Многомерные статистические методы в экономике

МНОГОМЕРНЫЕ
СТАТИСТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ  В  ЭКОНОМИКЕ

Москва
РИОР
ИНФРА-М

Л.И. НИВОРОЖКИНА
С.В. АРЖЕНОВСКИЙ

УЧЕБНИК 

Допущено Учебно-методическим объединением по 
образованию в областях «Статистика» 
и «Математические методы в экономике» 
в качестве учебника для студентов высших учебных 
заведений, обучающихся по специальностям 
«Статистика» и «Математические методы в экономике», 
а также по другим экономическим специальностям

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè

Ðîñòîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ýêîíîìè÷åñêèé óíèâåðñèòåò (ÐÈÍÕ)

УДК 311(075.8)
ББК 60.6я73
 
Н60

Ниворожкина Л.И., Арженовский С.В. 

Многомерные статистические методы в экономике : учебник /  

Л.И. Ниворожкина, С.В. Арженовский. — Москва : РИОР : ИНФРА-М, 
2023. — 203 с. — (Высшее образование). — DOI: https://doi.org/10.12737/ 
21773

ISBN 978-5-369-01621-3 (РИОР)
ISBN 978-5-16-012482-7 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-105629-5 (ИНФРА-М, online)
Рассмотрены методы корреляционного, регрессионного, компонентного, 
факторного анализа для многомерной выборочной совокупности. 
Изложены методы классификации: дискриминантный и кластерный 
анализ. Особое внимание уделено ситуациям, при которых применение 
методов многомерного статистического анализа является некорректным. 

Приведены примеры решения задач из различных областей экономики. 
Учебник содержит необходимые сведения для выполнения прикладного 
многомерного анализа в программном комплексе Statistica. 

Для бакалавров и магистрантов, обучающихся по направлениям 

«Экономика», «Бизнес-информатика», а также для аспирантов и научных 
работников, применяющих в исследованиях методы многомерного статистического 
моделирования.

УДК 311(075.8)
ББК 60.6я73

Н60

©  Ниворожкина Л.И.,  

Арженовский С.В.

©  ООО «Наука-Спектр»,  

оформление

ISBN 978-5-369-01621-3 (РИОР)
ISBN 978-5-16-012482-7 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-105629-5 (ИНФРА-М, online)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Рецензенты:
Мхитарян В.С. — д-р экон. наук, профессор, руководитель департамента 
статистики и анализа данных Национального исследовательского 
университета «Высшая школа экономики»; 
кафедра прикладной математики Южно-Российского государственного 
политехнического университета (НПИ) имени М.И. Платова

Авторы:
Ниворожкина Л.И. — заслуженный деятель науки РФ, д-р экон. наук, 
профессор, заведующая кафедрой математической статистики, эконометрики 
и актуарных расчетов, Ростовский государственный экономический 
университет (РИНХ);
Арженовский С.В. — д-р экон. наук, профессор, профессор кафедры 
математической статистики, эконометрики и актуарных расчетов, Ростовский 
государственный экономический университет (РИНХ)

Содержание

Предисловие................................................................................... 5

Глава 1. Содержание и основные этапы многомерного 
статистического анализа................................................................ 7
1.1..Задачи.и.методы.многомерного.статистического.анализа.... 7
1.2..Многомерное.признаковое.пространство........................... 12
Вопросы и задания........................................................................ 16

Глава 2. Многомерная генеральная и выборочная 
совокупности................................................................................ 17
2.1..Распределение.и.характеристики.многомерной.

совокупности........................................................................ 17
2.2..Многомерное.нормальное.распределение.......................... 22
2.3..Статистические.оценки.многомерной.генеральной.

совокупности........................................................................ 24
2.4..Проверка.статистических.гипотез.о.параметрах.

многомерной.нормально.распределенной.генеральной.
совокупности........................................................................ 28
2.5..Моделирование.значений.случайных.векторов.................. 31
Вопросы и задания........................................................................ 38

Глава 3. Корреляционный и регрессионный анализ многомерной 
генеральной совокупности............................................................ 41
3.1..Корреляционный.анализ.количественных.признаков....... 41
3.2..Ранговая.корреляция............................................................ 44
3.3..Корреляция.категоризованных.переменных...................... 47
3.4..Регрессионный.анализ......................................................... 50
Вопросы и задания........................................................................ 68
Задание к лабораторному практикуму........................................ 69

Глава 4. Классификация при наличии обучающих выборок: 
дискриминантный анализ............................................................. 74
4.1..Основные.определения........................................................ 74
4.2..Параметрический.дискриминантный.анализ.в.случае.

нормальных.классов............................................................. 78
4.3..Непараметрический.дискриминантный.анализ................. 81
4.4..Оценка.качества.дискриминантной.функции.

и.информативности.отдельных.признаков......................... 82
Вопросы и задания........................................................................ 90
Задание к лабораторному практикуму........................................ 91

Глава 5. Классификация без обучения. Кластерный анализ...........95
5.1..Параметрический.случай.классификации.без.обучения..

Расщепление.смесей.вероятностных.распределений...........96
5.2..Непараметрический.случай.классификации.

без.обучения:.кластерный.анализ.......................................... 99
5.3..Основные.типы.задач.кластер-анализа.и.основные.

