Математический анализ. Часть I

В. А. Зорич

Математический анализ

Часть I

Электронное издание

Издательство МЦНМО
Москва, 2021

УДК 517
ББК 22.16
З86

Зорич В. А.
Математический анализ. Часть I
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2021
xii+564 с.
ISBN 978-5-4439-3304-7

Университетский учебник для студентов физико-математических специальностей. Может
быть полезен студентам факультетов и вузов с расширенной математической подготовкой, а
также специалистам в области математики и ее приложений.

Подготовлено на основе книги:
Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — Изд. 11-е, испр. — М.: МЦНМО,
2021. — xii+564 с. Библ.: 54 назв. Илл.: 65. ISBN 978-5-4439-1676-7.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11.
Тел. (495) 241-74-83
www.mccme.ru

ISBN ----
© В. А. Зорич, 2001—2021.
© Издательство МЦНМО, 2021.

Оглавление

Из предисловия к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
Из предисловия ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
Предисловие к седьмому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi

Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения

§ 1. Логическая символика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

1. Связки и скобки (1). 2. Замечания о доказательствах (2). 3. Некото-
рые специальные обозначения (3). 4. Заключительные замечания (3).
Упражнения (4)

§ 2. Множества и элементарные операции над множествами . . . . . . . . .
4

1. Понятие множества (4). 2. Отношение включения (6). 3. Простей-
шие операции над множествами (7). Упражнения (10)

§ 3. Функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

1. Понятие функции (отображения) (10). 2. Простейшая классифика-
ция отображений (14). 3. Композиция функций и взаимно обратные
отображения (16). 4. Функция как отношение. График функции (18).
Упражнения (21)

§ 4. Некоторые дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

1. Мощность множества (кардинальные числа) (23). 2. Об аксиомати-
ке теории множеств (25). 3. Замечания о структуре математических
высказываний и записи их на языке теории множеств (27). Упражне-
ния (29)

Глава II. Действительные (вещественные) числа

§ 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действи-
тельных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

1. Определение множества действительных чисел (32). 2. Некоторые
общие алгебраические свойства действительных чисел (36). 3. Аксио-
ма полноты и существование верхней (нижней) грани числового мно-
жества (39)

§ 2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные ас-
пекты операций с действительными числами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

1. Натуральные числа и принцип математической индукции (41). 2. Ра-
циональные и иррациональные числа (44). 3. Принцип Архимеда (48).

iv
4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и
вычислительные аспекты операций с действительными числами (49).
Задачи и упражнения (61)
§ 3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действитель-
ных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши—Кантора) (65).
2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля—Лебега) (66). 3.
Лемма о предельной точке (принцип Больцано—Вейерштрасса) (66).
Задачи и упражнения (67)
§ 4. Счетные и несчетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
1. Счетные множества (68). 2. Мощность континуума (70). Задачи и
упражнения (71)

Глава III. Предел

§ 1. Предел последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
1. Определения и примеры (72). 2. Свойства предела последовательно-
сти (74). 3. Вопросы существования предела последовательности (78).
4. Начальные сведения о рядах (87). Задачи и упражнения (96).
§ 2. Предел функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
1. Определения и примеры (98). 2. Свойства предела функции (102).
3. Общее определение предела функции (предел по базе) (117). 4. Во-
просы существования предела функции (121). Задачи и упражнения
(135).

Глава IV. Непрерывные функции

§ 1. Основные определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
1. Непрерывность функции в точке (138). 2. Точки разрыва (142).
§ 2. Свойства непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
1. Локальные свойства (145). 2. Глобальные свойства непрерывных
функций (147). Задачи и упражнения (155).

