Кратные интегралы

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное 

образовательное учреждение 

высшего образования 

«Российский университет транспорта (МИИТ)» 

______________________________________________________________________________ 

ИТТСУ 

Кафедра «Высшая и вычислительная математика» 

 

М.Г. Гиоргадзе, Т.А. Гудкова  

 

Кратные интегралы 

 

 

 

Учебно-методическое пособие к выполнению 

индивидуального задания 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва – 2018 

 

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное 

образовательное учреждение 

высшего образования 

«Российский университет транспорта (МИИТ)» 

______________________________________________________________________________ 

ИТТСУ 

Кафедра «Высшая и вычислительная математика» 

 

М.Г. Гиоргадзе, Т.А. Гудкова  

 

Кратные интегралы 

 

 

 

Учебно-методическое пособие  

 

для студентов 1 и 2 курса технических специальностей ИТТСУ 

 

 

 

 

 

 

 

Москва – 2018 

 

УДК -517 

Г 49 

Гиоргадзе М.Г., Гудкова Т.А. Кратные интегралы: Учебно-методическое пособие к 
выполнению индивидуального задания для студентов 1 и 2 курса технических 
специальностей ИТТСУ.  – М.: РУТ (МИИТ), 2018. -  25 с. 

 

 

 

 

 

          Учебно-методическое пособие подготовлено для студентов 1 и 2 курса различных 
технических специальностей ИТТСУ, содержит типовые задачи по кратным интегралам. В 
издании приводятся краткие теоретические сведения и решения некоторых задач.  Имеется 
большое количество задач для самостоятельной работы. 

 

 

 

 

 

 

Рецензент: доцент кафедры «Прикладная математика1» РУТ (МИИТ) кандидат физико-
математических наук Зверкина Галина Александровна 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                    ©  РУТ (МИИТ), 2018 

Двойной интеграл 

Обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных является так 
называемый двойной интеграл. 

Теорема:  Пусть  функция 
( , )
F
f x y

непрерывна, в замкнутой области D и существует 

предел последовательности 

1
2
,
,...
,...

k
n
n
n
V V
V
 интегральных сумм.  Если максимальный 

диаметр площади 
iS

 стремится к нулю, когда 
in   этот предел не зависит ни от 

способов разбиения области D на площади
iS

, ни от выбора точки 
iA  внутри 
iS

 и 

называется двойным интегралом от функции 
( , )
f x y по области D и обозначается: 

0
1

( , )
lim
(
)

n

i
i

i
D

f x y dxdy
f A
S








 

D  называется областью интегрирования. 

Если 
( , )
0
f x y 
, то двойной интеграл от 
( , )
f x y
 по области D  равен объёму 

вертикального цилиндра, ограниченного сверху поверхностью 
( , )
F
f x y

, снизу – 

областью D в плоскости Oxy , а направляющие цилиндра параллельны оси Ox . 

Если 
( , )
1
f x y  , то двойной интеграл численно равен площади области D . 

 

Свойства двойного интеграла. 

 

1. Двойной интеграл от суммы двух функций по области D равен сумме двойных 

интегралов по области D  от каждой функции.  
 

1
2
1
2
(
( , )
( , ))
( , )
( , )

D
D
D

f x y
f
x y dxdy
f x y dxdy
f
x y dxdy






 

 

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла 

 

( , )
( , )
.

D
D

с f x y dxdy
с
f x y dxdy
с
const





 

 

3. Если область D  разбить на две непересекающиеся области 
1
2
D и D
, то

1
2

( , )
( , )
( , )

D
D
D

f x y dxdy
f x y dxdy
f x y dxdy





 

 

4. Пусть m -наименьшее, а M - наибольшее значение 
( , )
f x y  в области D и пусть S

площадь области D , тогда 
( , )

D

m S
f x y dxdy
M S





 

Вычисление двойного интеграла 

 

Выражение 

2

1

( )

( )

( , )

f
x
b

a
f
x

dx
f x y dy


 

Называется двукратным интегралом от функции 
( , )
f x y
 по области D , которая 

определяется неравенством 
1
2
,
( )
( )
a
x
b f x
y
f
x




. 

В этом выражении сначала интегрирование производится по y, а x считается постоянным. 
Затем производится интегрирование по x в пределах x от a до b. В результате получается 
некоторое число. 

Задача. Расставить пределы интегрирования, изменить порядок интегрирования и найти 
площадь фигуры, ограниченной линиями 
2
0;
;
6.
y
y
x
x
y




 

Решение: Находим координаты точки А из решения системы 
2

6

.

x
y

y
x








 

2;
4.
A
A
X
Y


 

 

1)

2
2
6
6
2
6

2

0
0
2
0
0
2

8
32
(6
)
36 18
(12
2)
3
3

x
x

S
dx dy
dx
dy
x dx
x dx




















 

 

2) 

4
4
6 7
4
3

2
2

0
0
0

1
2
16
32
(6
7
)
(6
)
24
8
2
3
3
3
y

S
dy
dx
dy
y
y
y
y











 




 

 

 

Полярные координаты 

Полярная система координат на плоскости считается заданной если заданы точка O-
полюс, проходящая через нее ось OS – полярная ось, а так же единица масштаба. Тогда 
положение любой точки М на плоскости можно задать двумя числами: 

1) Положительным числом r (0
)
r

  - полярный радиус. 

2) Числом 
(0
2 )





 - полярный угол. 

Полярный угол и полярный радиус точки называются полярными координатами точки. 

