Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
Российский университет транспорта
Год издания: 2018
Кол-во страниц: 288
Дополнительно
Вид издания:
Учебно-методическая литература
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
Артикул: 788069.01.99
Учебно-методическое пособие включает в себя три темы, изучаемые в курсе высшей математики: "Определители, матрицы, системы линейных уравнений”, "Векторная алгебра”, "Элементы аналитической геометрии”.
При составлении учебно-методического пособия автор опирался на материалы лекций, написанных на основе опыта преподавания в РУТе .Учебно-методическое пособие предназначено для студентов первого курса, а также для преподавателей высшей математики.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 13.03.01: Теплоэнергетика и теплотехника
- 15.03.01: Машиностроение
- 20.03.01: Техносферная безопасность
- 23.03.02: Наземные транспортно-технологические комплексы
- 27.03.04: Управление в технических системах
- 27.03.05: Инноватика
- ВО - Специалитет
- 10.05.01: Компьютерная безопасность
- 23.05.03: Подвижной состав железных дорог
- 23.05.05: Системы обеспечения движения поездов
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» «Институт транспортной техники и систем управления» Кафедра «Высшая и вычислительная математика» Л. В. Пугина ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебно-методическое пособие по высшей математике Москва - 2018
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Кафедра «Высшая и вычислительная математика» Л. В. Пугина ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебно-методическое пособие для студентов технических специальностей ИТТСУ Москва - 2018
УДК-514 П-88 Пугина Л.В. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Учебно-методическое пособие. – М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 288 с. Учебно-методическое пособие включает в себя три темы, изучаемые в курсе высшей математики: “Определители, матрицы, системы линейных уравнений”, “Векторная алгебра”, “Элементы аналитической геометрии”. При составлении учебно-методического пособия автор опирался на материалы лекций, написанных на основе опыта преподавания в РУТе .Учебно-методическое пособие предназначено для студентов первого курса, а также для преподавателей высшей математики. В составлении учебно-методического пособия принимали участие студенты группы ТКИ-211: Абрамова И.С., Ищенко Л.А., Петржиковский В.Д., Рахими А.Г., Тимохина А.А. Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Прикладная математика-1» Зверкина Г.А. © РУТ (МИИТ), 2018
СОДЕРЖАНИЕ ЛИТЕРАТУРА ............................................................................... 5 §1.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ .................................................................................... 6 §2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ n-ГО ПОРЯДКА ................................. 14 §3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ПРАВИЛО КРАМЕРА ..................................................................................... 20 §4. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ....................... 26 §5. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ................................................................................... 33 §6. РАНГ МАТРИЦЫ ................................................................ 36 §7. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ ............................. 47 §8. МЕТОД ГАУССА ................................................................. 53 §9. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ ... 67 §10. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ ......... 71 §11. ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ ................................... 81 §12. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ .................................................................................. 91 §13. БАЗИС. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО БАЗИСУ ..... 93 §14. ДЕКАРТОВАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ ....................................................................... 96
§15. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТАХ ..................................................................... 103 §16. ДЛИНА И НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ ВЕКТОРА. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ ............................................. 106 §17. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ................................ 114 §18. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ................................. 118 §19. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ............................. 128 §20. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ ....................................... 143 §21. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ ........................................................................... 147 §22. УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ .......... 151 §23. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ......................................... 158 §24. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ............................ 198 §25. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ .................................... 212 §26. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ..................................... 237 §27. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА ................................. 242 §28. ПОНЯТИЕ ОБ ИССЛЕДОВАНИИ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА ............................................................ 263 §29. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ. КАНОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ ............................................................................. 268 §30. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА .................. 271
ТЕМА: ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, МАТРИЦЫ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В данной работе изучаются некоторые вопросы линейной алгебры. Исторически первым разделом линейной алгебры была теория линейных уравнений. В связи с решением систем линейных уравнений возникло понятие определителя. Впервые определитель использовался Лейбницем в 1693 году, затем Крамером - в 1750 году. В 1869 году был предложен метод Гаусса для практического вычисления решения систем линейных уравнений. В связи с изучением линейных систем и определителей появилось понятие матрицы. Мы рассмотрим в этой теме определители, матрицы и действия над ними, системы линейных уравнений и решение их различными способами. ЛИТЕРАТУРА К ТЕМЕ 1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. Глава ХУ11,§1-7 2. Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. §1.6,1.7,1.9. 3. Гурский Е.И. и др. Руководство к решению задач по высшей математике. Часть 1,1.1-1.3. 4. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1, глава 4,§4-5. 5. Болгов В.А. и др. Сборник задач по математике для Вузов. Часть 1. Линейная алгебра и основы математического анализа. Глава 3,§1,3. 6. Лавров Ю.К., Улановский М.А. Краткий курс высшей математики. §2.5,9.1-9.6.
