Расчетно-графические работы по сопротивлению материалов. Часть I

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образовательное 

учреждение высшего образования 

 «Российский  университет  транспорта  (МИИТ)» 

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

 

Институт пути, строительства и сооружений 

 

Кафедра «Строительная механика» 

 
 
 

А.М. ЛУКЬЯНОВ,  М.Ю. ЖАРИНОВ,  М.А. ЛУКЬЯНОВ  

 
 

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ 
ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ  

 

 ЧАСТЬ I 

 
 

 

 

Учебное пособие 

 

для 

студентов 

строительных специальностей 

 

 

 
 
 
 
 
 

Москва – 2018 

 
 

 

УДК   539.3/.6:  

      Л 84 

 

 

Лукьянов А.М., Жаринов  М.Ю., Лукьянов М.А.. Расчетно-

графические работы по сопротивлению материалов. Часть I: 
Учебное пособие. - М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 93 с.: ил. 

 

 Излагаются основные теоретические сведения из курса 

«Сопротивление материалов» - определение внутренних 
усилий в поперечных сечениях стержня. Даны основы 
расчетов на прочность и жесткость  при растяжении (сжатие),  
изгибе, а также и при кручение. Приводятся характерные 
примеры с подробными решениями, а также  контрольные 
вопросы и тестовыми задачами.  

 Учебное пособие следует рассматривать как дополнение 

к лекциям и  указанной  учебной литературе. 

 

 

Рецензенты: профессор, доктор технических наук, 

 И.И.Иванченко РУТ (МИИТ), заведующий отделом «Системы 
тягового электроснабжения железных дорог» с.н.с. 
 Ю.Г. Чепелев ВНИИЖТ. 
 
 

 

 

 
РУТ (МИИТ), 2018 

 
 
 
      

 
 
 
 
 

Предисловие 

Данные, общие для всех задач 

 

Учебное 
пособие, 
составлено 
в 
соответствии 
с 

программой курса сопротивление материалов. В каждом 
разделе пособия содержится необходимый теоретический 
материал и ряд рекомендаций, по выполнению расчетно-
графических заданий. 

Цель 
пособия 
ориентировать 
студента 
при 
его 

самостоятельной 
работе 
над 
материалом 
дисциплины, 

выделив узловые вопросы, необходимые для решения задач, 
поставленных в расчетно-графическом задание. 

Прежде всего, ознакомимся со значениями  физических 

величин, как правило, представляются в виде десятичных 
кратных и долевых единиц от исходных единиц СИ путем 
умножения их на число 10 в соответствующей степени. 
Наименование десятичных кратных и долевых единиц 
образуется присоединением приставок к наименованиям 
исходных единиц (табл. 1).  

Таблица  1. 

Кратные и дольные единицы СИ 

Пристав

ка

Обозначе

ние

Множи-

тель

Пристав

ка

Обозначе

ние

Множи-
тель

Тера
Т
1012
Деци
д
10-1

Гига
Г
109
Санти
с
10-2

Мега
М
106
Милли
м
10-3

Кило
к
103
Микро
мк
10-6

Гекто
г
102
Нано
н
10-9

Дека
да
101
Пико
п
10-12

 

Приставки рекомендуется выбирать таким образом, чтобы 

числовые значения величин находились в пределах 0,1 – 
1000; например, сила F= 15,4 кН (килоньютона), но не 0,0154 
МН  (меганьютон) или 1540 даН (деканьютон). 

Для каждой физической величины, как правило, следует 

применять одно (основное) наименование. Например, в 
качестве характеристики количества вещества, заключенного 
в теле, следует применять массу (а не вес); в качестве 
параметра 
вещества 
– 
плотность, 
определяемую 
как 

отношение массы к объему.  

Если в условиях задач отсутствуют специальные указания, 

то при их решении следует принимать следующие средние 
значения физических характеристик материалов. 

