Техническая механика

МИНИСТЕРСТВО  ТРАНСПОРТА 

РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ  ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО 

ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ  ТРАНСПОРТА  

(МИИТ)» 

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

 

Институт пути, строительства и сооружений 

 

Кафедра «Строительная механика» 

 
 

А.М. Лукьянов,  М.А. Лукьянов  

 
 

Техническая механика 

(Теоретическая  механика. 
 Сопротивление материалов) 

 

 

Учебник 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва – 2018 

 

                       

МИНИСТЕРСТВО  ТРАНСПОРТА  

РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ  ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО 

ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ  ТРАНСПОРТА  

(МИИТ)» 

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

 
 

Институт пути, строительства и сооружений 

 

Кафедра «Строительная механика» 

 

А.М. Лукьянов,  М.А. Лукьянов  

 

Техническая механика 

(Теоретическая  механика. 
 Сопротивление материалов) 

 

 

Учебник  

для студентов строительных и электромеханических 

специальностей 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 

Москва – 2018 

 

                       

 
 

 
 
 
УДК   621.01. 
Л-84 
 

Лукьянов А.М., Лукьянов М.А.. Техническая механика: 

Учебник. -  М.: РУТ(МИИТ), 2018, –  441  с.: ил. 

 

В книге изложены  теоретические  основы и методика  рас-

четов на прочность, жесткость и устойчивость элементов 
конструкций  железнодорожного транспорта 

Даны понятия,  определения  и справочные  сведения  в том 

объеме, который необходим  для  подготовки студентов к работе 
над курсовыми заданиями. Наряду с классическими приемами 
оценки 
прочности 
даются 
основные 
понятия 
механики 

разрушения. 
Обстоятельное 
изложение 
теоретического 

материала и подробное решение примеров дают возможность 
изучения предмета для дневной и заочной формы обучения. 
Предназначен для студентов железнодорожного транспорта. 

 
 

Рецензенты: д.т.н., профессор  Курбацкий  Е.Н. («РУТ(МИИТ)),  

  с.н.с. Чепелев Ю.Г. («ВНИИЖТ»). 

 

 

 
РУТ (МИИТ), 2018      

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                       

 

Предисловие 

 

Курс «Техническая механика», относятся к числу первых 

инженерных дисциплин, изучаемых студентами на младших 
курсах. Этот курс предусматривает изучение общих законов 
движения и равновесия материальных тел, основ расчета 
элементов конструкции  на прочность, жесткость, устойчивость и 
состоит 
из 
двух 
 
разделов: 
теоретическая 
механика, 

сопротивление материалов.  

В указанных разделах обращено внимание на вопросы, 

которые будут изучаться в дисциплинах «Организация и 
технология строительства на железнодорожном транспорте», 
«Техническая эксплуатация подъемно-транспортных, строи-
тельных, дорожных машин и оборудования», «Техническая 
эксплуатация подвижного состава железных дорог». 

Основная цель учебника – кратко и наглядно изложить 

основы предмета, дать студентам начальные знание анализа и 
методов расчета элементов конструкций железнодорожного 
транспорта, 
экспериментального 
исследования 
явлений 
и 

процессов, протекающих в них; помочь  овладеть методами 
решения 
типовых 
задач; 
повысить 
эффективность 
само-

стоятельных занятий, оптимизировать время, затрачиваемое 
студентам на выполнение контрольных заданий.   

Необходимо отметить следующие особенности предлага-

емого учебника. Более полно изложены основные физические 
модели 
и 
методы 
решения 
упругопластических 
задач 

применительно 
стержням 
конструкций 
железнодорожного 

транспорта. Основные вопросы  подробным образом проил-
люстрированы  несложными примерами, способствующими 
приобретению навыков в решении более сложных задач.  

Подготовленный к изданию материал  составлен на основе 

действующей 
программы 
курса 
и 
многолетнего 
опыта 

преподавания данной дисциплины авторами в Государствен-ном 
образовательном учреждении высшего профессиональ-ного 
образования – Российском университете транспорта. 

