Теория вероятностей и математическая статистика

СГБОУ ВО 
А.Р. Симонян, И.Л. Макарова,
С.Ж. Симаворян, Е.И. Улитина 

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА 

Учебное пособие
для студентов направления подготовки бакалавров 
44.03.05 «Педагогическое образование»
(с двумя профилями «Математика и информатика»)

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2022

УДК 519.2(075.8)
ББК  22.171я73
          С37

Р е ц е н з е н т 

д-р пед. наук, профессор И.А. Иванов 

С37 

Симонян А.Р.
  Теория вероятностей и математическая статистика : учебное 
пособие / А.Р. Симонян, И.Л. Макарова, С.Ж. Симаворян, Е.И. Ули-
тина. – Москва : ФЛИНТА, 2022. – 132 с. – ISBN 978-5-9765-4923-4. – 
Текст : электронный.

    Эта публикация является краткой записью прочитанного авторами 
курса лекций для студентов Сочинского государственного университета. 
Для студентов направления подготовки бакалавров 44.03.05 «Педагогическое 
образование» (с двумя профилями «Математика и информатика»).


УДК 519.2(075.8)
ББК  22.171я73

ISBN 978-5-9765-4923-4
© ФГБОУ ВО «СГУ», 2022
© Симонян А.Р., Макарова И.Л.,
    Симаворян С.Ж., Улитина Е.И., 2022
© Издательство «ФЛИНТА», 2022

6 


 
10 

    
13 

.. 

 
19 

22 

31 

36 

46 

57 

. 

 
64 

70 

.. 

 
81 

90 


 
97 

107 

126 

129 

 

Введение

Теория вероятностей есть в сущности 
не что иное, как здравый смысл, 
сведенный к вычислению

Пьер Симон Лаплас

Каждый человек в своей жизни сталкивается с поня-
тием вероятности. Мы хотим оценить шансы выигрыша 
в любимой игре, пытаемся прогнозировать цены на энер-
гоносители, говорим о вероятности дождя в ближайшие 
дни и так далее. Однако строгое определение и, как след-
ствие, законы, которым подчиняется вероятность, на са-
мом деле были выделены в раздел математики относи-
тельно недавно.
Можно говорить о возникновении теории вероятно-
стей как науки в начале XVII века. Ученые связывают 
это с комбинаторными задачами азартных игр. Имен-
но азартные игры (такие как игры в карты или кости) 
привели к решению задач, не укладывавшихся в рамки 
существовавших тогда математических моделей, и спо-
собствовали к появлению новых понятий и идей. Эти но-
вые идеи встречаются в работах известных математиков 
того времени: Якоба Бернулли, Пьера Симона Лапласа, 
Карла Фридриха Гаусса и многих других. Как само-
стоятельный раздел математики дисциплина «Теория  
вероятностей и математическая статистика» сложилась 
в конце XIX — начале XX века. Связывают становление 
этой науки с именем известного русского математика 
Андрея Николаевича Колмогорова (1903–1987 гг.).
Благодаря этой науке сформировались и выросли 
новые разделы математики, такие как теория случай-
ных процессов, теория массового обслуживания, мате-
матическая теория надежности и другие. Однако и сама 
наука «Теория вероятностей» опирается на такие мате-
матические дисциплины, как: алгебра, аналитическая 
геометрия, теория функций комплексного переменного, 
дифференциальные уравнения, функциональный ана-
лиз и другие. 

Дисциплину «Теория вероятностей и математиче-
ская статистика» относят к числу прикладных мате-
матических дисциплин, поскольку они направлены  
на решение прикладных задач и возникли из чисто при-
кладных задач, но при этом используют математические 
методы. И, пожалуй, сейчас нет таких наук и областей 
знаний, которые не используют вероятностные и статис-
тические методы.

Глава 1. Случайные события

Любой человек, в результате своей деятельности, 
сталкивается с событиями, которые невозможно точно 
предсказать. Для того чтобы характеризовать события, 
необходимо учесть или специально организовать опреде-
ленные условия, в которых оно происходит. Выполнение 
таких условий или действий для выявления, интересу-
ющего нас события носит название опыта или экспери-
мента.
Итак, опытом, экспериментом или испытанием, на-
зывают всякое осуществление определенного комплекса 
условий или действий, при которых наблюдается соот-
ветствующее явление. 
Рассмотрим, например, процесс кипения воды: что-
бы наблюдать это явление, необходимо найти источник 
энергии, налить в сосуд воду и поставить его на этот ис-
точник. Через некоторое время, при условии постоянной 
подачи энергии, можно наблюдать процесс кипения.
Событие — это возможный результат опыта.
События принято обозначать заглавными буквами ла-
тинского алфавита. Например, А — выигрыш в лотерею, 
В — получение отличной оценки на экзамене и тому по-
добное.
Все наблюдаемые события можно подразделить 
на следующие 3 вида: достоверные, невозможные и слу-
чайные.
 •
Äîñòîâåðíûì называют событие, которое обя-
зательно произойдет, если будет осуществлена 
определенная совокупность условий.
Например, камень, брошенный кем-то, упадет 
на землю. Падение камня — достоверное событие в есте-
ственных природных условиях (на луне камень может 
и не упасть).
 •
Íåâîçìîæíûì называют событие, которое при 
осуществлении совокупности условий заведомо 
не произойдет.

