Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка и системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение 

высшего образования 

«Российский университет транспорта  (МИИТ)» 

 

___________________________________________ 

 

Институт пути, строительства и сооружений 

Кафедра «Математический анализ» 

Н.А.Ефремова 

 

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 

УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА И  СИСТЕМЫ 

ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ 

УРАВНЕНИЙ 

Учебно-методическое пособие 

к практическим занятиям по дисциплине 

«Высшая математика» 

 

 

 

Москва  - 2018 

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение  

высшего образования 

«Российский университет транспорта  (МИИТ)» 

 

          ___________________________________________ 

 

Институт пути, строительства и сооружений 

Кафедра «Математический анализ» 

Н.А.Ефремова 

 

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 

УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА И  СИСТЕМЫ 

ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ 

УРАВНЕНИЙ 

Учебно-методическое пособие 

для студентов строительных специальностей  

 

 

 

 

Москва  - 2018 

УДК  517 

Е 90 

 

 

Ефремова Н.А. Обыкновенные дифференциальные 

уравнения второго порядка и  системы обыкновенных 
дифференциальных 
уравнений: 
Учебно-методическое 

пособие  к практическим занятиям по математике. -  М.: 
РУТ (МИИТ),  2018. - 20 с. 

 

В учебно-методическом пособии представлены 

обыкновенные дифференциальные уравнения второго 
порядка с постоянными коэффициентами и  простейшие  
системы обыкновенных дифференциальных уравнений 
первого порядка. Кратко дается теоретическая основа, 
затем – иллюстрации на примерах, и в заключении – тесты 
для самопроверки.  
 
 
 
 
 
 

Рецензент: О.А.Платонова, к.ф.-м.н., доцент, зав. 

кафедрой «Высшая и вычислительная математика» РУТ 
(МИИТ) 
 

 

 

 

 
 
 
 
 
© РУТ (МИИТ), 2018 

 

Неоднородные линейные обыкновенные 

дифференциальные уравнения с постоянными 

коэффициентами. 

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением  
второго порядка с постоянными коэффициентами 

называется уравнение вида y”+a1y’+a2y=f(x), содержащее 

неизвестную функцию у=у(х) и её производные у’, у”; а1 и 

а2=const. 

 
Общее 
решение 
линейного 
неоднородного 

дифференциального 
уравнения 
второго 
порядка 

представляется в виде суммы у=у0+у*, где у0 – общее 

решение 
соответствующего 
линейного 
однородного 

уравнения 
 
y”+a1y’+a2y=0, 
y* 
- 
частное 
решение 

неоднородного уравнения.  

 
Для 
построения 
общего 
решения 
линейного 

однородного уравнения составляется характеристическое 

уравнение: k2+a1k+a2=0. Это алгебраическое уравнение той 

же степени, что и порядок дифференциального уравнения 

(второй степени), получается из исходного уравнения 

формальной заменой   i - производной числом ki. 

В зависимости от вида корней общее решение у0 

будет иметь различный вид. 

Если корни k1, k2 действительны и различны, тогда

x
k
x
k
e
C
å
Ñ
ó
2
1
2
1
0


 

Если корни комплексные k1=α+iβ, k2=α-iβ, тогда

)
cos
sin
(
2
1
0
x
Ñ
x
Ñ
e
y
x






 

Если действительные корни кратны (k1=k2=k), тогда

kx
kx
xe
C
å
Ñ
ó
2
1
0


 

 
При некоторых специальных видах правой части 

f(x) применим метод подбора частного решения у*. 

Рассмотрим эти случаи.  

I) f(x) = Pn(x) eαx, где Pn(x) - многочлен   n - й степени. 

а) α – не является корнем характеристического уравнения 

для соответствующего однородного уравнения, тогда 

частное решение ищем в виде: у*=Qn(x)eαx, Qn(x) - 

многочлен   n - й степени; 

б) 
α 
– 
простой 
корень 
характеристического 

уравнения для соответствующего однородного уравнения,    

тогда частное решение ищем в виде: у*=Qn(x)xeαx, Qn(x) - 

многочлен   n - й степени; 

в) α – кратный корень характеристического 

уравнения для соответствующего однородного уравнения, 

тогда частное решение ищем в виде: у*=Qn(x)eαxх2. 

