Пересечение пространственных объектов

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образовательное  

учреждение высшего образования 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)»  
_______________________________________________________ 

Кафедра машиноведения, проектирования,  

стандартизации и сертификации 

 

С.В. ЛАРИНА, С.Н. МУРАВЬЕВ, Н.А. ЧВАНОВА 

 
 
 

 

 
 

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОБЪЕКТОВ 

 
 
 
 

 
 
 

Учебное пособие 

по дисциплине  

«Начертательная геометрия. Инженерная графика» 

 
 

 
 
 
 
 
 

 

МОСКВА – 2018 

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образовательное  

учреждение высшего образования 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)»  

_____________________________________________________________ 

Кафедра машиноведения, проектирования,  

стандартизации и сертификации 

 

С.В. ЛАРИНА, С.Н. МУРАВЬЕВ, Н.А. ЧВАНОВА 

 

 
 
 
 
 

 

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОБЪЕКТОВ 

 

 
 
 
 

 

Учебное пособие 

 
 
 

для обучающихся ИТТСУ, ИУИТ и ВЕЧЕРНЕГО факультета 

 

 
 
 
 
 

 
 

МОСКВА – 2018 

УДК 514 
Л 25 
 

 
          Ларина С.В., Муравьев С.Н., Чванова Н.А.  Пересечение про-
странственных объектов: Учебное пособие по дисциплине «Начерта-
тельная геометрия. Инженерная графика». – М.: РУТ (МИИТ), 2018. –  
77 с.: ил. 

 
Настоящее учебное пособие предназначено в помощь студентам 

при решении задач на построение линии пересечения пространствен-
ных объектов. 

Пособие поможет обучающимся самостоятельно выполнить до-

машнее задание по дисциплине «Начертательная геометрия. Инженер-
ная графика» на тему «Пересечение кривых поверхностей». В приме-
рах, приведённых в пособии, обучающихся знакомят со способами 
решения задач на тему «Пересечение кривых поверхностей» и постро-
ения развёрток кривых поверхностей на ортогональном чертеже. 

Издание предназначено для обучающихся ИТТСУ, ИУИТ и ВЕ-

ЧЕРНЕГО факультета. 

Ил. 31,  табл. 3, библиогр. – 5 назв. 

 
 
Рецензенты: доцент кафедры «Инженерная графика» ФГБОУ ВО 
«МГТУ «Станкин», канд. техн. наук Лыткин И.Н.;  
заведующий кафедрой «Электропоезда и локомотивы» РУТ (МИИТ), 
д-р техн. наук Пудовиков О.Е. 

 
 

 
 
 

 
                                                                                                                             
                                                           ©   РУТ (МИИТ), 2018 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

                                                                                   Стр. 

 
1.  ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КРИВЫХ  
     ПОВЕРХНОСТЕЙ КАРКАСНЫМ МЕТОДОМ ………………..  4 
2.  ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ ………. 7 

2.1. Построение линии пересечения поверхности 

с плоскостью частного положения …………………….........  7 

2.2. Плоские сечения простейших геометрических  

линейчатых поверхностей …………………………………..  11 

2.2.1. Плоские сечения цилиндрической поверхности ……..11 
2.2.2. Плоские сечения конической поверхности ………….. 12 

3.  ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ …………… 13 

3.1. Пересечение соосных поверхностей ...............……………… 13 
3.2. Выбор способа решения ……………………………………… 14 

3.2.1. Способ секущих плоскостей ...............……………….. 14 
3.2.2. Способ концентрических сфер ……................………. 31 
3.2.3. Способ эксцентрических сфер ...................................... 35 

3.4. Частные случаи пересечения поверхностей второго  

порядка ………………………………………………………… 39 

4.  ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЁРТОК ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И  

КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ ……………………………  44 

5.  СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ……………………………………….. 48 
6. ТРЕБОВАНИЯ И РЕКОМЕНДАЦИИ К ОФОРМЛЕНИЮ 

РАБОТЫ ……………………………………………………………. 48 

7.  ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ……….…………………………………  54    

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………..……………  76 

 
 
 
 
 
 
 

 

1. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КРИВЫХ 

ПОВЕРХНОСТЕЙ КАРКАСНЫМ МЕТОДОМ 

 

Многие изделия представляют собой конструкции из пересека-

ющихся простейших геометрических тел. Внешняя форма изделий 
ограничивается отсеками кривых поверхностей и (или) гранями мно-
гогранников. Грани многогранников – плоскости общего и (или) част-
ного положений. Общую линию пересекающихся поверхностей изде-
лий называют линией пересечения. 

