Гармонические режимы в цепях с распределенными параметрами (длинных линиях)

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО 

ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА» 

 

Кафедра «Электроэнергетика транспорта» 

 

А. В. СИМАКОВ 

 

ГАРМОНИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ В ЦЕПЯХ С 

РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 

(ДЛИННЫХ ЛИНИЯХ) 

 

Учебно−методическое пособие 

 

 

Москва – 2020

 

МИНИСТЕРСТВО ТРАСНПОРТА 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО 

ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА» 

Кафедра «Электроэнергетика транспорта» 

 

А. В. СИМАКОВ 

 

ГАРМОНИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ В ЦЕПЯХ С 

РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 

(ДЛИННЫХ ЛИНИЯХ) 

 

Учебно−методическое пособие 

для студентов электротехнических и электромеханических 

специальностей университета 

 

 

Москва – 2020 

УДК 621.3 

С37 

Симаков А.В. Гармонические режимы в цепях с 

распределенными 
параметрами 
(длинных 
линиях): 

Учебно−методическое пособие к практическим занятиям и 

для самостоятельного изучения. – М.: РУТ (МИИТ), 2020. – 

99 с. 

Учебно-методическое пособие предназначено для 

студентов специальности 23.05.05 «Системы обеспечения 

движения поездов» и 27.03.04 «Управление в технических 

системах» университета.  

Пособие содержит теоретический материал, примеры 

его практического применения, контрольные вопросы и 

рекомендации для самостоятельной работы. 

 

Рецензент  

кандидат технических наук, доцент  

кафедры «Электропоезда и локомотивы» РУТ (МИИТ)  

Ротанов В.Н. 

 

 

© РУТ (МИИТ), 2020

ГАРМОНИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ В ЦЕПЯХ С 

РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 

(ДЛИННЫХ ЛИНИЯХ) 

Введение 

 

При 
изучении 
электромагнитных 
процессов, 

происходящих в электрических линиях, используемых для 

передачи электроэнергии или сигналов на расстояние, 

необходимо учитывать, что параметры линий распределены 

по всей их длине. По всей длине линий распределяются 

электрическое и магнитное поля. 

На рис.1 в качестве примера изображены участки  

двухпроводных линий, применяемых в электропроводной 

связи и в радиотехнике. 

 Первая, воздушная линия, выполнена в виде двух 

параллельных 
проводников, 
а 
вторая 
– 
в 
виде 

коаксиального кабеля. 

 

 

 

Линия
Емкость
на единицу
длины линии

Индуктив-
ность на 
единицу
длины линии

Волновое 
сопротивление

Воздушная

𝐶0 = 𝜋𝜀0

𝑙𝑛 𝑑

𝑟

𝐿0 = μ0

π 𝑙𝑛 𝑑

𝑟
𝑍В = 1

𝜋 √

μ0
𝜀0

 𝑙𝑛 𝑑

𝑟

Коаксиальная

𝐶0 = 2𝜋𝜀𝜀0

𝑙𝑛 𝑟1

𝑟2

𝐿0 = μ0

2π 𝑙𝑛 𝑟1

𝑟2
𝑍В = 1

2𝜋 √

μ0
𝜀𝜀0

 𝑙𝑛 𝑟1

𝑟2

 

                           Рис.1 

 

На рис.2 приведена схема замещения элементарного 

участка линии с распределенными параметрами, длина 𝑑𝑥 

которого стремится к нулю. 

 

Рис.2 

 

На участке 𝑑𝑥 (𝑑𝑥 → 0), находящемся на расстоянии 𝑥 

от начала линии, как и на любом другом участке линии, 

часть передаваемой энергии преобразуется в тепло. 

Тепловые 
потери 
в 
токоведущих 
элементах 
линии 

определяют 
величину 
продольного 
активного 

сопротивления 
на 
схеме 
рис.2. 
Магнитный 
поток, 

сцепленный с контуром тока, образуемым токоведущими 

элементами, 
определяет 
продольную 
индуктивность, 

электрическое поле между токоведущими элементами – 

поперечную 
емкость, 
несовершенство 
изоляции, 

приводящее к токам утечки через нее – поперечную 

активную проводимость. 

Однородной 
называют 
линию, 
у 
которой 
эти 

параметры – продольные (активное сопротивление и 

индуктивность) и поперечные (проводимость и емкость) – 

равномерно распределены вдоль всей ее длины. 

Эти параметры, отнесенные к единице длины линии, 

называют первичными параметрами линии и обозначают, 

соответственно, 𝑅0 [Ом/км] ;  𝐿0 [Гн/км] ;  𝐶0 [Ф/км]  и 

𝐺0 [Ом−1/км]. 

Линию с неравномерным распределением параметров 

называют неоднородной. При расчетах неоднородную 

линию обычно разбивают на несколько однородных 

участков с равномерным распределением параметров. 