 

Пишется 
( , ).
M x y
 

Пусть положение О полярной системы совпадает с началом прямоугольной декартовой 
системы координат и полярная ось совпадает с положительным нарпавлением оси 

абсцисс, тогда 
2
2
cos ,
sin ,
;
.
y
x
r
y
r
r
x
y
tg
x








 

Задача Перейти к полрным координатам 

1
1

0
0

( , )
dx
f x y dxdy
 
 

 

Решение: 

1
1

cos
sin
1
1
4
2

0
0
0
0
0

4

( , )
( cos , sin )
( cos , sin )
dx f x y dy
dy
f r
r
rdr
dy
f r
r
rdr















 




 

Элемент площади (заштрихованную фигуру) на рисунке можно приблизительно считать 
прямоугольником со сторонами dr и d . 

При 
переходе 
от 
декартовой 
системы 
координат 
в 
полярный 
получается: 

2
2

1
1

( , )
( cos , sin )
.

r

D
r

f x y dxdy
dy
f r
r
dy











 

 

Задача. Перейти к полярным координатам: 

2
3

0
0

( , )
.

x

dx
f x y dy


 

Решение: 

2

2

1

1
4

0
0
0

( , )
( ,cos , sin )
.

r
x

r

dx
f x y dy
d
f r
r
dy











 

 

Пример. Определить пределы интегрирования, изменить порядок интегрирования в 
декартовых 
координатах 
и 
найти 
площадь 
фигуры, 
ограниченной 
линиями:

2
2

2

2
.(
).

x
y
a

x
y
ax меньший сегмент







 

 

Решение 

2
2
2

2

1

2
2
4
4

2
2

2
1

2
0
2
0
0

1
(
).
2

x
a
x
a
x
y
r
a
a

a
a x
a y
r

S
dx
dy
dy
dy
dy rdr
dy r
r




















 

 

С помощью двойного интеграла можно вычислить: 

1) Объём цилиндрического тела: 
( , )
.

D

V
f x y dxdy
 
 

2) Площадь фигуры 

.

D

D

S
dxdy

S
rdrdy









 

3) Масса плоской фигуры

( , )

( , )

D

m
f x y dxdy

f
f x y плотность






 

4) Момент инерции плоской фигуры относительно 

                              а) Оси Ох, 
2

x

D

I
y dxdy
 
 

 

                              б) Оси Оу, 
2

y

D

I
x dxdy
 
 

                              в) Начала координат 
2
2

0
(
)
x
y

D

I
I
I
x
y
dxdy





 

5) Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры. 

                   

( , )

(
)

( , )

x

D

y

D

M
y f x y dydy

Статистические моменты плоской фигуры пластины

M
x f x y dxdy
















 

                            Координаты центра масс фигуры: 
.

y
z
S
S
x
и y
m
m


 

Пример: 
Найти 
координаты 
центра 
тяжести 
плоской 
однородной 
пластинки, 

ограниченной линиями 
2
,
2 (
0).
x
ay x
y
a a




 

Решение: пределы изменения х даёт решение системы 

2

2

x
ay

x
y
a




 



 

2

2

2

2

2
2
2
3

2

2
2
2

2
3
4

2
2
2

2

2
2
3

2
2
2

2
2

9
(2
)
2
;
2
3
2

2
2 (
)
;
9
9
3
4
2

2
2
(2
)
8

9
9
2
3
2 5
2

a
a
a x
a

a
a
a
x
a

a
a x

a

c
a
x

a
x
a

a
a
a x

c

a
x
a

a

x
x
x
S
dx
dy
dx
a
x
ax
a
a
a

x
x
a
x
xdx
dy
a
a
a
x

a
x
x
a
y
dx
ydy
a
a
c






























 


























 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тройной интеграл. 

Обобщением определённого интеграла на случай функции трех переменных является 
тройной интеграл. 

Тройной интеграл от функции 
( , , )
f x y z  по области V равен трёхкратному интегралу по 

той же области 

2
2

1
2

( )
( , )

( )
( , )

1
2

1
2

( , , )
( , , )
.

( , )
( , )
,

.

( );
( ),
,

x
x y
b

V
a
x
x y

f x y z dxdydz
dx
dy
f x y z dz

где z
x y и z
x y
уравнения поверхности ограничивающие областьV снизу

и сверху соответственно
Линии y
x
y
x
x
a x
b Ограничивают обла





























,

.

сть D являющуюся проекцией

области V на плоскости Оху

 

Тройной интеграл обладает теми же свойствами что и двойной интеграл. 

Пример: Вычислить
2
2
,
I
x
y dxdydz



где область ограничена поверхностями 

2
2
2;
1.
x
y
z
z



 

 

Решение: Так как область ограничена поверхностями, определяется следующими 

равенствами: 

2
2

2
2
2
2

2
2
2
2

1
1
1
1
1

2
2
2
2
2
2

1
1
1
1

1
1;
1
1
,
1,

(1
)
.

x
x

x
x
y
x

х
x
y
x
x
y
z
то

I
dx
dy
x
y dx
dx
x
y
x
y
dy












 





















 

Далее 
переходя 
к 
полярным 
координатам, 
получим: 

1
3
4
2

1
0

0
0

4
(1
)
4
(
)
2
3
4
6

r
r
I
d
rdr
r
r















 

Положение точки M в пространстве можно определить не только прямоугольными 
координатами. Если оставить координату х, а вместо z и y ввести полярные координаты 

cos ,
sin ,
r
y
r




то положение точки М будет характеризоваться тремя числами r,φ,z, 

которые называются цилиндрическими координатами точки М.