Исследование на экстремумы функций одной переменной

Министерство транспорта  

Российской Федерации 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  

 «Российский университет транспорта  (МИИТ)» 

___________________________________________________ 

Кафедра «Математика» 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 

А.И. ГУСЕВ 

 

ИССЛЕДОВАНИЕ НА ЭКСТРЕМУМЫ 

ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Учебно-методическое пособие 

 
 
 
 
 
 
 

 

 
 
 

Москва – 2018 

Министерство транспорта  

Российской Федерации 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  

 «Российский университет транспорта  (МИИТ)» 

_____________________________________________________ 

Кафедра «Математика» 

 

 
 

 
 

 
 
 
 
 
 

А.И. Гусев 

 

ИССЛЕДОВАНИЕ НА ЭКСТРЕМУМЫ 

ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Учебно-методическое пособие 

 

для студентов экономических специальностей 

 

 

 

 
 

Москва – 2018 

УДК 517 
Г 96  
 

   Гусев А.И. Исследование на экстремумы функций одной переменной: 

Учебно-методическое пособие. – М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 21 с. 

 
    
 

 
 
            В 
учебно-методическом пособии представлен теоретический и 

практический  материал  для нахождения экстремума  функций одной 
переменной. Рассмотрены явный, неявный и  параметрический  вид задания 
функций.  
           Изложенный 
материал 
иллюстрируется 
 
большим 
количеством  

примеров и задач разного уровня сложности. 
           Учебно-методическое пособие содержит варианты индивидуальных 
заданий. 
 

 
 
 
Рецензент д.т.н., профессор кафедры «Высшая математика» РУТ (МИИТ) 
                   Е.П.Корольков 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

© РУТ (МИИТ), 2018 

Возрастание и убывание функций 

 
      Функция   f (x ), определенная на отрезке  [ a, b ],  называется 
неубывающей на [ a, b ],  если  х1, х2  [ a, b ]  из условия  х1 < х2  следует 
неравенство   f (х1 )  f (х2).   Если из  х1 < х2  всегда следует   f (х1 ) < f (х2),   то 
функция  f (x ) называется  возрастающей на [ a, b ].  Если на отрезке  [ a, b ]  
из условия  х1 < х2  следует неравенство   f (х1 )  f (х2),  то функция  f (x ) 
называется  невозрастающей на [ a, b ].  Если из  х1 < х2   следует   f (х1 )  f (х2),   
то  f (x ) называется  убывающей на [ a, b ]. 
      Функция   f (x )  называется  монотонной на [ a, b ],  если она на [ a, b ] 
только неубывающая ( в частности, возрастающая )  или только 
невозрастающая ( в частности, убывающая ).  Возрастающие и убывающие 
функции часто называют также строго монотонными. 
  

Теорема. Пусть функция   f (x)  непрерывна на отрезке  [ a, b ] и имеет  

производную  f  ( x ) по крайней мере в  интервале (a, b).   Для того, чтобы 
функция f (x)  на отрезке [ a, b ]  была  неубывающей, необходимо и 
достаточно выполнение условия f  ( x )  0 для всех точек  х  из  интервала  ( a, 
b).
 
 
 Необходимость.   Пусть функция   f (x )  на отрезке  [ a, b ]  
 неубывающая (см. Рис.) 
 
 

                                  
 

 
                                    
 
 
Докажем, что на  ( a, b )  производная   f  (x )  0.  Возьмем точки  х  и  х + х  
в  интервале ( a, b ).  Т.к. по условию  f (x ) неубывающая, то при любом  х  
(положительном или отрицательном) знак  у  х  и   f (х + х ) - f (x ) один и 
тот же, и 

.0
)
(
имеем
а
неравенств
последнего
из
),
(
я
производна
существует
 

)
,
(
точке
каждой
в
условию
по
что
Учитывая,
.0
)
(
)
(
поэтому













x
f
x
f

b
a
х
x

x
f
x
x
f
 

 

Достаточность.   Пусть  f  (x )   0  на интервале ( a, b ).  Докажем, что 
функция   f (x )  неубывающая на отрезке  
 [ a, b ]. Действительно, пусть х1 < х2 -  любые две точки отрезка [ a, b ].    По 
теореме Лагранжа     
f (х2 ) - f (х1) = f  ( с ) (х2 – х1 ),  где  х1 < с  < х2.    Т.к. по условию   f  ( x )   0  в 
каждой точке  х  интервала ( a, b ),  то и   f  ( с )   0.    Кроме того,  х2  х1.   
Поэтому   f (х2 )  f (х1).   Итак, из неравенства  х1 < х2  следует неравенство  
 f (х1 )  f (х2),  а это и означает, что на отрезке  [ a, b ] функция   f (x )  
неубывающая.   
 
