Расчет стержней на устойчивость и продольно-поперечный изгиб

 

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образовательное 

учреждение высшего образования 

«Российский университет транспорта (МИИТ)»  

___________________________________________________________________________________________________ 

 

Институт пути, строительства и сооружений 

 

Кафедра «Строительная механика» 

 

 

А.М. ЛУКЬЯНОВ, М.А. ЛУКЬЯНОВ 

 

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА 

УСТОЙЧИВОСТЬ И ПРОДОЛЬНО- 

ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ 

 

 

Учебно-методическое пособие  по дисциплине       

 «Сопротивление материалов» 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва  -  2018 

 

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образовательное 

учреждение высшего образования 

«Российский университет транспорта (МИИТ)»  

   _____________________________________________________________________________________________________________________ 

 

Институт пути, строительства и сооружений 

 

Кафедра «Строительная механика» 

 

А.М. ЛУКЬЯНОВ, М.А. ЛУКЬЯНОВ 

 

 

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА 

УСТОЙЧИВОСТЬ И ПРОДОЛЬНО- 

ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ 

 

 

Учебно-методическое пособие 

 для студентов всех технических специальностей  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва  -  2018 

 

 

 

 

УДК   539. 
  Л - 84 

 
Лукьянов 
А.М., 
Лукьянов 
М.А. 
Расчет 
стержней 
на 

устойчивость 
и 
продольно-поперечный 
изгиб: 
Учебно- 

методическое пособие. - М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 48 с.: ил. 

 
Излагаются основные теоретические сведения из курса 

«Сопротивление материалов», относящиеся к основам расчета 
сжатых стержней на устойчивость и продольно-поперечный 
изгиб. 
Приводятся 
характерные 
примеры 
с 
подробными 

решениями.  

Учебно-методическое пособие предназначено для оказания 

помощи 
студентам 
в 
их 
самостоятельной 
работе 
при 

выполнении домашнего задания и его следует рассматривать 
как дополнение к лекциям и учебной литературе.  

При 
выполнении 
домашнего 
задания 
рекомендуется 

использовать учебники:  

1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление 
материалов.Часть 1.9-е изд.М:Юрайт,2016, - 294 с.: ил. 

2. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление 
материалов.Часть 2.9-е изд.М:Юрайт.2016. - 274 с.: ил. 

3. Лукьянов А.М, Лукьянов М. А. Сопротивление материалов. 

Учебное пособие.– М.: ФГБУ ДПО «Учебно-методический центр 
по образованию на железнодорожном транспорте», 2017,– 598 
с.: ил. 
 

Рецензент: доцент, к.т.н. Бондаренко А.И. РУТ (МИИТ), 

кафедра «Теоретическая механика». 
 
 
 

                                          РУТ (МИИТ), 2018    

 

 
 
 
 
 
 
 

 

Введение 

Учебно-методическое пособие подготовлено в соответствии с 

программой курса сопротивление материалов, и предназначено 
для студентов  электромеханических специальностей. 

В  нем  изложены основные положения теории расчета 

сжатых стержней на устойчивость и продольно-поперечный 
изгиб. Оно  содержит  также характерные примеры с 
подробными решениями. Даны необходимые пояснения и 
рекомендации, а также излагаются некоторые положения, 
рассчитанные на улучшение понимания изучаемых вопросов. 
Очевидно, 
что 
результативное 
использование 
учебно-

методического пособия возможно лишь в случае достаточной  
проработки теоретического материала  по лекциям и учебной 
литературе, а также приобретения навыков решения задач на 
практических занятиях. 

 Цель пособия - помочь и ориентировать студента для 

владения 
методами 
решения 
типовых 
задач, 
при 
его 

самостоятельной работе над материалом дисциплины, а также 
сэкономить время, затрачиваемое им на выполнение домашнего 
задания, выделив лишь узловые вопросы. 

