Введение в комплексный анализ и операционное исчисление. Часть 2

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

"РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТРАНСПОРТА (МИИТ)"

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

Кафедра "Математика"

А.В.Тюленев

ВВЕДЕНИЕ В КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ
И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ЧАСТЬ II

Учебное пособие

МОСКВА - 2018

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

"РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТРАНСПОРТА (МИИТ)"

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

Кафедра "Математика"

А.В.Тюленев

ВВЕДЕНИЕ В КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ
И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ЧАСТЬ II

Учебное пособие для студентов специальности
"Управление в технических системах"

МОСКВА - 2018

УДК 517
Т 98

Тюленев А.В. ВВЕДЕНИЕ В КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ И ОПЕРАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ. ЧАСТЬ II: Учебное пособие. - М.: РУТ (МИИТ), 2018 -
71 с.

Пособие является второй частью учебного пособия "Введение в комплексный
анализ. Часть I" и предназначено для студентов, обучающихся по специальности
"Управление в технических системах". Издание содержит теоретический
материал и задачи для изучения студентами основ теории функций комплексного
переменного.

Рецензенты:

О.А.Платонова, к.ф.-м.н., доцент, зав. кафедрой "Высшая и вычислительная
математика" РУТ (МИИТ)

Л.Б. Безруков, д.ф.-м.н., зав. лабораторией НИИ РАН.

c⃝РУТ (МИИТ), 2018

Глава 4

Некоторые классы
голоморфных функций

4.1
Дробно-линейные функции

Определение и примеры

О п р е д е л е н и е
4.1.1. Дробно-линейной функцией называется
отображение ϕ : C → C вида

ϕ(z) = az + b

cz + d ,
(4.1)

где a, b, c, d — некоторые фиксированные комплексные числа, причём ad −
bc ̸= 0 .

Последнее условие накладывается для исключения вырождения функции 
в постоянную: если ad − bc = 0 , то при c ̸= 0 и d ̸= 0 получаем
a
c = b

d = k и ϕ(z) ≡ k; если же c = 0 или d = 0, то либо знаменатель равен
0 (при c = d = 0) и отношение (4.1) не определено, либо или только c ̸= 0,
или только d ̸= 0 и отношение (4.1) опять равно константе.
Функция (4.1) определена для всех z ̸= − d

c при c ̸= 0 и для всех z ∈ C
при c = 0. Естественно доопределить её до функции ϕ : ¯C → ¯C следующим
образом. Положим ϕ(− d

c) = ∞ и ϕ(∞) = a

c при c ̸= 0 , в случае же c = 0
положим ϕ(∞) = ∞.

Т е о р е м а
4.1.1. Так определённая функция будет взаимно-однозначно
и взаимно-непрерывно отображать ¯C на ¯C.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим w =
az+b
cz+d, тогда z = ψ(w) =
dw−b
a−cw,
что задаёт взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное соответствие C →
C. Доопределим ψ в «исключительных» точках следующим образом. Если
c ̸= 0, то ψ
a

c
= ∞, ψ(∞) = − d

c, иначе ψ(∞) = ∞.
Далее, взаимная
однозначность соответствия ¯C → ¯C следует из доопределения функции (4.1)

3

ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

в «исключительных» точках. Докажем взаимную непрерывность построенного 
отображения в этих точках. Пусть c ̸= 0, тогда

lim
z→− d

c
ϕ(z)
=
lim
z→− d

c

az + b
cz + d = ∞ = ϕ
−d

c
,

lim
z→∞ ϕ(z)
=
lim
z→∞
a + b/z
c + d/z = a

c = ϕ(∞),

lim
w→∞ ψ(w)
=
lim
w→∞
d − b/z
a/z − c = −d

c = ψ(∞),

lim
w→ a

c
ψ(z)
=
lim
w→ a

c

dw − b
a − cw = ∞ = ψ
a

c
.

Если же c = 0, то

lim
z→∞ ϕ(z)
=
lim
z→∞
az + b

d
= ∞ = ϕ(∞),

lim
w→∞ ψ(w)
=
lim
w→∞
dw − b

a
= ∞ = ψ(∞).

З а м е ч а н и е
4.1.1. Тем самым явно указан вид обратной функции,
которая также является дробно-линейной.

П р и м е р
4.1.1. Функция

ϕ(z) =
z

1 − z , ϕ(1) = ∞, ϕ(∞) = −1

является дробно-линейной. Функция

ψ(w) =
w

1 + w, ψ(∞) = 1, ψ(−1) = ∞

является обратной к ней.

З а д а ч а
4.1.1. Найти функцию, обратную к

f(z) = 2z + 3.

Р е ш е н и е. z = w−3

2 .

З а д а ч а
4.1.2. Во что переводит функция 1

z прямую y = 3x?

Р е ш е н и е. Так как все точки луча y = 3x, x > 0 имеют один и тот
же аргумент, его образом будет луч y = −3x, x > 0. Аналогично, образом
луча y = 3x, x < 0 является луч y = −3x, x < 0. Точка ∞ переходит в 0, а
0 переходит в ∞.