 Авторы  выражает искреннюю благодарность рецензентам: 

Е.Н. Курбацкому; Ю.Г. Чепелеву за полезные замечания, 
которые способствовали существенному  улучшению учебника. 

 

3 

 
 

                       

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 

 

В первом разделе курса - теоретическая механика, даются 

определения  основных понятий. На базе этих определений 
излагается 
теория. 
Из 
всего 
многообразия 
подходов 
и 

принципов 
механики 
освещены: 
законы 
классической 

(ньютоновской) 
механики, 
общие 
теоремы 
динамики 

механической 
системы, 
принцип 
Даламбера, 
основы 

аналитической механики Лагранжа.  

Положения теории иллюстрируются примерами и реше-

ниями типовых задач. Для усвоения теоретического материала 
рекомендуется выполнение индивидуальных курсовых  заданий. 

Глава 1.  ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ 

 

1.1. Задачи теоретической механики 

 

Теоретическая механика – наука о равновесии и движении 

материальных тел. Традиционно она  подразделяется на три 
раздела: 

Статика  изучает правила сложения сил, преобразования 

и упрощения систем сил; а также условия равновесия 
неподвижных материальных тел  под  действием  различных 
систем сил. 

Кинематика 
изучает общие геометрические 
свойства 

движения материальных тел, не обращая внимания на причины, 
влияющие на характер движения. 

Динамика изучает движение материальных тел с учетом 

действующих на них сил, от которых зависит характер этого 
движения. 

Основные положения статики были установлены до нашей эры; законы 

динамики в наиболее полном виде сформулированы Исааком  Ньютоном  в его 
книге “Математические начала натуральной философии”,  опубликованной  в  
1687 году. 

Построенная Анри Пуанкаре и Альбертом  Эйнштейном в начале 

прошлого века общая теория движения материальных тел (при скоростях 
движения, сопоставимых со скоростью света), так называемая теория 
относительности, содержит как  частный  случай  все  законы Ньютона.  
Ввиду этого теоретическую  механику,  в основе  - которой  лежат эти законы, 
справедливо называют ньютоновской или классической.  

Для  решения практических задач вполне достаточна та 

точность, с которой  законы  классической механики описывают 
реальное движение. Это обстоятельство позволяет на стадии 

 

4 

                       

проектирования любого технического объекта предсказывать его 
поведение под действием разнообразных нагрузок.  

Решение любой механической задачи состоит из ряда 

этапов. Сначала выбирается расчетная схема и для нее 
составляются разрешающие уравнения. Набор этих уравнений 
называют  математической моделью. На следующем этапе 
составляется расчетный алгоритм, т.е. указывается последовательность 
выполнения математических операций, ведущих 
к решению задачи. В простейших случаях, результат можно 
получить быстро и довольно  простыми  средствами. Следует 
обратить  внимание на необходимость обязательного контроля 
полученного результата. Эта мера обеспечивает надежность 
результата 
вычислений 
и, 
как 
следствие, 
надежность  

создаваемого на базе этих результатов объекта.   

Кроме проверки численных результатов большое значение 

имеет 
понимание 
внутренних 
сил 
взаимодействия, 
или 

механического «смысла» работы конструкции.  

Рассмотрим  более  детально выбор расчетной схемы или 

построение механической модели.  

Механическое движение является простейшей формой 

движения. Оно состоит в изменении с течением времени 
взаимного расположения материальных тел или их частей в 
пространстве под действием нагрузок. 

При решении довольно широкого круга задач о движении 

твердых тел бывает достаточно узнать, как движется всего лишь 
какая-нибудь одна точка этого тела, например его центр масс. В 
этом случае можно не учитывать, что при движении, например, 
снаряда, он  вращается вокруг своего центра масс. Тогда можно 
использовать 
простейшую 
механическую 
модель 
– 

материальную точку. Размеры тела и  его форма при этом не 
учитываются. Единственной характеристикой является масса 
тела, которая считается сосредоточенной в центре масс.  

