Методы и устройства цифровой обработки сигналов. Дискретизация. Квантование. Цифровой анализ сигналов

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное 

образовательное учреждение высшего образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Инженерно-технологическая академия

А. А. МАРЬЕВ

МЕТОДЫ И УСТРОЙСТВА ЦИФРОВОЙ 

ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

Дискретизация. Квантование. Цифровой анализ сигналов

Учебное пособие

Ростов-на-Дону – Таганрог

Издательство Южного федерального университета

2020

УДК 621.391.24(075.8)
ББК  32.811я73

M306

Печатается по решению кафедры теоретических основ

радиотехники Института радиотехнических систем и управления

Южного федерального университета
(протокол № 5 от 26 февраля 2020 г.)

Рецензенты:

кандидат технических наук, старший научный сотрудник,

директор-главный конструктор Научно-конструкторского бюро 
цифровой обработки сигналов ЮФУ (НКБ ЦОС) И. И. Маркович

кандидат технических наук, старший научный сотрудник 

АО «Научно-конструкторское бюро вычислительных систем»,

г. Таганрог Д. С. Толкачев

Марьев, А. А.

М306
Методы и устройства цифровой обработки сигналов. Дискретизация. 
Квантование. Цифровой анализ сигналов : учебное пособие / 
А. А. Марьев ; Южный федеральный университет. – Ростов-
на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 
2020. – 132 с.

ISBN 978-5-9275-3608-5

Пособие предназначено для студентов Южного федерального университета, 
изучающих дисциплины, связанные с цифровой обработкой сигналов, 
а также для желающих ознакомиться с основами этой области современной 
радиотехники.

В пособии рассмотрены теоретические основы цифровой обработки 

сигналов и основы цифровых методов анализа сигналов и случайных 
процессов.

УДК 621.391.24(075.8)

ББК 32.811я73

ISBN 978-5-9275-3608-5

© Южный федеральный университет, 2020
© Марьев А. А., 2020
© Оформление. Макет. Издательство

Южного федерального университета, 2020

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ...................................................................................................4
1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ.................5

1.1. Аналоговые сигналы.......................................................................5
1.2. Спектральный анализ аналоговых сигналов.................................7
1.3. Корреляционный анализ аналоговых сигналов..........................16
1.4. Дискретные сигналы.....................................................................21
1.5. Квантованные сигналы..................................................................35
1.6. Цифровые сигналы........................................................................37

2. АНАЛОГО-ЦИФРОВОЕ И ЦИФРОАНАЛОГОВОЕ 
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ..................................................................................40

2.1. Аналого-цифровое преобразование.............................................40
2.2. Цифроаналоговое преобразование...............................................45
2.3. Методы уменьшения шума квантования.....................................53

3. ЦИФРОВОЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ ВО ВРЕМЕННО́ Й 
ОБЛАСТИ...................................................................................................62

3.1. Цифровой анализ детерминированных сигналов во временно́й 
области...................................................................................................63
3.2. Цифровой анализ случайных процессов во временно́й 
области...................................................................................................69

4. ЦИФРОВОЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ..................75

4.1. Дискретное преобразование Фурье..............................................75
4.2. Цифровой спектральный анализ периодических колебаний.....90
4.3. Цифровой спектральный анализ непериодических сигналов. 105
4.4. Цифровой спектральный анализ случайных процессов..........108

5. ЦИФРОВОЙ КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ..........121

5.1. Цифровой корреляционный анализ сигналов с конечной 
энергией...............................................................................................121
5.2. Цифровой корреляционный анализ периодических сигналов 123
5.3. Цифровой корреляционный анализ случайных процессов.....125

ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................................................................129
CПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.........................................................................130

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время абсолютное большинство устройств обработки 

сигналов – цифровые устройства. Это касается как устройств бытового назначения  (
сотовые  телефоны,  планшеты,  устройства  дистанционного 
управления и другие), так и промышленных устройств, приборов военного  
и  специального  назначения.  В  этой  связи  решающую  роль  в 
подготовке специалистов по направлениям «Радиотехника», «Инфокомму-
никационные технологии» играет  освоение методов анализа и синтеза 
цифровых сигналов и устройств для их обработки.

