Решение задач строительной механики с использованием MS Excel

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное автономное образовательное учреждение 

высшего образования 

«Российский университет транспорта»  

___________________________________________________ 

 

Институт пути, строительства и сооружений 

 

 

Кафедра 

«Системы автоматизированного проектирования» 

 
 

И.В.НЕСТЕРОВ, Е.С.БАДЬИНА 

 
 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ 
МЕХАНИКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ  

MS EXCEL 

 

Учебно-методическое пособие 

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

Москва – 2020 

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное автономное образовательное учреждение 

высшего образования 

«Российский университет транспорта»  

___________________________________________________ 

 

Институт пути, строительства и сооружений 

 

 

Кафедра 

«Системы автоматизированного проектирования» 

 
 

И.В.НЕСТЕРОВ, Е.С.БАДЬИНА 

 
 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ 
МЕХАНИКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ  

MS EXCEL 

 

Учебно-методическое пособие 

для студентов по направлениям подготовки 09.03.01 
«Информатика и вычислительная техника», профиль 

«Системы автоматизированного проектирования» 

(бакалавриат), 09.04.01 «Информатика и вычислительная 

техника», профиль «Информационные технологии в 

строительстве» (магистратура), 23.05.06 «Строительство 

железных дорог, мостов и транспортных тоннелей» 

(специалитет) 

 
 
 
 
 

Москва – 2020 

УДК 624  
Н 56 
 
 
            Нестеров 
И.В., 
Бадьина 
Е.С. 
Решение 
задач 

строительной механики с использованием MS Excel: 
Учебно-методическое пособие. - М.: РУТ (МИИТ), 2020.  
- 40 с. 
 

В 
учебно-методическом 
пособии 
изложены 

теоретические 
основы 
решения 
задач 
строительной 

механики и теории упругости методом конечных элементов.  

Приведён 
подробный 
пример 
вычисления 

перемещений и напряжений в пластине с использованием 
табличного процессора MS Excel.  

Учебно-методическое пособие содержит материалы 

для проведения занятий по дисциплинам "Моделирование 
механических систем" и "Компьютерное моделирование". 

Учебно-методическое пособие предназначено для 

студентов 
образовательных 
организаций 
высшего 

образования, обучающихся по направлениям подготовки 
(специальностям) 09.03.01 «Информатика и вычислительная 
техника», 
профиль 
«Системы 
автоматизированного 

проектирования» (бакалавриат), 09.04.01 «Информатика и 
вычислительная техника», профиль «Информационные 
технологии в строительстве» (магистратура) 23.05.06 
«Строительство железных дорог, мостов и транспортных 
тоннелей» (специалитет), а также может быть использовано 
при курсовом и дипломном проектировании.                                                     
 
Рецензент: 
Д.т.н., профессор, директор Института пути, строительства 

и сооружений Т.В.Шепитько,  РУТ (МИИТ) 

 

 © РУТ (МИИТ), 2020 

 
 

1. Введение 

 
В настоящее время в связи с интенсивным развитием 

вычислительной 
техники 
широкое 
распространение 

получили численные методы решения задач теории 
упругости. Наиболее популярным и универсальным среди 
этих методов является метод конечных элементов (МКЭ) [1-
3]. Математический аппарат этого метода хорошо развит и 
апробирован на известных аналитических решениях теории 
упругости. Удобная численная реализация МКЭ позволяет 
на его алгоритмической базе создавать программные 
комплексы для решения   широкого круга задач теории 
упругости. На рынке программного обеспечения достаточно 
много программ, реализующих МКЭ для прочностного 
анализа инженерных сооружений. Среди них хорошо 
зарекомендовали 
себя 
такие 
универсальные 
системы 

прочностного анализа, как ЛИРА, МОНОМАХ, SCAD, 
NASTRAN, ANSYS и др. Эти программы оснащены 
удобным 
пользовательским 
интерфейсом, 
обширной 

библиотекой конечных элементов и дополнительными 
возможностями для решения прикладных инженерных 
задач. К сожалению, широкая доступность и простота 
использования этого программного обеспечения вызывает у 
неопытного пользователя иллюзию полного доверия к 
результатам конечно-элементного расчёта, а поверхностное 
знание математических основ МКЭ может привести к 
грубым ошибкам при формировании расчётной схемы 
конструкции и интерпретации результатов расчёта. Поэтому 
в курсе теории упругости для инженеров строительных 
специальностей 
предусмотрен 
раздел, 
посвящённый 

изучению теории и практики МКЭ.  