Глава V. Дифференциальное исчисление

§ 1. Дифференцируемая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
1. Задача и наводящие соображения (160). 2. Функция, дифференци-
руемая в точке (165). 3. Касательная; геометрический смысл произ-
водной и дифференциала (167). 4. Роль системы координат (170). 5.
Некоторые примеры (172). Задачи и упражнения (177).
§ 2. Основные правила дифференцирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178
1. Дифференцирование и арифметические операции (178). 2. Диффе-
ренцирование композиции функций (181). 3. Дифференцирование об-
ратной функции (184). 4. Таблица производных основных элементар-
ных функций (188). 5. Дифференцирование простейшей неявно задан-
ной функции (189). 6. Производные высших порядков (193). Задачи и
упражнения (197).

v

§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления . . . . . . . . . . . . . .
198

1. Лемма Ферма и теорема Ролля (198). 2. Теоремы Лагранжа и Коши
о конечном приращении (200). 3. Формула Тейлора (203). Задачи и
упражнения (214).

§ 4. Исследование функций методами дифференциального исчисле-
ния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217

1. Условия монотонности функции (217). 2. Условия внутреннего экс-
тремума функции (218). 3. Условия выпуклости функции (224). 4. Пра-
вило Лопиталя (230). 5. Построение графика функции (232). Задачи и
упражнения (240).

§ 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций . . . . . . .
244

1. Комплексные числа (244). 2. Сходимость в и ряды с комплексны-
ми членами (247). 3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных
функций (251). 4. Представление функции степенным рядом, анали-
тичность (255). 5. Алгебраическая замкнутость поля комплексных
чисел (259). Задачи и упражнения (265).

§ 6. Некоторые примеры использования дифференциального исчисле-
ния в задачах естествознания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
267

1. Движение тела переменной массы (267). 2. Барометрическая форму-
ла (269). 3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел
(270). 4. Падение тел в атмосфере (273). 5. Еще раз о числе e и функ-
ции exp x (274). 6. Колебания (277). Задачи и упражнения (280).

§ 7. Первообразная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284

1. Первообразная и неопределенный интеграл (284). 2. Основные об-
щие приемы отыскания первообразной (286). 3. Первообразные раци-
ональных функций (291). 4. Первообразные вида
R(cos x, sin x) dx
(295). 5. Первообразные вида
R(x, y(x)) dx (297). Задачи и упражне-
ния (300).

Глава VI. Интеграл

§ 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
305

1. Задача и наводящие соображения (305). 2. Определение интеграла
Римана (306). 3. Множество интегрируемых функций (308). Задачи и
упражнения (320).

§ 2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла . . . . . . . . . . . .
321

1. Интеграл как линейная функция на пространстве [a, b] (321). 2.
Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирования (322). 3.
Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем (325).
Задачи и упражнения (332).

§ 3. Интеграл и производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333

1. Интеграл и первообразная (333). 2. Формула Ньютона—Лейбница
(335). 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и фор-

vi
мула Тейлора (336). 4. Замена переменной в интеграле (338). 5. Некоторые 
примеры (340). Задачи и упражнения (344).
§ 4. Некоторые приложения интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
347
1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл
(347). 2. Длина пути (349). 3. Площадь криволинейной трапеции (355).
4. Объем тела вращения (356). 5. Работа и энергия (356). Задачи и
упражнения (362).
§ 5. Несобственный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363
1. Определения, примеры и основные свойства несобственных интегралов (
363). 2. Исследование сходимости несобственного интеграла
(368). 3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями
(373). Задачи и упражнения (376).

Глава VII. Функции многих переменных, их предел и непрерывность

§ 
1. Пространство m и важнейшие классы его подмножеств . . . . . . . . .
378
1. Множество m и расстояние в нем (378). 2. Открытые и замкнутые
множества в m (380). 3. Компакты в m (382). Задачи и упражнения
(384).
§ 2. Предел и непрерывность функции многих переменных . . . . . . . . . . .
384
1. Предел функции (384). 2. Непрерывность функции многих переменных 
и свойства непрерывных функций (389). Задачи и упражнения
(394).

Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

§ 
1. Векторная структура в m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
395
1. m как векторное пространство (395). 2. Линейные отображения
L: m → n (396). 3. Норма в m (397). 4. Евклидова структура в m

(398).
§ 2. Дифференциал функции многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
400
1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке (400). 2.
Дифференциал и частные производные вещественнозначной функции
(401). 3. Координатное представление дифференциала отображения.
Матрица Якоби (403). 4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость 
функции в точке (404).
§ 3. Основные законы дифференцирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
405
1. Линейность операции дифференцирования (405). 2. Дифференцирование 
композиции отображений (407). 3. Дифференцирование обратного 
отображения (412). Задачи и упражнения (414).
§ 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественнозначных 
функций многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
419
1. Теорема о среднем (419). 2. Достаточное условие дифференцируемости 
функции многих переменных (421). 3. Частные производные выс-

vii

шего порядка (422). 4. Формула Тейлора (425). 5. Экстремумы функций 
многих переменных (427). 6. Некоторые геометрические образы,
связанные с функциями многих переменных (433). Задачи и упражнения (
437).

§ 5. Теорема о неявной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
443

1. Постановка вопроса и наводящие соображения (443). 2. Простейший 
вариант теоремы о неявной функции (445). 3. Переход к случаю
зависимости F(x1, …, xm, y) = 0 (449). 4. Теорема о неявной функции
(451). Задачи и упражнения (455).

§ 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции. . . . . . . . . . . . . . . .
459

1. Теорема об обратной функции (459). 2. Локальное приведение гладкого 
отображения к каноническому виду (464). 3. Зависимость функций (
468). 4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию
простейших (469). 5. Лемма Морса (472). Задачи и упражнения (475).

§ 7. Поверхность в n и теория условного экстремума. . . . . . . . . . . . . . . . .
476

1. Поверхность размерности k в n (476). 2. Касательное пространство
(481). 3. Условный экстремум (486). Задачи и упражнения (497)

Некоторые задачи коллоквиумов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
502
Вопросы к экзамену . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
511

Дополнения

1. Математический анализ (вводная лекция для первого курса). . . . . . .
515
2. Начальные сведения о численных методах решения уравнений . . . .
523
3. Преобразование Лежандра (первое обсуждение). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
526
4. Интеграл Римана—Стилтьеса, дельта-функция и идея обобщенных
функций (начальные представления) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
529
5. Формула Эйлера—Маклорена. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
537
6. Теорема о неявной функции (альтернативное изложение). . . . . . . . . .
542

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
550
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
553
Указатель имен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
563

ИСоздание Ньютоном и Лейбницем три столетия тому назад основ диффе-
ренциального и интегрального исчисления даже по нынешним масштабам
представляется крупнейшим событием в истории науки вообще и математи-
ки в особенности.
Математический анализ (в широком смысле слова) и алгебра, перепле-
таясь, образовали теперь ту корневую систему, на которой держится раз-
ветвленное дерево современной математики и через которую происходит
его основной живительный контакт с внематематической сферой. Именно
по этой причине основы анализа включаются как необходимый элемент да-
же самых скромных представлений о так называемой высшей математике,
и, вероятно, поэтому изложению основ анализа посвящено большое количе-
ство книг, адресованных различным кругам читателей.
Эта книга в первую очередь адресована математикам, желающим (как
и должно) получить полноценные в логическом отношении доказательства
фундаментальных теорем, но вместе с тем интересующимся также их внема-
тематической жизнью.
Особенности настоящего курса сводятся в основном к следующему.
По характеру изложения. В пределах каждой большой темы изложение,
как правило, индуктивное, идущее порой от постановки задачи и наводящих
эвристических соображений по ее решению к основным понятиям и форма-
лизмам.
Подробное вначале, изложение становится все более сжатым по мере
продвижения по курсу.
Упор сделан на эффективном аппарате гладкого анализа. При изложении
теории я (в меру своего понимания) стремился выделить наиболее суще-
ственные методы и факты и избежать искушения незначительного усиления
теорем ценой значительного усложнения доказательств.
Изложение геометрично всюду, где это представлялось ценным для рас-
крытия существа дела.
Основной текст снабжен довольно большим количеством примеров, а
почти каждый параграф заканчивается набором задач, которые, надеюсь,
существенно дополняют даже теоретическую часть основного текста. Следуя
великолепному опыту Полиа и Сеге, я часто старался представить красивый
математический или важный прикладной результат в виде серий доступных
читателю задач.
Расположение материала диктовалось не только архитектурой математи-
ки в смысле Бурбаки, но и положением анализа как составной части единого
математического или, лучше сказать, естественно-математического образо-
вания.