    Аналогично доказывается 
 
Теорема.  Пусть функция   f (x) непрерывна на отрезке  [ a, b ]  и имеет  
производную    f  ( x)  по крайней мере в интервале  (a, b).   Для того, чтобы 
функция   f ( x)  на  отрезке  [ a, b]  была  невозрастающей, необходимо и 
достаточно выполнение условия

f  ( x )  0  для всех точек  х  из интервала  ( a, b ).

 
   Таким образом,  интервалы знакопостоянства производной   f  ( x)  являются 
интервалами монотонности функции   f (  x ). 
 
     Достаточное условие возрастания функции : 
Если f  ( x ) > 0 на интервале ( a, b ), то  f (x )  возрастает на  [ a, b ]. 
    Однако если   f (x )  возрастает на  [ a, b ],  то из этого не следует, что  f  ( x ) 
 0  всюду в интервале ( a, b ). 
 
Пример 1.   Функция   f (x ) = x3 возрастает на отрезке  [ -1, 1 ],  однако ее 
производная   f  (x ) = 3x2  обращается в нуль в точке  х = 0. 
 
Пример 2.   Исследовать функцию   f (x ) = x3 – 3х – 4  на возрастание и 
убывание.    
      Функция определена на  R = (-,   ).  Ее производная равна   f (x ) = 3x2 – 
3 = 3  ( х – 1 ) ( х + 1 );    f  ( x )  0  при  х  (-, -1)  (1,   ),    f  ( x )  0  при  
х  (-1, 1).  Т. о., функция   f (x ) = x3– 3х – 4  возрастает на интервалах  
(-, -1)  (1,   ),  убывает на интервале (-1, 1).  
 
 

Экстремумы функций 

 
 Пусть функция   f (x ) определена в некоторой окрестности точки  
х0, включая и саму  т. х0 .  Точка х0 называется точкой локального  
максимума функции  f (x )  (см. Рис.),  

                              
 

 
если      такое, что х (х0 - , х0 +  )    
f = f (x ) - f (x0)  0.  Если     такое, что  х (х0 - , х0 +  )  
f   0, то точка х0 называется точкой локального минимума функции  f (x ).  
  Значение функции  f (x )  в точке максимума называется  локальным  
максимумом, значение функции  в точке минимума – локальным  
минимумом данной функции.                                          
     Максимум и минимум функции называются ее локальными  
экстремумами.    
  Рассмотрим условия существования экстремума функции. 
 
      Необходимое условие экстремума 
 

Теорема (Ферма). Функция   f ( x)  может иметь экстремум только в тех 

точках, в которых ее производная f ( x )  либо равна нулю, либо не существует.
 
 Пусть в точке х0 функция  f (x ) имеет производную и  f  (x0 )  0.  Для 
определенности,  пусть  f  (x0 ) > 0.  Тогда   f (x ) в точке х0  будет 
возрастающей,  поэтому точка х0  не будет ни точкой максимума,  
ни точкой минимума функции  f (x ).                                                                                          
    Аналогичными рассуждениями придем к тому же выводу при   f  (x0 ) < 0. 
  Итак, если в точке х0  существует производная   f  (x0 )  0,  то в точке х0  не 
может быть ни максимума, ни минимума функция  f (x ). Следовательно, 
экстремум функция  f (x ) может быть только в такой точке, в которой 
производная   f  (x ) либо равна нулю, либо не существует.   
 