1. Понятие об устойчивости 

Расчет на устойчивость имеет важное значение для тех 

элементов 
конструкций, 
которые 
представляют 
собой 

сравнительно длинные и тонкие стержни, тонкие пластины и 
оболочки. Мы будем рассматривать лишь простейшие случаи 
расчета на устойчивость сжатых стержней.  

Существует 
три 
вида 
равновесия 
тел: 
устойчивое,  

безразличное и неустойчивое. 

Устойчивым называют такое равновесие, при котором тело 

после малого отклонения от исходного положения возвращается 
в это положение при устранении воздействия, вызывающего  это 
отклонение. 

Безразличным называют такое состояние тела, когда тело 

после отклонения остается в равновесии и в новом положении. 

Неустойчивым называют такое состояние тела, когда тело 

при малом отклонении не возвращается в исходное положение, 
а удаляется от него.  

Особенности общепринятой расчетной схемы устойчивости 

поясним на традиционном примере.  

Шар, лежащий на вогнутой поверхности, рис. 1, а,  находится 

в  состоянии  устойчивого  равновесия.  Если  ему  сообщить 

 
3 

 небольшое отклонение от этого положения и отпустить, то он 
возвратится в исходное состояние. 

 Шар, лежащий на выпуклой поверхности, рис. 1, б, покатится 

вниз и не вернется в исходное положение.  Он находится в 
состоянии неустойчивого равновесия.  

Третье 
положение 
шара, 
рис.1, 
 
в, 
также 
является 

устойчивым, 
но 
оно 
 
отличается 
от 
первого. 
Будучи 

отклоненным,  он в исходное положение не возвращается, но 
движение 
его прекращается. Говорят, шар находится в 

состоянии безразличного устойчивого равновесия. 

Рис. 1. 

Рассмотренный пример относится к задачам устойчивости 

положения 
абсолютно 
твердого 
тела. 
В 
механике 

деформируемого 
твердого 
тела 
рассматриваются 
задачи 

устойчивости  элементов конструкций при их деформировании, 
т.е. 
основным 
является 
установление 
зависимости 
вида 

равновесия от сил, действующих на элемент конструкции. 

 Так, аналогичным образом будет вести себя длинный и 

тонкий сжатый стержень.  Характер равновесия будет определяться 
уровнем действующей силы. В зависимости от величины 
силы стержень может иметь прямолинейную или искривленную 
форму равновесия (рис. 2). 

 

Рис. 2. 

 При действии на стержень осевой сжимающей силы F, рис. 2 

а, меньшей некоторого критического значения Fкр, стержень 
сохраняет  исходную  прямолинейную  форму  равновесия. Это 

 

4 

 значит, что при F < Fкр прямолинейная форма  равновесия 
стержня является устойчивой.    

Частота малых колебаний стержня по отношению к исходной 

прямолинейной 
форме 
равновесия 
зависит 
от 
величины 

сжимающей 
силы 
 
F. 
При 
возрастании 
силы 
частота 

уменьшается. Когда величина силы достигнет критического 
значения, частота колебаний обратится в нуль, и стержень 
придет в состояние безразличного равновесия. Если теперь 
слегка отклонить стержень от первоначального прямолинейного 
состояния, а затем отпустить, то он останется в изогнутом 
состоянии  (рис. 2, б). Таким образом, при  F = Fкр 
прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой. 
Происходит раздвоение (бифуркация) форм равновесия, то есть 
наряду с прямолинейной возможно существование смежной 
слегка искривленной формы равновесия. 

Наименьшая величина силы, при которой первона-

чальная форма равновесия становится неустойчивой, 
называется критической силой. 

Приложение к стержню силы, равной критической или 

превышающей 
её, 
приводит 
к 
потере 
устойчивости 

первоначальной прямолинейной формы равновесия, и стержень 
изгибается. Это явление называется продольным изгибом. 
Особенностью продольного изгиба является внезапность  
возникновения. 

При дальнейшем увеличении сжимающей силы сверх 

критического значения (рис. 2, в) , F >  Fкр, происходит резкое 
нарастание прогибов и возникновение значительных допол-
нительных напряжений изгиба. 

