Векторная алгебра и аналитическая геометрия

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ 

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ  

ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 

__________________________________________ 

 

Кафедра 

«Высшая и вычислительная математика» 

 
 

Е.П.Корольков 

 
 
 

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 

 

 

 

Конспект лекций 

 
 
 
 
 
 
 

Москва - 2018 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ 

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ  

ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 

__________________________________________ 

 

Кафедра 

«Высшая и вычислительная математика» 

 
 

Е.П.Корольков 

 
 
 

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 

 

 

 

Конспект лекций 

для студентов первого курса 

специальности «Вагоны и вагонное хозяйство» 

 
 
 
 
 

Москва - 2018 

УДК 514 
К – 68 
 
Корольков Е.П. Векторная алгебра и аналитическая 
геометрия: Конспект лекций для студентов 
первого курса. –М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 56 с. 
 
 

       Конспект лекций составлен по материалам 
лекций по высшей математике, прочитанных в течение 
сорока лет студентам специальности «Ва-
гоны и вагонное хозяйство». В настоящем курсе 
рассматриваются понятия вектора, действия над 
ними, линейная комбинация векторов, их зависи-
мость и независимость, базис, система координат. 
В аналитической геометрии вводятся понятия ли-
нии и поверхности, дается определение их уравне-
ний. Рассматриваются решения основных геомет-
рических задач.  Применение рассматриваемых 
понятий иллюстрируются рисунками и приме-
рами.  Конспект может быть использован студен-
тами других специальностей. 
 
Рецензенты: профессор кафедры «Прикладная ма-
тематика 1»  РУТ (МИИТ) д.ф.-м.н. Волосов Кон-
стантин Александрович; 

профессор, главный научный сотрудник Феде-
рального исследовательского центра «Информа-
тика и управление»  РАН  
д.ф.-м.н. Дружинина Ольга Валентиновна  
    
 
 
 
© РУТ (МИИТ), 2018 

 

Оглавление 

Лекция 1. .............................................................. 5 

§1 Основные понятия и определения ................... 6 

§2 Действия с векторами........................................ 7 

Лекция 2 ............................................................... 9 

§3 Линейная комбинация и линейная 
независимость векторов ......................................... 9 

§4 Базис. Действия с векторами, заданными в 
базисе ..................................................................... 12 

Лекция 3 ............................................................. 14 

§5 Декартова система координат ........................ 14 

§6 Определение координат вектора по 
координатам его начала и конца.Деление отрезка 
в заданном отношении. ........................................ 16 

Скалярное, векторное и смешанное произведения ... 18 

Лекция 4 ............................................................. 18 

§7 Скалярное  произведение векторов ............... 19 

Лекция 5 ............................................................. 22 

§8 Векторное произведение ................................. 22 

§9 Смешанное произведение трех векторов. ..... 24 

Лекция 6 ............................................................. 28 

§10 Понятие уравнения геометрического тела .. 28 

§11. Уравнение плоскости и прямой на плоскости
 ................................................................................ 30 

§12. Взаимное расположение плоскостей. 
Взаимное     расположение прямых на плоскости.
 ................................................................................ 32 

Лекция 7. ............................................................ 34 

§13 Расположение плоскостей в зависимости от 
коэффициентов уравнения Ax + By + Cz + D = 0
 ................................................................................ 34 

§14 Векторно – параметрическое уравнение 
прямой в пространстве ......................................... 38 

Лекция 8 Канонические уравнения прямой в 
пространстве и на плоскости............................ 40 

§15 Частные уравнения прямой на плоскости ... 40 

§16 Взаимное расположение прямых в 
пространстве. ......................................................... 44 

Лекция 9 ............................................................. 47 

§17 Прямая в пространстве как пересечение двух 
плоскостей ............................................................. 47 

§18 Уравнение плоскости и прямой на плоскости 
в нормальном виде ................................................ 48 

Лекция 10 ........................................................... 50 

§19 Применение теории векторной алгебры и 
аналитической  геометрии для решения 
некоторых задач .................................................... 50 

 

 

Введение 
Лекция 1.  

Величиной называется все то, что может 

быть измерено и выражено числом. Например: 
температура, скорость, объём, напряжение, сила и 
т.д. 

Если величину можно характеризовать числом, 
то она называется скалярной. Если же для характеристики 
необходимо указать еще направление, 
то она называется векторной. 

Величины могут быть постоянными и переменными. 
Постоянной называется величина, которая 
в процессе не меняет своего значения. Посто-
янные величины принято обозначать первыми 
прописными буквами латинского алфавита – a, b, 
c, d,….. Если постоянная величина векторная, то 
сверху буквы ставится стрелка - 
b
a


,
и т.д. Пере-

менные  величины – последними буквами латин-
ского алфавита – x, y, z, t, u ,…… 

(
u
y
x



,
,
и т.д.). В книжных изданиях нередко 

векторы обозначают жирным шрифтом без 
стрелки сверху a, b, c, x, y, z и т.д. 

Разрабатывая математический аппарат, ме-

тоды вычисления, величины абстрагируются от 
физического смысла, т.е. не принимают во внима-
ние физический смысл величин. В результате ма-
тематический аппарат может быть применен в лю-
бых отраслях науки и техники. 
Векторная алгебра 

§1 Основные понятия и определения   

Вектором называется направленный отре-

зок. Исходя из определения, вектор характеризу-
ется длиной (модулем) и направлением.  Направ-
ление  вектора можно указывать началом и кон-
цом его, обозначая их заглавными буквами, при-
чем первая соответствует началу, а вторая – концу 

вектора, например AB  (рис.1) или AB.Модуль 
вектора обозначают как абсолютную величину |
AB |, |AB|. 