ix

По содержанию. Курс издается в двух книгах (части I и II).
Настоящая первая часть содержит дифференциальное и интегральное
исчисление функций одной переменной и дифференциальное исчисление
функций многих переменных.
В дифференциальном исчислении выделена роль дифференциала как
линейного эталона для локального описания характера изменения пе-
ременной величины. Кроме многочисленных примеров использования
дифференциального исчисления для исследования функциональных зависи-
мостей (монотонность, экстремумы), показана роль языка анализа в записи
простейших дифференциальных уравнений — математических моделей кон-
кретных явлений и связанных с ними содержательных задач.
Рассмотрен ряд таких задач (например, движение тела переменной мас-
сы, ядерный реактор, атмосферное давление, движение в сопротивляющей-
ся среде), решение которых приводит к важнейшим элементарным функци-
ям. Полнее использован комплексный язык, в частности, выведена формула
Эйлера и показано единство основных элементарных функций.
Интегральное исчисление сознательно изложено по возможности на на-
глядном материале в рамках интеграла Римана. Для большинства приложе-
ний этого вполне хватает1. Указаны различные приложения интеграла, в
том числе приводящие к несобственному интегралу (например, работа выхо-
да из поля тяготения и вторая космическая скорость) или к эллиптическим
функциям (движение в поле тяжести при наличии связей, маятник).
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных доволь-
но геометрично. В нем, например, рассмотрены такие важные и полезные
следствия теоремы о неявной функции, как криволинейные координаты и
локальное приведение к каноническому виду гладких отображений (теоре-
ма о ранге) и функций (лемма Морса), а также теория условного экстре-
мума.
Результаты, относящиеся к теории непрерывных функций и дифферен-
циальному исчислению, подытожены и изложены в общем инвариантном
виде в двух главах, которые естественным образом примыкают к дифферен-
циальному исчислению вещественнозначных функций нескольких перемен-
ных. Эти две главы открывают вторую часть курса. Вторая книга, в которой,
кроме того, изложено интегральное исчисление функций многих перемен-
ных, доведенное до общей формулы Ньютона—Лейбница—Стокса, приобре-
тает, таким образом, определенную целостность.
Более полные сведения о второй книге мы поместим в предисловии к
ней, а здесь добавим только, что кроме уже перечисленного материала она
содержит сведения о рядах функций (степенных рядах и рядах Фурье в том

1Более «сильные» интегралы, как известно, требуют более кропотливых и выбиваю-
щихся из основного русла теоретико-множественных рассмотрений, мало что прибавляя
к эффективному аппарату анализа, который и должен быть освоен в первую очередь.

x
числе), об интегралах, зависящих от параметра (включая фундаментальное
решение, свертку и преобразование Фурье), а также об асимптотических
разложениях (они обычно мало представлены в учебной литературе).
Остановимся теперь на некоторых частных вопросах.
О введении. Вводного обзора предмета я не писал, поскольку большинство 
начинающих студентов уже имеют из школы первое представление о
дифференциальном и интегральном исчислении и его приложениях, а на
большее вступительный обзор вряд ли мог бы претендовать. Вместо него я
в первых двух главах довожу до определенной математической завершенности 
представления бывшего школьника о множестве, функции, об использовании 
логической символики, а также о теории действительного числа.
Этот материал относится к формальным основаниям анализа и адресован 
в первую очередь студенту-математику, который в какой-то момент захочет 
проследить логическую структуру базисных понятий и принципов, используемых 
в классическом анализе. Собственно математический анализ в
книге начинается с третьей главы, поэтому читатель, желающий по возможности 
скорее получить в руки эффективный аппарат и увидеть его приложения, 
при первом чтении вообще может начать с главы III, возвращаясь к
более ранним страницам в случае, если что-то ему покажется неочевидным
и вызовет вопрос, на который, надеюсь, я тоже обратил внимание и предусмотрительно 
дал ответ в первых главах.

О рубрикации. Материал обеих книг разбит на главы, имеющие сплошную 
нумерацию. Параграфы нумеруются в пределах каждой главы отдельно;
подразделения параграфа нумеруются только в пределах этого параграфа.
Теоремы, утверждения, леммы, определения и примеры для большей логической 
четкости выделяются, а для удобства ссылок нумеруются в пределах
каждого параграфа.