Из − за наличия токов утечки через изоляцию 

(проводимость 𝐺0𝑑𝑥 на схеме рис.2) и токов смещения, 

обусловленных емкостью 𝐶0𝑑𝑥  между токоведущими 

элементами линии, ток 𝑖 в начале элементарного участка 𝑑𝑥 

не равен току (𝑖 + 𝑑𝑖) в его конце. Напряжение 𝑢 в начале 

участка 𝑑𝑥 тоже не равно напряжению (𝑢 + 𝑑𝑢) в его конце, 

что объясняется падением напряжения на продольных 

элементах 𝑅0𝑑𝑥  и 𝐿0𝑑𝑥  схемы  рис.2. Поэтому напряжение 

𝑢 и ток 𝑖 в линии являются функциями двух независимых 

переменных – пространственной координаты 𝑥, задающей 

место наблюдения, и времени 𝑡 , задающего момент 

наблюдения. 

Для однородной линии верно [1]: 

{

−

𝜕𝑢(𝑥;𝑡)

𝜕𝑥
= 𝑅0𝑖(𝑥; 𝑡) + 𝐿0

𝜕𝑖(𝑥;𝑡)

𝜕𝑡
;

−

𝜕𝑖(𝑥;𝑡)

𝜕𝑥
= 𝐺0𝑢(𝑥; 𝑡) + 𝐶0

𝜕𝑢(𝑥;𝑡)

𝜕𝑡
 .

                     (1) 

 Уравнения 
(1) 
известны 
в 
электротехнике 
и 

математике под названием телеграфных. Они имеют 

однозначное 
решение, 
выражающее 
зависимость 

напряжения и тока в линии от координаты  𝑥  и  времени  𝑡.   

При решении системы уравнений (1) используют 

граничные и начальные условия.  

Граничные условия определяются связями между 

напряжением и током в начале линии или в ее конце, 

зависящими от режима ее работы. Под начальными 

условиями  понимают значение напряжения и тока в начале 

(или в конце) линии в момент времени, принятый за нуль. 

 

1.   Гармонический режим в однородной линии 

В периодическом режиме, устанавливающемся в 

линии под действием источника синусоидального сигнала, 

напряжение и ток в любом месте линии изменяются тоже по 

синусоидальному (гармоническому) закону с угловой 

частотой 𝜔 источника. Теорию цепей с распределенными 

параметрами в установившемся режиме вначале удобнее 

рассматривать именно для такого случая.  

При необходимости полученные соотношения можно 

распространить на линии постоянного тока (для этого 

следует приравнять угловую частоту 𝜔 сигнала источника к 

нулю), а также на линии (цепи) с распределенными 

параметрами, подключенные к источникам периодических 

несинусоидальных сигналов (применив разложение таких 

сигналов в ряд Фурье). 

На рис.3 приведен фрагмент схемы замещения 

длинной линии для случая гармонического режима.  

 

 

Рис.3 

Использование комплексов действующих значений 

напряжения 𝑈̇ = 𝑈̇ (𝑥) и тока 𝐼̇ = 𝐼̇(𝑥) позволяет свести 

уравнения (1) к уравнениям в простых производных:  

{

−

𝑑𝑈̇ (𝑥)

𝑑𝑥
= (𝑅0 + 𝑗𝜔𝐿0)𝐼̇(𝑥) = 𝑍0𝐼̇(𝑥) ;

−

𝑑𝐼̇(𝑥)

𝑑𝑥 = (𝐺0 + 𝑗𝜔𝐶0)𝑈̇ (𝑥) = 𝑌0𝑈̇ (𝑥) ,

                 (2)                 

где  𝑍0 = 𝑅0 + 𝑗𝜔𝐿0  [Ом/км]  и 𝑌0 = 𝐺0 + 𝑗𝜔𝐶0  [Ом−1/км] 

−  комплексные продольное сопротивление и поперечная 

проводимость линии, приходящиеся на единицу ее длины.  

Из системы уравнений (2), в свою очередь, следует: 

𝑑2𝑈̇ (𝑥)

𝑑𝑥2
= 𝑍0𝑌0𝑈̇ (𝑥) = 𝛾2𝑈̇ (𝑥),                                   (3) 

где            

𝛾 = √𝑍0𝑌0 = √(𝑅0 + 𝑗𝜔𝐿0)(𝐺0 + 𝑗𝜔𝐶0) = 𝛼 + 𝑗𝛽.        (4) 

Известно [3] , что решение линейного однородного 

дифференциального 
уравнения 
второго 
порядка 
(3) 

представимо в виде: 

𝑈̇ (𝑥) = 𝐴̃1𝑒𝛾𝑥 + 𝐴̃2𝑒−𝛾𝑥,                                  (5)  

где  𝐴̃1 = 𝐴1е𝑗𝜓1   и  𝐴̃2 = 𝐴2е𝑗𝜓2  –  комплексные 

постоянные, которые обычно определяют через граничные 

условия (напряжение и ток в начале линии или напряжение 

и ток в ее конце). 

Для тока 𝐼̇(𝑥) из уравнений (2) и (5) следует: