Двойной интеграл и его приложения

 
 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ   

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА  

(МИИТ)» 

___________________________________________________ 

Институт транспортной техники и систем 

управления (ИТТСУ) 

Кафедра 

«Высшая и вычислительная математика» 

 
 
 
 

Н.С. Дмитрусенко 
М.Е. Булатникова 

 
 
 

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 

 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 

Москва – 2018 

 

 

 
 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ   

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА  

(МИИТ)» 

___________________________________________________ 

Институт транспортной техники и систем 

управления (ИТТСУ) 

Кафедра 

«Высшая и вычислительная математика» 

 

Н.С. Дмитрусенко 
М.Е. Булатникова 

 
 
 
 
 

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 

 

Учебное пособие 

 
 

Для студентов всех специальностей ИТТСУ 

 
 

Москва – 2018 

 

 
 

 

 

 
 

УДК. 517 
Д. 53 
 
 

Дмитрусенко Н.C., Булатникова М.Е. Двойной интеграл и 

его приложения: Учебное пособие. – М.: РУТ (МИИТ), - 2018. 
 – 99 с. 

 
 
 
 
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов 

ИТТСУ, изучающих дисциплину «Математика» или «Высшая 
математика». Содержание учебного пособия охватывает одну из 
наиболее сложных тем курса. В каждом параграфе приведены 
необходимые теоретические сведения. Подробное решение 
типовых задач помогает студенту в выполнении предлагаемого 
контрольного задания. 

 
 
 
Рецензенты: 

Скрипкина В.И., кандидат физико-математических наук, с.н.с., 
доцент кафедры «Высшая математика» ЮЗГУ.   
Зверкина Г.А. кандидат физико-математических наук, с.н.с., 
доцент кафедры «Прикладная математика 1» РУТ (МИИТ). 

 
 
 
 

© РУТ (МИИТ), 2018

Содержание 

Предисловие
4

Введение
5

Общая схема нахождения величины с помощью 
определенных интегралов

5

Глава I. Двойной интеграл 
6

§ 1.1. Задачи, приводящие к двойному интегралу
6

§ 1.2. Определение двойного интеграла 
9

§ 1.3. Основные свойства двойных интегралов
12

§ 1.4. Вычисление двойного интеграла. Расстановка 
пределов интегрирования 
13

§ 1.5. Двойные интегралы в полярных координатах
30

§ 1.6. Геометрические приложения двойного интеграла

40

§ 1.7. Приложения двойного интеграла к задачам 
механики
55

Варианты индивидуальных заданий
67

Образец выполнения индивидуального задания
86

Ответы к задачам для аудиторных занятий и 
самостоятельного решения
94

Литература
98

Предисловие 

Настоящее учебное пособие посвящено наиболее 

сложным вопросам раздела «Интегральное исчисление», с 
которыми сталкиваются студенты II курса инженерно-
технических 
специальностей 
при 
изучении 
высшей 

математики. Это двойные интегралы. Цель авторов -  в 
доходчивой форме оказать помощь студентам в изучении 
данной темы и закреплении знаний. 

Весь материал пособия разбит на параграфы. Каждая 

из них содержит краткую теорию, основные определения и 
формулы. Подробный разбор решения типовых задач 
сопровождается иллюстрациями. Задания для аудиторной 
работы и для самостоятельного решения соответствуют 
разобранным в параграфе. Все предложенные задания 
снабжены ответами; наиболее трудные - указаниями к 
решению. Пособие содержит большое количество задач, 
отражающих связь математики с другими дисциплинами. 

В пособии предусмотрен контроль знаний в форме 

типового расчета (30 вариантов по 6 задач в каждом) и дан 
образец выполнения индивидуального задания. 

Наличие электронной версии данного пособия на 

портале МИИТа делает его максимально доступным для 
студентов всех форм обучения. 

