Математическое моделирование

В. В. Иванов    
О. В. Кузьмина

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ 

МОДЕЛИРОВАНИЕ

Учебное пособие

Издание 2-е, исправленное и дополненное

Йошкар-Ола

2021

УДК 519.8(075.8)
ББК 22.193я73

И 20

Рецензенты:

доктор технических, наук, заведующий кафедрой сопротивления 

материалов и прикладной механики Поволжского государственного 

технологического университета С. П. Иванов;

доктор технических наук, профессор кафедры электроснабжения 

и диагностики Марийского государственного университета 

Л. М. Рыбаков

Печатается по решению

редакционно-издательского совета ПГТУ 

Иванов, В. В.

И 20
Математическое 
моделирование: 
учебное 
пособие
/ 

В. В. Иванов, О. В. Кузьмина. – Изд. 2-е, испр. и доп. − Йошкар-
Ола: Поволжский государственный технологический университет, 
2021. – 116 с.
ISBN 978-5-8158-2246-7

Изложены основные понятия, методологические приемы и методы 

исследования, применяемые при построении математических моделей 
сложных технических объектов строительства, теплоэнергетики и экологии. 
Приведен теоретический материал, необходимый для выполнения 
контрольных и расчетно-графических работ, даны примеры решения задач, 
варианты заданий.

Для студентов и магистрантов, обучающихся по направлениям бака-

лавриата «Строительство», «Архитектура», а также для обучающихся по 
другим направлениям подготовки.

УДК 519.8(075.8)

ББК 22.193я73

ISBN 978-5-8158-2246-7
© В. В. Иванов, О. В. Кузьмина, 2021
© Поволжский государственный 
технологический университет, 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................ 6

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ........ 8

1.1. Основные понятия, определения и назначение 
моделирования ................................................................................... 8
1.2. Этапы построения математической модели .......................... 10

1.2.1. Содержательная постановка задачи............................... 10
1.2.2. Концептуальная постановка задачи............................... 11
1.2.3. Математическая постановка задачи .............................. 12
1.2.4. Выбор метода решения .................................................. 13
1.2.5. Реализация математической модели ............................. 13
1.2.6. Проверка адекватности модели...................................... 13

1.3. Определение скорости пули методом баллистического 
маятника ........................................................................................... 14

Список литературы............................................................................... 17

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ 
ГРАЖДАНСКОГО СТРОИТЕЛЬСТВА............................................. 18

2.1. Модель управления уровнем грунтовых вод.......................... 18
2.2. Моделирование в задаче об осушении котлована ................. 21
2.3. Модель проектирования арочной системы
минимального веса........................................................................... 23
2.4. Моделирование прогиба оси балки с нелинейным 
законом изменения кривизны ......................................................... 25
2.5. Моделирование продольно-поперечного изгиба балки, 
лежащей на упругом основании ..................................................... 27
2.6. Моделирование прогиба пластины, работающей на сдвиг... 30
2.7. Моделирование процесса теплопередачи для однородной 
стенки................................................................................................ 35
2.8. Моделирование процесса теплопередачи
для многослойной стенки................................................................ 36

Список литературы............................................................................... 38

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ
БЕЗОПАСНОСТИ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ................................... 40

3.1. Вредные выбросы в окружающую среду и источники 
их образования ................................................................................. 40
3.2. Моделирование процессов горения в камерах сгорания 
тепловых двигателей........................................................................ 41

3.2.1. Структура газовых потоков ........................................... 41
3.2.2. Основные упрощающие опущения................................ 41
3.2.3. Математическая модель процесса горения................... 42

3.3. Модели образования окиси азота NO в кинетических
механизмах Я. Б. Зельдовича .......................................................... 43

3.3.1. «Термический» механизм образования NO .................. 44
3.3.2. Механизм образования NO через гидроксильные
радикалы OH.............................................................................. 45

