Расчет стержней на изгиб и кручение

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образовательное 

учреждение высшего образования 

«Российский университет транспорта (МИИТ)» 

  

___________________________________________________________________________________________________ 

 

Институт пути, строительства и сооружений 

 

Кафедра «Строительная механика» 

 

 

 

 

 

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА ИЗГИБ 

И    КРУЧЕНИЕ 

 

 

Учебно-методическое пособие  по дисциплине       

 «Сопротивление материалов» 

 

 

 

 

 

 

 

Москва  -  2018 

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образовательное 

учреждение высшего образования 

«Российский университет транспорта (МИИТ)»  

   _____________________________________________________________________________________________________________________ 

 

Институт пути, строительства и сооружений 

 

Кафедра «Строительная механика» 

 

 

 

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА ИЗГИБ 

И    КРУЧЕНИЕ 

 

Учебно-методическое пособие 

 для студентов специальности СЖД 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва  -  2018 

 

УДК   539. 
 Р 24 
 
 

 Расчет стержней на изгиб и кручение/ Державин Б.П., 

Жаринов М.Ю., Лукьянов А.М., Мелешонков  Е.И. Учебно-
методическое 
пособие 
по 
дисциплине 
«Сопротивление 

материалов». - М.: РУТ (МИИТ), 2018.  –  44 с.: ил. 

 

Учебно-методическое пособие по курсу «Сопротивление 

материалов» для студентов специальности СЖД посвящено 
разделу «Расчет стержней на изгиб и кручение». 

Кратко 
излагаются 
основные 
теоретические 
сведения. 

Приводятся характерные примеры с подробными решениями и 
контрольные вопросы с тестовыми задачами, что способствует 
лучшему усвоению данных разделов курса. 

 Учебно-методическое пособие следует рассматривать как 

дополнение к лекциям и  указанной  учебной литературе. 

 

При 
выполнении 
задания 
рекомендуется 
использовать 

учебники: 

1.Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б. П. Сопротив-

ление материалов.Часть 1.9-е изд. М.: Юрайт. 2016, - 294 с.: ил. 

2. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б. П. Сопротив-

ление материалов.Часть 2. 9-е изд.М.: Юрайт. 2016, - 274 с.: ил. 

3. Лукьянов А.М., Лукьянов М. А. Сопротивление материалов. 

Учебное пособие.–М:ФГБУ ДПО «Учебно-методический центр по 
образованию на железнодорожном транспорте».2017,–598 с: ил. 

 
Рецензент: доцент, к.т.н.  Бондаренко А.И. РУТ (МИИТ), 

кафедра «Теоретическая механика». 

 
 
 
 
 
 

РУТ (МИИТ), 2018 

 

 

I Поперечный изгиб балок 

 

1. Подбор поперечных сечений балок. Анализ 

напряженного состояния. 

 

Пример 1. Для балки из стали С-255, нагруженной, как 

показано на рис. 1: 

1. построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов; 
2. подобрать сечение из  прокатного двутавра, используя 

условия 
прочности 
по 
нормальным 
и 
касательным 

напряжениям;  

3. построить 
для 
сечения 
m-n 
эпюры 
нормальных 
и 

касательных напряжений; 

4. в точке «К» сечения m-n исследовать напряженное 

состояние аналитическим способом: 
а) найти положение главных площадок и значения 
напряжений, действующих на этих площадках; 
б) определить положение площадок, где действуют max, и 
значения напряжений  на этих площадках. 

При расчете принять:  

коэффициент надежности по нагрузке  р =1,15; 
коэффициент условий работы  =1,0; 
расчетное сопротивление изгибу R и =240 МПа (24 кН/см2); 
расчетное сопротивление сдвигу RсД=140 МПа (14 кН/см2); 
нормативная нагрузка qн=10 кН/м; а=1,5м. 

Решение. Определим опорные реакции VA и VВ из уравнений 

равновесия: 

 MB = 0,         VA ·4 – q·4а·2а – qа·а + qа2 = 0, 

 

 MA = 0,         –VB·4а+ q·4а·2а+ qа·3а+ qа2 =0. 

 

Отсюда VA = 2qа;  VB = 3qа. 

После определения реакций  VA  и  VB  следует обязательно 

проверить правильность их вычисления, составив уравнение 
равновесия: 

 Y = 0 ,         2qа  – q·4а – qа +3qа = 0 

 

Следовательно, реакции найдены, верно. 
В соответствии с характером нагружения разобьем балку на 

три участка (рис. 1). Для каждого участка составим выражения  
Q и M, применяя метод сечений (оставшиеся части балок 
показаны  на рис. 1,б,в,г): 

 

Рис. 1.      К примеру 1. 

 
участок I - 
a
z
3
0
1 

 

1
1
qz
qa
Q

 2
 ;      
2
2
1

1
1
1

z
qz
z
qa
M



 ; 

участок II - 
a
z 

2
0
 

2
2
3
qz
qa
Q



;      
2
3
2

2
2

2

2

z
qz
z
qa
qa
M





; 

участок III -
a
z 

3
0
 

0
3 
Q
;  
2

3
qa
M


 

При помощи полученных выражений построим эпюры 

поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 2). 

 

3qa

a

M2

q
q

Q2

qa2

M1

qa2

B

qa

Z3

VA=2qa

Z2
1

1

a
a
3a

q

I
II
III

VB=3qa

Z1

2

2

3

3

a)

A

y

x

2qa

Z1
Q1

A

б)
в)

B

Z2

M3

Q3

qa2
г)

Z3

y

x

y

x

y

x

Рис. 2.   К примеру 1. 

 

Заметим, что на участке I имеется сечение, где Q = 0. В этом 

сечении 
изгибающий 
момент 
достигает 
экстремального 

значения, что следует из дифференциальной зависимости        
Q = dM /dz. Найдем его значение. 

 

Сначала определим положение этого сечения. Приравняем 

выражение Q1 нулю: 

Q1 = 2qa – qz0 = 0 , отсюда z0 =2a    (рис. 2,б). 

 
Подставим значение z0  в выражение М1 и вычислим 

Мmax 
2
2
2
2
2
2
2
qa
a
a
q
a
qa





     (рис. 2,в). 

 

Q

2qa
3qa

qa2

B

qa

VA=2qa

I

I

a
a
3a

q

VB=3qa

a

a)

A

2qa

qa
qa

qa2

1,5qa2

2qa2
1,5qa2

б)

в)

Z0=2a

M

n

m

Определим значение расчетной нагрузки по формуле: 

                               
н
q
q
p 
 
                                  (1) 

где:  
p

 - коэффициент надежности по нагрузке; 

        
н
q  -  значение нормативной нагрузки. 

В нашем примере 
    q = 1,15 ·10 = 11,5 кН/м. 
 
Сечение прокатной двутавровой балки подбираем из условия 

прочности по нормальным напряжениям 

 

                           
и
R






х

max

W
M

max
                               (2) 

где: M max – наибольший изгибающий момент; 

max
x
х
y
W
I

 - момент сопротивления сечения относительно 

нейтральной оси х ; 

  - коэффициент условий работы; 
Rи – расчетное сопротивление изгибу. 
 

Заметим, 
что 
наибольшие 
нормальные 
напряжения 
в 

поперечных сечениях балки возникают в наиболее удаленных 
точках от нейтральной оси х, которая проходит через центр 
тяжести сечения. 

Наибольший расчетный изгибающий момент равняется (см. 

эпюру М – рис. 2,в)        

 

Мmax = 2qa2  =  2·11,5·1,5 2 =51,75 кН·м. 

 

Из условия прочности по нормальным напряжениям (2) 

вычислим значение минимального момента сопротивления 
сечения: 

3

2

x
см
216
24
1

10
51,75

R

Mmax
W








и

 

 

Из сортамента выбираем ближайший больший номер 

двутавра, у которого Wx ГОСТ   Wx. 

Таким будет двутавр № 22: 

 

Wx ГОСТ = 232 см 3 > Wx. =. 216 cм 3; 

геометрические характеристики: 
момент инерции Ix = 2550см4,статический момент полу-

сечения Sx =131см3, и размеры поперечного сечения (рис. 3): 
высота двутавра - h = 22cм, ширина полки – b =11см, толщина 
стенки – s = 0,54см, средняя толщина полки – t = 0,87см. 

Проверим прочность балки из двутавра № 22 по нормальным 

напряжениям (2): 

 maх =    Mmax / Wx ГОСТ= 51,7510 2 /232= 

 

=22,3 кН/ см 2= 223 МПа <  Rи =1·240 МПа. 

