Поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Их приложения к механике, физике и теплотехнике

-1-

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«Казанский национальный исследовательский

технологический университет»

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.

ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ, 

ФИЗИКЕ И ТЕПЛОТЕХНИКЕ

Учебно-методическое пособие

Казань

Издательство КНИТУ

2019

-2-

УДК 517.3(075)
ББК 22.161.1я7

П42

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Казанского национального исследовательского технологического университета

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук О. Е. Тихонов
канд. физ.-мат. наук Е. А. Турилова

П42

Авторы: Д. Н. Бикмухаметова, Р. Ф. Ахвердиев,
А. Р. Миндубаева, Л. В. Веселова, Г. Б. Гурьянова,
О. Н. Тюленева
Поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Их приложения к 
механике, физике и теплотехнике : учебно-методическое пособие / 
Д. Н. Бикмухаметова [и др.]; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. 
технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2019. – 96 с.

ISBN 978-5-7882-2581-4

Изложены теоретические сведения по разделам курса «Математика: 

Поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Их приложения к механике, 
физике и теплотехнике». Приведены разнообразные задачи и примеры
по темам, также подобраны задачи для самостоятельного решения. Включено
тридцать вариантов расчетного задания.

Предназначено для бакалавров всех направлений подготовки, изучающих 
дисциплину «Математика».

Подготовлено на кафедре высшей математики.

ISBN 978-5-7882-2581-4
© Бикмухаметова Д. Н., Ахвердиев Р. Ф., 

Миндубаева А. Р., Веселова Л. В., 
Гурьянова Г. Б., Тюленева О. Н., 2019

© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2019

УДК 517.3(075)
ББК 22.161.1я7

-3-

z

y

x

0

D

iS




1. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Поверхностные интегралы являются обобщением двойного интеграла (
как и криволинейные интегралы по отношению к определенному).

1.1. Поверхностные интегралы первого рода

Рассмотрим гладкую поверхность  в трехмерном пространстве, 

заданную уравнением 
(
)
y
x
f
z
,
=
. Разобьем ее произвольным образом 

на
n частей с площадями 
(
)
n
i
Si
,.......
3
,
2
,
1
,
=

, 

обозначив за 
i

характерный 
размер каждой части 
(например, длины частей)
(рис. 1). Пусть некоторая 
функция 
(
)z
y
x
F
,
непрерывна 

в 
каждой 
точке 

поверхности  . Рассмотрим

произведение
вида 

(
)
i
i
i
i
S
z
y
x
F

,
, 
где

(
)−
i
i
i
z
y
x ,
произвольная точка, принадлежащая i-му участку поверх-

ности 
(
)
y
x
f
z
,
=
.

Определение. Если при стремлении  к нулю, где 

n
i

i

,1

max

=

=


, 

существует конечный предел интегральной суммы 
(
)

=



n

i

i
i
i
i
S
z
y
x
F

1

,
, 

не зависящий от способа разбиения области 
и выбора точек 

(
)
i
i
i
z
y
x ,
, то этот предел называется поверхностным интегралом 

первого рода (или интегралом по площади поверхности) и обозначается

(
)
(
)
i

n

i

i
i
i
S
z
y
x
F
dS
z
y
x
F

=



=
→

1
0
,
,
lim
,
,


.
(1)

Рис. 1

-4-

1.1.1. Свойства поверхностного интеграла первого рода

1) 
S
dS =



, где 
−
S
площадь поверхности  ;

2) 
(
)
(
)
(
).
,
,
,
,
,
const
c
dS
z
y
x
F
c
dS
z
y
x
cF
=
= 





;

3) 
(
)
(
)
(
)
=
+



dS
z
y
x
F
z
y
x
F
,
,
,
,
2
1

(
)
(
)dS
z
y
x
F
dS
z
y
x
F






+
=
,
,
,
,
2
1
;

4) 
(
)
=



dS
z
y
x
F
,
,
(
)
(
)
,
,
,
,
,

2
1

dS
z
y
x
F
dS
z
y
x
F






+

(
)
2
1



=

;

5) если 
(
)
(
)z
y
x
F
z
y
x
F
,
,
2
1

, то 

(
)
(
) dS
z
y
x
F
dS
z
y
x
F







,
,
,
,
2
1
;

6) 
(
)
(
) dS
z
y
x
F
dS
z
y
x
F







,
,
,
,
;

7) теорема о среднем. Если функция 
(
)z
y
x
F
,
непрерывна в любой 

точке поверхности  , то существует такая точка (
)
0
0
0 ,
z
y
x
, что

(
)
(
) S
z
y
x
F
dS
z
y
x
F
0
0
0
,
,
,
,
=



,

где 
−
S
площадь поверхности  .