Целью 
этого 
пособия 
является 
ознакомление 

студентов 
с 
математическими 
моделями 
МКЭ 
и 

алгоритмами 
его 
численной 
реализации 
на 
ЭВМ. 

Особенностью данного курса является то, что студенты 
знакомятся с МКЭ не на уровне пользователей готовых 

программ, а сами становятся разработчиками несложного 
программного комплекса, реализующего МКЭ для решения 
простых задач теории упругости. В ходе решения учебных 
задач студенты полностью проходят все вычислительные 
этапы 
МКЭ, 
что 
позволит 
им 
впоследствии 
стать 

квалифицированными 
пользователями 
промышленных 

систем прочностного анализа. 

В качестве программной среды для решения задач 

теории упругости по МКЭ используется табличный 
процессор Excel [4,5], хорошо знакомый студентам из курса 
информатики первого года обучения.  
 

2. Решение плоской задачи теории упругости с 

использованием треугольного симплекс-элемента. 

 

Начнём изучение технологии решения задач по МКЭ 

с простой задачи растяжения прямоугольной пластины. 

Задача 
1. 
Дана 
прямоугольная 
пластина, 

загруженная растягивающей нагрузкой P=1 (рис.1.а). 

 

 

Рис.1. Расчётная схема к задаче 1 (а) и разбивка пластины 

на конечные элементы (б) 

Для решения поставленной задачи воспользуемся 

принципом возможных перемещений, согласно которому 
система находится в равновесии, когда сумма работ всех сил 
на любых возможных перемещениях равна нулю. Разобьём 
пластину на отдельные конечные элементы (рис 1.б). Работу 
внутренних сил выразим через матрицу реакций R, 
элементами которой являются обобщённые реакции в узлах 
конечно-элементной модели (рис 1.б), при единичных 
смещениях этих узлов. Работа внешних сил численно равна 
обобщённой силе, так как узлам заданы единичные 
перемещения. В качестве неизвестных для составления 
разрешающей системы уравнений используется вектор 
перемещений узлов конечно-элементной модели Z

. Таким 

образом, уравнение равенства работ внешних и внутренних 
сил имеет вид: 

                                      
P
Z
R

 
                              (1) 

где R- глобальная матрица жёсткости всей системы, 
Z

- вектор перемещений 

P

- вектор внешних сил. 

Глобальная матрица жёсткости R для всей 

системы 
составляется 
на 
основании 
принципа 

независимости действия сил, посредством суммирования 
узловых значений локальных матриц жесткостей для 
отдельных конечных элементов.  

Существуют 
различные 
методики 
построения 

локальных 
матриц 
жесткостей 
конечных 
элементов. 

Проиллюстрируем одну из них на примере решения задачи, 
представленной на рис. 1а. Расчётная схема метода 
конечных элементов на базе треугольного симплекс-
элемента приведена на рис. 1б. Напомним основные 
соотношения, необходимые для вывода матрицы жёсткости 
треугольного 
симплекс-элемента 
[1,3]. 
Симплекс-

элементами называются такие конечные элементы, для 
которых число узлов, необходимых для описания геометрии 
элемента, равно числу узлов, используемых для задания поля 
перемещений.  

Рис.2. Треугольный симплекс-элемент (а) и его функции 

формы (б,в,г) 

 
Локальная нумерация узлов и степени свободы 

плоского треугольника приведены на рис. 2а.  Поле 
перемещений для этого конечного элемента можно 
представить в виде: 





































3

3

2

2

1

1

3
2
1

3
2
1

)
,
(
0
)
,
(
0
)
,
(
0

0
)
,
(
0
)
,
(
0
)
,
(
)
(

v
u
v
u
v
u

y
x
n
y
x
n
y
x
n

y
x
n
y
x
n
y
x
n
xy
z
       

Где  
)
,
(
y
x
ni
- функции формы для i- того узла 

треугольника 
(рис. 
2б,в,г). 
В 
общем 
случае 
они 

представляют собой уравнение плоскости, проходящей 
через три точки: 

𝑛1(𝑥, 𝑦) =

[(𝑦 − 𝑦2)𝑥32 − (𝑥 − 𝑥2)𝑦32]

2𝐹
,
(3)

(2)

𝑛2(𝑥, 𝑦) =

[(𝑦 − 𝑦3)𝑥13 − (𝑥 − 𝑥3)𝑦13]