О вспомогательном материале. Несколько глав книги написаны как
естественное окаймление классического анализа. Это, с одной стороны, уже
упоминавшиеся главы I, II, посвященные его формально-математическим
основаниям, а с другой стороны, главы IX, X, XV второй части, дающие современный 
взгляд на теорию непрерывности, дифференциальное и интегральное 
исчисление, а также глава XIX, посвященная некоторым эффективным
асимптотическим методам анализа.
Вопрос о том, какая часть материала этих глав включается в лекционный
курс, зависит от контингента слушателей и решается лектором, но неко-
торые вводимые здесь фундаментальные понятия обычно присутствуют в
любом изложении предмета математикам.
В заключение я хотел бы поблагодарить тех, чья дружеская и квалифици-
рованная профессиональная помощь была мне дорога и полезна при работе
над этой книгой.
Предлагаемый курс довольно тщательно и во многих аспектах согласовы-
вался с последующими современными университетскими математическими

xi

курсами — такими, например, как дифференциальные уравнения, дифферен-
циальная геометрия, теория функций комплексного переменного, функцио-
нальный анализ. В этом отношении мне были весьма полезны контакты и
обсуждения с В. И. Арнольдом и, особенно многочисленные, с С. П. Новико-
вым в период совместной работы в экспериментальном потоке при отделе-
нии математики.
Много советов я получил от Н. В. Ефимова, заведующего кафедрой мате-
матического анализа механико-математического факультета МГУ.
Я признателен также коллегам по кафедре и факультету за замечания к
ротапринтному изданию моих лекций.
При работе над книгой ценными оказались предоставленные в мое рас-
поряжение студенческие записи моих лекций последнего времени, за что я
благодарен их владельцам.
Я глубоко признателен официальным рецензентам издательства Л.Д.Куд-
рявцеву, В. П. Петренко, С. Б. Стечкину за конструктивные замечания, значи-
тельная часть которых учтена в предлагаемом читателю тексте.

ИВ этом, втором издании книги, наряду с попыткой устранить опечатки
первого1, сделаны отдельные изменения изложения (в основном это каса-
ется вариантов доказательств отдельных теорем) и добавлены некоторые
новые задачи, как правило, неформального характера. [...]
В заключение хотел бы поблагодарить знакомых и незнакомых мне кол-
лег и студентов за отзывы и конструктивные замечания к первому изда-
нию курса. Особенно интересно и полезно мне было прочитать рецензии
А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда. Разные по объему, форме и стилю, они в
профессиональном плане имели так ободряюще много общего.

ПЯ только что написал предисловие к новому английскому изданию этого
учебника, поэтому позволю себе повторить то, что в равной мере относится
и к этому седьмому русскому изданию книги.
Время, прошедшее с момент выхода предыдущих изданий учебника, наука 
не стояла на месте. Например, решена проблема Ферма, доказана гипотеза 
Пуанкаре, найден бозон Хиггса. Сделано еще многое, что, возможно, не

1Не следует огорчаться: вместо исправленных опечаток не сохранившегося набора
первого издания заведомо появится комплект новых опечаток, так оживляющих, по мнению 
Эйлера, чтение математического текста.

xii
имеет прямого отношения к учебнику классического математического анализа, 
но косвенно сказывается в том, что автор за это время тоже кое-что
выучил, обдумал, понял и углубил свои знания. А они, эти дополнительные
знания, полезны, даже когда вы рассказываете вроде бы совсем о другом.1

Кроме исходного русского издания, учебник вышел на английском, немецком 
и китайском языках. Внимательные разноязычные читатели нашли
в тексте много погрешностей. К счастью, это локальные погрешности, в основном 
опечатки. Конечно, они учтены и исправлены в этом новом издании.
Главное, что отличает седьмое русское издание от шестого, — новые дополнения. 
В первой книге оно одно («Формула Эйлера—Маклорена»), а во
второй их три («Функции многих переменных и дифференциальные формы 
с термодинамическими интерпретациями»; «Операторы теории поля в
криволинейных координатах»; «Современная формула Ньютона—Лейбница
и единство математики»). Чтобы не нарушать прежний текст, дополнения
помещены в конце каждой книги. Они могут быть полезны как студентам
(математикам, физикам), так и преподавателям, — каждому для своих целей.
Последнее из них можно рассматривать как итоговый обзор, который содержит 
важнейшие концептуальные достижения всего курса, связывающие
анализ с другими разделами единой математики.
Мне приятно, что книга оказалась в какой-то мере полезной и математикам, 
и физикам, и даже инженерам в высших технических школах с углубленным 
изучением математики. Это вдохновило меня на написание дополнения, 
в котором математика и элементарная, но вполне содержательная
термодинамика идут рука об руку.
Удовольствие видеть новое поколение, когда оно мыслит шире, понимает
глубже и умеет больше, чем поколение, на плечах которого оно поднялось.

Москва, 2015 г.
В. Зорич

1Про Эрдёша, который, подобно Адамару, прожил большую математическую и чело-
веческую жизнь, рассказывают следующее. Когда он уже был на склоне лет, какая-то
журналистка, бравшая у него интервью, под конец спросила, сколько ему лет. Эрдёш
задумался и ответил: «Помню, что когда я был совсем молодым, наука установила, что
Земле два миллиарда лет. Сейчас наука утверждает, что Земле уже четыре с половиной
миллиарда лет. Значит, мне примерно два с половиной миллиарда лет».

Глава I

Некоторые общематематические
понятия и обозначения

§ . Л. Связки и скобки. Язык этой книги, как и большинства математиче-
ских текстов, состоит из обычного языка и ряда специальных символов из-
лагаемых теорий. Наряду с этими специальными символами, которые будут
вводиться по мере надобности, мы используем распространенные символы
математической логики ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔ для обозначения соответственно от-
рицания «не» и связок «и», «или», «влечет», «равносильно»1.
Возьмем, например, три представляющих и самостоятельный интерес вы-
сказывания:

L. «Если обозначения удобны для открытий …, то поразительным обра-
зом сокращается работа мысли» (Г. Лейбниц2).
P. «Математика — это искусство называть разные вещи одинаковыми
именами» (А. Пуанкаре3).
G. «Великая книга природы написана языком математики» (Г. Галилей4).

Тогда в соответствии с указанными обозначениями:

Запись
L⇒ P означает L влечет P
L⇔ P
L равносильно P
((L⇒ P)∧(¬P))⇒(¬L)
Если P следует из L и P неверно, то L неверно
¬((L⇔ G)∨(P ⇔ G))
G не равносильно ни L, ни P

1В логике вместо символа ∧ чаще используется символ &. Символ ⇒ импликации ло-
гики чаще пишут в виде →, а отношение равносильности — в виде ←→ или ↔. Однако
мы будем придерживаться указанной в тексте символики, чтобы не перегружать тради-
ционный для анализа знак → предельного перехода.
2Г. В. Лейбниц (1646—1716) — выдающийся немецкий ученый, философ и математик,
которому наряду с Ньютоном принадлежит честь открытия основ анализа бесконечно
малых.
3А. Пуанкаре (1854—1912) — французский математик, блестящий ум которого преоб-
разовал многие разделы математики и достиг ее фундаментальных приложений в мате-
матической физике.
4Г. Галилей (1564—1642) — итальянский ученый, крупнейший естествоиспытатель.
Его труды легли в основу всех последующих физических представлений о пространстве
и времени. Отец современной физической науки.

. . Мы видим, что пользоваться только формальными обозначениями, избе-
гая разговорного языка, — не всегда разумно.
Мы замечаем, кроме того, что в записи сложных высказываний, состав-
ленных из более простых, употребляются скобки, выполняющие ту же син-
таксическую функцию, что и при записи алгебраических выражений. Как и
в алгебре, для экономии скобок можно договориться о «порядке действий».
Условимся с этой целью о следующем порядке приоритета символов:

¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔.