1.1.2. Вычисление поверхностных интегралов первого рода

Если  – незамкнутая гладкая поверхность, не имеющая крат-

ных точек, а 
−
D
ее проекция на плоскость XOY , то поверхностный 

-5-

интеграл первого рода вычисляется через двойной интеграл по фор-
муле

(
)
(
)
(
)
.
1
,
,
,
,
,

2
2

dxdy
y
z

x
z
y
x
f
y
x
F
dS
z
y
x
F

D












+







+
= 



(2)

Аналогично можно вычислить поверхностный интеграл первого 

рода в случаях,
когда уравнение поверхности 
имеет вид 

(
)z
y
x
,

=
или 
(
)z
x
y
,

=
. В первом случае он сводится к двой-

ному интегралу по проекции поверхности  на плоскость YOZ , во 
втором случае – по проекции на плоскость XOZ .

Пример 1. Вычислить интеграл по площади поверхности 



xdS , 

где  – полусфера 
2
2
1
y
x
z
−
−
=
.

Решение. Проекция поверхности  на плоскость XOY (область

D ) есть круг единичного радиуса с центром в начале координат. Гра-
ница области D – окружность 
1
2
2
=
+ y
x
. Вычислим в соответствии 

с формулой (2):

2
2
2
2
1

,

1
y
x

y

y
z

y
x

x

x
z

−
−

−
=



−
−

−
=


,

тогда

=














−
−

−
+














−
−

−
+
= 


D

dxdy

y
x

y

y
x

x
x
xdS

2

2
2

2

2
2
1
1

1

.

1
1

1

2
2
2
2
dxdy

y
x

x
dxdy
y
x
x

D
D


−
−

=
−
−
=

-6-

Для вычисления полученного двойного интеграла перейдем к 

полярным 
координатам 
(
)

,
r
, 
используя 
формулы 




rdrd
dxdy
r
y
r
x
=
=
=
,
sin
,
cos
. При этом















−

=

−

=

−
−







2

0

1

0
2

2

2
2
2
1

cos

1

cos

1
r

dr
r
d
rdrd

r

r
dxdy

y
x

x

D
D

.

Вычислим внутренний интеграл:

(
)
.
4
2
sin
2
1

2
1
2
cos
1
2
1

sin

cos

cos
1
,
sin

1

2

0

2

0

2

0

2

2
1

0
2

2








=





 −
=
−
=

=
=











=

=
−
=
=

−






t
t
dt
t

dt
t

dt
t
dr

t
r
t
r

r

dr
r

Таким образом,

(
)
.0
0
sin
2
sin
4

sin
4
cos
4
1

2

0

2

0

2
2

=
−
=

=
=
=

−
−

=
















d
dxdy

y
x

x
dS
x

D

Пример 2.
Вычислить 
интеграл 
первого 
рода 

(
)



+
+
dS
z
y
x
3
4
6
, где  – часть плоскости 
6
3
2
=
+
+
z
y
x
, рас-

положенная в первом октанте.

Решение. Поверхность интегрирования  – треугольник ABC , 

ее проекция D на плоскость XOY – треугольник OAB (рис. 2). 

-7-

Рис. 2

Из уравнения плоскости имеем
(
)
,

3

1
,
2
6

3

1
−
=




−
−
=

x

z
y
x
z
.

3

2
−
=





y

z

Тогда из формулы (2) следует:

(
)
(
)

(
)
(
)

(
)

(
)
=
+
−
=






+
+
=

=








+
+
=
+
+
=

=
+
+
−
−
+
+
=
+
+











−

−



dy
y
y
dy
x
xy
x

dx
y
x
dy
dxdy
y
x

dxdy
y
x
y
x
dS
z
y
x

y

y

D

D

3

0

2

3

0

2
6

0

2

2
6

0

3

0

21
10
14
2
6
2
2
5

3
14

6
2
5
3
14

3
14
6
2
5

9
4

9
1
1
2
6
4
6
3
4
6

14
54
21
5
3
14
2

3

0

2

3

=









+
−
=
y
y
y
.

1.2. Поверхностные интегралы второго рода

Определение. Гладкая поверхность  называется двусторонней, 

если для любой точки 


M
и замкнутого контура L , лежащего на 

поверхности  , не пересекающего границы поверхности и проходящего 
через точку M, направление нормали n в этой точке после обхода 
контура L совпадает с исходным.

C

x

z

y

A

B

6

3

2
B

A

6

3

0
x

y

D

O

-8-

Если после обхода по контуру 
направление нормали в точке 
M противоположно исходному, 
поверхность называется од-
носторонней.

Выберем одну из сторон 

гладкой двусторонней поверхности  , 
задав одно из двух возможных 
направлении нормали к 
ней, т. е. введем ориентацию поверхности (
рис. 3). Считаем n
единичным 
вектором, 
тогда 






cos
,
cos
,
cos
=
n
.

Разобьем выбранную сторону 
поверхности  на m частей с площадями 
(
)
m
i
Si
,
1
,
=

и в 

каждой из этих частей возьмем произвольную точку 
(
)
i
i
i
i
z
y
x
M
,
. 

Зададим 
непрерывные 
на 
поверхности 

функции

(
)
(
)
(
)z
y
x
R
z
y
x
Q
z
y
x
P
,
,
,
,
,
,
,
,
и составим сумму

(
)
(
)
(
)
xy
i

m

i

i
i
i

xz
i
i
i
i

yz
i
i
i
i
S
z
y
x
R
S
z
y
x
Q
S
z
y
x
P

+

+


=1

,
,
,
,
,
,
,
(3)

где 
−



yz
i

xz
i

xy
i
S
S
S
,
,
площади проекций i – части поверхности  на 

координатные плоскости 
YOZ
XOZ
XOY
,
,
соответственно.

Определение. Поверхностным интегралом второго рода (поверх-

ностным интегралом по координатам) от функций 
(
)z
y
x
P
,
,
, 

(
)z
y
x
Q
,
,
, (
)z
y
x
R
,
,
двусторонней ориентированной поверхности 

 называется предел интегральной суммы (3) при стремлении  к 
нулю, если он существует и не зависит от способа разбиения поверх-
ности на части и выбора в них точек 
i
M
( 

n
i

i

,1

max

=

=


, где 
i

– ха-

рактерный размер каждой части).

x

z

y
0
i


j


k




M

n

-9-

Итак,

(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
.
,
,
,
,
,
,
lim

,
,
,
,
,
,

1
0

xy
i

m

i

i
i
i

xz
i
i
i
i

yz
i
i
i
i
S
z
y
x
R
S
z
y
x
Q
S
z
y
x
P

dxdy
z
y
x
R
dxdz
z
y
x
Q
dydz
z
y
x
P


+

+

=

=
+
+





=
→





(4)

Свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны 

уже рассмотренным свойствам поверхностного интеграла первого рода.
Необходимо отметить, что поверхностный интеграл второго рода ме-
няет знак при смене сторон поверхности интегрирования.

1.2.1. Вычисление поверхностных интегралов второго рода

Вычисление поверхностных интегралов второго рода сводится к 

вычислению соответствующих двойных интегралов.

Пусть область интегрирования поверхностного интеграла  за-

дана уравнением 
(
)
0
,
,
=
z
y
x
F
, тогда поверхностный интеграл вто-

рого рода вычисляется по формуле

(
)
(
)
(
)
=
+
+



dxdy
z
y
x
R
dxdz
z
y
x
Q
dydz
z
y
x
P
,
,
,
,
,
,

(
)
(
)
(
)
(
)









=

yz
xz

dxdz
z
z
x
y
x
Q
dydz
z
y
z
y
x
P
,
,
,
,
,
,
(5)

(
)
(
)





yz

dxdy
y
x
z
y
x
R
,
,
,
,

где 
−



yz
xz
xy
,
,
проекции 
поверхности 

на 
плоскости 

YOZ
XOZ
XOY
,
,
соответственно;
(
)z
y
x
,
– выражение переменной 

x через y и z ;
(
)z
x
y
,
– выражение переменной y через x и z ;

(
)
y
x
z
,
– выражение переменной z через x и y из уравнения по-

верхности  .

Двойной знак в формуле (5) соответствует двум различным сто-

ронам поверхности  . Плюс соответствует интегрированию по верх-
ней стороне поверхности  (в этом случае угол между нормалью к 
поверхности и осью OZ острый).

-10-

Пример 3. Вычислить интеграл
(
)



−
dxdy
a
z

2
по верхней сто-

роне полусферы 
a
z
a
az
z
y
x
2
,
2
2
2
2


=
+
+
.

Решение.
Преобразуем 
уравнение 
поверхности 
к 
виду 

(
)
2
2
2
2
a
a
z
y
x
=
−
+
+
, откуда 
2
2
2
y
x
a
a
z
−
−
+
=
(рис. 4).

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4

-2

0

2

4

Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг 

2
2
2
a
y
x

+
(область D ). Тогда

(
)
(
)


−
−
=
−


D

dxdy
y
x
a
dxdy
a
z
2
2
2
2
.

Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координа-
там, используя формулы



rdrd
dxdy
r
y
r
x
=
=
=
,
sin
,
cos
.

Рис. 4