Определённый интеграл
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
Российский университет транспорта
Автор:
Сирош Мария Михайловна
Год издания: 2018
Кол-во страниц: 103
Дополнительно
Вид издания:
Учебно-методическая литература
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
Артикул: 788051.01.99
Учебно-методическое пособие предназначено для практических занятий и самостоятельной работы студентов направления «Экономика», обучающихся по дисциплине «Математический анализ». В пособии приводятся основные теоретические сведения об определённых интегралах, рассмотрены основные приёмы и методы вычисления определённых интегралов. Изложение материала подкреплено большим количеством разобранных примеров, в конце каждого пункта приводятся задачи для самостоятельного решения. Учебно-методическое пособие включает материал по теме «Определённый интеграл» и состоит из пяти глав: «Определенный интеграл и его свойства», «Вычисление определённых интегралов», «Несобственные интегралы», «Геометрические приложения определенного интеграла», «Приближённое вычисление определенного интеграла». Пособие предназначено для освоения на практике теории определённого интеграла, выработки навыков практического интегрирования, закрепления курса лекций, использования на семинарах и во время подготовки домашних заданий.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Министерство транспорта Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» ___________________________________________ КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М.М. СИРОШ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-методическое пособие Москва – 2018
Министерство транспорта Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М.М. СИРОШ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-методическое пособие для студентов направления 380301«Экономика» Москва – 2018
УДК 517 С 40 Сирош М.М. Определённый интеграл: Учебно- методическое пособие. – М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 103 с. Учебно-методическое пособие предназначено для практических занятий и самостоятельной работы студентов направления «Экономика», обучающихся по дисциплине «Математический анализ». В пособии приводятся основные теоретические сведения об определённых интегралах, рассмотрены основные приёмы и методы вычисления определённых интегралов. Изложение материала подкреплено большим количеством разобранных примеров, в конце каждого пункта приводятся задачи для самостоятельного решения. Учебно-методическое пособие включает материал по теме «Определённый интеграл» и состоит из пяти глав: «Определенный интеграл и его свойства», «Вычисление определённых интегралов», «Несобственные интегралы», «Геометрические приложения определенного интеграла», «Приближённое вычисление определенного интеграла». Пособие предназначено для освоения на практике теории определённого интеграла, выработки навыков практического интегрирования, закрепления курса лекций, использования на семинарах и во время подготовки домашних заданий. Рецензент: О.А. Платонова, к.ф.-м.н., доцент, зав. кафедрой «Высшая и вычислительная математика» РУТ (МИИТ). © РУТ (МИИТ), 2018
Глава 1. Определенный интеграл и его свойства 1.1. Определённый интеграл как предел интегральной суммы Пусть функция 𝑦 = f(𝑥) определена на отрезке [𝑎; 𝑏] и 𝑎 < 𝑏. 1. Разобьем отрезок [𝑎; 𝑏] на 𝑛 частичных отрезков [𝑥0; 𝑥1], [𝑥1; 𝑥2],…, [𝑥𝑛−1; 𝑥𝑛] с помощью точек 𝑥0 = 𝑎, 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥𝑛 = 𝑏, где 𝑥1 < 𝑥2 <…< 𝑥𝑛 (Рис. 1). Рис.1
2. В каждом частичном отрезке [𝑥𝑘−1; 𝑥𝑘], 𝑘 = 1, 2, …, 𝑛, выберем произвольную точку 𝜉𝑘 ∊ [𝑥𝑘−1; 𝑥𝑘] и вычислим значение функции в ней f(𝜉𝑘). 3. Найдем произведение f(𝜉𝑘)⋅∆𝑥𝑘, где ∆𝑥𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1. 4. Составим сумму 𝑆𝑛 всех таких произведений: 𝑆𝑛 = f(𝜉1)⋅∆𝑥1+ f(𝜉2)⋅∆𝑥2 + …+ f(𝜉𝑛)⋅∆𝑥𝑛 = =∑ 𝑓(𝜉𝑘) ⋅ ∆𝑥𝑘 𝑛 𝑘=1 . (1.1) 𝑆𝑛 называется интегральной суммой функции 𝑦 = f(𝑥) на отрезке [𝑎; 𝑏]. Обозначим λ = max ∆𝑥𝑘 (𝑘 = 1, 2, …, 𝑛). 5. Найдем предел 𝑆𝑛, когда 𝑛 → ∞ так, что λ → 0. Если при этом интегральная сумма 𝑆𝑛 имеет предел 𝑆, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [𝑎; 𝑏] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число 𝑆 называется определённым интегралом от функции 𝑦 = f(𝑥) на отрезке [𝑎; 𝑏] и обозначается ∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 𝑏 𝑎 . Таким образом, по определению,
∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝑛→∞
(𝜆 → 0)
∑
𝑓(𝜉𝑘) ⋅ ∆𝑥𝑘
𝑛
𝑘=1
(1.2.)
Числа 𝑎 и 𝑏 называются соответственно
нижним и верхним пределом, отрезок [𝑎; 𝑏] -
областью
интегрирования,
𝑓(𝑥)
–
подынтегральной
функцией,
𝑓(𝑥) ⅆ𝑥
–
подынтегральным выражением, 𝑥 – переменной
интегрирования.