§1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА. В этом параграфе мы рассмотрим понятие определителя матрицы, свойства определителя. Понятие матрицы Опр. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, расположенных в виде нескольких строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Примеры матриц: А = ( 2 −1 1 3 3 0) В = (5 −5 1 1,2) Опр. Если число строк в матрице равно числу её столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк называется порядком матрицы. Обычно матрицы обозначаются большими буквами: А, В,… . Элементами матрицы А обозначаются малыми буквами 𝑎𝑖𝑗 , где первый индекс i –обозначает номер строки элемента, а второй индекс j- номер столбца. Например, матрица А второго порядка записывается в виде:
А = (𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22) Определитель второго порядка Опр. Определителем матрицы второго порядка (𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22) называется число: |𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22| = 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21 Здесь 𝑎11𝑎22 – произведение элементов главной диагонали матрицы 𝑎21𝑎12 – произведение элементов побочной диагонали. Пример. | 5 2 −1 3| = 5 ∗ 3 − 2 ∗ (−1) = 15 + 2 = 17 Определитель третьего порядка Рассмотрим матрицу третьего порядка: ( 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 ) Опр. Определителем матрицы третьего порядка называется число: | 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 |=
= 𝑎11𝑎22𝑎33 + 𝑎12𝑎23𝑎31 + 𝑎13𝑎21𝑎32 − 𝑎13𝑎22𝑎31
− 𝑎11𝑎23𝑎32 − 𝑎12𝑎21𝑎33
Для запоминания этой формулы использует «правило
треугольников»: три произведения элементов матрицы на
левой схеме ниже входят в формулу со своим знаком, а три
произведения
элементов
на
правой
схеме
–
с
противоположным знаком.
«+» «-»
Пример:
|
1
2
−1
0
1
3
2
−5
4
| =
= 1 ∗ 1 ∗ 4 + 0 + 2 ∗ 2 ∗ 3 − (−1) ∗ 1 ∗ 2 − (−5) ∗ 3 ∗ 1 − 0
= 4 + 12 + 2 + 15 = 33
Свойства определителя
Будем формулировать и доказывать свойства для
определителя третьего порядка, так как для определителя
второго порядка аналогичны. Заметим, что определителем
матрицы первого порядка, состоящего из одного элемента,
называется сам этот элемент.
Определитель матрицы обозначается ǀAǀ или detA.
Свойство 1. Определитель не изменится, если каждую строку определителя заменить на столбец с тем же номером, т.е. | 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 | = | 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎13 𝑎23 𝑎33 | Док-во: Применим «правило треугольников» для первого определителя получим: 𝑎11𝑎22𝑎33 + 𝑎12𝑎23𝑎31 + 𝑎13𝑎21𝑎32 − 𝑎13𝑎22𝑎31 − 𝑎11𝑎23𝑎32 − 𝑎12𝑎21𝑎33 Сравним это с выражением для левого определителя согласно определению. Видим, что определители равны. Замечание. Свойство 1 означает равноправность строк и столбцов. Поэтому остальные свойства можно формулировать и доказывать только для строк или только для столбцов. Свойство 2. Если в определителе поменять местами две строки, то определитель изменит знак, не изменившись по абсолютной величине. Например, при перестановке первой и второй строк будет равенство: | 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 | = − | 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎31 𝑎32 𝑎33 | Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.
Свойство 4. Если все элементы какой-то строки определителя имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя. Например: | 𝑘𝑎11 𝑘𝑎12 𝑘𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 |=k| 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 | Свойства 2,3,4 доказываются с помощью «правила треугольников». Пример: | 10 5 −15 2 1 0 4 2 −6 |=2*| 10 5 −15 2 1 0 2 1 −3 |=2*5| 2 1 −3 2 1 0 2 1 −3 |= =10*0=0 Свойство 5. Если все элементы какой-то строки определителя равны нулю, то этот определитель равен нулю. Это свойство есть частный случай свойства 4 при K=0 Свойство 6. Если в определителе соответствующие элементы двух строк пропорциональны, то определитель равен нулю. Например: | 𝑘𝑎11 𝑘𝑎12 𝑘𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 |=0
Док-во. Т.к. элементы двух строк определителя пропорциональны, то элементы одной из них получаются умножением соответствующих элементов другой на некоторой общий множитель. Например, в последнем определителе элементы первой строки получены умножением второй строки на один и тот же множитель k. По свойству 4 общий множитель k можно вынести за знак определителя. Тогда получится определитель с двумя одинаковыми строками, он равен нулю по свойству 3. Свойство 7. Определитель не изменится, если ко всем элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число. Например: | 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 | = | 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 + 𝑘𝑎11 𝑎32 + 𝑘𝑎12 𝑎33 + 𝑘𝑎13 | Миноры и алгебраические дополнения Опр.Минором элемента данного определителя называется определитель меньшего порядка, полученный вычёркиванием той строки и того столбца данного определителя на пересечении которых расположен этот элемент. Минор элемента 𝑎𝑖𝑗 обозначается 𝑀𝑖𝑗 Опр.Алгебраическое дополнение элемента 𝑎𝑖𝑗определяется формулой: