Кратные и криволинейные интегралы

Министерство транспорта Российской Федерации 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО   

ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»  

_________________________ 

 

Кафедра «Математический анализ» 

 

 

Д.Ю. Иванов, Д.Д. Захаров, В.Н. Деснянский  

 
 

КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ 

ИНТЕГРАЛЫ 

 

 

Учебноое пособие  

по дисциплине  

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» 

 

 

 

 

МОСКВА - 2020 

 
-1-

Министерство транспорта Российской Федерации 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО    

ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»  

_________________________ 

 

Кафедра «Математический анализ» 

 

 

Д.Ю. Иванов, Д.Д. Захаров, В.Н. Деснянский  

 

 

КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 

 

 

 

  Учебное пособие для студентов 

 всех строительных специальностей 

 

 

 

 

МОСКВА - 2020 

 

 
-2-

УДК 517.2 
И 20 

 
Иванов Д.Ю., Захаров Д.Д., Деснянский В.Н.  Кратные 

и криволинейные интегралы: Учебное пособие. – М.: РУТ 
(МИИТ), 2020. – 70 с. 

 
Учебное пособие включает в себя основные теоретические 
сведения о кратных и криволинейных интегралах и 
об их применении к решению технических задач. Приведены 
примеры с подробными решениями и пояснениями. 
Составлены задания для контроля усвоения учащимися 
пройденного материала. Настоящий материал традиционно 
изучается в рамках курса математического анализа после 
раздела «Интегральное исчисление функций одного переменного» 
на первом курсе в конце второго или начале третьего 
семестра. Пособие предназначено для студентов всех 
строительных специальностей. 
 

Рецензенты: 
Проф., д.ф.-м.н., Кузнецов С.В. 
Каф. «Строительной и теоретической механики», НИУ 
МГСУ 
 
Проф., д.ф.-м.н., Филимонов А.М.   
Каф. «Математическое моделирование и системный анализ», 
РУТ (МИИТ) 
    

 

 

                                              ©РУТ (МИИТ), 2020 

 
-3-

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

Оглавление.................................................................................
3

Введение.....................................................................................
4

1.
Двойной интеграл
5

2.
Двукратный интеграл
8

3.
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах


11

4.
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
22

5.
Тройной интеграл
28

6.
Вычисление тройного интеграла
32

7.
Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги)
41

8.
Вычисление криволинейного интеграла первого рода
44

9.
Криволинейный интеграл второго рода (по координатам)
49

10.
Вычисление криволинейного интеграла второго рода
53

11.
Формула Грина
59

12.
Криволинейные интегралы от полных дифференциалов
63

Заключение……….....................................................................
69

Список литературы....................................................................
70

 
 
 
 
 
 
 
 

 
-4-

Введение 

 

Основной целью настоящего издания является оказание 
помощи студентам в приобретении знаний и закреплении 
практических навыков по таким важнейшим в курсе 
математического анализа темам, связанным с интегральным 
исчислением функций нескольких переменных, как 
двойные интегралы и их вычисление в декартовых и полярных 
координатах, тройные интегралы и их вычисление 
в декартовых и цилиндрических координатах, криволинейные 
интегралы первого рода и их вычисление в декартовых 
и полярных координатах, криволинейные интегралы 
второго рода и их вычисление в декартовых координатах, в 
том числе с помощью формулы Грина и от полных дифференциалов. 
Краткое изложение теоретического материала 
сопровождается подробным разбором решения типовых 
задач. В конце каждой темы приведены варианты задач, 
предназначенных для обеспечения самостоятельной рабо-
той студентов по освоению материала. 

Изложенный материал находит применение в различ-

ных разделах как высшей, так и вычислительной матема-
тики, используется для составления программного обеспе-
чения, позволяет специализироваться на старших курсах в 
освоении различных методов расчета элементов конструк-
ций, основанных на знании математического анализа. 

 
-5-

1. Двойной интеграл 
 
Пусть D  – замкнутая (т.е. содержащая все точки гра-

ницы области) и ограниченная область в плоскости OXY , 
ее границей полагаем линию L . 

Пусть в области D  задана непрерывная функция 

( . )
z
f x y

. Разобьем область D  на n  частей: 

1
D

, 
2
D

, …, 
n
D

, 

которые будем называть пло-
щадками (см. рис. 1). Площади 
площадок будем обозначать 
1S

, 

2
S

, …, 
n
S

, соответственно. В 

каждой из площадок возьмем по 
точке, которые обозначим 
1P , 

2P , …, 
nP . Обозначим через 

1
( )
f P , 
2
(
)
f P , …, 
(
)
n
f P  значения функции 
( , )
f x y  в вы-

бранных точках и составим сумму произведений вида 

1
1
2
2
( )
(
)
...
(
)
n
n
n
V
f P
S
f P
S
f P
S







. 

Сумма 
n
V  называется интегральной суммой для функции 

( , )
f x y  в области D . 

Если 
( , )
0
f x y 
 в области D , то каждое слагаемое 

( )
i
i
f P
S

 есть область малого цилиндра, основанием кото-

рого является площадка 
iS

, а высота равна 
( )
i
f P  (см. 

рис. 2). Сумма 
n
V  есть сумма объемов указанных элемен-

тарных цилиндров, т.е. объем некоторого ступенчатого те-
ла. 

 
-6-

Рассмотрим 
по-

следовательность ин-
тегральных сумм 
n
V , 

которая возникает в 
результате неограни-
ченного измельчения 
области D  на части 

i
D

. 
Справедлива 

теорема: 

Теорема. 
Если 

функция 
( , )
f x y  непрерывна в замкнутой области D , то 

существует 
предел 
последовательности 
n
V  
при 

max
0
id 
, где max
id  – максимальный линейный размер 

площадок 
i
D

. Этот предел не зависит ни от способов раз-

биения области D , ни от выбора точек 
iP  внутри площа-

док 
i
D

. 

Этот предел называется двойным интегралом от 

функции 
( , )
f x y  по области D  и обозначается символом 

( , )

D

f x y dxdy

, при этом область D  называется областью 

интегрирования. Таким образом, 

max
0
1

( , )
lim
( )

i

n

i
i
d
i
D

f x y dxdy
f P
S








. 

Символ 
( , )

D

f x y dxdy

 отражает то обстоятельство, 

что разбиение области D  на площадки 
i
D

 может быть 

 
-7-

выполнено прямыми линиями, параллельными координатным 
осям OX  и OY . Тогда все площадки, кроме, быть 
может, лежащих на границе области D , имеют форму 
прямоугольников с длинами сторон 
ix
  и 
jy

 и имеют 

площади 
ij
i
j
S
x
y

  
. 

Если 
( , )
0
f x y 
 в области D , то двойной интеграл равен 
объему 
Q
V  цилиндрического тела Q , ограниченного 

сверху частью поверхности 
( , )
z
f x y

, снизу областью D , 

причем образующие боковой поверхности параллельны 
оси OZ , а направляющей служит граница L  области D : 

( , )
Q

D

V
f x y dxdy
 
.                                  (1) 

Если 
( , )
1
f x y  , то интегральная сумма 
n
V  равна сумме 
площадей площадок, на которые разбита область D , и 
поэтому при любом разбиении она равна площади 
D
S  области 
D : 

1
2
1
1
... 1
n
n
D
V
S
S
S
S
 
 

 

. 

Переходя в последнем равенстве к пределу max
0
id 
 и 

учитывая, что предел константы равен этой же константе, 
получаем формулу для вычисления площади области D : 

D

D

S
dxdy
 
.                                       (2) 

Рассмотрим некоторые свойства двойного интеграла. 
Свойство 1. Двойной интеграл от суммы двух функций 
по области D  равен сумме двойных интегралов по области 
D  от каждой из функций в отдельности: 

 
-8-



( , )
( , )
( , )
( , )

D
D
D

f x y
g x y
dxdy
f x y dxdy
g x y dxdy






. 