Расчетное сопротивление прокатной стали: растяжению, 

сжатию и изгибу R = 210 МПа, срезу Rср = 130 МПа. 

Остальные характеристики даются в следующей табл. 2 

 

Таблица  2.   

Общие данные для всех задач  

Мате-
риал

Модули упругости

Температурный

коэффициент,α

Коэффициент

Пуассона μ

Плотность ρ,

кг/м2

Е, ГПа
(кг/см2)

G, ГПа
(кг/см2)

Сталь
Чугун
Медь
Алюминий 
и дюраль
Дерево

200(2·106)
100(1·106)
100(1·106)
70 (0,7·106)

10(0,1·106)

80(8·105)
45 (4,5·105)
40 (4,0·105)
27 (2,7·105)

0,55(0,055·105)

12·10 -6
10·10 -6
16·10 -6
23·10 -6

-

0,30
0,25
0,32
0,30

-

7850
7200
8500
2700

500
(сосна)
750 
(дуб)

 

 

 

 
 
 
 
 

 
 

1.  Основные сведения и требования к выполнению 

заданий по сопротивлению материалов  

 

  Задания предусматривают выполнение как расчетно-

графических,  так и учебно-исследовательской работы (УИР), 
которая 
выдается 
преподавателем 
в 
индивидуальном 

порядке. 

Защита оформленных заданий производится строго в 

указанные сроки. Все задания, зачтенные преподавателем, 
предоставляются на экзамен  в обязательном порядке. 

Выполненные 
задания 
оформляются 
в 
виде 

пояснительной записки на бумаге размером 210х297. 

Записка 
должна 
содержать 
текстовую 
часть, 

вспомогательные схемы, пояснение хода решения, формулы, 
основные 
вычисления 
с 
указанием 
размерностей 
в 

полученных промежуточных  и окончательных  результатах. 
Вычисления без комментариев в записке не допускаются. 
Схемы заданных конструкций и графические результаты 
решения строго в масштабе изображаются на отдельных 
форматках и снабжаются подписями. 

При 
оформлении 
задач 
по 
УИР 
следует 
описать 

постановку 
задачи, 
способ 
решения 
и 
результаты 

исследования. 
 

1.1.   Задачи сопротивления материалов 

 

Трудно представить себе мир без окружающих нас 

инженерных сооружений – конструкций промышленных и 
гражданских зданий, автомобилей, железных дорог и др.  

Большинство из них имеют сложную конструкцию и 

состоят из множества элементов. В процессе эксплуатации 
элементы конструкции подвергаются действию различных 
сил. Например, на опоры моста передается его собственный 
вес и вес проходящего по нему транспорта. 

Сопротивление 
материалов 
– 
азбука 
расчетов 
на 

прочность,  где рассматриваются методы расчетов на 
прочность, жесткость и устойчивость типовых элементов 
конструкций.  

Прочностью называется способность материала или 

конструкции, воспринимать, различные воздействия, не 
разрушаясь. 

Под разрушением подразумевается полное нарушение 

целостности тела (конструктивного элемента). 

Жесткостью называется, способность материала или 

конструкции сопротивляться упругим деформациям. Можно 
также сказать, что жесткостью конструкции называют ее 
способность воспринимать нагрузку 
без существенного 

изменения размеров и формы. 

Устойчивостью называется, способность конструкции и 

ее частей сохранять под воздействием заданной нагрузки 
первоначальную форму упругого равновесия. Обычно потеря 
устойчивости сопровождается большими перемещениями 
или разрушением конструкции. На устойчивость необходимо 
рассчитывать 
такие 
элементы 
конструкции, 
характер 

деформации которых претерпевает резкое качественное 
изменение 
при 
достижении 
нагрузкой 
некоторого 

определенного  значения. 

 
1.2.  Основные типы опорных связей и балок 

 

Различают три основных вида опорных закреплений 

(опор), применяемых для плоских стержневых систем: 
шарнирно-подвижная опора, шарнирно-неподвижная опора, 
заделка (защемление). Условные обозначения опор и 
опорные реакции, которые в общем случае могут в них 
возникнуть, показаны на рис. 1.1. 