3.4. Моделирование динамики образования окислов азота NO
и углерода CO в потоке ................................................................... 46

Список литературы............................................................................... 49

4. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, МЕТОДЫ И ПРИМЕРЫ 
РАСЧЕТА.............................................................................................. 51

4.1. Приближение функций многочленами .................................. 51

4.1.1. Общая постановка задачи интерполяции...................... 52
4.1.2. Методы интерполирования ............................................ 52

4.2. Численное дифференцирование .............................................. 57

4.2.1. Формулы численного дифференцирования.................. 57
4.2.2. Формулы численного дифференцирования, 
основанные на интерполяции алгебраическими 
многочленами ........................................................................... 59

4.3. Метод Эйлера решения задачи Коши ..................................... 60

4.3.1. Постановка задачи Коши................................................ 60
4.3.2. Метод Эйлера .................................................................. 61
4.3.3. Пример решения дифференциального
уравнения I порядка методом Эйлера ..................................... 62

4.4. Задача оптимизации веса арочной системы ........................... 65
4.5. Транспортная задача ................................................................ 67

4.6. Метод сеток решения смешанной задачи для уравнения 
теплопроводности ........................................................................... 76

4.6.1. Основные понятия метода.............................................. 76
4.6.2. Конечно-разностная аппроксимация уравнения 
теплопроводности ..................................................................... 80
4.6.3. Пример расчета теплопередачи через многослойную 
стенку ......................................................................................... 81

4.7. Расчет прогиба пластины, работающей на сдвиг................... 85
4.8. Численное моделирование процессов горения 
и образования NO............................................................................. 91

4.8.1. Математическая модель. Общая постановка 
задачи ......................................................................................... 91
4.8.2. Разностный метод Лакса-Вендроффа............................ 93
4.8.3. Численное моделирование образования 
и исчезновения NO.................................................................... 97

Список литературы.............................................................................100

Приложение 1. Типы уравнений в частных производных.
Решаемые задачи ................................................................................102
Приложение 2. Элементы теории погрешностей. Понятия 
и определения ....................................................................................104
Приложение 3. Транспортная задача................................................107
Приложение 4. Дифференциальные уравнения и системы ............111

ВВЕДЕНИЕ

Понятие модели развивалось исторически. Первоначально моде-

лью называли некое вспомогательное средство, объект, который в 
определенной ситуации замещал другой объект, оригинал. При этом 
не сразу была понята универсальность законов природы, всеобщ-
ность моделирования, то есть не просто возможность, но и необхо-
димость представления любых знаний в виде модели. Древние фи-
лософы считали невозможным моделирование естественных процес-
сов. Они полагали, что отобразить природу можно только с помо-
щью логики, методов рассуждений, споров.

Осмысление основных особенностей моделей привело к много-

численным определениям. Типичным из них является следующее: 
моделью называют некий объект-заменитель, который в определен-
ных условиях может заменять объект-оригинал, воспроизводя инте-
ресующие нас свойства и характеристики оригинала. Затем были 
осознаны модельные свойства чертежей, карт − реальных объектов 
искусственного происхождения, воплощающих абстракцию доволь-
но высокого уровня.

Следующий шаг состоял в признании того, что моделями могут 

служить не только реальные объекты, но и абстрактные (символь-
ные) и идеальные (чисто мыслительные) построения. Примером та-
ких моделей являются математические модели. При этом понятие 
абстрактной модели вышло за пределы математических моделей, 
стало относиться к любым знаниям и представлениям о мире. Мо-
дель − способ существования знаний. 

При разработке новых технических объектов практически всегда 

прибегают к моделированию. Конечно, после математического или 
(и) предметного моделирования создается реальный объект − обра-
зец, который проходит ещё и натурные испытания. Моделирование
позволяет ускорить и удешевить разработку готового к эксплуатации 
объекта.

Математическое моделирование широко используется при решении 
прикладных задач в различных областях техники.