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить 

за знак двойного интеграла, а именно: если 
const
c 
, то 



( , )
( , )

D
D

c f x y
dxdy
c
f x y dxdy



. 

Свойство 3. Если область D  разбита на две области 

1
D   и 
2
D  и функция 
( , )
f x y  непрерывна во всех точках 

области D , то 

1
2

( , )
( , )
( , )

D
D
D

f x y dxdy
f x y dxdy
f x y dxdy





. 

Свойство 4. Если 
( , )
0
f x y 
, то 
( , )
0

D

f x y dxdy 

. 

 

2. Двукратный интеграл 
 
Пусть область D  такова, что всякая прямая, параллельная 
оси OY  и проходящая через внутреннюю точку 
области, пересекает границу области 
L  лишь в двух точках 
1
N , 

2
N  (см. рис. 3). Такая область 

называется 
правильной 
в 

направлении оси OY . При этом, 
вообще говоря, область D  ограничена 

графиками 
функций 

1( )
y
x
 
, 
2( )
y
x
 
 и прямыми 

x
a

, x
b

, причем 
1
2
( )
( )
x
x

 
, a
b

. Аналогично 

 
-9-

определяется область, правильная в направлении оси OX . 
Заметим, что область, изображенная на рис. 3, не является 
правильной в направлении оси OX . Область, правильная 
как в направлении оси OX , так и в направлении оси OY , 
называется просто правильной областью (например, правильными 
областями являются круг и любой выпуклый 
многоугольник). 

Пусть область D  правильная в направлении оси OY , а 

функция 
( , )
f x y  непрерывна в области D . Рассмотрим 

выражение 

2
2

1
1

( )
( )

( )
( )

( , )
( , )

x
x
b
b

D

a
x
a
x

I
dx
f x y dy
f x y dy dx











 







 
, 

называемое двукратным интегралом от функции 
( , )
f x y  

по области D . В этом выражении сначала вычисляется интеграл, 
стоящий в скобках, при этом интегрирование производится 
по переменной y , а величина x  считается постоянной. 
Таким образом, сначала получается функция от 
x : 

( )x



2

1

( )

( )

( , )

x

x

f x y dy




. 

Затем функция 
( )x

 интегрируется по x  от a  до b : 

( )

b

D

a

I
x dx
 

. 

В результате получается некоторое число 
D
I , которое и 

является двукратным интегралом. 

Пример. Вычислить двукратный интеграл: 

 
-10-




2
1

2
2

0
0

x

D
I
dx
x
y
dy




. 

Решение. Сначала получаем выражение 
( )x

, затем 

вычисляем 
D
I . 






2
2
3
2
3
6

2
2
2
2
2
4

0
0

( )
3
3
3
|

y x
x

y

x
y
x
x
x
y
dy
x y
x x
x





















  

1
1
6
5
7

4

0
0

1
1
26

3
5
21
5
21
5
|
D

x
x
x
I
x
dx




















. 

В данном случае область D  ограничена линиями 
0
y 
, 

2
y
x

, 
1
x  . 

Для вычисления двукратных интегралов может использоваться 
следующее свойство: 

Свойство. Если правильную в направлении оси OY  

область D  разбить на две области 
1
D  и 
2
D  прямой, параллельной 
оси OY , то двукратный интеграл 
D
I  по области 

D  будет равен сумме таких же интегралов по областям 
1
D  

и 
2
D , т.е. 

1
2
D
D
D
I
I
I


. 

Пример. Пусть область 

D  имеет вид: 

Здесь 
1( )
2
x
x


, 

2

(0
1)
( )
1
(1
2)

x
x
x
x





 




 (см. 

рис. 4). Область D  может