Рис. 1.1. Основные типы опорных связей

Шарнирно-подвижная 
опора 
допускает 
перемещение           

опорного сечения параллельно опорной плоскости, поворот 
его 
в 
вертикальной 
плоскости 
относительно 
 
оси 

цилиндрического 
шарнира 
и 
не 
дает 
возможности 

перемещения в направлении наложенной связи. Реакция 
такой опоры VA направлена вдоль опорной связи. 

Шарнирно-неподвижная опора не допускает смещений 

опорного сечения ни в продольном, ни в поперечном 
направлениях, 
но 
допускает 
поворот 
этого 
сечения 

относительно 
шарнира. 
Реакция 
шарнирно-неподвижной  

опоры  проходит  через  центр  шарнира, а ее величина и 
направление зависят от действующих на балку нагрузок. 
Вместо определения величины и направления этой реакции 
целесообразно определять отдельно две её составляющие - 
вертикальную VA и горизонтальную НА. В частных случаях, 
некоторые реакции могут быть равны нулю (например, если 
балка несет вертикальную нагрузку, то горизонтальная 
составляющая опорной реакции равна нулю). 

Заделка (жесткое закрепление) не допускает поворота 

опорного сечения  и  перемещения  его  ни  в  каком  
направлении,  т.е.  на  это сечение наложено три связи. 

В 
такой 
опоре 
возникают 
вертикальная 
VA 
 
и 

горизонтальная НА  составляющие опорной реакции и 
реактивный момент МА. 

На практике чаще всего балки соединяются с основанием 

при помощи указанных опор или их сочетаний.  Наиболее 
широкое распространение получили следующие типы балок: 

-консоль (рис.1.2, а) – балка с одним жестко защемленным 

и другим свободным концом;  

- простая (рис.1.2, б) – однопролетная балка, имеющая по 

концам шарнирные опоры, расстояние между опорами  
называют пролетом балки; 

- консольная (рис.1.2, в, г) – простая балка, имеющая одну 

или две консоли (под  консолью понимается часть балки, 
продолжающаяся за опору).  

В опорах балок, изображенных на рис. 1.2, от заданной 

плоской системы сил возникают три реактивных усилия; для 
их определения составляются три уравнения равновесия.  

При определении опорных реакций в балке-консоли 

(рис.1.2, а) следует использовать следующие уравнения 
равновесия:                                       
                    Z = 0, Y = 0, M = 0 .                       (1.1) 
 

В балках, показанных на рис. 1.2, б - г, опорные реакции 

можно 
определить, 
используя 
различные 
комбинации 

уравнений равновесия (1.1). При этом рекомендуется та, 
комбинация, при которой в каждое уравнение равновесия 
будет входить только одна неизвестная реакция, а именно: 
                    

Z = 0, МА = 0, MВ = 0.                 (1.2) 

 

 

Рис. 1.2. Типы балок 

 
В первое уравнение в качестве неизвестного входит 

реакция - НА, во второе - VВ, в третье - VA. При определении 
опорных 
реакций 
рекомендуется 
составлять, 
помимо 

уравнений, 
использованных 
для 
решения, 
контрольное 

уравнение равновесия Y= 0. Эта проверка обязательна, так 
как  она гарантирует правильность определения значений и 
направлений вертикальных реакций  VA и VВ, Сумма 
вертикальных реакций должна быть равна сумме всех 
вертикальных внешних сил.  

 
1.3.  Метод сечений 

 

При  действии на тело внешних сил оно деформируется. 

Следовательно, меняется взаимное расположение частиц 
тела; в результате этого возникают дополнительные силы 
взаимодействия между частицами. Эти дополнительные 
силы взаимодействия в деформированном теле будем 
называть  внутренними  силами  (усилиями). При решении 
задач 
сопротивления 
материалов 
необходимо 
уметь 

определять значение и направление внутренних усилий 
(например, в задачах, где оценивается прочность элементов 
конструкций). Для их определения используется  метод  
сечений. 

