Прикладные методы цифровой обработки сигналов в радиотехнических системах

 

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

Федеральное государственное автономное образовательное  

учреждение высшего образования 

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

Инженерно-технологическая академия 

 
 
 
 

ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ  

ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ  
В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 

 
 
 

Учебное пособие  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ростов-на-Дону  Таганрог 

Издательство Южного федерального университета 

2021 

 

УДК 621.37(075.8)+004.056.94(075.8)  
 
 
 
 

ББК 32.3я73+32.973я73 
         К317 

 

Печатается по решению кафедры радиотехнических и  

телекоммуникационных систем Институра радиотехнических систем  

и управления Южного федерального университета  

(протокол № 12 от 10 февраля 2021 г.) 

 

Рецензенты: 

кандидат технических наук, доцент Южного федерального университета 

А. М. Пилипенко 

кандидат технических наук, доцент Южного федерального университета 

Н. Н. Кисель 

 

          Клименко, П. П.  
К317       Прикладные методы цифровой обработки сигналов в радиотехни-

ческих системах : учебное пособие / П. П. Клименко, В. Т. Корниен-
ко, А. М. Макаров, Ю. А. Геложе, А. В. Максимов ; Южный феде-
ральный университет.  Ростов-на-Дону ; Таганрног : Издательство 
Южного федерального университета, 2021.  130 с. 

 

ISBN 978-5-9275-3802-7 

Рассмотрены вопросы построения моделей Matlab систем спектрального 

анализа в пространстве частот Фурье и Меллина, а также модели прикладных си-
стем обработки сигналов при различных видах скремблирования и шифрования с 
использованием технологии Matlab. Приведены примеры создания рассмотрен-
ных алгоритмов в приложениях систем передачи информации. 

Предназначено для студентов радиотехнических специальностей для изуче-

ния разделов дисциплин «Цифровая обработка сигналов и сигнальные процессо-
ры».  

УДК 621.37(075.8)+004.056.94(075.8) 

ББК 32.3я73+32.973я73 

ISBN 978-5-9275-3802-7 

© Южный федеральный университет, 2021 
© Клименко П. П., Корниенко В. Т., Макаров А. М.,  
    Геложе Ю. А., Максимов А. В., 2021 
© Оформление. Макет. Издательство  
    Южного федерального университета, 2021 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ ...................................................................................................... 5 
1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ в MATLAB ............................ 8 

1.1. Периодические сигналы и тригонометрические ряды Фурье ............. 8 
1.2. Теорема Парсеваля .............................................................................. 18 
1.3. Спектральный анализ на основе интегрального преобразования 
Фурье ........................................................................................................... 19 

1.3.1. Основные свойства интегрального преобразования Фурье ..... 21 

1.4. Непрерывно-дискретное преобразование Фурье ............................... 28 

1.4.1. Спектры дискретизированных сигналов ................................... 29 

1.5. Дискретное преобразование Фурье .................................................... 31 
1.6. Построение спектра в Matlab .............................................................. 31 
1.7. Влияние конечной длительности реализации на спектр сигнала ..... 40 
1.8. Оконный спектральный анализ .......................................................... 43 

1.8.1. Характеристики оконных функций ........................................... 43 
1.8.2. Некоторые распространенные оконные функции .................... 44 
1.8.3. Синтез окон в MatLab ................................................................. 46 

1.9. Оконное преобразование Фурье и спектрограмма ............................ 52 

2. ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ЦИФРОВОГО СПЕКТРАЛЬНОГО 
АНАЛИЗА В ПРОСТРАНСТВЕ ЧАСТОТ МЕЛЛИНА .............................. 60 

2.1. Введение в теорию и приложения обработки сигналов с  
использованием преобразования Меллина ............................................... 60 
2.2. Интегральные преобразования и теория обработки сигналов .......... 61 

2.2.1. Элементы математических основ  интегрального  
преобразования Меллина ................................................................... 61 
2.2.2. Свойство масштабной инвариантности модуля  
преобразования Меллина ................................................................... 62 
2.2.3. Энергетические характеристики сигнала в базисе ПМ .......... 64 
2.2.4. Представление произвольного сигнала в виде суммы  
элементарных колебаний  в базисе ПМ ............................................ 66 