Функция 𝑦 = f(𝑥), для которой на отрезке
[𝑎; 𝑏]
существует
определённый
интеграл
∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
, называется интегрируемой на этом
отрезке.
Теорема Коши (о существовании определённого
интеграла).
Если функция 𝑦 = f(𝑥) непрерывна на отрезке
[𝑎; 𝑏], то определённый интеграл ∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
существует.
Замечание. Непрерывность функции является
достаточным
условием
её
интегрируемости.
Однако
определённый
интеграл
может
существовать
и
для
некоторых
разрывных
функций, в частности для всякой ограниченной на
отрезке функции, имеющей на нем конечное число
точек разрыва.
Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определённый и неопределённый интегралы - это существенно различные понятия: в то время как ∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 представляет семейство функций, ∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 𝑏 𝑎 есть определённое число. Свойства определённого интеграла, непосредственно вытекающие из его определения 1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования: ∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑡) ⅆ𝑡 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑧) ⅆ𝑧 𝑏 𝑎 . 2. Определенный интеграл c одинаковыми пределами равен нулю: ∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 𝑎 𝑎 = 0. 3. Для любого действительного числа с: ∫ 𝑐 ⅆ𝑥 𝑏 𝑎 = с (𝑏 ⎼ 𝑎).
1.2. Геометрический смысл определённого
интеграла
Пусть
на
отрезке
[𝑎; 𝑏]
задана
непрерывная функция 𝑦 = f(𝑥) ≥ 0.
Фигура, ограниченная сверху графиком
функции 𝑦 = f(𝑥), снизу – отрезком [𝑎; 𝑏], сбоку -
прямыми 𝑥 = 𝑎 и 𝑥 = 𝑏, называется криволинейной
трапецией.
Действительно, произведение f(𝜉𝑘)⋅∆𝑥𝑘 в
(1.1) равно площади прямоугольника с основанием
∆𝑥𝑘
и
высотой
f(𝜉𝑘).
Сумма
всех
таких
произведений
f(𝜉1)⋅∆𝑥1+ f(𝜉2)⋅∆𝑥2 + …+ f(𝜉𝑛)⋅∆𝑥𝑛 =
= ∑
𝑓(𝜉𝑘) ⋅ ∆𝑥𝑘
𝑛
𝑘=1
= 𝑆𝑛
равна
площади
ступенчатой
фигуры
и
приближённо равна площади 𝑆 криволинейной
трапеции:
𝑆 ≈ 𝑆𝑛 = ∑
𝑓(𝜉𝑘) ⋅ ∆𝑥𝑘
𝑛
𝑘=1
.
С уменьшением всех величин ∆𝑥𝑘 точность
приближения
криволинейной
трапеции
ступенчатой фигурой и точность полученной
формулы увеличиваются. Поэтому за точное
значение площади 𝑆 криволинейной трапеции
принимается предел 𝑆, к которому стремится
площадь
ступенчатой
фигуры
𝑆𝑛,
когда
𝑛
неограниченно возрастает так, что
𝜆 = max ∆𝑥𝑘 → 0:
𝑆 = lim
𝑛→∞ 𝑆𝑛 = lim
𝑛→∞
(𝜆 → 0)
∑
𝑓(𝜉𝑘) ⋅ ∆𝑥𝑘
𝑛
𝑘=1
, то есть 𝑆 =
=∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
.
Итак,
определённый
интеграл
от
неотрицательной
функции
численно
равен
площади криволинейной трапеции.
1.3. Экономический смысл определенного
интеграла
Пусть
функция
𝑧 =
𝑓(𝑡)
описывает
изменение
производительности
некоторого
производства с течением времени. Тогда объем
продукции 𝑉, произведенной с момента 𝑡 = 0 до
момента 𝑡 = T, выражается интегралом от 𝑓(𝑡) на
отрезке [0; T]:
𝑉 = ∫ 𝑓(𝑡) ⅆ𝑡
T
0
. (1.3.)
Итак, если 𝑓(𝑡) – производительность труда в момент времени 𝑡, то ∫ 𝑓(𝑡) ⅆ𝑡 T 0 есть объем выпускаемой продукции за промежуток [0; T]. Приведем пример нахождения определённого интеграла на основании определения. Пример 1. Вычислить интеграл ∫ 𝑥2 ⅆ𝑥 1 0 как предел интегральной суммы. Решение. Запишем выражение для интегральной суммы, предполагая, что все отрезки [𝑥𝑘−1; 𝑥𝑘] разбиения имеют одинаковую длину ∆𝑥𝑘, равную 1 𝑛, где 𝑛 – число отрезков разбиения, причем для каждого из отрезков [𝑥𝑘−1; 𝑥𝑘] разбиения точка 𝜉𝑘 совпадает с правым концом этого отрезка, т. е. 𝜉𝑘 = 𝑥𝑘 = 𝑘 𝑛, где 𝑘 = 1, 2, …, 𝑛. (В силу интегрируемости функции 𝑦 = 𝑥2, выбор такого «специального» способа разбиения отрезка интегрирования на части и точек 𝜉1, 𝜉2, …, 𝜉𝑘 на отрезках разбиения не повлияет на искомый предел интегральной суммы). Имеем 𝑥0 = 0, 𝑥1 = 1 𝑛, 𝑥2 = 2 𝑛, ..., 𝑥𝑛−1 = 𝑛−1 𝑛 , 𝑥𝑛 = 1;