 
 
 
 

Введение 

Кратные интегралы 

Как известно [3, гл. IX], функцию двух переменных  


,
u
u x y

можно 
дифференцировать 
по 
каждому 

аргументу, полагая при этом другой аргумент постоянным. 
Для нее могут быть найдены частные производные любого 
порядка. 
Особый 
интерес 
представляют 
смешанные 

производные  второго порядка.  Они равны между собой 

''
''

xy
yx
u
u

 
и 
отличаются 
только 
последовательностью 

дифференцирования. Возможно и обратное действие – 
восстановление функции 


,
u x y  по ее смешанным 

производным 
путем 
последовательного 
двукратного 

интегрирования: сначала по y , а затем по x или сначала по 
x , а затем по y . При этом справедливы все приемы 
интегрирования, 
применяемые 
для 
функции 
одной 

переменной [3, гл. VII]. 

Однако для инженерных задач важен не сам процесс 

восстановления функции как таковой, а вычисление 
различных геометрических и физических величин с 
помощью 
кратных 
интегралов, 
поэтому 
широкое 

применение нашли определенные кратные интегралы 
различных типов: двойные, тройные, криволинейные, 
поверхностные. 

Общая схема нахождения величины  
с помощью определенных интегралов 

Для всех типов определенных интегралов сохраняется 

один и тот же подход к вычислению искомой величины 
(площади, объема, массы и т.д.) как предела интегральной 
суммы. 

Суть его заключается в следующем. 

1. Искомую величину разбивают на большое число 

малых элементов. 

2. Вычисляют приближенное значение (главную 

часть) каждого элемента. 

3. Суммируют эти частичные значения, т.е. находят 

интегральную 
сумму, 
которая 
представляет 
собой 

приближенное значение всей искомой величины. 

4. Находят предел этой интегральной суммы, который 

и дает точное значение искомой величины. 

Если 
интегральная 
сумма 
распространяется 
на 

прямолинейный отрезок изменения одной переменной x , 
то получаем простой (или обыкновенный) определенный 
интеграл. 
В 
более 
сложных 
задачах 
определенные 

интегралы находятся вполне аналогично и отличаются друг 
от друга, в основном, областью интегрирования. Двойной 
интеграл 
получаем, 
если 
интегральная 
сумма 

распространяется на плоскую область двух переменных; 
тройной – соответственно, на пространственную область 
трех переменных; криволинейный – если вдоль дуги 
кривой; поверхностный – если интегрирование ведется по 
некоторой поверхности. 

Глава I. Двойной интеграл 

§1.1. Задачи, приводящие к двойному интегралу 

Объем цилиндрического тела. 
Найти 
объем 
V вертикального 
цилиндроида, 

ограниченного 
сверху 
непрерывной 
поверхностью 



y
x
f
z
,

, снизу - замкнутой областью D , с боков – 

цилиндрической 
поверхностью, 
образующая 
которой 

перпендикулярна  плоскости xOy , а направляющей служит 
граница области D . 

Отметим, что для такого тела основание D  является 

проекцией поверхности 


y
x
f
z
,

 на плоскость xOy . 

Для вычисления объема применим общую схему. 
1. Разобьем цилиндроид объема V на большое число 

элементарных 
цилиндроидов 
iV



n
i
,...,
2 ,1

 
с 

горизонтальным основанием 
iS

. Сверху каждый такой 

цилиндроид (один из них показан на рис 1.1) ограничен 
частью 
поверхности 


y
x
f
z
,

. 
В 
совокупности 















n

i

i
n
V
V
V
V
V

1

2
1
...
. 

 

Рис. 1.1 

2. Вычислим 
*
iV

 - приближенное значение (главную 

часть) объема 
iV

. Для этого элементарный цилиндроид 

заменим элементарным прямым цилиндром с тем же 
самым основанием 
iS

,  но с постоянной высотой 
i
H . В 

прямом цилиндре верхнее основание параллельно нижнему 
основанию, поэтому 
i
i
i
H
S
V




*
. 