 Описанное явление получило название потери устойчивости. 
 Вместе с тем, обращает на себя внимание тот факт, что для 

различных 
уровней 
сжимающей 
силы 
различно 
число 

равновесных состояний.  

При малых силах исходное  состояние является единственно 

возможным. При увеличении силы наряду с исходным сущест-
вуют два отклоненных состояния, в данном случае симмет-
ричных относительно положения равновесия и реализуемых в 
зависимости от направления  возмущения. В общем  случае 
количество этих отклоненных состояний может быть и большим. 
Но при этом впервые отклоненные равновесные  состояния 
обнаруживаются именно при действии критической силы.  

Явления потери устойчивости возможно не только для 

простейших  сжатых   стержней. Возможны более сложные слу- 

 

5 

чаи потери устойчивости  рам, арок, пластин и оболочек. 

 Некоторые примеры потери устойчивости приведены на рис. 

3. При сжатии кольца или тонкой оболочки радиально 
направленными нагрузками (рис. 3, а) при некотором их 
значении (критическом)  круговая форма сечения переходит в 
эллиптическую (рис. 3, б). Консоль  вытянутого прямоугольного 
сечения, длиной  l, (рис. 3, в), работающая на прямой изгиб в 
плоскости наибольшей жесткости при критическом значении 
изгибающей 
силы, 
закручивается 
(рис. 
3, 
г). 
Конечно, 

изложенными примерами не исчерпывается все многообразие 
случаев потери устойчивости. 

 

Рис. 3. 

Понятие потери устойчивости, приводит к необходимости 

нахождения критических сил и нагрузок, тем более что, как 
показывает опыт проектирования, даже для стержня,  потеря 
устойчивости, происходит при напряжениях, меньших предела 
текучести материала (и даже предела пропорциональности). 
Другими словами потеря устойчивости происходит ранее 
исчерпания прочности стержня. 

 Необходимо заметить, что понятие устойчивости не следует 

смешивать с понятием прочности; каждое из них имеет самосто- 
ятельное значение 

 

6 

 

.В некоторых случаях при выполнении практических расчетов на 
устойчивость    критическую  нагрузку  считают   разрушающей, 
а допускаемую нагрузку определяют как часть критической: 

 
 
у
кр
n
F
F
/


где 
[nу] 
- 
нормируемое 
значение 
коэффициента 
запаса 

устойчивости; 
[F] – допускаемое значение силы, сжимающей стержень; 
 Fкр 
– 
критическое 
значение 
сжимающей 
силы 
для 

рассчитываемого стержня. 

Величина коэффициента запаса устойчивости принимается 

примерно равной коэффициенту запаса прочности. Например, 
для стержней из стали,[n у ]= 2 – 4, из чугуна [n у ] =4 - 6. 

 

2.  Формула Эйлера для определения критической силы 
 
Рассмотрим шарнирно опертый по концам центрально 

сжатый стержень длиной l , жесткостью поперечного сечения на 
изгиб EI (рис. 4) . 

 

Рис. 4. 

 
Воспользуемся для определения критического значения силы 

F   статическим методом. Для этого зададим системе отклонен-
ное изогнутое равновесное состояние и определим условие,  
при 
котором 
оно 
оказывается 
впервые 
возможным 
при 

статическом увеличении значения силы. Таким образом, по 
существу мы заменяем задачу об определении критической 
силы задачей о бифуркации  равновесных состояний. При этом 
остается за рамками обсуждения вопрос о том, какими  
качественно являются все эти равновесные состояния – 
устойчивыми или неустойчивыми. Такой  анализ возможен лишь 
при исследовании энергии системы, который мы проводить не 
будем.            

