Математика: итоговое тестирование в системе Moodle

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«Казанский национальный исследовательский

технологический университет»

МАТЕМАТИКА: ИТОГОВОЕ 
ТЕСТИРОВАНИЕ В СИСТЕМЕ 

MOODLE

Учебно-методическое пособие

Казань

Издательство КНИТУ

2020

УДК 51(079)
ББК 22.1я7

М33

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Казанского национального исследовательского технологического университета

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, доц. А. В. Антонова
канд. физ.-мат. наук, доц. Д. В. Шевченко

М33

Авторы: Н. Н. Газизова, Р. Ш. Корнеева, Е. Д. Крайнова, 
Н. В. Никонова, А. А. Осипов
Математика: итоговое тестирование в системе Moodle : учебно-мето-
дическое пособие / Н. Н. Газизова [и др.]; Минобрнауки России, Ка-
зан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2020. – 128 с.

ISBN 978-5-7882-2811-2

Содержит теоретические сведения и прикладные задачи по разделам: 

линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия, дифференци-
альное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения, комплекс-
ные числа, теория рядов, векторный анализ, теория вероятностей и математи-
ческой статистики. 

Предназначено для студентов 1-го и 2-го курсов, изучающих дисци-

плины «Математика», «Дополнительные главы математики». Может быть ис-
пользовано для промежуточного и итогового тестирования в системе Moodle.

Подготовлено на кафедре высшей математики.

ISBN 978-5-7882-2811-2
© Газизова Н. Н., Корнеева Р. Ш., 

Крайнова Е. Д., Никонова Н. В., 
Осипов А. А., 2020

© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2020

УДК 51(079)
ББК 22.1я7

ВВЕДЕНИЕ

Изучение данного пособия позволяет сформировать у обучаемых 

общекультурные и профессиональные компетенции:

– способность работать самостоятельно;
– способность к самоорганизации и самообразованию;
– владение культурой математического мышления, способность 

к обобщению и анализу информации, постановке целей и выбору путей 
достижения поставленной цели;

– готовность применять фундаментальные математические, есте-

ственно-научные и общеинженерные знания в общепрофессиональной 
деятельности.

Учебно-методическое пособие состоит из трех частей. Первая 

часть содержит следующие разделы математики: линейная алгебра, 
векторная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальное исчисление; 
вторая часть – комплексные числа, интегральное исчисление, 
дифференциальные уравнения; третья часть – векторный анализ, 
теория рядов, теория вероятностей и математической статистики, примеры 
решения типовых задач, тестовые задания и ответы к ним. Теоретическая 
часть включает в себя все необходимые сведения для подготовки 
к итоговому тестированию, а также может использоваться при 
подготовке к контрольным работам, коллоквиумам и экзаменам в конце 
семестра. Текст иллюстрируется большим количеством примеров и рисунков.


Помимо основных формул, определений, авторы предлагают 

подробный разбор тестовых заданий по указанным темам. Тестовые задания (
20 вариантов) могут использовать как преподаватели для проведения 
практических занятий со студентами, организации аудиторных 
контрольных, зачетных и проверочных работ, так и студенты для самостоятельного 
изучения теоретического материала и индивидуальной 
подготовки к контрольным работам, коллоквиуму и экзамену.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Определители и их свойства

Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица 

чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Определение. Числа m и n называются размерностями мат-

рицы



















mn
m
m

n

n

a
a
a

a
a
a

a
a
a

...

...
...
...
...

...

...

=
А

2
1

2
22
21

1
12
11

Обозначения: А – матрица, аij – элемент матрицы, i – номер 

строки, в которой стоит данный элемент, j – номер соответствующего 
столбца, m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.

Определение. Матрица 
называется квадратной, 
если m = n. 

Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.

Определение. Определителем второго порядка (детерминан-

том), соответствующим квадратной матрице 2-го порядка, называется 
число

=detA=
,
(1)

вычисляемое по правилу =
=а11а22–а21а12.

Пример. Определитель II порядка  
9
6

4
3
−

равен …

1)  3;    2) –3;   3) 51;  4) –51.
Решение. Используя формулу (1), получаем 

9
6

4
3
−

=39–6(–4)=27+24=51.

Ответ: 3.
Определение. Определителем 3-го порядка, соответствующим 

квадратной матрице 3-го порядка, называется число

22
21

12
11
а
а

а
а

22
21

12
11
а
а

а
а

.  (2)

Пример. Определитель III порядка 

2
3
4

5
1
1

2
1
5

−

−

−
−

равен …

1)  105;    2) –1;   3) 1;  4) –11.
Решение. Используя (2), получаем

=
−
−
+
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=

3
4
1
1
2
2
4
5
1
)1
(
2
3
5
1
5
2
3
4
5
1
1
2
1
5

=–5(–2–15)+(2–(–20))+2(3–4)=85+22–2=105.
Ответ: 1.
Определение. Системой m линейных алгебраических уравне-

ний с n неизвестными называется  система вида

,
(3)

где aij – коэффициенты при неизвестных (первый индекс указывает но-
мер уравнения, второй – номер неизвестной); bi – свободные члены, 

Определение. Решением системы (3) называется совокупность 

n чисел (
, которые при подстановке вместо неизвестных 

в уравнения обращают эти уравнения в тождества.

Теорема Крамера. Система n линейных уравнений с n неиз-

вестными имеет единственное решение, если определитель системы не 
равен нулю. И это решение находится по формуле Крамера: 

,
(4)

32
31

22
21
13
33
31

23
21
12
33
32

23
22
11

33
32
31

23
22
21

13
12
11

a
a

a
a
a
a
a

a
a
a
a
a

a
a
a

a
a
a

a
a
a

a
a
a

+
−
=
=











=
+
+
+

=
+
+
+

=
+
+
+

m
n
2
2
1
1

2
n
2
2
22
1
21

1
n
1
2
12
1
11

b
...

..........
..........
..........
..........
..........

b
...

b
...

х
а
х
а
х
а

х
а
х
а
х
а

х
а
х
а
х
а

mn
m
m

n

n

.
,1
;
,1
n
j
m
i
=
=

)
;...;
;
2
1
nx
x
x

,n
j
,
j
j
x
1
   
Δ

Δ
=
=

где определители j называются определителями неизвестных хj и по-
лучаются из главного определителя путем замены j-го столбца столб-
цом свободных членов.

Определение. Системой трех линейных алгебраических урав-

нений с тремя неизвестными называется система вида







=
+
+

=
+
+

=
+
+

3
3
33
2
32
1
31

2
3
23
2
22
1
21

1
3
13
2
12
1
11

b

.
b

b

х
а
х
а
х
а

х
а
х
а
х
а

х
а
х
а
х
а

(5)

Рассмотрим систему (3). Если число строк совпадает с числом 

столбцов, т. е. m=n, то матрица А – квадратная и ее определитель – глав-
ный определитель системы. При 0 решение системы единственно и 
находится по формулам Крамера.

Тогда для системы (5) формулы Крамера будут иметь вид:







3
3
2
2
1
1
;
;
=
=
=
x
x
x
,

где определители 1, 2, 3 получаются из главного определителя пу-
тем замены 1-го, 2-го и 3-го столбцов соответственно столбцом свобод-
ных членов

Пример. Если (х0; у0) – решение системы   




=
−

=
+

8
2
3

5
3
4

y
x

y
x

, то зна-

чение выражения 2х0–3у0 равно:

1) –1;   2)  –5;  3) –8;   4) 7 .
Решение. Решим систему методом Крамера:

;     

.   

17
9
8
3
3
)
2
(
4
2
3

3
4
−
=
−
−
=

−
−
=
−
=

;

34
24
10
3
8
)
2
(
5
2
8

3
5

1
−
=
−
−
=

−
−
=
−
=

;

12
2
22
1
22
2

12
1
1
a
b
a
b
a
b
a
b
−
=
=


21
1
11
2
2
21

1
11
2
a
b
a
b
b
a
b
a
−
=
=


17
15
32
5
3
8
4
8
3
5
4

2
=
−
=

−

=
=

;

х =
1
17
17
;2
17
34
2
1
−
=
−
=


=
=
−
−
=


у
.

Ответ: 4.

Пример. Найти у0 методом Крамера 







=
−
+

−
=
+
−

=
−
+

11
5
3

4
2
2

9
4
3

z
y
x

z
y
x

z
y
x

1) 0;   2) 2;   3) –2;   4) 1.
Решение. Так как нужно найти только у0, то решим систему ме-

тодом Крамера:

=
;8
5
3

1
2
1
1
3

2
2
4
1
5

2
1
3

1
5
3

2
1
2

1
4
3

−
=
−
−
−
−
−

−
=

−

−

−

2=
16

1
11
3

2
4
2

1
9
3

−
=

−

−

−

; 

Таким образом, у =
2
8
16
2
=
−
−
=


.

Ответ: 2.

Матрицы и действия над ними

Определение. Произведением матрицы на число называется 

матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на 
заданное число.

Определение. Суммой матриц А и В одного размера называется 

матрица С=А+В такого же размера, получаемая из исходных путем 
сложения соответствующих элементов.

Пример. Если А =








−
−

4
3

1
5

, В=
, то 6А–2В равно 







−
0
4
5
3

1) 
;   2) 
;  3) 








−
−

24
10

16
24

;  4) 35.