В качестве высоты 
i
H  примем 


i
i
i
i
y
x
f
N
М
,

, т.е. 

значение 
функции 


y
x
f
z
,

 
в 
точке 


i
i
i
y
x
M
,
, 

расположенной внутри площадки 
iS

. Если площадка 

невелика, 
то 
можно 
приближенно 
принять 



i
i
i
i
i
S
y
x
f
V
V






,
*
. Таким образом, пренебрегаем 

изменением высоты цилиндра на площадке 
iS

.  

3. Найдем приближенное значение объема всего 

цилиндроида: 



i

n

i

i
i

n

i

i

n

i

i
S
y
x
f
V
V
V













1
1

*

1

,
. 

Полученная 
сумма 
называется 
интегральной 

суммой, т.к. она распространяется на всю область D . 

4. 
Интегральных 
сумм 
может 
быть 
получено 

бесчисленное множество, в зависимости от способа 
разбиения области D  на элементарные площадки 
iS

 и от 

выбора точек 
i
M  в них. Если количество площадок 

неограниченно возрастает 




n
, а максимальные 

линейные размеры их становятся сколь угодно малы 


0
max


id
d
 то в пределе получим точную формулу 

для объема цилиндра: 






i

n

i

i
i

d
n
S
y
x
f
V









1
0

,
lim
.                       (1.1) 

Масса плоской пластинки. 

Рис. 1.2 

Найти массу m  плоской пластинки D , зная, что ее 

поверхностная плотность


M

 
 непрерывно зависит от 

координат точки 

y
x,
. 

Вычисления проведем в соответствии с общей 

схемой. 

1. Разобьем пластинку D  на n  элементарных частей 

площадью 
iS



n
i
,...,
2 ,1

. В каждой части возьмем 

произвольную точку 


i
i
i
y
x
M
,
 и вычислим плотность в 

ней: 



i
i
i
y
x
M
,



. Если область 
iS

 достаточно мала, то 

плотность в ее пределах можно считать постоянной, 
равной 

i
M

. 

2. Приближенно найдем массу элементарной области 



i
i
i
i
S
y
x
m




,

. 

3. Просуммируем 
i
m

 и найдем приближенное 

значение массы m  всей пластинки: 

 

 Поверхностной плотностью распределения массы в точке M
пластинки называется предел отношения массы площадки 
m

, 

содержащей точку M , к ее площади 
S

, когда эта площадка 

стягивается к точке M : 

S
m
M

S






0
lim

. 



i

n

i

n

i

i
i
i
S
y
x
m
m








1
1

,

 

4. Точное значение массы получим как предел 

интегральной 
суммы 
при 
условии, 
что 


n
 
и 

0
max

id
: 






i

n

i

i
i

d

n
S
y
x
m

i


∑

1
0
max

,
lim








.                    (1.2) 

§1.2. Определение двойного интеграла 

Рассмотренные задачи приводят к однотипным 

интегральным суммам. Обобщая ход рассуждений, дадим 
определение двойного интеграла. 

Если функция 


y
x
f
z
,

 непрерывна в некоторой 

замкнутой плоской области D , и если: 

1) разбить эту область произвольным способом на n  

частичных областей с площадями 
1
S

, 
2
S

, …, 
n
S

; 

выбрать в каждой из них по одной произвольной 

точке 
1
M , 
2
M , …, 
n
M  и вычислить значения функции  



i
M
f
 в этих точках; 

2) найти произведения 

i
i
S
M
f


; 

3) 
составить 
сумму 
произведений 





i

n

i

i
i
i

n

i

i
S
y
x
f
S
M
f










1
1

,
, то 
полученная сумма 

называется интегральной суммой по области D ; 

4) для всякой данной функции 


y
x
f
,
 и всякой 

данной 
замкнутой 
области 
D  
можно 
составить 

бесчисленное множество различных интегральных сумм в 
зависимости от способа разбиения области D  на n  
частичных областей и от выбора в них точек 
i
M .