2.3. Спектры Меллина и их основные свойства ....................................... 68 
2.4. Спектры Меллина простейших сигналов ........................................... 70 
2.5. Аналог теоремы Винера – Хинчина  для анализа случайных  
стационарных  процессов  и  их анализ в пространстве ПМ ................... 72 
 

Оглавление 

4 

2.6. Основы теории цифровых моделей, порождаемых параметрически 
периодическими тригонометрически-логарифмическими функциями 
ядер интегрального преобразования Меллина .......................................... 76 
2.7. Свойство параметрически-периодических  функций ........................ 81 
2.8. Выбор компьютерного «нуля» и «бесконечности» цифровой  
модели ......................................................................................................... 82 
2.9. Особенности площади периодически-параметрических  
колебаний тригонометрически-логарифмических функций .................... 83 
2.10. Основы теории цифровых моделей, порождаемых  
параметрически периодическими тригонометрически- 
логарифмическими функциями ядер интегрального преобразования 
Меллина ....................................................................................................... 86 

3. МОДЕЛИ ПРИКЛАДНЫХ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ  
В MATLAB ..................................................................................................... 94 

3.1. Частотные скремблеры речевых сигналов ......................................... 94 
3.2. Цифровой скремблер  потоковый криптографический  
шифратор ................................................................................................... 102 
3.3. Криптографический шифратор DES ................................................. 110 
3.4. Стеганографическая система передачи информации ...................... 122 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................................ 128 
 
 
 

 

ВВЕДЕНИЕ 

Методы цифровой обработки сигналов реализованы в различных радиотехнических 
системах: связи, радионавигации, радиолокации, обработки 
изображений, медицинской диагностики и пр. 

Наряду с такими базовыми  принципами, использующимися в цифровой 
обработке сигналов, как методы формирования дискретных и цифро-
вых сигналов, алгоритмы цифровой фильтрации, способы учета влияния 
эффектов изменения частоты дискретизации и разрядности представления 
цифровых данных в процессе обработки сигналов, методы цифровой обра-
ботки сигналов в спектральной области, актуальными направлениями яв-
ляются: учет особенностей спектров сигналов при их разрешении, обработ-
ке в другом, отличном от Фурье, базисе, оптимизация алгоритмов помехо-
устойчивого кодирования и декодирования сигналов, учета особенностей 
передачи цифровых сигналов в защищенных каналах связи. При этом важ-
ным аспектом является как получение базовой теоретической подготовки 
для изучения принципов функционирования и методов проектирования 
цифровых устройств инфотелекоммуникационных систем, также и практи-
ческой реализации алгоритмов цифровой обработки сигналов. С этой це-
лью на начальном этапе практического закрепления теоретических основ 
цифровой обработки сигналов  часто используют профессиональные про-
граммные средства, такие как MATLAB, LabVIEW, SYSTEMVIEW и др. 

Многие задачи цифровой обработки сигналов связаны со спектраль-

ными характеристиками и методами их эффективного вычисления. Спек-
тральные характеристики являются наиболее информативными, поскольку 
спектр – это единственная характеристика, которая полностью описывает 
анализируемый сигнал. Именно поэтому спектральные методы – наиболее 
мощный инструмент анализа. В отличие от вероятностных методов, описы-
вающих свойства случайных процессов во временной области, спектраль-
ный анализ позволяет охарактеризовать частотный состав сигнала. Преоб-
разование Фурье является математической основой данного анализа, так 
как играет важную роль не только при расчете спектров, но выступает как 
необходимый промежуточный этап при вычислении преобразовании Гиль-
берта, при проведении цифровой фильтрации, при определении ковариаци-
онных функций и т.д.  

Введение 

6 

Основными методами спектрального анализа являются такие методы, 

как фильтровые, бесфильтровые, основанные на дискретном преобразова-
нии Фурье, параметрические, скользящего и скачущего анализа [15]. 