 Нулевой вектор имеет нулевую длину и все 

возможные направления.       

  Вектор, имеющий длину равную единице, 

называется единичным. 
Два вектора, лежащих на параллельных прямых, 
называются коллинеарными (рис.2). Нулевой век-
тор является коллинеарным       любому   вектору. 
Три вектора называются компланарными, если 
они лежат в параллельных плоскостях или в одной 
плоскости. Два вектора называются равными, если   
равны их модули  и они имеют одинаковое 
направление  (сонаправлены) 
.b
a



 Два  вектора 

противоположного направления и равной длины 
называются противоположными.  В математике, 
физике и технике различают три типа векторов: 
свободный, который можно переносить в любую 
точку пространства не меняя длины и направле-
ния, скользящий - переносится вдоль своего 
направления                             

и закрепленный – его нельзя переносить. В мате-
матике оперируют только со свободными векто-
рами.  

 

§2 Действия с векторами 

Умножение вектора на скаляр. Произведе-

нием вектора на скаляр называется вектор, модуль 
которого в скаляр раз больше или меньше модуля 
(данного) умножаемого вектора, сонаправленный 
с ним, если скаляр положительный, и противопо-
ложно направленный, если скаляр отрицательный. 

Пусть задан вектор a. Тогда произведением 

его на скаляр λ будет вектор  

                     b



= λ a(рис.3). 

Рассмотрим свойства произведения вектора на 
скаляр: а) сочетательное по отношению к    
произведению нескольких скаляров µ(λa)=(µλ) a.  
б) Если два вектора коллинеарны, то найдется   
скаляр, причем единственный, равный  
частному  модулей векторов. Знак скаляра зависит 
от                                                направления векторов: 

λ =

b

a




. 

AB

b
a
B

A

c
a = b = -c

Рис.2
Рис.1

Сложение векторов. Суммой двух упорядо-

ченных векторов называется третий вектор, 
начало которого находится в начале первого век-
тора, а конец- в конце второго, перенесенного так, 
что его начало совпадает с концом первого век-
тора (рис.4). 

Рассмотрим свойства сложения. Сложение 

обладает:1). переместительным свойством 
b
a



= 

b


+ a.  

2.Распределиельным свойством λ(
b
a



+c) =  

= λ a +λb



+ λc

 

b=λ· a 

( λ<0)

b=λ· a

( λ>0)
a

Рис.3

3.Сочтательным свойством 
b
a



+ c

=(
b
a



)+c

=
b
a



(


+ c) 

Доказательства свойств сложения хорошо 

представлены геометрически на рис.5(а.б.в). 

Разностью двух векторов называется сумма 

уменьшаемого вектора и противоположного вы-
читаемому
b
a



 

 
Лекция 2 
§3 
Линейная 
комбинация 
и 
линейная 

независимость векторов 

Пусть 
дана 
некоторая 
совокупность 

векторов a1, a2,a3,a4…., aк.  Линейной комбинацией 
совокупности 
векторов 
называется 
сумма 

произведений векторов на некоторые скаляры: 
λ1a1+λ2a2+λ3a3+λ4a4+……….+λkak. 

Рис.4

Совокупность векторов называется линейно 

независимой, если ее линейная комбинация равна 
нулю когда все скаляры равны нулю, т.е. когда 
выполняется условие 
0
.......
2
2
3

2
2

2
1





к




 и 

линейно зависимой, если ее линейная комбинация 
равна нулю при каких – либо двух отличных от 
нуля скалярах λi, λj(i≠j).  
Допустим, 
что 

некоторый 
вектор 
b 
является 
линейной 

комбинацией 
совокупности 
векторов 
aк, 

(к=1,2,……,к) т.е. 

  
 
b= 

λ1a1+λ2a2+λ3a3+λ4a4+……….+λkak. 
В этом случае говорят, что вектор b разложен по 
векторам ai (i = 1,2,3,…..,k), а скаляры разложения 
λi (i=1,2,…..,k) называются Теорема1 

 Любой вектор на плоскости может быть 

разложен по двум неколлинеарным векторам. 

Доказательство. Пусть два вектора e1, e2 

неколлинеарны и произвольный вектор  a= ОМ. 
Перенесем векторы e1, e2 так, чтобы их начала 
совпали с точкой О. Через точку М проведем 
прямые паралельные векторм e1, e2 до пересечения 
с соответствущими прямыми в точках P и Q. 
Образуем векторы OPиOQ. Нетрудно видеть 
(рис.6), что вектор OP = QM и 
 

 
OM = OP + OQ 
                   (1)

 
Из рисунка 6 видна коллинеарность 

векторов OP||e1 иOQ||e2. Следовательно, согласно 
второму свойству умножения вектора на скаляр,  
найдутся такие скаляры λ и µ , что будут 
выполняться равенства                   

 

P  =  λe1, 
                                                         (2) 

           OQ  =  µ e2.                                         (3)  
Подставляя равенства (2,3) в (1), получим 

доказательство теоремы: 

  
a =  OM = λe1 + µ e2. 

Случай, 
когда 
произвольный 
вектор 

коллинеарен одному из векторов e2  или e1 или 
совпадает с ним, очевиден. 
Теорема 2 
 
Любой вектор в пространстве может быть 

разложен по трем не компланарным векторам 

Доказательство этой теоремы аналогично 

предыдущей, учитывая, что прямая параллельная 
третьему вектору e3 проводится через конец 

a)
б)

b
a




a

b


a


b




)
(
b
a




в)

Рис 5