При таком соглашении выражение ¬A ∧ B ∨ C ⇒ D следует расшифровать
как (((¬A) ∧ B) ∨ C) ⇒ D, а соотношение A ∨ B ⇒ C — как (A ∨ B) ⇒ C, но не
как A∨(B⇒ C).
Записи A ⇒ B, означающей, что A влечет B или, что то же самое, B сле-
дует из A, мы часто будем придавать другую словесную интерпретацию, го-
воря, что B есть необходимый признак или необходимое условие A и, в свою
очередь, A — достаточное условие или достаточный признак B. Таким обра-
зом, соотношение A⇔ B можно прочитать любым из следующих способов:

A необходимо и достаточно для B;
A тогда и только тогда, когда B;
A, если и только если B;
A равносильно B.

Итак, запись A ⇔ B означает, что A влечет B и, одновременно, B вле-
чет A.
Употребление союза и в выражении A∧ B пояснений не требует.
Следует, однако, обратить внимание на то, что в выражении A ∨ B со-
юз или неразделительный, т. е. высказывание A ∨ B считается верным, если
истинно хотя бы одно из высказываний A, B. Например, пусть x — такое
действительное число, что x2 − 3x + 2 = 0. Тогда можно написать, что имеет
место следующее соотношение:

(x2 −3x +2 = 0) ⇔ (x = 1)∨(x = 2).

. Замечания о доказательствах. Типичное математическое утвержде-
ние имеет вид A ⇒ B, где A — посылка, а B — заключение. Доказательство
такого утверждения состоит в построении цепочки A ⇒ C1 ⇒ … ⇒ Cn ⇒ B
следствий, каждый элемент которой либо считается аксиомой, либо являет-
ся уже доказанным утверждением1.
В доказательствах мы будем придерживаться классического правила вы-
вода: если A истинно и A⇒ B, то B тоже истинно.
При доказательстве от противного мы будем использовать также прин-
цип исключенного третьего, в силу которого высказывание A ∨ ¬A (A или

1Запись A⇒ B⇒ C будет употребляться как сокращение для (A⇒ B)∧(B⇒ C).

§ . 3

не A) считается истинным независимо от конкретного содержания высказы-
вания A. Следовательно, мы одновременно принимаем, что ¬(¬A) ⇔ A, т. е.
повторное отрицание равносильно исходному высказыванию.

. Некоторые специальные обозначения. Для удобства читателя и со-
кращения текста начало и конец доказательства условимся отмечать знака-
ми ◀ и ▶ соответственно.
Условимся также, когда это будет удобно, вводить определения посред-
ством специального символа := (равенство по определению), в котором
двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.
Например, запись
f (x) dx :=
lim
λ(P )→0 σ( f ; P, ξ)

определяет левую часть посредством правой части, смысл которой предпола-
гается известным.
Аналогично вводятся сокращенные обозначения для уже определенных
выражений. Например, запись

ni=1
f (ξi)∆xi =: σ( f ; P, ξ)

вводит обозначение σ( f ; P, ξ) для стоящей слева суммы специального вида.

. Заключительные замечания. Отметим, что мы здесь говорили, по
существу, только об обозначениях, не анализируя формализм логических
выводов и не касаясь глубоких вопросов истинности, доказуемости, выводи-
мости, составляющих предмет исследования математической логики.
Как же строить математический анализ, если мы не имеем формализа-
ции логики? Некоторое утешение тут может состоять в том, что мы все-
гда знаем или, лучше сказать, умеем больше, чем способны в данный мо-
мент формализовать. Пояснением смысла последней фразы может служить
известная притча о том, что сороконожка даже ходить разучилась, когда ее
попросили объяснить, как именно она управляется со всеми своими конеч-
ностями.
Опыт всех наук убеждает нас в том, что считавшееся ясным или простым
и нерасчленяемым вчера может подвергнуться пересмотру или уточнению
сегодня. Так было (и, без сомнения, еще будет) и с многими понятиями
математического анализа, важнейшие теоремы и аппарат которого были
открыты еще в XVII—XVIII веках, но приобрели современный формализован-
ный, однозначно трактуемый и, вероятно, потому общедоступный вид лишь
после создания теории пределов и необходимой для нее логически полноцен-
ной теории действительных чисел (XIX век).