Расчет рамы методом перемещений

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА  

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 

высшего образования 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 

___________________________________________________________ 

 
 
 

Кафедра «Строительная механика» 

 
 
 
 

Г.А. Нольде, В.А. Дибров, И.В. Алферов 

 
 
 
 
 
 

РАСЧЕТ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 

 
 
 
 

Учебно-методическое пособие 

 к домашнему заданию по дисциплине  

«Строительная механика»  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

МОСКВА – 2018

 

 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА  

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 

высшего образования 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 

___________________________________________________________ 

 
 

Кафедра строительной механики 

 
 
 
 

Г.А. Нольде, В.А. Дибров, И.В. Алферов 

 
 
 
 

РАСЧЕТ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 

 
 
 

Учебно-методическое пособие 

 

для студентов строительных специальностей 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

МОСКВА – 2018

 

 

УДК 624 
 
Н80 
 
 
Нольде Г.А., Дибров В.А., Алферов И.В. Расчет рамы методом 

перемещений: Учебно-методическое пособие к домашнему заданию по 
дисциплине 
«Строительная 
механика» 
для 
студентов 
строительных 

специальностей. – М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 25 с. 
 
 
 
 
Учебно-методическое 
пособие 
подготовлено 
в 
соответствии 
с 

действующей программой курса. Основная цель заключается в помощи 
студентам при выполнении домашних заданий и при подготовке к экзамену. 
В качестве расчетной схемы была взята рама с распределенной и 
сосредоточенной нагрузкой. Подробно рассмотрено построение эпюр 
внутренних усилий, выполнение статических проверок, определение угла 
поворота и линейного перемещения узла. Пособие предназначено для 
студентов строительных специальностей. 

 
 
 
 

Рецензент   д.т.н., профессор кафедры «Теоретическая  механика» РУТ (МИИТ)   
                    Иванченко И.И. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

©РУТ (МИИТ), 2018 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ 

 

Введение   .................................................................................................................... 4 

1. Расчетная схема  ...................................................................................................... 5 

2. Основная система метода перемещений. Система канонических уравнений. ..... 6 

3. Построение эпюр моментов в основной системе от единичных неизвестных и 

нагрузки ....................................................................................................................... 6 

4. Определение коэффициентов канонических уравнений  ...................................... 9 

5. Проверка коэффициентов при неизвестных канонических уравнений  ............. 13 

6. Проверка грузовых коэффициентов  .................................................................... 13 

7. Построение окончательной эпюры моментов Мок. .............................................. 15 

8. Статическая проверка окончательной эпюры моментов Мок. ............................. 16 

9. Деформационная проверка окончательной эпюры моментов Мок. ..................... 16 

10. Построение и проверка эпюры поперечных сил Q ............................................ 18 

11. Построение и проверка эпюры продольных сил N ............................................ 20 

12. Определение угла поворота и линейного перемещения узла  ........................... 22 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Реакции и эпюры моментов для балки, заделанной с одной  

стороны и шарнирно-опертой с другой ................................................................... 23 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Реакции и эпюры моментов для балки, заделанной с двух  

сторон ........................................................................................................................ 24 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

 
 
Схема рамы изображена на рисунке 1. Размеры указаны в метрах, 

нагрузка q [т/м], сила F [т]. 

 
Требуется: 

1. Выбрать основную систему метода перемещений. 

2. Составить канонические уравнения метода перемещений, определить и 

проверить коэффициенты канонических уравнений. 

3. Построить и проверить окончательные эпюры М, Q, N. 

4. Определить угловое и линейное перемещение узла. 

 
Деформациями растяжения (сжатия) будем пренебрегать (ЕА = ∞). 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 1. Расчетная схема рамы 

 

На рис. 1 представлена исходная расчетная схема рамы.  

Метод сил: n = 3К – Ш = 3·2 – 2 = 4 

Метод перемещений: n = nφ + nΔ 

nφ – число неизвестных угловых перемещений. 

nΔ – число неизвестных линейных перемещений. 

Число неизвестных угловых перемещений nφ = 1. Для определения 

числа неизвестных линейных перемещений рассмотрим шарнирную раму – 

введем во все узлы (в том числе и в опорные) полные шарниры (рис. 2). 

 

 

Рис. 2. Шарнирная схема рамы 

 

Степень статической неопределимости шарнирной рамы (рис. 2) будет 

равна: n0 = 3К – Ш = 3·2 – 7 = – 1. Знак «минус» указывает на то, что 

шарнирная рама 1 раз изменяема, требуется дополнительный стержень, 

который 
устанавливается 
так, 
чтобы 
рама 
стала 
геометрически 

неизменяемой. Следовательно, число неизвестных линейных перемещений nΔ 

= |𝑛0| = 1.  

Общее число неизвестных равно n = 2. 

Чтобы получить основную систему, в жесткий узел 3 введем 

плавающую заделку и в узел 5 горизонтальный стержень. Основная система 

и положительные направления неизвестных перемещений показаны на рис. 3. 

 

 

Рис. 3. Основная система метода перемещений 

 
 
Обратим внимание на то, что заделка в узле 3 является плавающей, т.е. 

препятствует только повороту и не препятствует линейному смещению. 

Система 
канонических 
уравнений 
метода 
перемещений 
в 

рассматриваемом примере будет следующей: 

 

Каждое 
уравнение 
– 
это 
отрицание 
реакции 
во 
введенной 

дополнительной связи. 

