Расчет стержней на сложное сопротивление

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА  

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение 

высшего образования 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА» 

___________________________________________________________ 

 
 

Кафедра «Строительная механика» 

 
 
 
 
 
 
 

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 

 
 

Учебно-методическое пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

МОСКВА – 2020

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА  

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение 

высшего образования 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА» 

___________________________________________________________ 

 
 

Кафедра «Строительная механика» 

 
 
 
 
 
 
 

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 

 
 

Учебно-методическое пособие 

 

для студентов строительных специальностей 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

МОСКВА – 2020

УДК 539 
 
Р24 
 
 
Расчет стержней на сложное сопротивление: Учебно-методическое пособие к 

домашнему заданию по дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов 
строительных специальностей/ Лукьянов А.М., Лукьянов М.А., Жаринов М.Ю., Алферов И.В. 
– М.: РУТ (МИИТ), 2020. – 31 с. 
 
 
 

 
Учебно-методическое пособие подготовлено в соответствии с действующей 

программой курса. Пособие предназначено для студентов   транспортных специальностей, 
изучающих дисциплину «Сопротивление материалов». В нем излагаются основные 
теоретические сведения, рассматривается решение типовых задач.  

 
Учебно-методическое пособие предназначено для оказания помощи студентам в их 

самостоятельной работе при выполнении расчетно-графической работы и при подготовке к 
экзамену по разделу «Расчет стержней на сложное сопротивление». 

 
 
 
 

Рецензент   д.т.н., профессор кафедры «Теоретическая  механика» РУТ (МИИТ)   
                    Косицын С.Б. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

© РУТ (МИИТ), 2020 

СОДЕРЖАНИЕ 

 

Введение   ..........................................................................................................................  
4 

1. Краткие  сведения  о видах деформации  стержня (бруса) при сложном сопротивлении 5 

2. Построение эпюр внутренних усилий для стержня с ломанной осью ....................  
5 

3. Косой изгиб....................................................................................................................  
9 

4. Изгиб с растяжением или сжатием..............................................................................  
13 

5. Изгиб с кручением ........................................................................................................  
16 

6. Общий случай сложного сопротивления ....................................................................  
20 

7. Ядро сечения .................................................................................................................  
24 

8. Определение перемещений в пространственном стержне .......................................  
27 

Контрольные вопросы ......................................................................................................  
30 

 

 
 

Введение 

 

Учебно-методическое пособие подготовлено в соответствии с действующей программой 

курса. Пособие содержит краткий обзор необходимого теоретического материала, подбор задач и 
рекомендаций к выполнению расчетно-графического задания «Расчет стержней на сложное 
сопротивление». 

Очевидно, что результативное использование методического пособия возможно лишь в 

случае достаточной проработки теоретического материала по лекциям и учебной литературе, а 
также приобретения навыков решения задач на практических занятиях. Оно ставит цель 
ориентировать студента при его самостоятельной работе над материалом дисциплины, выделив 
узловые вопросы, необходимые для решения задач. 

 
 

1. Краткие  сведения  о видах деформации  стержня (бруса) при сложном сопротивлении 

 

К сложному сопротивлению относятся те виды загружений стержня, при которых в его 

поперечных сечениях одновременно возникает не менее двух внутренних силовых факторов.  

Термин «сложное сопротивление» используется с той целью, чтобы подчеркнуть, что в 

рассматриваемом поперечном сечении  внутренние силы приводятся к нескольким компонентам. 
Встречаются различные сочетания компонент внутренних сил. 

Косой изгиб – такой случай изгиба стержня, при котором  плоскость действия 

суммарного изгибающего момента в сечении не совпадает ни с одной из главных осей инерции. 

Внутренние силы приводятся к двум изгибающим моментам Мх  и Му, а продольная сила 

N = 0. 

Изгиб с растяжением  или сжатием – такой  вид загружения стержня, когда кроме 

изгибающего момента в сечении действует и продольная сила. Крутящий момент Мz, отсутствует. 

Изгиб с кручением – такой вид загружения стержня, при котором, в сечениях  

одновременно действуют изгибающий и крутящий моменты.  

Общий случай сложного сопротивления – такой вид загружения  стержня, когда в его  

поперечном сечении  действуют все внутренние силовые факторы, а именно продольная сила N, 
изгибающие моменты Мх, М у, крутящий момент Мz.  

В каждом из приведенных сочетаний возможны ненулевые поперечные силы Qх, Qу.  
Расчет стержня, работающего на сложное сопротивление, разбивается на ряд этапов. 
1. Построение эпюр внутренних усилий. 
Построенные эпюры позволяют выделить те «опасные» сечения, в которых разрушение 

материала стержня наиболее вероятно. 

2. Построение эпюр нормальных и касательных напряжений в «опасных» сечениях 

бруса. 

По построенным эпюрам можно установить точки, в которых возникает наиболее 

опасное сочетание нормальных и касательных напряжений. 

3. В «опасных» точках найденного «опасного» сечения выполняется проверка 

прочности. 

Используется избранная гипотеза прочности, в соответствии с которой реализуется 

предельное состояние. 
 

2. Построение эпюр внутренних усилий для стержня с ломанной осью 

 

Построение эпюр внутренних усилий для пространственного стержня, с ломанной осью 

производится в том же порядке, что и для обычных балок, т.е. используется метод сечений. 

Внутренние силовые факторы Nz, Qx, Qу, Mx, Mу и Mz  определяются в каждом сечении 

бруса, исходя из условий равновесия одной из рассматриваемых частей стержня.  

При этом используются следующие правила знаков для Nz, Qx,  Qу, и Mz. 
Растягивающая 
продольная 
сила 
считается 
положительной, 
сжимающая 
– 

отрицательной. 

Поперечная сила считается положительной, если она совпадает по направлению с 

соответствующей координатной осью. 

Крутящий момент положителен, если при взгляде на отсеченную часть со стороны 

сечения он стремится повернуть её по часовой стрелке.  

На эпюрах Nz, Qx, Qу,  и Mz  постановка знаков необходима.  
На эпюрах изгибающих моментов знаки не ставятся.  
Расположение эпюр Nz и M z  по отношению к оси произвольно; плоскость эпюр Qx и Qу 

обязательно совпадают с плоскостями скольжения соответствующей оси.  

Плоскости эпюр изгибающих моментов Mx и Mу непременно перпендикулярны 

соответствующим осям. Сами эти эпюры располагаются со стороны растянутого волокна. 

 

Задача 1. Стержень,  изображенный на рис. 1, а,   испытывает действие сил:  F1 = 100 кН, 

F2 = 300 кН, F3 = 500 кН,  и  равномерно  распределенной нагрузки  интенсивностью                     
g = 300 кН/м. Для заданного стержня требуется построить  эпюры внутренних силовых факторов. 

 

Рис. 1. К задаче 1 

 

Решение. Прежде чем перейти к определению внутренних силовых факторов, для каждого 

участка, необходимо выбрать пространственную прямоугольную систему координат Охуz.  

Обычно используется скользящая система координат. Ось, совпадающая с осью бруса, 

обозначают осью Оz, а две другие оси совмещают с главными осями инерции сечения.  

На каждом последующем участке, система координат получается из предыдущей, путем 

поворота системы координат относительно одной из осей  до совмещения оси Оz с продольной оси 
стержня. На рис. 1, б, на каждом участке показана полученная система координат.  

Поскольку построение эпюр Nz, Qx, Qу  и Mz  не отличается от построения соответствующих  

эпюр для прямолинейных стержней и было изучено ранее, приведем необходимые вычисления и 
построения без комментариев. 

 
В сечении 1-1   (см. рис. 1, б; 0 ≤  z1  ≤  0,50 м): 

 

Nz = 300 кН;       Q x = 100 кН;        Q у = 500 кН;         M z =0. 

 
 
В сечении 2-2 (см. рис. 1, б; 0  ≤  z2  ≤ 0,8 м ): 

 

Nz =100 +100 = 200 кН;   Q x= - 300 кН;   Q у = 500 кН; 

Mz = 500 ∙ 0,5 = 250 кНм. 

 

 
В сечении 3-3 (см. рис. 1, б; 0 ≤  z3  ≤  0,7 м ): 

 

Nz = 500 кН;    Q x =  -  300 кН;  Q у = - 100 - 100 + 300 ∙z3 , 

при  z 3 = 0 м  Qу = - 200  кН,     при  z 3 = 0,7 м  Q у = - 200 +  300 ∙ 0,7 = 10 кН; 

M z = - 100 ∙0,5  + 300 ∙0,8 = 190 кНм. 

 

 
На рис. 2 показаны построенные эпюры Nz, Qx, Qу, и Mz. 