Цель данного учебно-методического пособия* – изложить в доступной 
читателям форме понятия, методологические приемы и методы 
исследования, применяемые при построении математических 
моделей сложных технических объектов строительства, теплоэнергетики, 
экологии.

Содержание пособия основано на лекциях по дисциплинам «Математическое 
моделирование», «Прикладная математика», «Вероятностно-
статистические методы в строительстве», которые читаются 
студентам и магистрантам института строительства и архитектуры 
Поволжского государственного технологического университета. 
В ходе работы над книгой использовались монографии, учебные пособия, 
научные статьи, посвященные прикладному математическому 
моделированию, в том числе результаты исследований, полученные 
авторами пособия. 

Структура пособия следующая. В первом разделе дано краткое 

описание общепринятой методологии построения модели: основные 
понятия, определения, этапы построения модели объекта и пр. Во 
втором и третьем разделах показано применение данной методологии 
при решении различных задач гражданского строительства и 
экологической безопасности, начиная со словесного описания технического 
задания на проектирование и заканчивая математической 
моделью. В четвертом разделе изложены краткие сведения о численных 
методах решения поставленных в пособии задач, приведены 
примеры решения. В конце каждого раздела представлен список рекомендуемой 
для самостоятельного изучения литературы.

В приложении даются понятия о приближенных вычислениях и 

оценке погрешности, краткие сведения о типах дифференциальных 
уравнений в частных производных, варианты контрольных работ и 
расчетно-графических заданий. Во втором издании исправлены замеченные 
ошибки, внесены добавления в разделы и приложение.

* Первое издание книги вышло в 2016 году

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1.1. Основные понятия, определения

и назначение моделирования

Моделирование – один из методов изучения окружающего нас 

мира. Моделирование относят к общенаучным методам, применяемым 
как на эмпирическом (наблюдение, эксперимент, измерение), 
так и на теоретическом (абстрагирование, идеализация, формализация 
и пр.) уровне познания. При построении и исследовании модели 
могут применяться и другие методы познания.

Под моделью (лат. modulus – мера, образец, норма) понимают такой 
материальный или мысленно представляемый объект, который в 
процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя 
некоторые важные для данного исследования типичные его черты. 
Процесс построения и использования модели называется моделированием. 
При построении модели исследователь исходит из поставленных 
целей и учитывает только наиболее существенные факторы. 
Поэтому любая модель неполна. Другие неучтенные и незначительные 
факторы в совокупности могут приводить к значительным различиям 
между объектом и моделью. По мнению Норберта Винера
(«отец» кибернетики), «наилучшей моделью кота является другой 
кот, а еще лучше тот же самый кот» [1].

Модель считается адекватной (лат. adaequatus – приравненной) 

объекту, если результаты моделирования могут служить основой для 
прогнозирования поведения или свойств исследуемого объекта. 

Цели моделирования. Модель нужна для того, чтобы:
- понять, как устроен объект, какова его структура, основные 

свойства, законы развития и взаимодействия с окружающей средой;

- научиться управлять объектом;
- прогнозировать поведение и свойства объекта. 
Классификация моделей. В литературе отмечается, что любая 

классификация условна, в силу того что она отражает, с одной сто-
роны, пристрастия авторов, а с другой – ограниченность их знаний. 
Хорхе Луис Борхес считает, что «...не существует классификации 

мира, которая не была бы произвольной и проблематичной. Причина 
проста: мы не знаем, что такое мир... Невозможность постигнуть 
божественную схему мира ... не может отбить у нас охоту создавать 
наши, человеческие схемы...» [1].

Отсюда принятые в настоящее время классификационные 

признаки:

- материальное моделирование – это моделирование, при котором 

используется материальный аналог объекта (например, макеты в ар-
хитектуре; модели (уменьшенные копии объекта) при создании 
транспортных средств; модели кораблей, самолетов). 

