Расчеты и моделирование в химической технологии с применением Mathcad

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации  

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования 

«Казанский национальный исследовательский 

технологический университет» 

 
 
 
 
 
 
 
 

РАСЧЕТЫ И МОДЕЛИРОВАНИЕ  
В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ  

С ПРИМЕНЕНИЕМ MATHCAD 

 
 
 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Казань 

Издательство КНИТУ 

2018 

УДК 66.02.001.24:004.42(075)  
ББК 24:32.97я7 

Р24 

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Казанского национального исследовательского технологического университета 

 

Рецензенты:  

д-р техн. наук, проф. В. Н. Шарифуллин 

канд. пед. наук, доц. С. М. Куценко 

 

 

 

Р24

Авторы: Т. В. Лаптева, Н. Н. Зиятдинов, С. А. Лаптев, 
Д. Д. Первухин 
Расчеты и моделирование в химической технологии с применением 
Mathcad : учебное пособие / Т. В. Лаптева [и др.]; Минобрнауки 
России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 
2018. – 248 с.

ISBN 978-5-7882-2526-5

На примере использования универсального математического пакета 

Mathcad рассмотрены приемы решения типовых математических задач хими-
ческой технологии, сопровождаемые упражнениями. Содержит также цикл 
лабораторных и контрольных работ для закрепления изученного материала. 

Предназначено для бакалавров направлений подготовки 27.03.03 «Сис-

темный анализ и управление», 18.03.02 «Энерго- и ресурсосберегающие про-
цессы в химической технологии, нефтехимии и биологии» и магистров на-
правлений подготовки 19.04.01 «Биотехнология» (программа «Технология, 
оборудование и автоматизация биотехнологических производств»), 22.04.01 
«Материаловедение и технологии материалов» (для всех направления подго-
товки), а также для аспирантов всех направлений подготовки.  

Подготовлено на кафедре системотехники. 
 

УДК 66.02.001.24:004.42(075)  
ББК 24:32.97я7 

 
 

ISBN 978-5-7882-2526-5 
© Лаптева Т. В., Зиятдинов Н. Н., Лаптев С. А.,  

Первухин Д. Д., 2018  

© Казанский национальный исследовательский  

технологический университет, 2018 

СОДЕРЖАНИЕ 

 

ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................. 8 
 
1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПАКЕТЕ MATHCAD ........................... 9 
 
1.1. Вид курсора ........................................................................................ 13 
1.2. Управляющие клавиши ..................................................................... 14 
1.3. Сохранение файлов ........................................................................... 14 
 
2. ВВОД ДАННЫХ .................................................................................. 15 
 
2.1. Числа ................................................................................................... 15 
2.2. Переменные ........................................................................................ 15 
2.3. Константы .......................................................................................... 16 
2.4. Задание «Простейшие операции» .................................................... 17 
2.5. Задание «Вывод значений переменных» ......................................... 18 
2.6. Векторы и матрицы ........................................................................... 19 
2.7. Ранжированные переменные ............................................................ 20 
2.8. Задание «Определение ранжированных переменных» .................. 21 
2.9. Ввод математических выражений .................................................... 21 
2.10. Вывод значений переменных ......................................................... 22 
2.11. Сообщения об ошибках ................................................................... 23 
 
3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ........................................................ 24 
 
3.1. Встроенные функции ........................................................................ 24 
3.2. Пользовательские функции .............................................................. 26 
3.3. Задание «Определение функций пользователя» ............................. 26 
3.4. Пользовательские операторы ........................................................... 27 
3.5. Задание «Создание бинарного оператора»...................................... 28 
3.6. Задание «Создание унарного оператора» ........................................ 29 
3.7. Элементы программирования в Mathcad ......................................... 30 
 
4. ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММ .............................................................. 33 
 
4.1. Двумерные диаграммы ...................................................................... 33 
4.2. Задание «Формирование двумерной диаграммы» .......................... 34 
4.3. Форматирование двумерной диаграммы ......................................... 35 
4.4. Задание «Форматирование диаграммы» ......................................... 37 

4.5. Просмотр графиков ........................................................................... 38 
4.6. Трехмерная графика .......................................................................... 38 
4.7. Задание «Отображение двумерных функций» ................................ 39 
4.8. Форматирование трехмерной диаграммы ....................................... 40 
4.9. Задание «Форматирование трехмерной диаграммы» .................... 44 
4.10. Задание «Отображение формы электронного облака  
при помощи параметрически связанных функций» .............................. 47 
 