2𝐹
,  
(4)

𝑛3(𝑥, 𝑦) =

[(𝑦 − 𝑦1)𝑥21 − (𝑥 − 𝑥1)𝑦21]

2𝐹
.
(5)

Здесь F - площадь произвольного треугольника, 

вычисляемая по формуле: 

𝐹 =

[(𝑦1 − 𝑦2)(𝑥3 − 𝑥2) − (𝑥1 − 𝑥2)(𝑦3 − 𝑦2)]

2
.
(6)

Функции формы 𝑛𝑖(𝑥, 𝑦) равны единице в i- том узле 

треугольника и нулю во всех остальных. Если принять 
перемещение 𝑢1=1, а остальные перемещения равными 
нулю, то получим поле перемещений: 

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑛1(𝑥, 𝑦).
(7)

Таким образом, для поля перемещений (7) ордината 

равна единице в первом узле и нулю во всех остальных. 
Данная процедура напоминает процесс расчёта стержневых 
систем методом перемещений. Для плоского треугольника 
матрицу узловых реакций нельзя получить как для стержня, 
используя эпюры внутренних усилий от единичных 
перемещений. В большинстве случаев матрицы жесткости 
для континуальных систем получают на основании закона о 
сохранении энергии, сформулированного для механических 
систем в виде: 

A=U,                                       (8) 

где   A -  работа внешних сил на обобщённых 
перемещениях, 
U – потенциальная энергия деформации. 

Работа внешних сил (узловых реакций) вычисляется  

по формуле:  

Z
R
Z
A
T



                                  (9) 

где  Z

- вектор перемещений, 

R – искомая матрица реакций. 

Потенциальная энергия деформации вычисляется по 

известному 
из 
курса 
«Сопротивление 
материалов» 

соотношению: 

 

.
V
d
U

V

T



 

                                                         

Для пластины этот интеграл имеет вид:  

,
F
d
U

F

T







                                                       

где   δ - толщина пластины. 

Рассмотрим 
более 
подробно 
подынтегральное 

выражение формулы (11).  Вектор деформаций 𝜀⃗ можно 
получить через поле перемещений (2), используя уравнения 
Коши [ ] следующим образом: 

 
























































x
v

y
u

y
v
x
u

y

x







 

.

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
(
0
)
(
0
)
(
0

0
)
(
0
)
(
0
)
(

3
3
2
2
1
1

3
2
1

3
2
1

Z
B
Z

x
xy
n

y
xy
n

x
xy
n

y
xy
n

x
xy
n

y
xy
n

y
xy
n

y
xy
n

y
xy
n

x
xy
n

x
xy
n

x
xy
n














































































        

После дифференцирования функций формы получим 

матрицу B в виде: 
 

        
.
0
0
0

0
0
0

2
1

12
21
31
13
23
32

21
13
32

12
31
23



















y
x
y
x
y
x

x
x
x

y
y
y

F
B
              (13) 

По вектору деформаций, используя обобщённый 

закон Гука [3] можно получить вектор напряжений: 

 

(10)

(11)

(12)

.
2
1
Z
DB
F
D
y

x






























                     (14)        

где  D – матрица обобщённого законно Гука: 

         
.

2

1
0
0

0
1

0
1

1
2






























E
D
                        (15) 

Теперь соотношение для потенциальной энергии (11) 

с помощью формул (12)-(15) можно переписать в виде: 

               
.
4
2 


F

T
T
Z
DBdF
B
F
Z
U




                    (16) 

Так как элементы матрицы B – константы, то после 

интегрирования  формула (16) приобретает вид: 

                       
.
4
Z
DB
B
F
Z
U
T
T




                       (17) 

Перепишем закон о сохранении энергии для 

механических систем (8), используя формулы  (9) и (17) : 

                  
.
4
Z
DB
B
F
Z
Z
R
Z
T
T
T






                    (18) 

Сокращая 
в 
правой 
и 
левой 
части 
вектор 

перемещений Z

, получим окончательное соотношение  для 

матрицы жесткости треугольного симплекс-элемента. 

                             
.
4
DB
B
F
R
T


                         (19) 

Полученная 
формула 
не 
содержит 
сложных 

математических преобразований и состоит только из 
матричных 
произведений. 
Поэтому 
для 
численной 

реализации 
поставленной 
задачи 
(рис. 
1.а), 
вполне 

достаточно воспользоваться широко распространённым