Линия t пересечения поверх-

ности Ф1 с плоскостью α одно-
временно принадлежит поверхно-
сти и секущей плоскости (рисунок 
1.1). Эта линия плоская кривая. 

Способ построения линии 

пересечения кривой поверхности с 
плоскостью базируется на опреде-
лении точек пересечения секущей 
плоскости с простейшими линиями 
каркаса (прямыми или окружно-
стями) поверхности. 

Для построения линии t пересечения поверхности Ф1 с плоско-

стью α (см. рисунок 1.1) использованы простейшие линии каркаса m1, 
m2, …, mn поверхности Ф1, которые пересекаются с заданной плоско-
стью α в точках A, B, C, D, …, N. Найденные точки пересечения по-
следовательно соединяют плавной кривой линией t, являющейся ис-
комой линией пересечения кривой поверхности Ф1 с заданной плоско-
стью α. 

Линия пересечения двух поверхностей одновременно принадле-

жит этим поверхностям и представляет собой пространственную кри-
вую (рисунок 1.2), которая, в частном случае, может распадаться на 
плоские кривые линии. 

 

 Простейшие геометрические тела: цилиндр, конус, шар и тор. 
 Кривая поверхность это множество (геометрическое место) последовательных по-

ложений линии, движущейся в пространстве по заданному закону. 

Рисунок 1.1



Ф

1

t

N

A

C

D

B

mn

m2

m1

m3

m4

Для определения точек линии, общей для двух поверхностей, 

часто используют вспомогательные секущие поверхности. Эти по-
верхности называют поверхностями-посредниками. Поверхности-
посредники пересекают данные поверхности по линиям каркаса, кото-
рые, в свою очередь, пересекаются в точках, принадлежащих линии 
пересечения. 

Рассмотрим в об-

щем виде использова-
ние 
посредников 
при 

решении задачи на по-
строение линии пересе-
чения m двух заданных 
поверхностей Ф1 и Ф2, 
Ф1 ∩ Ф2 = m. Посредник 
α пересекает заданную 
поверхность Ф1 по ли-
нии каркаса n, а поверх-
ность Ф2 – по линии 
каркаса l. Точка K, в ко-
торой пересекаются ли-
нии каркаса n и l, общая 

для заданных поверхностей Ф1 и Ф2, и следовательно, принадлежит 
линии их пересечения – линии m. Многократно повторяя такой приём, 
получаем ряд точек искомой линии пересечения. В результате исполь-
зования одного посредника можно сразу получить 1, 2 или 4 точки, 
принадлежащие линии пересечения m (таблица 1.1). 

Построение линии пересечения поверхностей всегда следует 

начинать с определения опорных (характерных) точек. К ним относят: 

- точки, координаты которых x, y и z имеют экстремальные зна-

чения, то есть точки, наиболее и наименее удалённые от плоскостей 
проекций П1, П2 и П3; 

- точки видимости – точки на очерковых линиях поверхностей. 

Эти точки делят линию пересечения на видимую и невидимую части. 
Проекции линии пересечения в этих точках касаются очерковых ли-
ний поверхностей. 
 

Рисунок 1.2



Ф

2

Ф

1

l

К

m
n

Таблица 1.1 

№ п/п
 ∩
1
 = n
 ∩
2

= l
n ∩ l = () K, K, K, K

1
Прямая
Прямая


n

К

l

2
Прямая
Окружность

К'

К

n
l



3
Окружность
Две прямые

n

К'''

К''

К

К'
n'
l



4
Две прямые
Две прямые

n

К''

К'

l

К

К'''

l'

n'



5
Окружность
Окружность

n

l
К



К'

6
Окружность
Окружность
К

l

n



 

При построении линии пересечения поверхностей на ортого-

нальном чертеже следует учитывать, что проекции линии пересечения 
всегда строят в пределах площади наложения одноимённых проекций 
пересекающихся поверхностей (рисунок 1.3). 

2. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ 

 
     2.1. Построение линии пересечения поверхности с  

     плоскостью частного положения 

 

Плоскость α пересекает поверхность вращения Ф по кривой ли-

нии k. Так как секущая плоскость α частного положения, то одна из 
проекций линии k совпадает с вырожденной проекцией этой плоско-
сти. Горизонтальная проекция k1 (отрезок A1B1) линии k совпадает с 
вырожденной проекцией α1 плоскости α, так как α  П1 (рисунок 2.1). 
Если α  П2, то k2 ≡ α2 – совпадает с вырожденной проекцией плоско-
сти α. 