Цифровая обработка сигналов как отрасль знаний базируется на теории 
сигналов, включая теорию случайных процессов, а также на теории 
цепей.  Студенты,  приступающие  к  изучению  цифровой  обработки 
сигналов,  должны обладать  знаниями  в указанных  областях  в  объеме 
прослушанных дисциплин «Основы теории цепей», «Радиотехнические 
цепи и сигналы», «Общая теория связи».

Курс «Методы и устройства цифровой обработки сигналов» разделен 

на две части, из которых первая посвящена математическим основам циф-
ровой техники (системы счисления, алгебра логики) и архитектуре мик-
ропроцессоров.  Вторая  часть  посвящена  анализу  и  синтезу цифровых 
сигналов, цифровым фильтрам, модуляторам и детекторам.

Настоящее пособие издается для студентов, изучающих вторую часть 

курса «Методы и устройства цифровой обработки сигналов».

Пособие содержит необходимые теоретические сведения из области 

теории сигналов, которые будут опорой для остальных разделов. Также 
приводятся сведения об аналого-цифровом и цифроаналоговом преобразо-
ваниях и материал по основным цифровым методам анализа сигналов и 
случайных процессов.

Материал остальных тем дисциплины «Методы и устройства циф-

ровой обработки сигналов, часть 2» планируется в будущем изложить в 
отдельном издании.

4

1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

Приведенные в настоящем разделе результаты будут использованы 

далее при обсуждении различных тем цифровой обработки сигналов. На-
стоящий раздел предназначен для напоминания читателю основных по-
ложений теории сигналов и не претендует на обстоятельное и полное из-
ложение этой теории.

Дополнительные  более  узкие  сведения  из  теории  электрических 

цепей и теории сигналов будут даны в соответствующих разделах.

1.1. Аналоговые сигналы

Аналоговый  сигнал  –  это  сигнал,  форма  которого  соответствует 

закону изменения некоторой физической величины. Например, уровень 
сигнала на выходе микрофона пропорционален звуковому давлению на 
его мембрану; уровень сигнала на выходе акселерометра пропорционален 
ускорению  и  так  далее.  Таким  образом,  аналоговый  сигнал  можно 
рассматривать как электрическую модель (аналог) процесса изменения 
физической величины [1].

Аналоговый сигнал является континуальным – его область опреде-

ления непрерывна. Это означает, что аргумент сигнала  (время) может 
принимать любые значения на оси времени.

В качестве примера аналогового сигнала рассмотрим прямоуголь-

ный радиоимпульс, заданный выражением

s(t)={

0 ,t<0,
A cos (2π f 0t−φ0) В ,0⩽t⩽tи,
0 ,t>tи .

(1.1)

где A – высота импульса;

f0 – частота заполнения;
φ0 – начальная фаза заполнения;
tи – длительность импульса.

Сигнал (1.1) вне отрезка времени [0, tи] равен нулю, поэтому для 

краткости в записи выражения (1.1) можно опустить первое и третье 
уравнения системы: 

s(t)= Acos (2π f 0t−φ0 ) В ,0⩽t⩽tи .
(1.2)

5

1. Необходимые сведения из теории сигналов

Выражения (1.1) и (1.2) задают один и тот же сигнал, график кото-

рого при  A = 20 мВ,  f0 = 3 кГц,  φ0 = –π/2,  tи = 4 мс показан  на рис.  1.1. 
Область определения этого сигнала непрерывна, такие сигналы называют-
ся континуальными.

Рис. 1.1. Аналоговый сигнал – прямоугольный радиоимпульс

Область значений сигнала на рис. 1.1 (отрезок [–20, 20] мВ) также 

является непрерывной, так как сигнал может принимать все значения из 
этого отрезка.

Все аналоговые сигналы имеют непрерывные множества значений, 

поскольку  никакой  реальный  сигнал  (ток  или  напряжение)  не  может 
мгновенно изменить значение на конечную величину.