Положение материальной точки в пространстве опреде-

ляется тремя параметрами – декартовыми координатами. 
Принято   говорить  при  этом,  что  модель   имеет  три 
степени свободы. При наложении связей (ограничений) на 
движение число степеней свободы уменьшается. Широко 
распространена в исследованиях модель абсолютно твердо- 

 

5 

                       

го тела, когда можно пренебречь изменением взаимного 
расположения отдельных частиц реального тела. Иными 
словами, не учитывать деформации.  

Модель 
абсолютно 
твердого 
тела 
в 
трехмерном 

пространстве имеет шесть степеней свободы: три степени 
свободы 
имеет 
центр 
масс, 
и 
три 
степени 
свободы 

соответствуют трем возможным вращениям тела относительно 
осей, проведенных через центр  масс. Число степеней свободы 
уменьшается при наличии связей. 

В I разделе (теоретическая механика) все твердые тела 

будут считаться недеформируемыми. 

Изучению поведения деформируемых тел посвящен раздел 

II,  в котором  изложены основы курса  «Сопротивление 
материалов» . 

1.2.  Механическое взаимодействие материальных тел 

Материальные тела в природе и в технике находятся в 

постоянном взаимодействии. Планеты солнечной системы 
находятся в силовом поле, создаваемым массами планет и 
солнца, и движутся по эллиптическим орбитам, подчиняясь 
закону всемирного тяготения, открытому Ньютоном. Самолеты и 
вертолеты взаимодействуют с воздушной средой. Морские 
корабли и речные суда взаимодействуют как с воздушной 
средой, так и с жидкостью водных пространств. Наземные 
экипажи (автомобили, поезда, дрезины и пр.) взаимодействуют с 
покрытием дорог или с рельсовым путем, а также с воздушной 
средой. 

Детали  станков, механизмов – взаимодействуют между 

собой и в целом – подобно зданиям и сооружениям – с опорами 
и с воздушной средой. 

В процессе взаимодействия материальных тел они могут 

изменять свое состояние и свойства. Выделяя механическое 
взаимодействие, мы сознательно игнорируем  другие  виды 
физического 
или 
химического 
воздействия. 
В 
случае 

необходимости изучение взаимодействия тел может быть 
дополнено рассмотрением этих сопутствующих воздействий. 

Механическое движение является простейшим  видом  

движения  материи.  

Количественной мерой механического взаимодействия 

материальных  тел  является  понятие  силы. Следует  раз- 

 

6 

                       

личать два вида силового взаимодействия. В поле тяготения 
или в магнитном поле силовое взаимодействие возникает между 
всеми частицами тел, оно распределено по их объему. 
Взаимодействие материальных тел с воздушной или водной 
средой, с опорными устройствами – происходит по поверхности 
контакта. Таким образом, силы можно подразумевать либо 
приложенными по поверхности, либо считать их объемными. 
 
 

1.3. Понятие силы и системы сил. Равнодействующая 
Для построения теории требуется ввести абстрактную 

модель – сосредоточенную силу.  

Сила – это мера механического взаимодействия мате-

риала тел между собой. Она измеряют в ньютонах,1Н  0,1кг. 

Силовой вектор  имеет линию действия, точку прило-жения, 

направление действия и модуль (числовую величину).  

Силы, действующие на тело (или систему тел), делятся на 

внешние и внутренние. Внешние силы бывают активные и 
реактивные. Активные силы вызывают перемещение тела, 
реактивные стремятся противодействовать перемещению тела 
под действием внешних сил. 

При  рассмотрении  равновесия  твердых тел некоторые 

силы будут полностью заданы, некоторые требуется искать. При 
этом очень важно каждый раз уточнить: что именно нужно найти 
(линию 
действия 
силы, 
ее 
модуль 
и 
т.д.). 
Нечеткие 

представления в этом вопросе ведут к ошибкам при решении 
задач. 

Довольно близко к модели абстрактной сосредоточенной силы подходит 

случай взаимодействия ножек стола с полом, или контакт отбойного молотка со 
скальной породой в шахте.  

Для более адекватного описания взаимодействия тел 

вводится понятие системы сил. 

Системой 
сил 
называется 
совокупность 
сил, 

действующих на данное тело. 

Введем 
еще 
несколько 
понятий, 
необходимых 
для 

дальнейшего построения теории. 