Решение. Найдем 

6А=

6 ( 5)
6 ( 1)

6 3
6 4

 −
 −










=

30
6

18
24

−
−







,

2В=








−


0
2
4
2

5
2
)3
(
2

=



−

0
8

10
6

, 

6А–2В=








−
−

24
18

6
30

–



−

0
8

10
6

=








−
−

−
−
−
−
−

0
24
8
18

10
6
)
6
(
30

=

=

24
16

10
24

−
−







.

Ответ: 3.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Векторы. Скалярное, векторное произведения

Определение. Прямоугольной (декартовой) системой координат 

называется совокупность точки 𝑂 и ортонормированного базиса i , j ,
k , т. е. такого базиса, в котором векторы имеют длины, равные 1, и 
взаимно перпендикулярны. Три взаимно перпендикулярные прямые в 

направлении базисных векторов i , j , k
называются осями коорди-

нат: осью абсцисс, ординат и аппликат соответственно.

Определение. Вектор – это направленный отрезок, т. е. отрезок, 

имеющий длину и определенное направление.

Графически векторы изображаются в виде направленных отрез-

ков прямой определенной длины.

В

А









−
−
17
2
17
9








−
3
1
1
2

Вектор, начало которого – точка А, а конец – точка В, обознача-

ется АВ . Также вектор обозначают одной буквой, например
.

Пусть в прямоугольной системе координат точка А имеет коор-

динаты А(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB), тогда координаты вектора АВ
можно найти по формуле

АВ ={ xB- xA, yB-yA, zB-zA}.
(6)

Определение. Произведением 
вектора
на 
вещественное 

число  называется вектор
, определяемый условием

1) 
=
.

И, если 
≠0, то еще двумя условиями:

2) вектор
коллинеарен вектору
;

3) векторы
и
направлены одинаково, если >0 , и противо-

положно, если <0. 

Произведение вектора
на число  обозначается 
.

В координатном представлении, если векторы 
и 
заданы как 

={ax; ay; az},  
={bx; by; bz}, то вектор суммы получается суммирова-

нием соответствующих координат слагаемых:

+
={ax+ bx; ay+ by; az+ bz}.

Произвольный вектор 
пространства разлагается единствен-

ным образом по базисным векторам i , j , k :

=axi +ay j +az k a

→ = ax i

→

+ ay j

→

+ azk

→

.

Длина вектора
a
→ в прямоугольной системе координат равна

2
z
2
y
2
x
a
a
a
a
+
+
=
.
(7)

Пример. Найти длину вектора 
={3; 1; –5}.

Решение.
35
5
1
3
2
2
2
=
+
+
=
a
|a
→| = √12 + 22 + (-3)2( = √14. 

Пусть заданы векторы 
={ax; ay; az} и
={bx; by; bz}. Если эти 

векторы коллинеарны, то в соответствии с определением произведения 
вектора на число они отличаются друг от друга числовым множителем, 
т. е. получаем

{bx; by; bz}=λ{ax; ay; az} 
y
x
z

x
y
z

b
b
b
a
a
a
=
=
.

a

a

b

b
a

b

b
a

b
a

a
a

a
b

a
b

a
b

a

a

a

a

a
b

Пример. Определить, при каких значениях αα и ββ векторы 

={2; α; 1} и 
={3; –6; β} коллинеарны.

Решение. Координаты данных векторов пропорциональны:


=
−


=
1

6
3

2
.

3

2 =

-6

α =

β

1
Находим, что
4
 = − , 
3

2
 =
. При 

этих значениях α и β векторы коллинеарны.

Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух векторов
и

называется скалярная величина, равная произведению модулей этих 

векторов на косинус угла между ними:

·
= |
| · |
| cos α.

Скалярное произведением двух векторов
и
– это скалярная 

величина, равная сумме попарного произведения координат векторов

и
.

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов

={ax ; ay} и 
={bx ; by} можно найти, воспользовавшись следующей 

формулой:

·
= ax · bx + ay · by.

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов 
= {
ax ; ay ; az} и  
= {bx ; by ; bz} вычисляют, воспользовавшись 
следующей формулой:

·
= ax · bx + ay · by + az · bz.
(8)

Пример. Если 
={–5; 2; –7},
={0; –1; –2}, то 5
+2
равно:

1)   {–25; 8; –39};     2) {3; 1; – 2};   3) {3; –3; 6};   4)  6.     
Решение:
5
={5(–5);52;5(–7)}={–25;10; –35};

2
={20; 2(–1); 2(–2)}={0;–2;–4}.

5
+2
={–25+0;10+(–2);–35+(–4)}={–25; 8; –39}.

Ответ: 1.
Пример. Пусть 
={2; –4; 1}, 
={0; 1; –3}. Тогда скалярное произведение 
векторов 

равно:

1) –7;  2) 0;  3) {0; –3; –3};    4)   –6.  

a
b

a

b

a
b
a
b

a
b

a
b

a
b

a b

a
b

a
b

a
b
a
b

a
b
a
b

a
b

a b