 

7 

 

Итак, задаем системе отклоненное состояние, характеризуемое 
перемещениями 
)
(z
v
 (см. рис. 4). Тогда, используя приближен-

ное  дифференциальное  уравнение  изогнутой   оси  стержня, 
запишем: 

Fv
z
M
EIv




)
(
//
,
(1)

знак « - »  поставлен потому, что полученный изгибающий 
момент создает отрицательную кривизну стержня. Заметим, что 
изгибающий момент определяется для деформированного его 
состояния. 

Стандартно  обозначим:                   

EI
F
k
/
2 

где k -  коэффициент продольной силы [1/ cм]. Тогда приходим к 
линейному однородному  дифференциальному уравнению:  

0
2
//


v
k
v
(2)

Общее решение уравнения (2) имеем вид: 

kz
C
kz
C
v
cos
sin
2
1


(3)

Произвольные постоянные С1  и  С2  определим из 

граничных условий:  

1) z = 0     v = 0 ,      2) z = l     v = 0 . 

Из первого граничного условия следует, что С2 = 0 , а из 

второго получим: 

0
sin
1

kl
С
, 
(4)

если   С1  = 0 , то имеем тривиальное решение  v = 0 . Такое 
решение соответствует равновесию не искривленного стержня. 
Если же          С1   0 , то  
0
kl
sin

. Это условие возможно 

тогда, когда kl  = 0 ,  , 2, ….. n , где n – произвольное целое 
число. Первое условие дает n = 0, очевидно  F = 0 ,либо ЕI = 
∞,т.е. продольного изгиба нет. Рассматривая  второе значение, 
как приводящее  к  минимальному значению силы, получим:   

2

2

l
EI
π
F 
(5)

При таком значении действующей силы оказывается впервые 

возможным существование отклоненных изогнутых состояний 
стержня, бесконечно близких к исходному. Анализ энергии 
системы показывает, что при бесконечно малом превышении 
этого значения силы исходное  прямолинейное состояние 
становится неустойчивым. 

 

8 

 

Изогнутые равновесные состояния описываются  синусоидой 

l
z
C
v


sin
1
,                    
(6)

При этом величина С1  в линейной постановке задачи 

остается неопределенной. Практически это означает, что при 
этом значении силы любые возмущения приведут к тому, что 
внезапно появятся прогибы и напряжения резко возрастут. 
Такая 
внезапность 
чрезвычайно 
опасна 
для 
реальных 

конструкций и ее следует предупредить расчетом, правильно 
назначив размеры поперечного сечения. 

Критическая сила, определенная по (5), оказывается не 

зависящей от характеристик прочности материала. Следует 
обратить внимание, на то, что для двух стержней с одинаковыми 
геометрическими характеристиками, но изготовленными из 
малоуглеродистой стали и высокопрочной низколегированной 
стали, критические силы одинаковы,  т.к. значения модуля 
упругости для них практически не отличаются. 

 

3.  Влияние способа закрепления концов стержня на 

значение критической силы  

 
Вернемся к дифференциальному уравнению (2), для которого 

получены 
значения 
критической 
силы 
 
и 
отклоненные 

равновесные состояния, смотри рис. 5, а. Если взять два  следу-
ющих 
решения 
для 
характеристического 
уравнения  

устойчивости, для n = 2 и n = 3, то мы получим: 

2

2

2
4
|
l

EI
F
n



, 

l
z
C
v n





2
sin
|
1
2

2

2

3
9
|
l

EI
F
n



,   

l
z
C
v n





3
sin
|
1
3

Следовательно, 
при 
дальнейшем 
 
увеличении 
силы 

оказываются возможными еще два равновесных  состояния. Для 
первого, из них при увеличении силы в 4 раза,  отклоненное 
равновесное состояние  представлено в виде двух полуволн 
синусоиды (рис. 5, б). Для другого состояния при увеличении 
силы в 9 раз, отклоненное равновесное состояние имеет вид в 
виде трех полуволн синусоиды (рис. 5, г). Эти состояния не 
имеют практического значения, т. к. являются неустойчивыми, 
что и устанавливается анализом энергии. Изучение этого реше- 

 
 

9