Зависание в воздухе брошенного камня является не-
возможным событием в естественных нормальных усло-
виях.
 •
Ñëó÷àéíûì называют событие, которое может 
либо произойти, либо не произойти при осущест-
влении совокупности условий.
Получение отличной оценки на экзамене по теории 
вероятностей, выигрыш в лотерею, попадание в цель при 
стрельбе по мишени являются случайными событиями 
в естественных условиях. 
На самом деле, достаточно большое число однород-
ных случайных событий, независимо от их природы, 
подчиняются определенным закономерностям, а имен-
но, вероятностным закономерностям. Установлением 
таких закономерностей и занимается теория вероятно-
стей.
Предметом теории вероятностей является изучение 
вероятностных закономерностей массовых однородных 
случайных событий.
Основной задачей теории вероятностей является 
определение количественной меры возможности по-
явления события. Но прежде, чем определить количе-
ственную характеристику, следует понять, какие связи 
существуют между событиями. Эти связи необходимо 
учитывать при вычислении характеристик, иначе рас-
чёты не будут соответствовать действительности. Для 
исключения ошибок и непонимания, введем основные 
определения.
 •
Два события называются ñîâìåñòíûìè в данном 
опыте, если появление одного из них не исключа-
ет появление другого в этом опыте.
Рассмотрим пример семьи с двумя детьми: любой ре-
бенок имеет определенный пол. Нас интересуют разно-
полые дети — мальчик и девочка. Двое разнополых де-
тей в одной семье вполне возможно. Таким образом, два 
события А — один из детей мальчик, В — другой ребенок 
девочка — это совместные события для рассматриваемо-
го опыта.

•
Два события называются íåñîâìåñòíûìè, если 
они не могут произойти вместе при одном и том 
же испытании.
Например, рассмотрим ситуацию, когда в семье 
один ребёнок; мальчик это или девочка одновременно 
быть не может (при рождении пол не выбирают), это не-
совместные события. 
При стрельбе из оружия: попадание и промах в цель 
при одном выстреле также являются несовместными со-
бытиями. А при нескольких выстрелах — совместные. 
 •
Множество событий A1, A2, ..., An образуют ïîë-
íóþ ãðóïïó, если они попарно несовместны и по-
явление в испытании только одного из них явля-
ется достоверным событием.
В классическом примере с игральной костью (обыч-
ный шестигранный кубик), рассмотрим события, состо-
ящие в появлении цифр при бросании игральной кости: 
A1 — появление 1, …, A6 — появление 6. Эти шесть собы-
тий попарно несовместны в одном опыте. И в результате 
подбрасывания кости обязательно выпадет ровно одна 
из возможных цифр. Следовательно, эти события обра-
зуют полную группу событий.
В случае, когда два охотника стреляют в медведя, 
возможны следующие события, образующие полную 
группу: H1 — никто из охотников не попал, H2 — попал 
первый охотник и не попал второй, H3 — попал второй 
охотник и не попал первый, H4 — оба охотника попали. 
Следует обратить внимание, что все четыре события дан-
ного примера могут иметь совершенно различные воз-
можности для наступления. 
 •
Два события называют ïðîòèâîïîëîæíûìè, 
если появление одного из них равносильно непо-
явлению другого. Это два единственно возмож-
ных события, образующие полную группу.
Обозначение: A  — событие, противоположное собы-
тию A(ещё говорят «не А», или отрицание события А).
Например, выпадения «орла» и выпадение «решки» 
при подбрасывании одной монеты являются противопо-
ложными событиями для одного опыта. Для события,  

состоящего в попадании хотя бы одного из охотников 
в медведя, противоположным является — ни один 
из охотников не попал. Это важное определение помо-
гает решать довольно сложные задачи наиболее про-
стым способом. В частности, когда нас интересует хотя 
бы одно попадание по мишени при 10 выстрелах — это 
сложное событие включает в себя ровно одно попадание 
(любое из десяти), два попадания и так далее до десяти. 
А противоположное событие — ни одного попадания — 
все 10 промахи.
 •
События считаются ðàâíîâîçìîæíûìè, если нет 
оснований полагать, что одно событие является 
более возможным, чем другие.
Например, в некоторой игре предлагают выбрать 
один из трех ящиков, в одном из которых находится 
приз. Выбор определенного ящика — равновозможные  
события при условии, что ящики совершенно одинако-
вые и не имеют никаких особенностей.
Каждое событие, которое может наступить в итоге 
опыта, называется элементарным исходом (элементар-
ным событием, или шансом). Элементарные исходы, при 
которых данное событие наступает, называются благо-
приятствующими этому событию, или благоприятными 
шансами.
При наборе номера телефона из множества вариан-
тов благоприятным является лишь один — правильный 
(нужный нам) номер. А если нужно загадать число от 1 
до 20, и при этом нет особых предпочтений, то благопри-
ятных шансов для того, что цифра будет кратная пяти, 
равно четырем из 20 возможных.
Очень важно учитывать все возможные исходы опы-
та с учетом различных вариантов. Это необходимо для 
правильного подсчета благоприятных шансов. Так, на-
пример, если для дежурства нужно выбрать двух студентов, 
то возможно 4 различных варианта: две девушки, 
два юноши, первая девушка и второй юноша, первый 
юноша и вторая девушка. Для выбора на дежурство двух 
студентов разного пола есть два благоприятных шанса  
(а не один, как думают некоторые).

Глава 2. Классическое определение  
вероятности

Числовой характеристикой события является вероятность 
его появления. Для определения вероятности 
рассмотрим конечное множество равновозможных элементарных 
исходов опыта, образующих полную группу 
событий. Пусть событие A может наступить в опыте при 
появлении некоторых из элементарных исходов и не наступает 
при появлении других. Предположим, что среди 
общего числа n всех равновозможных исходов m из них 
благоприятствует событию A.
Вероятностью события называется отношение числа 
элементарных исходов, благоприятствующих данному 
событию, к числу всех равновозможных, образующих 
полную группу элементарных исходов опыта, в котором 
может появиться это событие.
Вероятность события А обозначают P(A) (от английского 
слова probability — вероятность). Тогда, по определению, 
(
)

m
P A
n
=
,

где m — число благоприятных исходов, n — число всех 
равновозможных элементарных исходов опыта.
Это определение вероятности называется классиче-
ским. Оно появилось на начальном этапе развития тео-
рии вероятностей. Задачи, которые решали в то время, 
часто связаны с развлечениями.

Задача о «русской рулетке».
В барабане револьвера 7 гнезд, из них в 5 заложены 
патроны. Барабан приводится во вращение, потом нажи-
мается спусковой курок. Какова вероятность того, что, 
повторив такой опыт 2 раза подряд, оба раза не выстре-
лит?    
Решение
Обозначим событие A — револьвер оба раза не вы-
стрелил. Найти P(A).
Посмотрим, сначала, сколько всего различных 
комбинаций в двух попытках: так как выбор гнезда 

револьвера произвольный, то всего возможно 7 исхо-
дов при каждом испытании. Испытания два, поэтому:  
n = 7 · 7 = 49.
Первый раз револьвер не выстрелил, то есть, выпа-
ло одно из двух гнезд, где не было патрона. Аналогично 
произошло и во второй раз. Таким образом, благоприят-
ных шансов: m = 2 · 2 = 4.

Дробь 
=
≈
4
0,0816
49
m
n
 искомая вероятность.

Ответ: P(A) 0,0816.

Свойства вероятности.
Из определения вероятности события следуют ее 
простейшие свойства:
1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, для достоверного события все элемен-
тарные исходы являются благоприятными этому собы-
тию, то есть 
=
m
n.
2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Для невозможного события нет благоприятных исходов, 
то есть 
= 0
m
.
3. Вероятность случайного события выражается 
положительным числом, меньшим единицы. Так как 

для случайного события 
<
<
0
m
n , то 
<
<
0
1
m
n
 , то есть 

(
)
<
<
0
1
P A
.
Ñëåäñòâèå. Следует всегда помнить, что вероят-
ность любого события — есть число от нуля до единицы: 
( )
≤
≤
P A  
0
1.
Çàìå÷àíèå.
Классическое определение вероятности предполага-
ет, что все элементарные исходы равновозможные. Это 
предположение позволяет считать вероятность события 
до проведения опыта. На практике ситуация с равновоз-
можными исходами встречается редко. В связи с этим 
появляется необходимость введения еще одного опреде-
ления вероятности, так называемого статистического. 
Прежде, чем ввести статистическое определение веро-