5. ОФОРМЛЕНИЕ ДОКУМЕНТА .......................................................... 51 
 
5.1. Ввод текста ......................................................................................... 51 
5.2. Редактирование документа ............................................................... 51 
5.3. Форматирование документа ............................................................. 52 
5.4. Задание «Расчет давления газа» ....................................................... 54 
5.5. Использование размерностей при вычислениях ............................. 57 
5.6. Задание «Расчет теплообменника» .................................................. 58 
 
6. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ ...................................................... 62 
 
Задание «Работа с матричными операциями» ....................................... 64 
 
7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ В MATHCAD .................................................. 72 
 
7.1. Задание «Вычисление определенного интеграла» ......................... 72 
7.2. Задание «Расчет автоклава».............................................................. 73 
 
8. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ В MATHCAD ......................................... 81 
 
Задание «Вычисление производной от функции» ................................. 81 
 
9. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ 
УРАВНЕНИЙ В MATHCAD ................................................................... 83 
 
9.1. Решение задач в обычной математической постановке ................. 83 
9.2. Задание «Решение дифференциального уравнения первого  
порядка функцией odesolve» ................................................................... 85 
9.3. Задание «Решение дифференциального уравнения высшего  
порядка функцией odesolve» ................................................................... 87 
9.4. Задание «Решение дифференциального уравнения  
с разрывными функциями» ...................................................................... 88 

9.5. Задание «Решение системы дифференциальных уравнений  
функцией odesolve» .................................................................................. 90 
9.6. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений  
в виде задачи Коши с понижением порядка .......................................... 91 
9.7. Задание «Решение системы дифференциальных уравнений  
с использованием понижения порядка производных» ......................... 94 
9.8. Задание «Моделирование кинетики последовательно 
протекающих реакций» ............................................................................ 98 
9.9. Задание «Моделирование кинетики химических реакций  
на основе жестких систем уравнений» ................................................. 107 
9.10. Решение краевой задачи................................................................ 111 
9.11. Задание «Моделирование кинетики последовательно 
протекающих реакций на основе краевой задачи» .............................. 113 
9.12. Задание «Уравнения с разрывными функциям» ......................... 115 
 
10. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В MATHCAD .. 117 
 
10.1. Решение одного уравнения ........................................................... 117 
10.2. Задание «Поиск корня функции» ................................................. 118 
10.3. Задание «Расчет воздухоподогревателя парогенератора» ......... 119 
10.4. Поиск корней полинома ................................................................ 124 
10.5. Задание «Определение корней полинома» .................................. 125 
10.6. Решение систем уравнений и неравенств .................................... 125 
10.7. Задание «Решение системы линейных уравнений» ................... 128 
10.8. Задание «Решение системы нелинейных уравнений»................ 130 
 
11. ОПТИМИЗАЦИЯ В MATHCAD..................................................... 132 
 
11.1. Постановка задачи оптимизации .................................................. 132 
11.2. Функции для решения задач оптимизации ................................. 134 
11.3. Задача нелинейного программирования...................................... 135 
11.4. Задача линейного программирования ......................................... 136 
11.5. Задание «Оптимизация плана выпуска продукции» .................. 137 
11.6. Задание «Поиск минимума нелинейной функции» .................... 139 
11.7. Задание «Оптимизация режима работы реактора» .................... 142 
 
12.   ИНТЕРПОЛЯЦИЯ   И   АППРОКСИМАЦИЯ 
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ................................................. 148 
 
12.1. Интерполяция данных ................................................................... 148 
12.2. Аппроксимация данных ................................................................ 149 

12.3. Задание «Интерполяция экспериментальных данных» ............. 151 
12.4. Задание «Решение обратной задачи кинетики» .......................... 153 
12.5. Задание «Двумерная интерполяция экспериментальных  
данных» ................................................................................................... 156 
 
13. СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ................................................... 158 
 
13.1. Символьное вычисление выражений ........................................... 158 
13.2. Задание «Символьные вычисления и преобразования»............. 160 
13.3. Операции над матрицами.............................................................. 161 
13.4. Задание «Символьные вычисления с матрицами» ..................... 162 
13.5. Вычисление пределов функций ................................................... 163 
13.6. Поиск производных и первообразных ......................................... 165 
13.7. Решение алгебраических уравнений и неравенств ..................... 165 
13.8. Задание «Символьное определение точки минимума  
функции» ................................................................................................. 165 
 
14. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ........................................................... 168 
 