Определим, удовлетворяет ли принятое сечение балки 

(двутавр 
№ 
22) 
условию 
прочности 
по 
касательным 

напряжениям: 

сд
R
S
Q

x

отс
x
max






в
I
max
τ
(3)

где: Q max – наибольшая поперечная сила; 
Ix 
– 
момент 
инерции 
всего 
сечения 
относительно 

нейтральной оси х ; 

       Sx отс– статический момент сдвигаемой (отсеченной) части 

поперечного сечения  относительно нейтральной оси х ; 

       в – ширина поперечного сечения балки на уровне 

рассматриваемой точки; 

       
сд
R
 – расчетное сопротивление сдвигу. 

 

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках 

стенки двутавра находящихся на нейтральной оси х (рис. 3, а) 

Определим наибольшую расчетную поперечную силу (см. 

эпюру Q – рис. 2, б) 

 
Q max = 3 qa = 3 ·11,5 ·1,5 = 51,75 кН. 
 
Проверим прочность балки по касательным напряжениям (3): 

 

МПа
140
γR
МПa
49,2
кН/см
4,92
0,54
2550

131
51,75
τ
СД

2

max







.

 
Таким образом, двутавр № 22 удовлетворяет условиям 

прочности по нормальным и касательным напряжениям. 

 

Заметим, что в некоторых случаях, кроме указанных выше 

проверок прочности, необходима ещё и проверка по главным 
напряжениям 

и
гл
R







2
2

1,2
4τ
σ
1/2
σ/2
σ
σ

В балках имеются сечения, где изгибающий момент и 

поперечная сила одновременно достигают больших значений и 
в этих сечениях могут быть точки, в которых напряжения  и   
также будут достигать значений, мало отличающихся от 
максимальных. Например, в  двутавровом сечении такие точки 
находятся в месте перехода полки в стенку (точки 3 и 4 – см. 
рис. 3,а); другая точка (точка 6 – см. рис. 3,а) – у наружной 
поверхности полки в месте её примыкания к стенке (здесь 
возникают 
максимальные 
нормальные 
напряжения 
и 

наибольшие горизонтальные касательные напряжения). 

Построим эпюры нормальных и касательных напряжений для 

заданного сечения m – n (см. рис. 2). 

Нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения 

определяются по формуле: 

y
M

х

x

I
σ 
(4)

где: M x – изгибающий момент в рассматриваемом сечении m – n; 
Ix – момент инерции сечения относительно нейтральной оси х ; 
у – расстояние от нейтральной оси х до точки, в которой 
вычисляются напряжения. 

Знак напряжения определяется по физическому смыслу, т.е. 

если, например, точка находится в растянутой части сечения 
(при положительном моменте растянута нижняя часть), то 
напряжение 
в 
этой 
точке 
принимается 
положительным 

(растяжение). 

Из формулы (4) видно, что нормальные напряжения в 

поперечном сечении изменяются по линейной зависимости 
(пропорционально расстоянию у). Поэтому для построения 
эпюры  в сечение m – n достаточно вычислить значения 
напряжений в крайних точках 1 и 2 (рис. 3,а) этого сечения. 

Изгибающий момент в сечении m – n равняется: 

 

М1-1 = 2qa·a - qa·a /2 = 1,5 qa2 =1,5·11,5·1,5 2 = 38,8 кН·м. 

 

Нормальные напряжения в точках 1 и 2 вычисляем по 

формуле (4) 

y
I
M

х

x

2
,1
=

МПа
167
кН/см
16,7
11
2550

10
38,8
2

2










Эпюра нормальных напряжений изображена на рис. 3,б. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 3.   К примеру 1. 

 
В сечениях прокатных двутавровых балок большую часть 

поперечной силы воспринимает  стенка. Эта часть составляет 
(0,95   0,97) Q . 

В 
полках 
двутавра 
действуют 
только 
горизонтальные 

касательные напряжения - zx. Значения этих напряжений, 
обычно, невелики и поэтому они не имеют практического 
интереса. 

Вертикальные напряжения в полках (zу) довольно точно 

равны нулю. Они возникают в полках лишь в пределах стенки, 
их распределение, как и значения, которые малы, не могут быть 
определены методами сопротивления материалов. 

0,54

2

11

. 

6
1

. 

. 

. 

. 

. . 

. 

a)
y

x

3

5

4

22

к

167

60,8

167

4

12,9

16,4

15,9

12,9

б)
в)
σz
τzy
МПа
МПа

0,87