Системы 
сил 
эквивалентны, 
если 
они 
оказывают 

одинаковое действие 
на твердое 
тело (не изменяют 

кинематического состояния тела – покоя или движения). 

Система сил, эквивалентная нулю, является уравнове-

шенной. 

7 

                       

Равнодействующей системы сил называется такая сила, 

которая по своему действию эквивалентна всей системе сил. 

Рассмотрим три примера, когда на тело действует система, 

состоящая из двух сил (рис.1.1). Пусть модули сил равны: F1 = 
F2. 

 

 

Рис. 1.1.  Примеры действия на тело системы двух сил:

а – линии действия сил сходящихся в точке; б – линии действия сил 

образуют  пару сил; в – линии действия сил скрещиваются

 

В примере, рис. 1.1,а -  линии действия сил сходятся в 

одной 
точке. 
Их 
действие 
можно 
заменить 
одной 

равнодействующей силой:    R = F1 + F2                         (1.1) 

В примере, рис. 1.1,б - две равные силы линии, действия 

которых параллельны, образуют пару сил. Действие  пары сил 
вызывает вращение тела. Далее будут рассмотрены свойства 
пары сил. Равнодействующей в этом случае не существует. 

В примере, рис. 1.1,в - линии действия сил скрещиваются, 

такая совокупность сил приводится к динамическому винту. 

Более подробно о действии динамического винта можно  

узнать в учебниках по теоретической механике, которые даны  в 
списке литературы 

На основании рассмотренных примеров можно сделать 

вывод: не всякая система сил имеет равнодействующую. Ее 
существование каждый раз нужно устанавливать 

1.4.  Аксиомы статики 

 Аксиома 1  
Под действием двух равных по модулю сил, действующих 

по одной прямой и противоположно направленных, тело 
находится в равновесии. 

Аксиома 2 
Состояние тела не изменится, если к нему приложить, 

или от него отнять систему сил, эквивалентную нулю. 

Аксиома 3  

Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке 

 
8 

                       

тела, 
по 
величине 
и 
направлению 
равна 
диагонали 

параллелограмма, построенного на этих силах, как на 
сторонах. 

Вектор равнодействующей силы равен геометрической 

сумме векторов сил.  Модуль равнодействующей находится по 
теореме косинусов: 

Cos
F
F
F
F
R
2
1

2
2

2
1
2



,  где α - угол между 

векторами сил. Очевидно и обратное утверждение: любую силу 
можно разложить на две составляющие. 

Аксиома 4 
Всякому действию есть равное и противоположное 

противодействие. 

Взаимодействие 
может 
осуществляться 
как 
при 

непосредственном контакте, так и на расстоянии при наличии 
силового поля. Сделаем три существенных замечания. Во-
первых, указывая на наличие силы, всегда можно найти тело, 
которое с этой силой действует. Во-вторых, упомянутые силы 
приложены к разным телам, поэтому их совокупность нельзя 
считать уравновешенной. Если рассматривается система, в 
которую входят оба взаимодействующих тела, то эти силы 
являются внутренними в системе, и их сумма равна нулю. В-
третьих,  эта аксиома справедлива не только в статике, но и в 
динамике. Далее  мы  этим  воспользуемся 

Аксиома 5 
Равновесие деформируемого тела не нарушится, если 

оно внезапно отвердеет.  

На основе этой аксиомы устанавливается связь между 

условиями равновесия деформируемых и абсолютно твердых 
тел.Условия равновесия сил, приложенных к твердому телу, 
необходимы для равновесия деформируемого тела. Но они не 
являются достаточными для равновесия деформируемого тела.  

1.5.  Простейшие теоремы статики 

Теорема о переносе силы вдоль линии действия. 
Действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, 

если ее перенести в другую точку тела по линии действия. Для 
доказательства рассмотрим тело под действием силы  N  в 
точке A (рис. 1.2). Приложим в точке В на линии действия силы  
N  уравновешенную  систему  сил  T = - S, причем модули  всех 
трех сил одинаковы: N=T=S. На основе аксиомы  2 состояние 

 
 

9