К основным параметрам анализаторов спектра относятся: число ка-

налов анализа; время наблюдения и соответствующее ему число отсчетов; 
полоса анализа, не превышающая для дискретных сигналов основной поло-
сы спектра; разрешение по частоте, обратно-пропорциональное времени 
анализа и соответствующее разности частот двух соседних разрешаемых 
частотных составляющих сигнала. 

Для улучшения спектрального разрешения и подавления боковых ле-

пестков в вычисляемом спектре сигнала неоспорима важность использова-
ния весовой обработки с применением оконного анализа [6].  

Для извлечения информации о параметрах сигнала при изменении 

спектра во времени эффективным к использованию является вычисление 
спектрограмм сигналов.  

С целью устранения влияния мешающих факторов при распростра-

нении сигналов, например при масштабных преобразованиях, вызванных 
эффектом Доплера, для спектральной обработки сигналов используют пре-
образование Меллина [7, 8]. 

Для обеспечения защищенности передачи цифровых сигналов ис-

пользуются разновидности алгоритмов скремблирования и криптографиче-
ского шифрования [913]. 

В связи с перечисленными прикладными аспектами цифровой обра-

ботки сигнлов в данном учебном пособии рассматриваются: в первом раз-
деле –оконный спектральный анализ на основе преобразования Фурье, во 
втором разделе – спектральный анализ в пространстве частот Меллина и в 
третьем разделе – применение спектральной обработки в частотных скрем-
блерах речевых сигналов средств радиосвязи, реализация цифрового 
скремблирования, блочного шифрования и стеганографического канала 
связи для обеспечения защищенной передачи сигналов в радиотехнических 
системах. 

Структура учебного пособия предполагает для закрепления теорети-

ческих знаний по разделам цифровой обработки сигналов выполнение 
практических примеров в среде Matlab. Для ознакомления с реализацией 
приведенных примеров требуются основные навыки работы с этим сред-
ством проектирования, а также знание основ цифровой схемотехники. 

Введение 

7 

Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентов радио-

технических специальностей вузов и требует знания основ дисциплин 
«Дискретная 
математика», 
«Прикладная 
информатика», 
«Цифровые 

устройства», а также предназначено для изкучения дисциплин «Основы 
цифровой обработки сигналов» и формирует базу для изучения разделов в 
специальных дисциплинах, таких как «Широкополосные системы радио-
связи», «Методы и технические средства защиты информации». 
 

1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ в MATLAB 

1.1. Периодические сигналы и тригонометрические ряды Фурье 

Многие методы анализа сигналов построены на замене исходного 

сигнала суммой других сигналов, математическая обработка которых более 
проста или представление которых более полно раскрывает какой-либо 
информационный аспект исходного сигнала. Среди многообразия детерми-
нированных сигналов выделяют  периодические сигналы и непериодиче-
ские сигналы. 

В соответствии с теоремой Фурье, любой сложный сигнал x(t), явля-

ющийся T – периодическим  x(t) = x(t+nT), где n – любое целое число,  во 
временной области можно представить суммой синусоидальных и коси-
нусных сигналов с частотами, кратными основной частоте исходного сиг-
нала  ω0 = 2π/T, если он удовлетворяет условиям Дирихле: функция x(t) не-
прерывна (или имеет конечное число точек разрыва первого рода на перио-
де); не существует разрывов второго рода; число экстремумов конечно. 

Ряд Фурье можно записать разными способами, одним из которых 

является  Тригонометрическая форма ряда Фурье, представляющая собой 
разложение сигнала по базису синусов и косинусов кратной частоты: 

 

x(t) = a0/2 + ∑
𝑎
∞
𝑛=1
n cos(nω0t) + ∑
𝑏
∞
𝑛=1
n sin(nω0t)  = 

= a0/2 + ∑
𝑎
∞
𝑛=1
n cos((n2𝜋/Т)t) + ∑
𝑏
∞
𝑛=1
n sin((n2𝜋/Т)t), 

 

где  n − целое число; 
 
ω0 = 2π/T − основная частота (циклическая частота первой гармони-

ки),  определяемая периодом T исходной  функции сигнала.   

