨ B) ⇒ C, но не
как A∨(B⇒ C).
Записи A ⇒ B, означающей, что A влечет B или, что то же самое, B следует 
из A, мы часто будем придавать другую словесную интерпретацию, говоря, 
что B есть необходимый признак или необходимое условие A и, в свою
очередь, A — достаточное условие или достаточный признак B. Таким образом, 
соотношение A⇔ B можно прочитать любым из следующих способов:

A необходимо и достаточно для B;
A тогда и только тогда, когда B;
A, если и только если B;
A равносильно B.

Итак, запись A ⇔ B означает, что A влечет B и, одновременно, B влечет 
A.
Употребление союза и в выражении A∧ B пояснений не требует.
Следует, однако, обратить внимание на то, что в выражении A ∨ B союз 
или неразделительный, т. е. высказывание A ∨ B считается верным, если
истинно хотя бы одно из высказываний A, B. Например, пусть x — такое
действительное число, что x2 − 3x + 2 = 0. Тогда можно написать, что имеет
место следующее соотношение:

(x2 −3x +2 = 0) ⇔ (x = 1)∨(x = 2).

. Замечания о доказательствах. Типичное математическое утверждение 
имеет вид A ⇒ B, где A — посылка, а B — заключение. Доказательство
такого утверждения состоит в построении цепочки A ⇒ C1 ⇒ … ⇒ Cn ⇒ B
следствий, каждый элемент которой либо считается аксиомой, либо является 
уже доказанным утверждением1.
В доказательствах мы будем придерживаться классического правила вывода: 
если A истинно и A⇒ B, то B тоже истинно.
При доказательстве от противного мы будем использовать также принцип 
исключенного третьего, в силу которого высказывание A ∨ ¬A (A или

1Запись A⇒ B⇒ C будет употребляться как сокращение для (A⇒ B)∧(B⇒ C).
§ . -
-
3

не A) считается истинным независимо от конкретного содержания высказывания 
A. Следовательно, мы одновременно принимаем, что ¬(¬A) ⇔ A, т. е.
повторное отрицание равносильно исходному высказыванию.

. Некоторые специальные обозначения. Для удобства читателя и сокращения 
текста начало и конец доказательства условимся отмечать знаками ◀ 
и ▶ соответственно.
Условимся также, когда это будет удобно, вводить определения посредством 
специального символа := (равенство по определению), в котором
двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.
Например, запись
-
f (x) dx :=
lim
λ(P )→0 σ( f ; P, ξ)

определяет левую часть посредством правой части, смысл которой предполагается 
известным.
Аналогично вводятся сокращенные обозначения для уже определенных
выражений. Например, запись

n-
i=1
f (ξi)∆xi =: σ( f ; P, ξ)

вводит обозначение σ( f ; P, ξ) для стоящей слева суммы специального вида.

. Заключительные замечания. Отметим, что мы здесь говорили, по
существу, только об обозначениях, не анализируя формализм логических
выводов и не касаясь глубоких вопросов истинности, доказуемости, выводимости, 
составляющих предмет исследования математической логики.
Как же строить математический анализ, если мы не имеем формализации 
логики? Некоторое утешение тут может состоять в том, что мы всегда 
знаем или, лучше сказать, умеем больше, чем способны в данный момент 
формализовать. Пояснением смысла последней фразы может служить
известная притча о том, что сороконожка даже ходить разучилась, когда ее
попросили объяснить, как именно она управляется со всеми своими конечностями.

Опыт всех наук убеждает нас в том, что считавшееся ясным или простым
и нерасчленяемым вчера может подвергнуться пересмотру или уточнению
сегодня. Так было (и, без сомнения, еще будет) и с многими понятиями
математического анализа, важнейшие теоремы и аппарат которого были
открыты еще в XVII—XVIII веках, но приобрели современный формализованный, 
однозначно трактуемый и, вероятно, потому общедоступный вид лишь
после создания теории пределов и необходимой для нее логически полноценной 
теории действительных чисел (XIX век).
  • document_id: 416821
  • product_id: 1900074
  • ins_time: 2022-07-20 01:15:19
  • upd_time: 2022-07-20 01:15:19
  • upp_upd_date: 2022-07-19
  • Full PDF: WARN Путь не доступен (не определен) /mnt/znanium_fullpdf/booksfull/done/1900/1900074.pdf
  • PDF pages: WARN Количество страниц документа (564) не соответствует физическому наличию (577). Путь /mnt/resources/resources/1900/1900074/pdf
  • XML pages: WARN Количество страниц документа (564) не соответствует физическому наличию (577). Путь: /mnt/resources/resources/1900/1900074/xml
  • text *.idx: WARN idx файл отсутствует. Текст страниц не доступен (Не смог создать вычищенный текст -- отсутствует необработанный)
  • Full text: OK /mnt/resources/resources/1900/1900074/txt/1900074.txt
  • Оглавления: OK Путь /mnt/resources/resources/1900/1900074/txt/1900074.toc.txt