Математические модели континуальных сигналов могут содержать 

разрывы первого рода – скачки, т.е. точки, где сигнал изменяется мгновен-
но. В качестве примера можно привести прямоугольный видеоимпульс: 

s(t)=A ,0⩽t⩽tи ,
(1.3)

график которого приведен на рис. 1.2 (A = 20 мВ, tи = 4 мс). 

Сигнал (1.3) имеет лишь два возможных уровня: 0 и 20 мВ, которые 

и составляют его область значений. Поскольку область значений дискретна,  
такой  сигнал  не  является  аналоговым.  Реальный  прямоугольный 
импульс имеет конечные длительности фронтов, и за время нарастания и 
убывания принимает все промежуточные значения между 0 и 20 мВ – 
такой импульс является аналоговыми сигналом.

Приведенные примеры показывают, что не все континуальные сигналы  
являются  аналоговыми,  хотя  иногда  эти  термины  используют  как 
синонимы [2]. Континуальные сигналы являются более широким классом, 
чем аналоговые.

6

1.2 Спектральный анализ аналоговых сигналов

Рис. 1.2. Аналоговый сигнал – прямоугольный видеоимпульс

Приведенные примеры сигналов относятся к детерминированным, 

значения которых могут быть найдены для любого момента времени.

Другим большим классом аналоговых сигналов являются случайные 

процессы  (те  из  них,  которые  являются  функциями  непрерывного 
аргумента t и имеют непрерывную область значений).

Пример реализации аналогового случайного процесса приведен на 

рис. 1.3. это квазибелый шум с полосой Fm = 7,5 кГц и среднеквадратическим 
отклонением σξ = 7 мВ.

Рис. 1.3. Аналоговый случайный процесс – квазибелый шум

1.2. Спектральный анализ аналоговых сигналов

С точки зрения применяемого аппарата спектрального анализа 

аналоговые сигналы делятся на периодические (с конечной средней мощностью) 
и непериодические (с конечной энергией) [1, 2].

Сигнал – это колебание, являющееся носителем информации. Все параметры 
периодического сигнала неизменны во времени, следовательно, 
такие сигналы не переносят информацию. По этой причине правильнее 
называть их периодическими колебаниями.

7

1. Необходимые сведения из теории сигналов

1.2.1. Спектральный анализ периодических колебаний

Спектральный анализ периодического колебания заключается в разложении 
его в ряд Фурье в выбранном базисе ортогональных функций 
φ n(t) . Чаще всего используется гармонический базис в тригонометрической 
или комплексной форме.

Ряд Фурье в базисе комплексных тригонометрических функций 

φ n(t)=e

jn Ωt , n=0, ±1, ±2, ±3,...
(1.4)

для аналогового периодического колебания s(t)  имеет вид: 

s(t)= ∑

n=−∞

+∞

˙C ne

j nΩ1

t
, n=0 ,±1 ,±2,... ,
(1.5)

где ˙C n  – комплексные коэффициенты ряда;

‖φn‖

2= ∫

−T С /2

T С/ 2

φn(t)φn

*(t)dt=T с  – квадрат нормы n-й базисной функции;

Ω1=2π

T с

 – угловая частота повторения (частота 1-й гармоники).

Коэффициенты ряда определяются выражением

˙C n=
1

‖φn‖

2 ∫

−T С/2

T С/ 2

s(t)e

− j nΩ1t

dt .
(1.6)

Набор коэффициентов ˙C n  называется спектром периодического колебания (
в базисе комплексных гармонических функций). Размерность 
коэффициентов В (вольты).

Набор модулей коэффициентов | ˙C n|  называют амплитудным спектром, 
набор аргументов коэффициентов θn  – фазовым спектром.

Простым примером периодического колебания  может служить последовательность 
прямоугольных импульсов: 

s(t)=A , kT с⩽t⩽kT с+t и ,k ∈ℤ ,
(1.7)

где ℤ  – множество целых чисел.

График последовательности прямоугольных импульсов приведен на 

рис. 1.4 (A = 20 мВ, tи = 4 мс, Tс = 10 мс).