II)  f(x) = P(x)eαxcosβx+ Q(x)eαxsinβx 

а) 
Если 
α+iβ 
не 
является 
корнем 

характеристического уравнения для соответствующего 

однородного уравнения, тогда частное решение ищем в 

виде:  

у*=U(x)eαxcosβx+V(x)eαxsinβx, где U(x), V(x)  - многочлены, 

степень которых равна наивысшей степени многочленов                   

P(x)  и  Q(x); 

 
б) α+iβ  является корнем характеристического 

уравнения для соответствующего однородного уравнения, 

тогда частное решение ищем в виде: у*=(U(x)eαxcosβx+ 

V(x)eαxsinβx)х, где U(x), V(x)  - многочлены, степень 

которых равна наивысшей степени многочленов   P(x)  и  

Q(x). 

 
Процедура 
подбора 
неопределённых 

коэффициентов показана на примере. 

Пример 1. Решить уравнение  у”-2y’=x3-1. 

1) 
Решаем 
сначала 
соответствующее 
однородное 

уравнение у”-2y’=0. 

         Составляем характеристическое уравнение: k2-2k=0.  

Корни этого уравнения  k1=0, k2=2 – действительны и 

различны. 
Общее 
решение 
однородного 
уравнения 

запишется в виде: 

 
 
 

x
e
C
Ñ
ó
2

2
1
0


.
 
2) Находим частное решение неоднородного уравнения 

методом подбора.  Правая часть (многочлен третьей 

степени) относится к первому случаю. Сравнивая функцию 

f(x) = х3  - 1  с выражением    f(x) = Pn(x) eαx , заключаем, 

что 
n=3, 
а 
α=0. 
Сравниваем 
 
α=0 
с 
корнями 

характеристического уравнения. Так как  α=k1, то частное 

решение принимаем в виде у* = х(Ах3+Вх2+Сх+D), где А, 

В, С и D – неопределённые коэффициенты. Подставляем 

это выражение в исходное уравнение и приравниваем 

коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и 

правой частях получающегося равенства: 

у* = Ах4+Вх3+Сх2+Dх;  (у*)’= 4Ах3+3Вх2+2Сх+D; 

(у*)”= 12Ах2+6Вх+2С; 

(у*)”-2(у*)’= 12Ах2+6Вх+2С-8Ах3-6Вх2-4Сх-2D= х3  - 1   

или-8Ах3+(12А-6В)х2+(6В-4С)х-2D= х3  - 1  

Решаем систему алгебраических уравнений: 

















1
2

0
6
12

1
8

D

B
A

A

 

Находим коэффициенты: А=-1/8, В=-1/4, С=-3/8, D=1/2. 

 

Поэтому 

x
x
x
x
ó
2
1

8
3

4
1

8
1
2
3
4

*






 

Общим решением уравнения является функция:

 

x
x
x
x
e
C
Ñ
ó
x

2
1

8
3

4
1

8
1
2
3
4
2

2
1






 

Пример 2. Решить уравнение у”-2у’=3sin2x. 

1) Общее решение однородного уравнения совпадает с 

примером 1. 

2) Находим частное решение неоднородного уравнения, 

сравнивая правую часть f(x) = 3sin2x с выражением случая 

II): f(x) = P(x)eαxcosβx+ Q(x)eαxsinβx. Получаем  β=2, P=0, 

Q=3. 
Сравнивая 
мнимое 
число 
βi=2i 
с 
корнями 

характеристического уравнения, заключаем, что оно не 

совпадает 
ни 
с 
одним 
из 
корней 
(оба 
корня 

действительны).  Поэтому принимаем у*= Аcos2x+ Вsin2x, 

где А и В – неопределённые коэффициенты. Процедура 

вычисления коэффициентов А и В имеет вид: 

у*= Аcos2x+ Вsin2x; (у*)’=-2Аsin2x+ 2Вcos2x; 

(у*)”=-4Аcos2x-4Вsin2x; 

(у*)”-2(у*)’=-4Аcos2x-4Вsin2x+4Аsin2x-4Вcos2x=3sin2x 

или  (-4А-4В)cos2x+(4А-4В)sin2x=3sin2x. 

 
Приравнивая 
коэффициенты 
в 
обеих 
частях 

получившегося тригонометрического равенства при cos2x 

и  sin2x соответственно, получим систему: 












,3
4
4

0
4
4

B
A

B
A

 

откуда следует А=3/8, В=-3/8. Поэтому частное решение 

исходного уравнения имеет вид:    

).
2
sin
2
(cos
8
3

*
x
x
ó



 

 
Общее решение запишется в виде: 

 

).
2
sin
2
(cos
8
3
2

2
1
x
x
e
C
Ñ
ó
x