В приведенном выражении слагаемое a0/2 для k = 0 вынесено из под 

знака суммы, а коэфициенты ряда Фурье a0, an, и bn зависят от формы сиг-
нала x(t) и могут быть рассчитаны по формулам с использованием свойства 
ортогональности гармонического базиса: 

 

a0 = 

1

𝑇 ∫ x

𝑇
0
(t)dt, 

 

an = 

2

𝑇 ∫ x

𝑇
0
(t) cos(nω0t)dt = 

2

𝑇 ∫ x

𝑇
0
(t) cos((n2𝜋/Т)t)dt, 

 

bn = 

2

𝑇 ∫ x

𝑇
0
(t) sin(nω0t)dt = 

2

𝑇 ∫ x

𝑇
0
(t) sin((n2𝜋/Т)t)dt, 

1.1. Периодические сигналы и тригонометрические ряды Фурье 

9 

где  а0 – постоянная составляющая;  

x(t) – сигнал во временной области; 
n – номер гармоники колебания; 
T = 2π/ω0 – период. 
Интервал интегрирования по времени равен периоду T, но для ис-

ключения неопределенности в радиоэлектронике используют интервал – 
𝑇 

2 < t < 

𝑇

2. Отсюда общепринятые выражения для коэффициентов Фурье: 

 

a0 = 

2

𝑇 ∫
x

𝑇/2
–𝑇/2 (t)dt, 

 

an = 

2

𝑇 ∫
x

𝑇/2
–𝑇/2 (t) cos(nω0t)dt = 

2

𝑇 ∫
x

𝑇/2
–𝑇/2 (t) cos((n2𝜋/Т)t)dt, 

 

bn = 

2

𝑇 ∫
x

𝑇/2
–𝑇/2 (t) sin(nω0t)dt =  

2

𝑇 ∫
x

𝑇/2
–𝑇/2 (t) sin((n2𝜋/Т)t)dt. 

 

Если функция, раскладываемая в ряд Фурье, обладает свойством четности 
или нечетности, то в вышеприведенных формулах один из интегралов 
будет равен нулю. Четные функции раскладываются по косинусам, нечетные 
функции – по синусам. Таким образом, периодическую функцию 
можно интегрировать по любому отрезку с длиной, равной ее периоду, не 
заботясь о расположении отрезка на числовой оси. 

Если функция, которую раскладывают в ряд Фурье, имеет разрывы 

первого рода, то в точках разрыва ряд сходится к полусумме значений 
функции слева и справа от точки разрыва. Если оставить в сумме конечное 
число слагаемых, т. е. выполнять приближение функции тригонометрическим 
полиномом, то в окрестности точки разрыва будут наблюдаться осци-
ляции. Этот эффект называется эффектом Гиббса – особенностью поведе-
ния частичных сумм SN(t) ряда Фурье в окрестности точки разрыва функции 
x(t). 

Для прямоугольного импульса длительностью Tи, повторяющегося с 

периодом T: 

x(t) = {1,   0 <  𝑡 < 𝑇и

0, 𝑇и <  𝑡 < 𝑇,. 

 

коэффициенты разложения имеют следующий вид: 

 

a0 = 

2

𝑇 ∫
x

𝑇и
0
(t)dt =  

2𝑇и

𝑇  ; 

1. Спектральный анализ сигналов в Matlab 

10 

an = 

2

𝑇 ∫
x

𝑇и
0
(t) cos(nω0t)dt =  

2

𝑇 ∫
1

𝑇и
0
cos((n2𝜋/Т)t)dt = 

1

𝜋𝑛 sin((n2𝜋ТИ/Т); 

 

bn = 

2

𝑇 ∫
x

𝑇и
0
(t) sin(nω0t)dt =  

2

𝑇 ∫
1

𝑇и
0
sin((n2𝜋/Т)t)dt  = 

= 

1

𝜋𝑛 [1  cos((n2𝜋ТИ/Т)]. 

 

Листинг программы, приведенной ниже, позволяет построить четыре 

графика, как показано на рис.1.1: в одной системе координат исходный импульс 
и два восстановленных: первый – по 3 гармоникам, второй – по 7, а 
на графике справа – импульс, восстановленный по 50-ти гармоникам. 