14.1. Лабораторная работа «Оптимальное распределение пара  
в барабане котла».................................................................................... 168 
14.2. Лабораторная работа «Параметрическая идентификация  
модели теплоемкости вещества»........................................................... 173 
14.3. Лабораторная работа «Расчет материально-теплового  
баланса замкнутой химико-технологической системы» ..................... 179 
14.4. Лабораторная работа «Условия Куна–Таккера»......................... 182 
14.5. Лабораторная работа «Оптимизация стационарного режима 
замкнутой ХТС» ..................................................................................... 192 
14.6. Лабораторная   работа   «Оптимальное   проектирование  
и распределение нагрузки для ХТС параллельной структуры» ......... 198 
14.7. Лабораторная работа «Обратная задача кинетики» ................... 204 
 
15. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ............................................................. 213 
 
15.1. Контрольная работа «Решение нелинейных алгебраических 
уравнений» .............................................................................................. 213 
15.2. Контрольная  работа «Поиск корней уравнений» ...................... 214 
15.3. Контрольная  работа «Символьные вычисления» ...................... 217 
15.4. Контрольная работа «Решение отдельных дифференциальных 
уравнений» .............................................................................................. 223 

15.5. Контрольная работа «Решение систем обыкновенных  
дифференциальных уравнений»............................................................ 225 
15.6. Контрольная  работа «Расчет ХТС» ............................................. 228 
15.7. Контрольная работа «Описание экспериментальных данных»... 231 
15.8. Контрольная  работа «Проектирование оптимальной химико-
технологической системы» .................................................................... 233 
15.9. Контрольная работа «Условия Куна–Таккера» .......................... 235 
15.10. Контрольная работа «Решение задачи условной  
максимизации на основе условий Куна–Таккера» .............................. 237 
15.11. Контрольная   работа   «Решение   задачи   условной  
оптимизации с ограничениями типа равенств на основе условий  
Куна–Таккера» ........................................................................................ 239 
 
16. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .......................................................... 241 
 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................... 246 
 

ВВЕДЕНИЕ 

 

Задачи, возникающие при математическом моделировании про-

цессов химической технологии, сводятся к ряду элементарных: вычис-
ление интегралов, решение дифференциальных и нелинейных алгеб-
раических уравнений, исследование функций, статистический анализ 
экспериментальных данных и т.д.  

В пособии на примере решения задач химической технологии 

показаны возможности универсального математического пакета 
Mathcad, разработанного фирмой MathSoft, Inc.  

Пакет имеет гибкий современный интерфейс, предоставляет 

пользователю удобные средства для ввода данных и формирования 
условий задачи, что позволяет представить вычисления в естественной 
математической нотации, то есть в привычном пользователю пред-
ставлении. Широкий спектр предоставленных пользователю шаблонов 
математических операций сосредоточен в девяти панелях инструмен-
тов согласно их предназначению, что значительно облегчает формиро-
вание математических выражений. Mathcad имеет свой командный 
язык, позволяющий создавать пользовательские вычислительные про-
цедуры. 

Принцип интерпретации математических выражений в ходе ре-

шения сформулированной задачи дает возможность пользователю  
легко 
видоизменять 
постановку 
задачи 
согласно 
требованиям  

исследования. 

Инструменты наглядного вывода результатов вычислений (ана-

литические выражения, графики, диаграммы, динамические изобра-
жения) и средства подготовки отчетов позволяют формировать сред-
ствами пакета полноценные документы, форматируя текст и выраже-
ния согласно поставленным требованиям. 

Пакет снабжен обширной справочной системой, имеет словарь 

терминов, демонстрационные примеры и встроенный интерактивный 
учебник. 

Пособие рассчитано на пользователей, имеющих опыт работы в 

ОС Windows, поэтому действия, стандартные для  всех приложений 
Windows, рассматриваться не будут. 

1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПАКЕТЕ MATHCAD 

 
Окно документа в Mathcad (рис. 1.1) разбито на страницы пунк-

тирными линиями по горизонтали (1) и непрерывными по вертикали 
(2) 
исходя 
из 
параметров 
страницы, 
заданных 
в 
команде 

Файл/Параметры страницы (File/Page Setup…).  

 

 

Рис. 1.1. Окно Mathcad 

 
При работе в Mathcad документ строится из отдельных блоков: 

текстовых (3), формульных (4), графических (5).  

Блоки можно перемещать и располагать в документе по желанию 

пользователя при помощи перетаскивания объекта мышью аналогично 
другим приложениям Windows. В процессе перемещения блоки могут 
располагаться на разных уровнях, налагаясь один на другой. При этом 
пользователь будет видеть части блоков, расположенных ниже, не закры-
тые вышерасположенными блоками. Расположение всех блоков и их гра-

3

4

5

6

1
2

ниц в документе можно увидеть, выполнив команду Вид/Регионы 
(View/Regions). Пример отображения границ блоков приведен на рис. 1.1.  