Рис. 2. К задаче 1 

 

Более подробно изложим построение  эпюры  изгибающего момента Mx.  
Известно, что изгибающий момент в сечении равняется сумме моментов внешних сил, 

приложенных к отсеченной части. 

 
 
 В сечении 1-1 (см. рис. 1, б; рис. 3, а,  0 ≤ z1 ≤ 0,5 м), изгибающий    момент  Mx   создает  

лишь  сила  F3  = 500 кН,  другие силы либо параллельны оси,  либо  ее   пересекают,  следовательно:  
 

M x = - 500 z1, 

 

что означает  изменение этого изгибающего момента по длине участка по линейному закону.  
 
Вычислим значения  изгибающего   момента в крайних точках:  

  

z1 = 0,   Mx = 0;     z1 = 0,5 м,   Mx = - 250  кНм; 

отложим  их, как ординаты эпюры, со стороны  растянутого волокна.  

 
 

 Определению положения растянутого волокна, может  помочь чертеж, (см. рис. 3, а) 

показывающий деформирование отсеченной части под действием силы F3 в предположении  
неподвижности сечения  1-1. 

  
В сечении 2-2 (см. рис. 3, б, в,   0 ≤  z2  ≤  0,8 м), изгибающий момент M x создает вновь 

только одна сила F3 = 500 кН: 

 

Mx = - 500 z2, 

 

z2 = 0,   M x = 0 ;      z2 = 0,8 м,   M x = -  400  кНм. 

 
 
Имеем прямолинейную эпюру  изгибающих моментов Mx, расположенную слева от оси, т.к. 

именно слева располагаются растянутые волокна. 

 
В сечении 3-3 (см. рис. 3, г, д, и,    0 ≤  z3  ≤  0,7 м), изгибающий момент  M x  создают три 

силы.  Сила F3   и  две   силы F1,  а также интенсивность равномерно распределенной нагрузки g = 
300 кН/м: 

M x = - 500 ∙0,8 + 100 ∙z3 +100 ∙z3  - 300 ∙z3 ∙ z3 /2 ; 

 

 
Изгибающий момент изменяется по квадратичной зависимости. Для построения эпюры Mx 

следует определить значения  изгибающего момента в трех сечениях: в начале и конце участка, а 
также в сечение, где Qу = 0, так как в этом сечении изгибающий момент достигает экстремального 
значения. Для этого, выражение поперечной силы на  третьем участке приравняем нулю: 

 

Q у = - 200 + 300 ∙z3 = 0, отсюда   z3 = 0,667 м. 

 

Вычислим  значения изгибающего момента: 

 

z3 =0,   Mx= - 400 кНм;     z3 =0,7 м,   Mx = - 333,5 кНм; 

 

z3* = 0,667 м, Mx* = - 333,3 кНм. 

 

 

Рис. 3. К задаче 1 

 

Положение растянутого волокна при z3 = 0 определяется рассмотрением заделанной в месте 

сечения отсеченной части (см. рис. 3, д ) под действием внешнего момента от силы F3 .  

При z3 = 0,7 м на отсеченную часть, заделанную в месте сечения (см. рис. 3,  и), следует 

подействовать  этой же силой F3 ,  силами   F1, и распределенной нагрузкой, интенсивностью g, 
положение растянутого волокна не меняет. 

Эпюру изгибающего момента Mу  предоставим возможность построить читателю; для 

справок приведем лишь уравнения для построения Mу   и вычисления крайних ординат. 

 
 
Для сечения 1-1 (0 ≤  z1  ≤  0,5 м ) 

M у  = - 100 ∙z1 ; 

z1 =0,   M у =0;     z1 =0,5 м,   M у = - 50  кНм. 

 
Для сечения 2-2 (0 ≤  z2  ≤  0,8  м  ) 

 

M у  = 300 ∙z2 - 100 ∙0,5 

z2 =0,   M у = - 50 кНм;     z2 =0,8 м,   M у = 190 кНм. 

 
Для сечения 3-3 (0 ≤  z3  ≤  0,7 м ) 

Mу  = 300 ∙ z3  -  500 ∙ 0,5 

z3 =0,   M у = – 250  кНм;     z3 =0,7 м,   M у = 210 - 250 = - 40 кНм. 

 
Таким образом, все внутренние силовые факторы определены.    