4.1. ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ
5

Свойства дробно-линейных функций

Пусть имеются два пути γ1 : [α1, β1] → ¯C и γ2 : [α2, β2] → ¯C , проходящие
через ∞ (то есть γ1(t1) = γ2(t2) = ∞ для некоторых t1 ∈ (α1, β1), t2 ∈
(α2, β2)), такие, что их сферические образы при стереографической проек-
ции имеют касательные в северном полюсе. Следующее определение оправ-
дано замечанием после задачи 3 п.3.2.2 Части I.

О п р е д е л е н и е
4.1.2. Угол между кривыми в точке ∞ есть угол
между их образами при отображении w = 1

z в точке 0.

Пусть имеется непрерывная функция f : ¯C → ¯C, f(∞) = a, f(b) =
∞. Конформность f в конечной точке z0 ̸= ∞, z0 ̸= b означает, что z0 не
является критической точкой f как функции двух действительных пере-
менных и что сохраняются углы между кривыми, проходящими через эту
точку, см. определение 3 п.2.6 Части I. Следующие затем теоремы 1 и 2
доказывают равносильность конформности и наличия ненулевой производ-
ной: f ′(z0) ̸= 0. Для «исключительных» точек ∞ и b определение конформ-
ности упрощается естественным образом.

О п р е д е л е н и е
4.1.3. Функция f называется конформной в точке
∞ (в точке b), если она сохраняет углы между кривыми в точке ∞ и их
образами в точке a (в точке b и их образами в точке ∞).

Т е о р е м а
4.1.2. Дробно-линейная функция (4.1) конформна во всех
точках ¯C.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть c ̸= 0, тогда для «неисключительных»
точек (то есть всех точек кроме − d

c, ∞) конформность следует из того, что
существует производная

ϕ′(z) = ad − bc

(cz + d)2 ̸= 0.

Пусть теперь z = − d

c, тогда конформность в z есть сохранение углов между
кривыми, проходящими через эту точку и её образ при отображении

1

ϕ(z) = cz + d

az + b.

Производная последней функции равна

bc − ad
(az + b)2

и в точке − d

c равна
c2

bc−ad ̸= 0, откуда следует конформность ϕ в точке − d

c.
Пусть z = ∞, тогда конформность ϕ в этой точке эквивалентна кон-
формности обратной функции

g(w) = ϕ−1(w) = dw − b

−cw + a

ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

в точке a

c . Повторяя те же рассуждения для g, находим, что

d
dw
1

g(a/c) =
c2

bc − ad ̸= 0,

то есть имеет место конформность g в a

c , а значит и ϕ в ∞.
Если c = 0, то «исключительная» точка одна: ∞ и ϕ(∞) = ∞. Кон-
формность ϕ в ∞ равносильна, см. определениия 4.1.2, 4.1.3, сохранению
углов композицией

ω(z) = χ ◦ ϕ ◦ χ(z),
где χ(z) = 1

z ,

в точке 0. Так как

ω(z) = dz + c

bz + a,
то
d
dz ω(z) = ad − bc

(bz + a)2
и
d
dz ω(0) = ad − bc

a
̸= 0,

поэтому ϕ конформна в ∞.

О п р е д е л е н и е
4.1.4. Функция f : ¯C → ¯C голоморфна в
∞, если
g(z) = f( 1

z) голоморфна в 0.

Т е о р е м а
4.1.3. Если c ̸= 0, то дробно-линейная функция (4.1) голоморфна 
в точке ∞.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

ψ(z) = ϕ(1

z ) = a 1

z + b

c 1

z + d = a + bz

c + dz ,

тогда

ψ′(z) = bc − ad

c + dz ,

что означает голоморфность ψ в 0 и, следовательно, ϕ в ∞.

Т е о р е м а
4.1.4. Композиция дробно-линейных функций ϕ2 ◦ ϕ1 есть
дробно-линейная функция.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Непосредственно проверяем:

ϕ2(ϕ1(z)) =
a2 a1z+b1

c1z+d1 + b2

c2 a1z+b1

c1z+d1 + d2
= (a2a1 + b2c1)z + a2b1 + b2d1

(c2a1 + d2c1)z + c2b1 + d2d1

Каждой дробно-линейной функции сопоставим матрицу её коэффициентов
a
b
c
d

4.1. ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ
7

Эта матрица невырождена в силу определения дробно-линейной функции.
Из доказательства предыдущей теоремы следует, что композиции дробно-
линейных функций ϕ2 ◦ ϕ1 соответствует произведение их матриц в том же
порядке, так как матрица дробно-линейной функции в правой части есть
a2
b2
c2
d2

a1
b1
c1
d1

Т е о р е м а
4.1.5. Обратная к дробно-линейной функции есть дробно-
линейная функция.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В качестве обратного к преобразованию с матрицей
a
b
c
d

возьмём преобразование, соответствующее обратной матрице

1

ad − bc

d
−b
−c
a

З а м е ч а н и е 4.1.2. Поскольку коэффициенты дробно-линейной функции
определены с точностью до постоянного множителя, то можно опустить
числовой множитель перед обратной матрицей.