Листинг программы на языке Matlab для демонстрации 

 эффекта Гиббса 

Clear, clc, close all 
T = 10; % период повторения импульсов 
tau  = 5; % длительность импульса 
N1 = 3; % количество оставленных гармоник 
N2 = 7; % другое количество оставленных гармоник 
N3 = 50; 
t = 0: T/2 %max([N1 N2 N3]):T; %  вектор с моментами времени 
x = t < tau; % прямоугольный импульс длительностью tau 
k = 1:N1; 
k2 = 1:N2; 
k3 = 1:N3; 
% коэффициенты разложения 
a0 = 2*tau/T; 
% для первого случая N1 коэффициентов  
a1 = sin(2*pi*k1*tau/T)/pi./k1;  
b1 = (1-cos(2*pi*k1*tau/T)/pi./k1; 
% для второго случая N2 коэффициентов  
a2 = sin(2*pi*k2*tau/T)/pi./k2;  
b2 = (1-cos(2*pi*k2*tau/T)/pi./k2; 
% для третьего случая N3 коэффициентов  
a3 = sin(2*pi*k3*tau/T)/pi./k3;  
b3 = (1-cos(2*pi*k3*tau/T)/pi./k3; 
% сумма для первого случая 

1.1. Периодические сигналы и тригонометрические ряды Фурье 

11 

x1(1:length(t)) = a0/2; 
for n = 1:N1 
x1 = x1+a1(n) cos(2*pi*n*t/T) + b1sin(2*pi*n*t/T); 
end 
% сумма для второго случая 
x2(1:length(t)) = a0/2; 
for n = 1:N2 
x2 = x2+a2(n) cos(2*pi*n*t/T) + b2sin(2*pi*n*t/T); 
end 
% сумма для третьего случая 
x3(1:length(t)) = a0/2; 
for n = 1:N3 
x3 = x3+a3(n) cos(2*pi*n*t/T) + b3sin(2*pi*n*t/T); 
end 
subplot (1,2,1) 
plot (t, x,’k’,t, x1, ‘k - -‘, t, x2,’k:’) % сравнение результатов 
legend (‘x(t)’, ‘x_1(t)’,’x_2(t)’) 
xlabel (‘t’) 
ylabel (‘x(t) , x_1(t), x_2(t)’) 
subplot (1,2,2) 
plot (t, x3,’k’) 
xlabel (‘t’) 
ylabel (‘x_3(t)’) 
 

Следующим способом представления ряда Фурье является его  Вещественная 
форма. В тригонометрическом ряде Фурье, описанном выше и 
традиционно используемом в математике, гармоническое колебание с частотой 
nω может быть представлено суммой квадратурных составляющих с 
коэффициентами an  и bn. Для того тобы коэффициенты при квадратурных 
составляющих можно было выразить через амплитуду и начальную фазу 
следующим образом: 

  

an = An cos(Фn), bn = − An sin(Фn), 

 

необходимо воспользоваться тригонометрическим равенством: 

 
A cos(ωt + Ф) = A (cos(Ф) cos(ωt)  – sin(Ф) sin(ωt) = a cos(ωt)  +b sin(ωt). 

1. Спектральный анализ сигналов в Matlab 

12 

 

Рис. 1.1. Эффект Гибса 

 

Отсюда можно получить выражение для амплитуды и фазы через ко-

эффициенты при квадратурных составляющих: 

 

An = √𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛2, Фn= − arctg (𝑏𝑛/𝑎𝑛), 

 

которые позволяют найти амплитудный и фазовый спектры через коэффи-
циенты Фурье.  

Теперь ряд Фурье для сигнала  x(t) можно записать по гармоническим 

колебаниям кратных частот в виде 

 

x(t) =  ∑
𝐴
∞
𝑛=1
n cos(nω0t + Фn). 

 

Гармоническое колебание на частоте nω0 называют n-ой гармоникой, 

а частоте ω0 = 0 соответствует постоянная составляющая сигнала, которая 
находится интегрированием на интервале периода и представляет среднее 
за период значение сигнала: