Простые проценты
Покупка
Основная коллекция
Тематика:
Финансовая математика
Издательство:
Российский университет транспорта
Год издания: 2018
Кол-во страниц: 86
Дополнительно
Учебное пособие предназначено для студентов направления 380301 «Экономика», обучающихся по дисциплине «Финансовая математика». Учебное пособие удовлетворяет требованиям ФГОС ВО 3+ и написано в соответствие с рабочей программой дисциплины «Финансовая математика». Пособие включает следующие темы: «Логика финансовых вычислений», «Формула наращения», «Дисконтирование по простым процентным ставкам», «Определение срока ссуды и величины процентной ставки». Предлагаемое пособие содержит образцы решения типовых задач, задач для самостоятельного решения и тестовые задания, может быть полезно в процессе аудиторной и самостоятельной работы студентов.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М.В. Ишханян, Л.В. Кекух Простые проценты Учебное пособие Москва – 2018
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М.В. Ишханян, Л.В. Кекух Простые проценты Учебное пособие для студентов направления «Экономика» Москва – 2018
УДК – 51 И 97 Ишханян М.В., Кекух Л.В. Простые проценты: Учеб- ное пособие. – М.: РУТ(МИИТ), 2018. – 86 с. Учебное пособие предназначено для студентов направ- ления 380301 «Экономика», обучающихся по дисциплине «Финансовая математика». Учебное пособие удовлетворяет требованиям ФГОС ВО 3+ и написано в соответствие с ра- бочей программой дисциплины «Финансовая математика». Пособие включает следующие темы: «Логика финансовых вычислений», «Формула наращения», «Дисконтирование по простым процентным ставкам», «Определение срока ссуды и величины процентной ставки». Предлагаемое посо- бие содержит образцы решения типовых задач, задач для са- мостоятельного решения и тестовые задания, может быть полезно в процессе аудиторной и самостоятельной работы студентов. Рецензенты: О.А. Платонова, к.ф.-м.н., доцент, зав. кафедрой «Высшая и вычислительная математика» РУТ (МИИТ). А.С. Поляков, к.ф.-м.н., старший консультант ООО «Глоу Байт Консалтинг» © РУТ (МИИТ), 2018
Оглавление §1. Логика финансовых вычислений.............................. 4 Предмет и метод финансовой математики ................ 4 Понятие процента ......................................................... 5 §2. Формула наращения ............................................... 11 Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд ............................................................................................. 15 Продолжительность календарных промежутков . 15 Переход от календарной к годовой шкале ........... 17 Переменные ставки .................................................... 24 Реинвестирование по простым процентам .............. 26 §3. Дисконтирование по простым ставкам ................. 29 Математическое дисконтирование ........................... 30 Банковский учет ......................................................... 32 Учет векселей ............................................................. 32 Наращение по учетной ставке ................................... 35 §4. Определение срока ссуды и величины процентной ставки ..................................................................................... 37 Срок ссуды .................................................................. 37 Величина процентной ставки .................................... 38 Средние процентные ставки...................................... 39 §5. Практикум ................................................................. 41 Решение типовых задач ............................................. 41 Задачи для самостоятельного решения .................... 55 Тестовые задания ....................................................... 63 Приложения .................................................................... 82 Приложение 1 ............................................................. 82 Приложение 2 ............................................................. 83 Приложение 3 ............................................................. 84 Литература ...................................................................... 86
§1. Логика финансовых вычислений Предмет и метод финансовой матема- тики Финансовая математика изучает методы и методики определения стоимостных и временных параметров финан- совых операций. Объект финансовой математики – финансовые опера- ции и их обоснование. Предмет финансовой математики – оценки показателей эффективности финансовых операций, а также доходов от- дельно взятых участников сделок, определяемых в виде процентных ставок, доходов и дивидендов, курсов валют и прочее. Финансовая математика охватывает определённый круг методов вычислений, необходимость в которых возникает, когда оговаривают конкретные значения параметров трёх видов: стоимостные характеристики (размеры плате- жей, долговых обязательств, кредитов и т.д.); временные данные (даты и сроки выплат, про- должительность льготных периодов, отсрочки платежей и т.д.); процентные ставки. Методы финансовой математики чаще всего приме- няют при решении следующих практических задач: вычисление конечных сумм, находящихся во вкладах, путем начисления процентов; учет ценных бумаг;
установление взаимосвязи между отдельными
параметрами сделки и определение параметров
сделки;
определение
эквивалентности
параметров
сделки;
анализ последствий изменения условий финан-
совой операции;
разработка планов выполнения финансовых опе-
раций;
расчет показателей доходности финансовых
операций.
К внутренним факторам относя те факторы, которые
определяют:
основные характеристики финансового про-
цесса;
контрактные характеристики сделки (например,
способ начисления процентов в сделках);
характеристики, определяющие начальные усло-
вия сделки (например, инвестируемый капитал).
К внешним относят факторы, определяющие рыночную
среду, т.е. условия, в которых протекает финансовый про-
цесс (например, фактор времени, текущие и будущие ры-
ночные цены, инфляция, конкуренция на рынке финансо-
вых ресурсов, фактор риска).
Понятие процента
Процентом данного числа называется одна сотая часть
этого числа. Общепринятое обозначение слова «процент»
выглядит так: %.