 
На рис. 2 и рис. 3, показаны эпюры Nz, Qx, Qу, Mx,  Mу и Mz.  

 
Эпюры позволяют выявить положение опасного сечения на каждом участке, по величинам 

(значениям) внутренних силовых факторов.  

 
Положение опасного сечения на первом и втором участках имеет место, в конце каждого 

участка. На третьем участке в начале. Опасное сечение, как правило, отмечается римскими 
цифрами (см.  рис. 1). 
 

3. Косой изгиб 

 

Представим такое загружение бруса, при котором в его поперечном сечении возникает 

изгибающий момент, плоскость действия которого не проходит ни через одну из главных осей. 
Такой вид нагружения принято называть  к о с ы м   и з г и б о м. 

Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения стержня  определяются по 

формуле: 

x
I
M
y
I
M
y
y
x
x




)
/
(
)
/
(

(1)

где   Мх  и   Му  - изгибающие моменты в рассматриваемом поперечном сечении; Iх  и  Iу   -  главные 
центральные моменты инерции; х и у  - координаты точки, в которой определяется напряжение. 

Как и при прямом изгибе, в сечении существует нейтральная ось, в точках которой напряжения 

равны нулю.  Ее уравнение:   

0
))
/
/(
)
/
((




x
I
M
I
M
y
x
x
y
y
(2)

После преобразований из (2) может быть получена зависимость, определяющая положение 

нейтральной оси:  

)
/(
)
(
y
x
x
y
I
M
I
M
tg





(3)

Возможны два приема использования этих формул. В соответствии с первым, все величины 

подставляются в формулу со своими знаками,  считая положительными изгибающий момент, 
вызывающий растяжение волокон, принадлежащих первой четверти выбранной системы 
координат. Отметим, что это правило знаков действует лишь при  выполнении вычислений по 
приведенным выше формулам. 

В соответствии с другим приемом все величины подставляются в формулы по абсолютной 

величине, а затем ответу для составляющих напряжений приписывается знак, определяемый 
физическим смыслом задачи.  

В практике решения задач используются оба эти приемы. 
Перечислим некоторые свойства нейтральной  линии: 
1. Нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения. 
 2. Нейтральная линия делит сечение на две части: в одной σ > 0, другой σ < 0. 
 3. Нормальные напряжения в сечении изменяются прямо пропорционально расстоянию 

от нейтральной линии, достигая максимальных значений (по модулю) в наиболее удаленных 
от нейтральной линии точках сечения. 

Для сечений, у которых  I х = I у , любая центральная ось является главной и изгиб от любой 

наклонной силы превращается в главный плоский изгиб (изгиб будет прямым, такие сечения не 
работают на косой изгиб), такими сечениями, например являются круг, квадрат, равносторонний 
треугольник или составные сечения (см.  рис. 4). Косой изгиб может быть весьма опасен, особенно 
для сечений с резко различными моментами инерции  Iх   и Iу  ( для узких и высоких сечений). 

Рис. 4. 

Определение прогибов при косом изгибе производится на основе принципа независимости 

действия сил: определяют отдельно прогибы  f x   и   f  y   в каждой из главных плоскостей, а затем 
путем их геометрического суммирования определяют полный прогиб:  

y
2
x
2
f
f
f


(4)

 

 
Задача 2. Деревянная балка (рис. 5, а) прямоугольного сечения 12 х 24 см2  подвергается 

действию сосредоточенной силы  F = 0,25 кН, приложенной на свободном конце в плоскости 
поперечного сечения бруса. Линия действия силы проходит через центр тяжести сечения под 
углом   = 60 0 к горизонтальной оси и лежит  в  плоскости  этого  сечения.   Построить  эпюру  
нормальных напряжений для опасного сечения и вычислить наибольший прогиб свободного конца 
бруса. Модуль упругости сосны равен 109 МПа. 

 

Рис. 5.  К задаче 2 

 
 
Решение. Брус работает на плоский косой изгиб. Разложим силу F на составляющие Fx и Fу 

по  главным центральным осям Ох и Оу    (рис. 5, а), вычислим изгибающие моменты и построим 
эпюры  М х  и  М у       (рис. 5, б).  Опасным  является сечение у заделки: 

кHм
2,500
0,5
2,00
250
Flcosα
l
F
M
max

кHм
4,325
2
3
2,00
250
Flsinα
l
F
M
max

x
y

y
x















Определим моменты инерции поперечного сечения.