   Точки, в которых выполняется необходимое условие  экстремума  для                         
функции  f (x ), называются  критическими  точками этой функции.  Они  
определяются как корни уравнения     f  (x0 ) = 0     и как точки, где  f  (x ) не 
существует   ( в частности, где  f  (x ) - бесконечно большая функция ).  Корни 
уравнения  f  (x0 ) = 0  называются 
стационарными точками функция  f (x );  скорость изменения  f  (x ) в этой 
точке равна нулю. 

y

Геометрически равенство   f  ( x0 ) = 0  означает, что в точке экстремума 
дифференцируемой функции    у = f (  x )  касательная к ее графику 
параллельна  
оси Ох (см. Рис.). 

                                     
 

 
     Отметим, что обратная теорема неверна, т.е. если   f  (x0) = 0,  то это не 
значит,  что х0 – точка экстремума. 
         Например,   для функции   у = x3 имеем   у  ( 0 ) = 0.  Поэтому точка  х = 
0 – стационарная точка для данной функции.  Но функция   у = x3  в точке х = 
0 экстремума не имеет,  т.к  у  ( 0 ) = 0,   у  ( х )  < 0  для  х < 0  и  у  ( х ) > 0  
для х > 0,  так что в точке х = 0  функция возрастает. 
 
Достаточные условия экстремума 
 

Теорема 4. Если функция у = f ( x)  дифференцируема в некоторой   -

окрестности стационарной точки  x0   и при переходе через нее слева направо 
производная f ( x )   меняет знак с плюса на минус, то x0    есть точка 
максимума;  с  минуса на плюс,  то x0 - точка минимума.
 
 Рассмотрим   -окрестность точки x0.  Пусть выполняются условия:  
 f  (x ) > 0  х (х0 - , х0 )  и   f  (x ) < 0  х (х0, х0 +  ).  Тогда функция  f (x )  
возрастает на интервале  (х0 - , х0 )  и убывает на интервале (х0, х0 +  ).  
Отсюда следует, что значение f (x )  в точке x0  является наибольшим на 
интервале  (х0 - , х0 +  ),  т.е.  f (x ) < f (x0)  х (х0 - , х0 )   (х0, х0 +  ).  Это 
и означает, что x0 - точка максимума функции. 
    Аналогично теорема доказывается для случая, когда  f  (x ) < 0  х (х0 - , 
х0 )  и   f  (x ) > 0  х (х0, х0 +  ).                                                                                               
 
   
    
 
  Правило  исследования функции на экстремум : 
 
1. Найти критические точки функции  f (x ), т.е. точки, в которых 

производная  f  ( x ) либо  

равна нулю, либо не существует. 
 

2.    Исследовать знак производной  f  ( x )  слева и справа от каждой 
критической точки.  
 
  3.    В соответствии с достаточным условием  экстремума  выписать точки                       
экстремума ( если они есть ) и вычислить значения функции в них.  
 
   
                        

 

                
                    

.3
4
)
8
(
min
,
8
2

,,0
)
0
(
max
,
0
1
,












у
у
минимума
точка
х
а

у
у
максимума
точка
х
что
показывает
Рисунок

 

 
  Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак 
существования экстремума, основанный на определении знака второй 
производной. 
                            
 

Теорема.  Если в точке  x0   первая производная функции   f ( x)  равна нулю 
( f  (x0) = 0 ),  а вторая производная в точке x0 существует и отлична от нуля  ( f
 ( x0 )  0 ),  то при   
f  ( x0 ) < 0  в точке  x0  функция имеет максимум, а при   f  ( x0 ) > 0  - минимум.
 

.
,
,

).
,8
(
),
8
,0
(
),
0
,
(

.8
2
0
1

.
3

2
3

3
1

3
3

2

3
1

.

.
3
2

3
функции
экстремум
Найти

интервалах
этих
на
функции
убывание
и
рост
енно
соответств
и
точек

х
критически
из
каждой
от
справа
и
слева
й
производно
знаки
рисунке
на
Отметим

интервала
три
на

функции
данной
я
определени
область
всю
разбивают
точки
Эти

х
при
нулю
равна
и
х
при
существует
не
я
Производна

х

х

х

у
Находим

ось
числовая
вся
функции
я
определени
Область

х
х
у






















.
Пример

Пусть, для определенности,  f  ( x0 ) < 0.  Это значит, что в точке x0  первая 
производная   f (x ) убывает, т.е. существует такая окрестность (х0 - , х0 +  )  
точки x0,  что х  (х0 - , х0 )   верно неравенство  f (x ) > f (x0 ) = 0,   а  
х  (х0, х0 +  ).  верно   f (x ) < f (x0 ) = 0.   Т.о., при  переходе  x  через 
критическую точку x0  производная  f (x )   
меняет свой знак с плюса на минус.  Следовательно, функция   f (x ) в точке x0  
имеет максимум. 
     Аналогично доказывается, что если  f  ( x0 ) > 0,  то в точке x0  функция 
имеет минимум.   
 