Если опция выключена, то видны границы только текущего блока – 

он заключен в рамку, в нем расположен курсор.  

Математический пакет Mathcad проводит вычисление блоков 

документа последовательно слева направо, затем сверху вниз.  

Вычисление блоков будет проводиться по мере их ввода или вы-

вода на экран при просмотре документа, если включен режим Авто-
матически вычислять (Automatic calculations) меню Инструмен-
ты/Вычисления (Tools/Calculate). В противном случае вычисления 
проводятся после выполнения команды Вычислить (Calculate Now) 
меню Инструменты/Вычисления (Tools/Calculate) либо нажатия 
клавиши F9. 

Стандартная панель инструментов имеет, кроме аналогичных 

инструментов стандартных панелей других приложений Windows, 
специальные инструменты: 

 – 
Мастер функций; 

 – 
Мастер размерностей; 

 – 
пересчитать документ; 

 – 
расположить выделенные блоки в одной строке; 

 – 
расположить выделенные блоки друг под другом; 

 – 
вставить гиперссылку; 

 – 
вставить компонент из списка допустимых компонентов. 

Кроме Стандартной панели инструментов окно может содер-

жать панель Форматирования со стандартными для такой панели ин-
струментами. 

Рис. 1.2. Комплексная
математическая панель

Окно документа может также со-

держать комплексную математическую 
панель (см. (6) на рис. 1.1), представлен-
ную на  рис. 1.2. 

Если она не отображена, подклю-

чить 
ее 
можно 
командой 
Вид/

Панели 
Инструментов/Математика

(View/Toolbars/Math). Каждый из ее ин-
струментов служит для вызова одной из 
панелей с узкоориентированными мате-
матическими инструментами:

3 4
2

1

6

5

9
8
7

1. Калькулятор (Calculator) – шаблонами математических операций 

(рис. 1.3). 
 

 

 

Рис. 1.3. Шаблоны панели Калькулятор (Calculator) 

 

2. График (Graph) – шаблонами двумерных и трехмерных диаграмм 

(рис. 1.4). 

 

 

Рис. 1.4. Панель График (Graph) 

 

3. Матрица (Matrix) –  шаблонами операций над матрицами и векто-

рами (рис. 1.5). 

 

 

Рис. 1.5. Панель Матрица (Matrix) 

 

4. Вычисления (Evaluation) – шаблонами знаков присвоения значе-

ний переменным и получения значений переменных (рис. 1.6). 
 

 

 

Рис. 1.6. Панель Вычисления (Evaluation)  

 

5. Математический анализ (Calculus) – шаблонами производных, 

интегралов, суммирования, произведений и пределов (рис. 1.7). 

Рис. 1.7. Панель  Математический анализ (Calculus) 

 

6. Булева алгебра (Boolean) – шаблонами знаков сравнения и булевых 

операций (рис. 1.8). 
 

 

 

Рис. 1.8. Панель Булева алгебра (Boolean) 

 

7. Программирование (Programming) – шаблонами команд встроен-

ного языка программирования (рис. 1.9). 
 

 

 

Рис. 1.9. Панель  Программирование (Programming) 

 

8. Греческий (Greek) – греческих символов; 
9. Символьные (Symbolic) – шаблонами согласования операций ана-

литических (символьных) вычислений (рис. 1.10). 
 

 

 

Рис. 1.10. Панель Символьные (Symbolic) 

Подключение или отключение панелей инструментов проводит-

ся при помощи команды Вид/Инструменты (View/Toolbars), скрыть 
любую панель также можно, вызвав команду Скрыть (Hide) ее кон-
текстного меню. 

Кроме панелей инструментов окно может содержать горизон-

тальную координатную линейку. Бегунки линейки указывают на начало 
первой строки, левую и правую границы текстового параграфа. Размер-
ность шкалы линейки можно менять, используя команды ее контекстно-
го меню: Inches – дюймы, Centimeters – сантиметры, Points – точки, 
Picas – пиксели. Подключение или отключение линейки проводится при 
помощи команды Вид/Линейка (View/Ruler), скрыть ее можно также, 
вызвав команду Hide контекстного меню линейки. 

В нижней части окна Mathcad, под горизонтальной полосой про-

крутки, находится строка состояния. На ней располагается информа-
ция о режиме работы Mathcad, разграниченная разделителями (слева 
направо): контекстно зависимая подсказка о готовящемся действии; 
режим вычислений (автоматический AUTO или задаваемый вручную 
Calc F9); текущие режимы раскладки клавиатуры САР и NUM; номер 
страницы, на которой находится курсор. 