Рисунок 1.3

1
Ф2

Ф2

2

j2

i2

j 1
i1

Ф1

2
Ф1

1

Фронтальная проекция

площади наложения

Горизонтальная проекция

площади наложения



На чертеже задачу на пересечение поверхности Ф с плоскостью 

частного положения α сводят к задаче на построение недостающей 
проекции линии k. Линия k принадлежит данной поверхности и задана 
одной своей проекцией, совпадающей с вырожденной проекцией 
плоскости α. Точки кривой k находят на пересечении простейших ли-
ний каркаса поверхности с секущей плоскостью α. 

Пример 1. Построить проекции линии k пересечения торовой 

поверхности плоскостью α  П1 (рисунок 2.2). 

Построение проекций линии k сводится к решению позиционной 

задачи на принадлежность линии k и поверхности тора. Проекция k1 
линии k   будет совпадать с вырожденной проекцией α1 плоскости α, 
так как α  П1. Поэтому заданную задачу можно сформулировать так: 
на чертеже поверхности тора по заданной горизонтальной проекции k1 
линии k, принадлежащей поверхности, построить фронтальную про-
екцию k2. 

Рисунок 2.1

x12

i П1

П2

A1



m

 П1

k

B

A

C

T

1
2

B1

i1

C1

1

T1

П1

21

11

k11
m1

Алгоритм решения задачи: 
а) определение опорных точек линии k: 
    1) экстремальными точками этой линии по отношению к 

плоскости П1 будут точки А и В (низшие) и С (высшая). Точка С рас-
положена в общей плоскости симметрии β поверхности тора и кривой 
k. Плоскость β проходит через ось вращения i поверхности тора пер-
пендикулярно секущей плоскости α. Точку C находят на пересечении 
кривой k и плоскости β (С = k ∩ β). Горизонтальную проекцию С1 точ-
ки С находят на пересечение проекций k1 c β1. Для определения фрон-
тальной проекции С2 точки С необходимо построить на поверхности 
тора простейшую линию каркаса, проходящую через точку C – окруж-

Рисунок 2.2

A1

B1

i1

C1

T1

21

11

1  k1

m1

i2

31

41
1

T2
C2

12

32

42

22

p2

1

2p2

p2

3

p2

0

k2

B2
A2

m2

p1

0

p1

1

p1

2

3p1

m2

1

1
m1
1

ность p1. Ее горизонтальной проекцией будет окружность 
1
1p  с цен-

тром, совпадающим с горизонтальной проекцией i1 оси i и радиусом, 
равным расстоянию от i1 до С1. На плоскость П2 окружность p1 спро-
ецируется в горизонтальный отрезок прямой 
1
2
p  с концевыми точками 

на фронтальном очерке m2 поверхности тора. Отрезок прямой
1
2
p  пер-

пендикулярен фронтальной проекции i2 оси i тора. Фронтальная про-
екция С2 точки C построена на пересечение вертикальной линии связи 
с фронтальной проекцией 
1
2
p  окружности p1. 

        Точки  A и B расположены на экваторе p0 (параллели мак-

симального радиуса) поверхности тора симметрично относительно 
плоскости β. Горизонтальные проекции А1, В1 точек A и B находят на 
пересечении вырожденной горизонтальной проекции α1 плоскости α с 
горизонтальным очерком поверхности тора – окружностью 
0
1p , а их 

фронтальные проекции А2, В2 – по вертикальным линиям связи на 
0
2
p ; 

     2) точку видимости Т находят на пересечении плоскости α с 

главным меридианом m поверхности тора. В этой точке будет меняться 
видимость фронтальной проекции k2 искомой линии k. Горизонтальные 
проекции линий m1 и 
1
1
m , совпадающие с вырожденной горизонтальной 
проекцией γ1 плоскости главного меридиана γ, являются 
линиями видимости фронтальных проекций точек поверхности тора. 
Горизонтальную проекцию Т1 точки T находят на пересечении горизонтальных 
проекций линий m и k (T1 = m1 ∩ k1). На фронтальной 
плоскости проекций проекция k2  касается очерковой линии m2 поверхности 
тора в точке Т2. Фронтальная проекция Т2 определена по 
линии связи на m2; 

б) построение промежуточных точек 1, 2, 3, 4 линии k с использованием 
простейших линий каркаса поверхности тора – окружностей 
p2 и p3.  

Фронтальные проекции 
2
2
p  и 
3
2
p  окружностей p2 и p3 – горизон-

тальные отрезки с концевыми точками на фронтальных очерках по-
верхности тора 
2
m  и 
1
2
m , равные диаметрам этих окружностей. На П1 

окружности p2 и p3 проецируются в окружности 
2
1p  и 
3
1p , которые пе-