 

Построение эпюр моментов в основной системе от  

единичных неизвестных и нагрузки 

Для 
облегчения 
построения 
эпюр 
моментов 
от 
единичных 

перемещений сначала строим картины деформаций от Z1 = 1 (рис. 4а) и от 

Z2 = 1 (рис. 4б). Деформированный вид на этих рисунках показан пунктирной 

линией. 

Рис. 4. Картина деформаций: а) от Z1 =1; б) от Z2 =1 

 

Стержни в основной системе метод перемещений являются либо 

защемленными с 2-х сторон, либо защемленными с одной стороны и 

шарнирно опертыми с другой. В приложении 1 приведены стандартные 

табличные 
эпюр 
изгибающих 
моментов 
для 
стержней 
с 
такими 

закреплениями. При построении эпюр М̅ 1 от Z1 = 1 и М̅ 2 от Z2 = 1 пользуемся 

этими таблицами эпюр (Приложение 1). 

На рис. 5 показана единичная эпюра М̅ 1 от Z1 = 1, на рис. 6 – единичная 

эпюра М̅ 2 от Z2 = 1. Вычисление ординат на этих эпюрах приведено 

подробно с учетом реальной жесткости и длины каждого стержня. Картина 

деформаций (рис. 4) помогает правильно (со стороны растянутых волокон) 

расположить эпюры на стержнях. 

 

 

Рис. 5. Единичная эпюра М̅ 1 от Z1 = 1 

Рис. 6. Единичная эпюра М̅ 2 от Z2 = 1 

 

Грузовая эпюра Мр строится также с помощью табличных эпюр 

(Приложение 1). 

На средней стойке эпюра строится от сосредоточенной силы Р = 4 [т], 

приложенной посредине стержня, защемленного с 2-х сторон. На правой 

стойке эпюра строится от поперечной распределенной нагрузки q2 = 4 [т/м], 

защемленной с одной стороны и шарнирно опертой с другой. 

Рассмотрим отдельно наклонный стержень. В основной системе метода 

перемещений этот стержень защемлен с одной стороны и шарнирно опертый 

с другой. Следует иметь ввиду, что нагрузка q1 = 2 [т/м] задана на единицу 

длины горизонтальной проекции стержня. Надо привести ее к поперечной 

нагрузке qn (нормальной к стержню) и к продольной нагрузке (t). 

Равнодействующую нагрузки q1 (рис. 7а) равную 𝑅 = 𝑞1 ∗ 𝑙 = 2 ∗ 4 =

8 [т] разложим на 2 составляющие – нормальную к стержню   𝑉 = 𝑅 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼 =

8 ∗ 0,8 = 6,4 [т] и продольную 𝑇 = 𝑅 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 8 ∗ 0,6 = 4,8  [т]. 

Далее определим (рис. 7б) поперечную нагрузку 𝑞𝑛 =

𝑉

𝑙1 =

𝑞1∗𝑙∗𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑙/𝑐𝑜𝑠𝛼
=

𝑞1 ∗ 𝑐𝑜𝑠2𝛼. 

𝑞𝑛 = 2 ∗ (

4

5)

2

=

32

25 [т/м]. 

 

Рис. 7. Определение равнодействующей от нагрузки q1 (рис. а). Определение 

поперечной нагрузки 𝑞𝑛 (рис. б) 

 

Момент в заделке 𝑀 =

𝑞𝑛∗𝑙12

8
=

32
25∗52

8
= 4 [тм]. 

В среднем сечении момент 𝑀 =

𝑞𝑛∗𝑙12

16 =

2∗42

16 = 2 [тм]. 

На рис. 8 показана грузовая эпюра Мр. 

 

 

Рис. 8. Грузовая эпюра Мр 

 

Обратим внимание на то, что продольная нагрузка t будет учтена при 

построении эпюры продольных сил N. 

 

Определение коэффициентов канонических уравнений метода 

перемещений 

Все коэффициенты канонических уравнений определяем статическим 

способом. 

Все коэффициенты 1-го уравнения r11, r12, R1p – это реактивные 

моменты во введенной плавающей заделке соответственно от Z1 = 1, Z2 = 1 и 

от нагрузки. Эти коэффициенты определятся путем вырезания жесткого узла 

с плавающей заделкой на соответствующей эпюре. За положительное 

направление 
реакций 
принимаем 
направление, 
совпадающее 
с 

положительным направлением Z1. 

r11 – реактивный момент в плавающей заделке от угла поворота Z1 = 1. 

Вырезаем узел с плавающей заделкой на эпюре М̅1 (рис. 9а) и из равновесия 

узла ∑ 𝑚 = 0, определяем r11: 

𝑟11 = 9𝐸𝐼 + 8𝐸𝐼 + 9𝐸𝐼 = 26𝐸𝐼 

r12 – реактивный момент в плавающей заделке от линейного смещения 

Z2 = 1. Вырезаем узел с плавающей заделкой на эпюре М̅ 2 (рис. 9б) и из 

равновесия узла ∑ 𝑚 = 0, определяем r12: 

𝑟12 = −4𝐸𝐼 

R1p – реактивный момент в плавающей заделке от заданной нагрузки. 

Вырезаем узел с плавающей заделкой на эпюре Мр (рис. 9в) и из равновесия 

узла ∑ 𝑚 = 0, определяем R1p: 

𝑅1𝑝 = 4 + 5,5 = 9,5 

 

 

Рис. 9. Определение коэффициентов 1-го уравнения 𝑟11, 𝑟12, 𝑅1𝑝 

 

Все коэффициенты 2-го уравнения r21, r22, R2p – это реактивные усилия 

по направления горизонтального перемещения Z2. За положительное 

направление 
реакций 
принимаем 
направление, 
совпадающее 
с 

положительным направлением Z2.