Производная

 

 

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное автономное 

образовательное учреждение высшего 
образования «Российский университет 

транспорта» 

__ 
 
Кафедра «Высшая и вычислительная математика» 

 
 
 
 

М.Г. Гиоргадзе, Л. В. Пугина 

 
 

Производная 

 
 
 
 

Учебное пособие 

 

 
 
 
 

 
 

Москва – 2020 

 

 

 

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное автономное 

образовательное учреждение высшего образования 

«Российский университет транспорта» 

_______________________________________________ 
 

Кафедра «Высшая и вычислительная математика»  

 
 
 

М.Г. Гиоргадзе, Л.В. Пугина 

 
 

Производная 

 

 

 

Учебное пособие 

 
               

для студентов  1 курса ИТТСУ 

 
 
 
 
 
 
                                         

Москва – 2020 

 
 

 

 

УДК 517 
Г 46 

 
 
 
Гиоргадзе М.Г., Пугина Л.В.  Производные: Учебное 
пособие. - М.: РУТ (МИИТ), 2020. -  113 с. 

 

 
 

 

                     Данное учебное пособие ставит своей целью помочь 

студенту самостоятельно овладеть методами решения 
задач из курса «Высшей математики» по разделу 
«Математический 
анализ». 
Предложены 
тесты 
по 

дифференцированию, на нахождения производных от 
суммы, произведения, деления функций, от сложных 
функций, функции, заданных в параметрическом виде, 
функции заданных неявно. 

 
 
 
 
 
Рецензенты: 
доцент кафедры «Прикладная математика1» РУТ       

  (МИИТ) кандидат физико- математических наук    
  Зверкина Галина Александровна. 

доцент кафедры «Высшая математика» ЮЗГУ, к.т.н.  

  Скрипкина Е.В. 

 

                                                            © РУТ (МИИТ), 202

Производная, её геометрический и 

механический смысл 

           Пусть функция 
  определена в 

окрестности точки 
 .Рассмотрим  
 - приращение 

аргумента в точке 
и                

– приращение 

функции в точке
. 

       Составим 
отношение 
приращения 
функции 
к 

приращению аргумента при 
 : 

 

 

 
Определение: 

      Производной функции 
   в точке   

называется   предел отношения приращения 

функции к приращению аргумента, когда приращение 
аргумента стремится к нулю ( при условии, что этот предел 
существует и конечен). 

Обозначение: производная функции в точке 
 : 

 

 
Таким образом, по определению: 

       (1) 

Или 

 

 

   Если для некоторого множества точек 
 существует 

производная функции в этих точках, то определена 

функция аргумента  
  , называемая производной 

функции.  

Таким образом, производная функции  
  в 

точке  
есть значение производной функции в этой 

точке. 
     Операция 
нахождения 
производной 
называется 

дифференцированием. 
 
Пример: Найти согласно определению производную 

функции  
  в точке   
. 

 
Решение: 

Придавая аргументу в точке  
 приращение 
 , найдѐм 

соответствующее приращение функции: 
 

           
 
Составим отношение приращения функции к приращению 
аргумента: 

 

Найдѐм предел этого отношения при 
 : 

Следовательно, производная функции   f(x)=
    в точке  

 существует и равна числу 2
  , записывают: 

 

 

 
Установлена формула: 

 

 
      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 

Геометрический смысл производной 

 

Рассмотрим график функции 
   в окрестности 

точки  
 . 

 

 

 
 

Пусть точка 
  на графике функции соответствует 

значению аргумента 
, а точка  M - значению аргумента 

 

Проведѐм через точки 
  и M  прямую, она называется 

секущей. Пусть  
 - угол наклона прямой к оси Ox ( угол 

наклона отсчитывается от положительного направления 
оси  Ox и считается положительным, если поворот 
положительной полуоси  Ox  до совпадения с одним из 
направлений прямой происходит против часовой стрелки). 

Тогда угловой коэффициент секущей 
  M  равен: 

 

Касательной к графику функции в точке 
    называется 

предельное положение секущей 
  M, когда точка M на   

графике стремится к точке 
  

(  
 ). 

Если производная в точке 
 существует, то существует 

 

Поэтому существует касательная в точке 
 . Обозначим 

через  
- угол наклона касательной к оси Ox  . Тогда 

 

Следовательно,  

 

 
Выводы: 

1. Производная функции  
  в точке 
  

равна 
угловому 
коэффициенту 
касательной 
к 

графику функции в точке 
; 

2. Уравнение касательной к графику    функции   в 

точке с абсциссой  
 имеет вид: 

    (2) 

 
Заметим, 
что 
для 
записи 
уравнения 
касательной 

использовалось уравнение прямой, проходящей через 
данную точку и имеющей данный угловой коэффициент: 

Пример: 
Составить уравнение касательной к графику функции  

   в точке с абсциссой  
. 

 
Решение: 

Вычислим производную функции: 
 

Подставим в уравнение (2) 
 
 

 
 
Получим: 
 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

Механический смысл производной 

 
     Пусть материальная точка движется по прямой в одном 

направлении, и пусть в момент времени  
 она 

находилась в некоторой точке 0 на этой прямой. 
 

Обозначим через  
 - путь, пройденный 

материальной точкой за время  
и отсчитываемый от 

точки 0. 

Пусть 
  - некоторый момент времени, а  
 

последующий момент времени. Тогда за отрезок времени  

  материальная точка пройдѐт путь 

равный 
 

 

 
Средней скоростью точки за отрезок времени 

    
 называется отношение пути  
 ко 

времени  
 : 

 

 

Скоростью точки в момент времени 
или мгновенной 

скоростью называется предел средней скорости при 

  :