Отношение  периода  повторения  Tс к  длительности  импульса  tи 

называют скважностью сигнала: 

8

1.2. Спектральный анализ аналоговых сигналов

Рис. 1.4. Периодическое колебание – последовательность прямоугольных 

импульсов

Q= T с

tи

.
(1.8)

Результат  расчета  коэффициентов  ряда  Фурье  по  формуле  (1.6) 

имеет вид

˙C n= A

Q sinc(

πn
Q )e

− j πn

Q ,
(1.9)

где sinc πn

Q =

sin πn

Q

π n
Q

 – кардинальный синус (ненормированный).

Амплитудный спектр колебания (модули коэффициентов ˙C n ): 

| ˙C n|= A

Q|sinc πn

Q | .
(1.10)

Фазовый спектр колебания (аргументы коэффициентов ˙C n ): 

θn=− πn

Q −π⌊

n
Q ⌋ ,
(1.11)

где ⌊ ⌋  – округление до меньшего по модулю целого.

Первое слагаемое в выражении (1.11) – показатель комплексной экспоненты 
в (1.9). Второе слагаемое учитывает, что каждое изменение знака 
функции sinc соответствует изменению фазы на π.

В  соответствии  с  (1.8)  для колебания  на рис.  1.4 скважность  Q 

равна 2,5. На рис.  1.5 приведены амплитудная  и  фазовая спектральные 
диаграммы колебания ( F 1=1/T с  – частота повторения в Гц). 

9

1. Необходимые сведения из теории сигналов

а
б

Рис. 1.5. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов:

а – амплитудная спектральная диаграмма;

б – фазовая спектральная диаграмма

Как показывает рис. 1.5, а, нулю равны амплитуды, номера которых 

кратны скважности (±5-я, ±10-я и т. д.). Фазы с этими номерами обнулены 
на рис. 1.5, б, поскольку аргумент комплексного числа с нулевым модулем 
не играет роли.

1.2.2. Спектральный анализ непериодических сигналов

Спектральной  плотностью  (амплитуд)  сигнала  s(t) с  конечной 

энергией называется прямое преобразование Фурье от сигнала: 

S( jω)=ℱ{s(t)}=∫

−∞

+∞

s(t)e

−j ωt dt ,
(1.12)

где ω – угловая частота;

ℱ  – символическое обозначение прямого преобразования Фурье.

Размерность спектральной плотности В/Гц.
Обратное преобразование Фурье позволяет получить сигнал по его 

спектральной плотности: 

10

1.2. Спектральный анализ аналоговых сигналов

s(t)=ℱ

−1{S( jω)}= 1

2π ∫

−∞

+∞

S( jω)e

jωt dt ,
(1.13)

где ℱ

−1  – символическое обозначение обратного преобразования Фурье.

Амплитудный  спектр  непериодического  сигнала  –  модуль  спектральной 
плотности. Фазовый спектр – аргумент спектральной плотности.


Расчет  спектральной  плотности  прямоугольного  видеоимпульса 

(1.3) по формуле (1.12) дает результат: 

S( jω)= Atиsinc(

ω tи

2 )e

− j ωtи

2 .
(1.14)

Модуль спектральной плотности (амплитудный спектр): 

|S ( j ω)|=At и|sinc ω tи

2 | .
(1.15)

Аргумент спектральной плотности (фазовый спектр): 

θ(ω)=− ωtи

2 −π⌊

ω tи
2π ⌋ .
(1.16)

В выражении (1.16) первое слагаемое – показатель комплексной 

экспоненты в (1.14), второе слагаемое учитывает изменение фазы на π в 
точках, где функция sinc меняет знак.

Графики  амплитудного  и  фазового  спектров  прямоугольного 

видеоимпульса приведены на рис.  1.6 (параметры сигнала:  A = 20 мВ, 
tи = 4 мс).

Выражения (1.9) и (1.14), а также графики на рис. 1.5 и 1.6 иллюстрируют 
взаимосвязи между спектром одиночного импульса и спектром 
периодической последовательности таких импульсов:

– амплитудная  диаграмма  периодической  последовательности 

импульсов имеет огибающую, которая совпадает по форме с модулем 
спектральной плотности одиночного импульса (с точностью до константы 
1/Tс);

– фазовая диаграмма периодического колебания имеет огибающую, 

которая по форме совпадает с фазовым спектром одиночного импульса.

11