З а м е ч а н и е
4.1.3. Поскольку очевидна ассоциативность композиции
дробно-линейных функций, равно как и то, что тождественное отображение
является дробно-линейным, можно заключить, что множество всех дробно-
линейных функций образует группу с операцией композиция. Подробности
см., например, в [10, §3].

Круговое свойство стереографической проекции, см. теорему 1 п.3.2.2
Части I, подсказывает следующее определение.

О п р е д е л е н и е
4.1.5. Окружностью на ¯C называется окружность в
обычном смысле слова или прямая.

Следующее свойство дробно-линейных функций называется круговым.

Т е о р е м а
4.1.6. Дробно-линейная функция преобразует любую окружность 
на ¯C в окружность на ¯C.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сперва c ̸= 0. Так как любую такую дробно-
линейную функцию ϕ(z) можно переписать в виде

az + b
cz + d = a1 +
b1

z + c1
,

где

a1 = a

c , b1 = bc − ad

c2
, c1 = d

c ,

то ϕ = ϕ3 ◦ ϕ2 ◦ ϕ1, где ϕ1(z) = z + c1, ϕ2(w) = 1

w, ϕ3(u) = a1 + b1u.

ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

Функция ϕ1 является сдвигом на c1 и переводит окружности в окружности. 
Функция ϕ3 является растяжением с коэффициентом b1 и сдвигом на
a1, что также сохраняет окружности. Функция же ϕ2, как следует из задачи
3 п.3.2.2 Части I, осуществляет поворот сферы Римана, что сохраняет окружности 
на сфере. А это означает что окружности на ¯C также сохраняются.

Если c = 0, то наша функция ϕ(z) = az + b является растяжением в a
раз и сдвигом на b, что сохраняет окружности.

З а д а ч а
4.1.3. Что является образом прямой, параллельной действительной 
оси и пересекающей мнимую в точке i, при отображении w = 1

z?

Р е ш е н и е. На указанной прямой лежат точки, чьи координаты имеют
вид x + i, где x — любое действительное число. Координаты точек образа
этой прямой имеют вид

1

x + i = x − i

x2 + 1 =
x

x2 + 1 −
1

x2 + 1i = u + iv.

Зная, что образом этой прямой должна быть окружность, рассмотрим сумму 
квадратов действительной и мнимой частей:

u2 + v2 =
x2 + 1

(x2 + 1)2 =
1

x2 + 1.

Следовательно,

u2 + v2 + v = 0 или u2 + (v + 1

2)2 = 1

4.

Прямая и её образ изображены на рис. 4.1.

З а м е ч а н и е
4.1.4. В точку O окружности перешла точка ∞, а в точку
−i — точка i .

Дальнейшие сведения о дробно-линейных функциях можно почерпнуть
из, например, [4, гл.III], [10, §3].

4.2
Степенн´ая функция

О п р е д е л е н и е 4.2.1. Функция f(z) = zn, n ∈ N, называется степенн´ой.

Если n = 1, то функция является тождественным отображением, так
что полагаем n > 1.

Т е о р е м а
4.2.1. Степенная функция конформна в C \ {0}. В точке 0
углы не сохраняются ни при каком n > 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Производная (zn)′ = nzn−1 ̸= 0, поэтому первое
утверждение теоремы справедливо.

4.2. СТЕПЕНН ´АЯ ФУНКЦИЯ
9

Рис. 4.1. Образ прямой Im z = 1 при отображении 1

z.

Перепишем степенную функцию в тригонометрическом виде

(ρ(cos ϕ + i sin ϕ))n = ρn(cos(nϕ) + i sin(nϕ))

Отсюда следует, что при возведении в степень n аргумент z увеличивается
в n раз, то есть угол с вершиной в 0 не сохраняется.

Степенная функция не является однолистной (см. определение 1, п.2.1,
Часть I) при n > 1.
Более того, существует ровно n различных чисел,
чья n-ая степень равна z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ): модули этих чисел равны

n√ρ, а аргументы — ϕ

n, ϕ+2π

n
, . . . , ϕ+2π(n−1)

n
. Но она является однолистной,
например, в секторе {0 < arg z <
2π
n }, см.
заимствованный из [10, §4]
рис.4.2, на котором показано также, как преобразуется координатная сетка
при обратном преобразовании — она переходит в семейство ортогональных
кривых.

З а д а ч а
4.2.1. Является ли степенная функция f(z) = zn конформной
в ∞?

Р е ш е н и е. Так как f(∞) = ∞, то из определения 4.1.3 следует, что
конформность f в точке ∞ равносильна сохранению углов в 0 композицией
χ ◦ λ ◦ χ, где χ(z) = 1

z. Но χ ◦ λ ◦ χ(z) = zn при n > 1 не сохраняет углы в
0, поэтому степенная функция не является конформной в ∞.