Рассмотрим  тело, имеющее форму бруса (стержня) и 

находящееся в равновесии под действием системы внешних   

сил  Fi. Пусть требуется определить внутренние усилия в 
произвольном сечении а–а этого бруса (рис.1.3, a).  

 

 

Рис. 1.3. Определение внутренних усилий методом сечений 

 
Мысленно рассечем его по сечению  а–а  на две части I и  

II  и удалим одну из частей,  например часть  I (обычно 
оставляется та часть, для которой получается  простое 
решение или к которой приложено меньше внешних сил). 
Оставшаяся  часть  II,  в общем случае,  не будет находиться 
в  равновесии.  Для сохранения этой части бруса в  
равновесии 
 
необходимо 
к 
ней 
приложить 
усилия, 

распределенные по сечению  а-а (рис. 1.3, б). Эти усилия и 
есть внутренние усилия в сечении а-а бруса. Они заменяют 
собой 
действие 
отброшенной 
части 
I 
(вместе 
с 

приложенными к ней внешними силами) на оставшуюся  
часть II. Внутренние усилия, согласно закону о равенстве 
действия и противодействия, которые приложены к части  II  
в сечении а-а равны и противоположны по направлению 
внутренним усилиям, действующим на часть I  в том же 
сечении.  

В соответствии с правилами статики приведем систему 

внутренних усилий, действующих на часть II, в сечении а–а, к 

главному вектору R   и  главному моменту М ,  приложен-
ных  в центре тяжести этого сечения.   

Выберем систему координат   x, y, z  с началом в том же 

центре тяжести.  Ось z  направим по внешней нормали к 
сечению, а оси  x, y  расположим в  плоскости  сечения (см. 
рис. 1.3, в). 

Разложим 
главный 
вектор 
и 
главный 
момент 
на 

составляющие  по   осям  x, y, z .  В  результате  получим   
шесть 
 
составляющих, 
которые 
принято 
называть  

внутренними  силовыми  факторами или  внутренними 
усилиями.  

Составляющие главного вектора (рис. 1.3, в) называются:  

усилие вдоль оси  z  -  продольной силой  N; усилия вдоль 
осей  x  и  y   - поперечными силами Qx и Qy. 

Составляющие главного момента   называются:                                   

момент относительно оси  z - крутящим моментом  Мz; 
моменты относительно осей  x и y - изгибающими   
моментами   Мx   и  Мy. 

Таким образом, после приложения в сечении  а  -  а  к 

части  II  усилий, заменяющих собой действие отброшенной 
части I  (в общем случае, шести силовых факторов), 
оставшаяся часть II, которая нагружена и приложенными к 
ней внешними силами, находится в равновесии. Поэтому для 
части II можно записать шесть уравнений равновесия: 

Ост.ч.
Ост.ч.           
Ост.ч                                  

ΣХ = 0;           ΣY= 0;        ΣZ= 0;  

Ост.ч.       
Ост.ч.                   Ост.ч.                 

ΣМx = 0;         ΣMy = 0;           ΣMz = 0.

(1.3)

Из приведенных первых трех уравнений равновесия 

соответственно  находим Qx , Qy и N, а из трех последних 
уравнений – Мx, Мy  и Мz. 

Заметим, что знак у этих усилий, получаемый из решения 

уравнений равновесия, указывает на правильность (знак 
плюс) или    неправильность    (знак минус)    выбранных    
направлений внутренних усилий. 

Таким 
образом, 
метод 
сечений 
дает 
возможность 

определить 
в 
сечении 
направление 
и 
значение 

равнодействующих внутренних усилий.  

В 
первом 
семестре 
студенты 
строительных 

специальностей  выполняют по дисциплине «Сопротивление