- идеальное моделирование. Оно подразделяется на интуитивное и 

научное моделирование. Интуитивное моделирование основывается 
на интуитивном представлении об объекте; научное моделирование 
базируется на предположениях, гипотезах, является логически обос-
нованным. Интуитивное и научное моделирование дополняют друг 
друга. По мнению А. Пуанкаре, «...для того, чтобы создать арифмети-
ку, ...геометрию или какую-то … науку, нужно нечто другое, чем чи-
стая логика ... нужна интуиция» [1]. В настоящее время получены 
весьма сложные схемы классификации идеальных моделей. Одним из 
элементов данной схемы является математическое моделирование.

Математическое моделирование – это идеальное научное знако-

вое моделирование, при котором описание объекта осуществляется на 
языке математики, а исследование модели проводится с использова-
нием тех или иных математических методов. Оно имеет ряд преиму-
ществ по сравнению с натурным моделированием: экономичность, 
возможность моделирования гипотетических (не реализованных в 
природе) объектов, реализации режимов, опасных или труднореализу-
емых на практике, возможность изменения масштаба времени и пр.

Математические модели подразделяются на различные классы в 

зависимости от сложности объекта (простые и объекты-системы или 
структурные модели), оператора модели, под которым понимается 
совокупность математических уравнений (алгебраических, дифференциальных 
и пр., линейных и нелинейных и т.д.), используемых 
при описании модели и параметров модели, описывающих состояние 
и управление моделируемого объекта. 

Выделяют модели с сосредоточенными параметрами, у которых

оператор может быть представлен в виде одного или системы обыкновенных 
дифференциальных уравнений [2]. Состояние таких систем 
характеризуется функцией или конечным набором функций, 
аргументом которых служит только временная переменная t. Рассматривают 
модели с распределенными параметрами. Их параметры, 
которые кроме времени зависят от пространственных координат. 
«В каждый момент времени их состояние характеризуется некоторым 
распределением величин по области, по поверхности тел, т.е. 
вектор-функциями пространственных координат. Такие системы или 
процессы обычно описываются дифференциальными или интегро-
дифференциальными и другими функциональными уравнениями с 
частными производными. К ним относятся задачи, рассматриваемые 
в аэрогазодинамике, магнитогазодинамике, теории упругих и пла-
стических тел, строительной механике, процессы горения, химиче-
ских реакций, нагрева и охлаждения тел и т.д.» [4, 5].

Математические модели подразделяют по целям моделирования: 
- дескриптивные модели (описывают зависимость выходных па-

раметров модели от входных);

- оптимизационные (находят оптимальные (наилучшие) по неко-

торому критерию параметры);

- управленческие (применяются для принятия эффективных 

управленческих решений в различных областях деятельности чело-
века). 

Модели различают также по методам реализации: 
- аналитические (выходные параметры получаются в виде анали-

тических выражений);

- приближенные (используют методы вычислительной математики).

1.2. Этапы построения математической модели

1.2.1. Содержательная постановка задачи

Содержательная постановка задачи моделирования включает пе-

речень сформулированных в содержательной (словесной) форме ос-
новных вопросов об объекте моделирования, интересующих заказ-

чика. Составлением такого перечня занимаются специалисты-
постановщики. Из многочисленных пожеланий и требований за-
казчика они должны выделить главное − то, что может быть реали-
зовано.

Содержательная постановка задачи, дополнительные требования 

к реализации модели и представлению результатов оформляются в 
виде технического задания на проектирование и разработку модели. 
Техническое задание является итоговым документом. В целом этап 
проработки технического задания может составлять до 33 % време-
ни, выделенного на создание всей модели.

В качестве примера рассмотрим содержательную постановку

задачи о полете баскетбольного мяча. 

Модель должна позволять:
а) вычислять положение мяча в любой момент времени его полета;
б) определять точность попадания мяча в корзину после броска 

при различных начальных значениях параметров.

Исходные данные:
- масса и радиус мяча;
- начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча;
- координаты центра и радиус корзины.

1.2.2. Концептуальная постановка задачи

Концепция (лат. conception – восприятие) − система взглядов на 

те или иные явления; общий замысел, художника, ученого и т.д.

Концептуальная постановка задачи моделирования – это сфор-

мулированный в терминах конкретной дисциплины (физики, химии, 
строительной механики, сопротивления материалов и пр.) перечень 
основных вопросов, интересующих заказчика, а также перечень ги-
потез относительно свойств и поведения объекта моделирования. 
Выбор и обоснование принимаемых гипотез позволяет создать идеа-
лизированную модель объекта, выделить главные и отбросить вто-
ростепенные, по мнению постановщиков, задачи, факторы, описы-
вающие поведение объекта.

Приведем пример концептуальной постановки задачи о полете 

баскетбольного мяча.

Движение баскетбольного мяча может быть описано с помощью 

законов классической механики Ньютона (т.е. выбрали дисциплину, 
в терминах которой будем описывать полет мяча, – теоретическую
механику).

Примем следующие гипотезы:
- объект моделирования (баскетбольный мяч) имеет радиус R;
- будем считать мяч материальной точкой массой m, положение 

центра масс совпадает с центром мяча;

- движение мяча происходит в поле сил тяжести Земли с посто-

янным ускорением свободного падения g и описывается уравнения-
ми классической механики Ньютона;

- движение мяча происходит в вертикальной плоскости, прохо-

дящей через точку броска и центр корзины;

- пренебрегаем сопротивлением воздуха и возмущениями, вы-

званными вращением мяча вокруг центра масс.

1.2.3. Математическая постановка задачи

Математическая постановка задачи моделирования – это сово-

купность математических соотношений, описывающих поведение и 
свойства объекта моделирования. Для большинства задач моделиро-
вания, связанных с проблемами строительной механики, теории 
упругости, сопротивления материалов и пр., эти соотношения вклю-
чают системы обыкновенных дифференциальных уравнений или 
уравнений в частных производных и пр.

Рассмотрим пример математической постановки задачи о по-

лете баскетбольного мяча. 

Как следует из результатов работы [1], задача о полете баскет-

больного мяча свелась к решению задачи Коши для системы обык-
новенных дифференциальных уравнений первого порядка 

0
=


dt

d
m
x
, 
mg
dt

d

m

y
−
=



, 
dt
dx

x =

, 
dt
dy

y =


с заданными начальными условиями

(
)
0
0
0
x
t
x
=
=
, (
)
0
0
0
y
t
y
=
=
,

(
)
0
0
0
cos
0
α
t
x

=
=

, 
(
)
0
0
0
sin
0
α
t
y

=
=

,

где х(t), y(t), х(t), y(t) − координаты и скорости движения мяча.

1.2.4. Выбор метода решения

Различают аналитические и численные методы решения. Аналитические 
методы применимы лишь для относительно простых моделей, 
численные методы позволяют рассчитывать более сложные 
модели. Однако с повышением сложности модели и, соответственно, 
метода ее решения появляются проблемы анализа полученных результатов.


1.2.5. Реализация математической модели

Реализация математической модели предполагает программирование 
алгоритма решения, выполнение серии расчетов на ЭВМ с 
различными исходными данными по модели и методу решения, тестовые 
расчеты и т.д.

1.2.6. Проверка адекватности модели

Под адекватностью модели понимается степень соответствия результатов, 
полученных по разработанной модели, с данными эксперимента 
или тестовой задачи. 

Проверка адекватности включает:
- проверку используемого метода решения, в том числе выявление 
возможных ошибок в программной реализации;

- анализ справедливости принятых гипотез;
- установление точности полученных результатов.
Например, в работе [1] в результате анализа адекватности модели 

установлено, что принятие гипотезы о малости влияния сопротивле-