.
0
,0
2
)
0
(

.

2
2
4

2

2

.
0
,

2

2

.

2

функцию
экстремум
на
ь
Исследоват

функции
максимума
точка
х
точка
что
так
у
Отсюда

х
е
х
х
е
у
находим
Далее

точка
ая
стационарн
х
откуда
х
е
х
у
Имеем

х
е
у
























.
Пример

 

 
 

Наибольшее и наименьшее значение функции, 

непрерывной на отрезке 

 
    Если функция  f (x )  непрерывна на отрезке  [ a, b ],  то, согласно теореме 
Вейерштрасса, она на этом отрезке достигает своих наибольшего и 
наименьшего значений.  Эти значения функция может принять либо во 
внутренних точках отрезка, либо на его границах. Для нахождения 
наибольшего и наименьшего значений функции на [ a, b ] надо: 
 

1) найти критические точки на интервале ( a, b); 

2) вычислить значения функции в найденных критических точках; 

3) вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках  х = а  и  х = 

b; 

4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и  
      наименьшее. 
 
   
Пример .   Найти наибольшее и наименьшее значения функции   f (x ) = 3x4 + 
4х3 + 1  на отрезке  [ -2, 1] .    
    Находим критические точки данной функции:   f (x ) = 12x3 + 12x2 = 12x2 ( х 
+ 1 );    f  ( x ) = 0  при  х1 = 0  [ -2, 1]  и при  х2 = -1  [ -2, 1] .  Находим   f ( 0) 
= 1,   f ( -1) = 0,   f ( -2) = 17,   f ( 1) = 8.    Т.о.  fнб = 17  в точке  х = - 2,   fнм = 0  в 
точке  х = -1.  
 

?
размеры
его
Каковы
.
объема
о
наибольшег
цилиндр
выточить
радиуса
шара
Из
R
4.
Пример

                                   
 

.
3
6
2
2
)
3
3
2
(
2
4

,
3
3
2
,

..
,
.
.
.
3

3
2

0
2

2
3
)
(
.
3

3
2
0
)
(
;
4

2
3
2
)
(
:]
2
,0
[

)
(
.]
2
,0
[

,
4

3
2

4

2
2
4
)
(
,
2
2
4

)
9
.
.
(
.

R
R
R
равен
будет
основания
диаметр
а

R
равна
будет
высота
его
если
объем
наибольший
иметь
будет
цилиндр

то
точку
ю
критическу
одну
имеет
функция
к
Т
максимума
точка
R
х

x
x
V
R
х
при
x
V
x
R
x
V
R

промежутке
на
x
V
V
функции
значение
наибольшее
Находим
R
х
где

x
x
R
x
x
R
x
V
V
цилиндра
объем
потому
а
x
R
у

рис
см
Тогда
цилиндра
диаметр
и
высоту
у
и
х
через
Обозначим






































 
 
 
 
                               Направление выпуклости и точки перегиба 
 
   График дифференцируемой функции   у = f (x )  называется  выпуклым  
вниз  на интервале (a, b), если он расположен выше любой ее касательной  
на этом интервале. 
  График функции   у = f (x )  называется  выпуклым вверх  на интервале  
(a, b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале. 
  Точка графика непрерывной функции   у = f (x ),  отделяющая его части                      
Рис.10. 
разной выпуклости, называется  точкой перегиба. 
  На рисунке кривая  у = f (x )  выпукла вверх в интервале (a, с),  выпукла вниз 
в  интервале (с, b),  точка  М (с, f (c ) ) – точка перегиба. 
 

                                        
 

  
   Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следующей 
теоремы.