Для изменения масштаба отображения документа на экране ис-

пользуется команда Вид/Масштаб (View/Zoom) либо аналогичный 
инструмент Стандартной панели инструментов. 

При работе с Mathcad можно использовать вызов команд из строки 

меню либо из контекстного меню блока, активизация которого проводит-
ся однократным щелчком правой кнопки мыши по нужному блоку. 

 
1.1. Вид курсора 
 
При перемещении по документу и по блокам документа курсор 

может принимать вид, подсказывающий пользователю, какие опера-
ции можно проводить в данной точке документа Mathcad. Вид курсора 
описан ниже: 
+ 
красный крестообразный курсор перемещается по документу для 

указания местонахождения новых блоков; 
 
красная вертикальная черта – текстовый курсор – служит для 

указания места набора, вставки или удаления части текстово-
го выражения; 
,  синий уголок, охватывающий часть выражения –  математический 
курсор, служит для указания места вставки переменной в математичес-

ком шаблоне, также указывает к какой части математического выражения 
будет применена операция, знак которой в указанное место может ввести 
пользователь. 
 

1.2. Управляющие клавиши 

 

Для более удобной работы с блоками документа рекомендуется 

использовать следующие сочетания клавиш: 
Shift+/Shift+ 
выделение части блока, охваченной математиче-

ским курсором; 
,,, 
перемещение любого курсора по документу (блоку); 

Ins 
изменение разворота математического курсора;  

Home/End перемещение курсора в начало/конец текущего блока; 
Пробел 
растяжение математического курсора на одну позицию в 

выражении для указания части выражения, к которой будет  примене-
на операция, указанная следом. 
 

1.3. Сохранение файлов 
 
Сохранение созданного пользователем документа в файл прово-

дится стандартным для Windows способом. Созданные в Mathcad файлы 
по умолчанию сохраняются в основанном на XML текстовом формате 
xmcd. Также возможно сохранение в сжатом формате xmcdz. Устано-
вить формат, используемый по умолчанию, можно командой Инстру-
менты/Настройки (Tools/Preferences) на вкладке Сохранить (Save). 

С внедрением архитектуры XML появилась возможность  

конвертировать Mathcad-файлы в HTML-страницы. В этом случае 
блоки сохраняются в виде png-объектов. Настройки сохранения в 
HTML-странице 
устанавливаются 
командой 
Инструмен-

ты/Настройки (Tools/Preferences) на вкладке Опции HTML (HTML 
Options). 

Можно сохранить документ в формате rtf. В этом случае все 

формулы переводятся в векторные изображения, а текст остается дос-
тупным для редактирования. 

2. ВВОД ДАННЫХ 

 

2.1. Числа 
 
Mathcad хранит все числа с двойной точностью с 17 знаками в 

мантиссе. Диапазон чисел, с которыми может проводить вычисления 
Mathcad, составляет от -10308 до 10308. При работе с числовыми данны-
ми можно использовать различные формы представления чисел. 

Десятичные числа: 

– целые;  
– с фиксированной десятичной точкой (в качестве разделителя целой 
и дробной части используется «.»);  
– в экспоненциальной форме (для задания порядка после числа наби-
рается «*10^», а затем значение порядка). 

Кроме этого, Mathcad может хранить комплексные и мнимые 

числа, а также числа в других системах счисления. 

 
2.2. Переменные 
 
Задание имен переменных. Правила работы с Mathcad предпо-

лагают, что число начинается с цифры, а имя переменной или кон-
станты – с буквы. Кроме букв имя переменной может включать в себя 
цифры, знаки «», «`», знак подчеркивания, «%».  

Обратите внимание на то, что Mathcad различает в именах ре-

гистр букв.  

Существуют ограничения на имена переменных и констант: 

– имя не может начинаться с цифры, знака подчеркивания, штриха 
или %; 
– знак бесконечности может быть только первым в имени; 
– все буквы в имени должны иметь один стиль и шрифт; 
– имена не должны совпадать с именами встроенных функций, пере-
менных и размерностей, иначе произойдет переопределение встроен-
ного имени. В случае переопределения встроенные имена не могут 
использоваться по первоначальному назначению.  

Имя переменной может содержать нижний уровень, то есть часть, 

визуально расположенную ниже имени, например 
La
k
. В этом случае La 

не является индексом элемента матрицы, а позволяет задать удобную 
форму имени. Для задания такой формы имени перед частью имени 
нижнего уровня ставится точка «.» и вводится оставшаяся часть имени.