Необходимо различать два понимания термина про- цент: Процент – это процентное число, т.е. указывает на часть целой величины или долю. Например, доходы от налогов составили 75% в общей сумме доходов федераль- ного бюджета страны. Процент – процентные платежи, т.е. начисление сумм за определенные промежутки времени. Рассмотрим в данном параграфе некоторые задачи, свя- занные с первым пониманием процента. При процентных вычислениях очень важно понимать, какая величина принята за 100%. Данная величина называ- ется базой. Не имеет смысла сравнивать, складывать или вычитать проценты, относящиеся к разным базам. Например, известно, что предприятие производит два продукта А и В. Продукт А приносит 25% прибыли, а про- дукт В – 10% прибыли. Заключение о том, что от производ- ства этих двух продуктов предприятие получает 35% при- были неверно. В целом, можно выделить три основные задачи на про- центы: •Основная задача 1: определить число х, которое составляет n% от данного числа А. 𝑥 = 𝐴 ⋅ 𝑛 100 •Основная задача 2: определить число х, n% которого равны данному числу A. 𝑥 = 𝐴 ⋅ 100 𝑛 •Основная задача 3: определить, сколько процентов n от числа В составляет число А. 𝑛 = 𝐴 𝐵 ⋅ 100
Пример 1.1 Килограмм продукции стоил 18 д. ед., за месяц его цена выросла на 3%. Насколько увеличилась цена про- дукции? Решение. Обозначим буквой х размер денежного увеличения цены продукции и запишем условия примера в виде про- центной пропорции: 18 д. ед. составляют 100%, х д. ед. составляют 3%. Это основная задача 1. Согласно формулам, вычис- ляем: 𝑥 = 18 ⋅ 3 100 = 0,54 Таким образом, цена одного килограмма продукции увеличилась на 0,54 д. ед. Пример 1.2 Фирма платит менеджеру 5% от стоимости сделки. На какую сумму нужно заключить контракт, чтобы мене- джер получил бонус в размере 60 000 ₽. Решение. Обозначим буквой х стоимость контракта и запишем условия примера в виде процентной пропорции: 60 000 ₽ составляют 5%, х ₽ составляют 100%. Это основная задача 2. Согласно формулам, вычис- ляем: 𝑥 = 60000 ⋅ 100 5 = 1200000. Таким образом, менеджеру нужно найти заказ на 1200000₽.
Пример 1.3 В городе N приняли участие в голосовании 130 000 человек, что составляет 65% от числа избирателей, вне- сенных в списки для голосования. а) Сколько избирателей внесено в списке? б) за кандидата С проголосовало 45% от числа изби- рателей, принявших участие в голосовании. Сколько че- ловек за него проголосовало? Решение. а) Обозначим буквой х число человек, внесенных в списки для голосования и запишем условия примера в виде процентной пропорции: х составляют 100%, 130 000 составляют 65%. Это основная задача 2. Согласно формулам, вычис- ляем: 𝑥 = 130000 ⋅ 100 65 = 200000 Итак, в списки для голосования внесено 200 000 че- ловек. б) Обозначим буквой х число человек, проголосовав- ших за кандидата С, и запишем условия примера в виде процентной пропорции: х составляют 45%, 130 000 составляют 100%. Это основная задача 1. Согласно формулам, вычис- ляем: 𝑥 = 130000 ⋅ 45 100 = 58 500 Следовательно, за кандидата С проголосовало 58 500 человек.
Пример 1.4 После вычета 13% в качестве налога сотруднику пе- речислена зарплата в размере 45 000,75 ₽. Проездной би- лет «Единый» составляет 1765 ₽. а) Какова зарплата сотрудника до вычета НДФЛ? б) Сколько процентов от зарплаты (до и после вычета НДФЛ) составляет цена проездного билета «Единый»? Решение. а) Обозначим буквой х зарплату сотрудника до вы- чета НДФЛ и запишем условия примера в виде процент- ной пропорции: х ₽ составляют 100%, 45000,75 ₽ составляют 87%. Это основная задача 2. Согласно формулам, вычис- ляем: 𝑥 = 45000,75 ⋅ 100 87 = 51725 Следовательно, зарплата сотрудника до вычета НДФЛ составляет 51 725 ₽. б) Обозначим буквой n искомое число процентов и за- пишем условия примера в виде процентной пропорции: зарплата до вычета НДФЛ: 1765 составляют n%, 51725 составляют 100%. Это основная задача 3. Согласно формулам, вычисляем: 𝑛 = 1765 51725 ⋅ 100 = 3,4 Таким образом, стоимость билета составляет 3,4% от зарплаты сотрудника, взятой до вычета НДФЛ. зарплата после вычета НДФЛ: 1765 составляют n%, 45000,75 составляют 100%. Согласно формулам, вычисляем:
𝑛 = 1765 45000,75 ⋅ 100 = 3,9 Таким образом, стоимость билета составляет 3,9% от зарплаты сотрудника, взятой после вычета НДФЛ. Пример 1.5 Средняя заработная плата по стране выросла в первом полугодии на 5%, во втором полугодии – на 7%. На сколько процентов выросла средняя заработная плата за год? Решение. Первоначальную заработную плату примем за 100%. После первого повышения она стала равна 100% + 100% ⋅ 0,05 = 105% При втором повышении эта новая заработанная плата увеличилась на 7%, т.е. на 105% ⋅ 0,07 = 7,35% от первоначальной заработанной платы. Таким образом, заработная плата увеличилась за год на 105%+7,35%=112,35% от первоначальной величины. Следовательно, заработная плата за год повысилась на 12,35%. Замечание. Распространенная ошибка – просто сложить проценты: 5%+7%=12%. При этом складывают проценты, начисленные на раз- ные базы.