типы.кластер-процедур........................................................ 106
5.4..Иерархические.процедуры................................................... 107
5.5..Последовательные.кластер-процедуры............................... 109
Вопросы и задания........................................................................ 120
Задание к лабораторному практикуму........................................ 121

Глава 6. Снижение размерности исследуемых многомерных 
признаков: метод главных компонент........................................... 125
Вопросы и задания........................................................................ 140
Задание к лабораторному практикуму........................................ 141

Глава 7. Факторный анализ.......................................................... 143
7.1..Модель.ортогональных.факторов........................................ 144
7.2..Определение.факторных.нагрузок.методом.главных.

факторов............................................................................... 147
7.3..Вращение.пространства.общих.факторов........................... 151
7.4..Статистическая.оценка.надежности.решений.

методом.факторного.анализа............................................... 153
Вопросы и задания........................................................................ 159
Задание к лабораторному практикуму........................................ 160

Глава 8. Многомерное шкалирование........................................... 163
Вопросы и задания........................................................................ 172

Рекомендуемая литература........................................................... 173

Краткий терминологический словарь........................................... 175

Приложения ................................................................................ 181
Приложение.1..Источник.данных.............................................. 181
Приложение.2..Некоторые.сведения.из.линейной.

алгебры................................................................................. 184
Приложение.3..Статистические.таблицы.................................. 194

ПРЕДИСЛОВИЕ

.
.
.
.

Смотри.в.корень!
К. Прутков. Мысли и афоризмы

В.последнее.время.на.рынке.труда.постоянно.растет.спрос.на.спе-

циалистов,.обладающих.знаниями.и.навыками.проведения.приклад-
ного.экономического.анализа.с.использованием.доступных.матема-
тических.и.программных.средств..Одной.из.основных.дисциплин.в.
их.подготовке.является.курс.«Многомерные.статистические.методы.
в.экономике»,.дающий.представление.о.многомерных.случайных.ве-
личинах.и.методах.их.анализа..Многомерные.статистические.методы.
являются.областью.знаний,.которая.охватывает.вопросы.применения.
статистических.методов.для.поиска.и.объяснения.закономерностей.
экономических.процессов.и.явлений,.скрытых.от.непосредственного.
наблюдения,.позволяет.структурировать.и.представлять.в.«сжатом».
виде.огромные.информационные.массивы,.анализ.которых.методами.
традиционной.статистики.малоэффективен..

В.настоящее.время.популярным.направлением.применения.

многомерных.методов.является.обработка.больших.массивов.
данных..

Расчеты.при.использовании.методов.многомерного.статисти-

ческого.анализа.проводят.с.помощью.компьютеров..Существует.
широкий.спектр.пакетов.прикладных.программ,.позволяющих.
автоматизировать.процессы.такого.анализа..К.наиболее.распростра-
ненным.относятся.пакеты.Statistica,.SPSS,.Stata,.SAS.и.др..Имеются.
простейшие.опции.для.проведения.многомерного.анализа.в.Excel..
Поскольку.в.настоящее.время.вычислительные.сложности.анализа.
преодолены,.а.программные.пакеты.имеют.дружественный.к.
пользователю.интерфейс,.то.наиболее.важным.для.осуществлении.
прикладного.многомерного.анализа.статистических.данных.представляется.
понимание.сущности.математико-статистических.подходов,.
лежащих.в.их.основе,.выбор.адекватной.исходным.данным.
модели,.а.после.оценки.ее.параметров,.интерпретация.полученных.
результатов,.дающая.путь.к.объяснению.экономической.ситуации.
или.принятию.решений..

В.книге.даны.основные.понятия,.модели.и.методы.многомерного.

анализа,.рассматриваются.примеры.из.практики..В.конце.каждой.
главы.приведены.контрольные.вопросы.и.задания,.а.также.мето-

дические.указания.по.выполнению.расчетов.в.пакете.прикладных.
программ.Statistica..

Для.работы.с.предлагаемым.изданием.необходимы.базовые.

знания.некоторых.разделов.линейной.алгебры.и.аналитической.
геометрии,.теории.вероятностей.и.математической.статистики..

Эффективным.является.использование.данной.книги.в.сочетании.
с.самостоятельным.разбором.примеров.с.использованием.ста-
тистического.программного.обеспечения.Statistica.(наборы.данных.
доступны.в.сети.Интернет.по.адресу:.ashad17.narod.ru).

Авторы.благодарят.рецензентов.за.советы.при.подготовке.книги.

ГЛАВА 1
 
СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ 

 
МНОГОМЕРНОГО СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Многие.вещи.нам.непонятны.
не. потому,. что. наши. понятия.
слабы;.но.потому,.что.сии.
вещи.не.входят.в.круг.наших.
понятий.
К. Прутков. Мысли и афоризмы

1.1.  ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ МНОГОМЕРНОГО СТАТИСТИЧЕСКОГО 

АНАЛИЗА

Многомерный статистический анализ.(МСА).—.раздел.математической.
статистики,.посвященный.методам.сбора,.систематизации,.
обработки.и.интерпретации.сложных.совокупностей.данных,.нацеленный.
на.выявление.неявных.(латентных).закономерностей.
в.структуре.и.тенденциях.развития.исследуемых.многомерных.
процессов.

Например,.изучая.экономическое.поведение.человека,.мы.можем.
судить.о.нем.по.заработной.плате.и.образованию,.но.наши.выводы.
будут.полнее.и.точнее,.если.мы.включим.в.анализ.такие.признаки,.
как.социальное.положение,.состав.семьи,.уровень.доходов.
семьи,.состояние.здоровья.и.др..Совместное.изучение.воздействия.
этих.признаков.на.экономическое.поведение.позволит.адекватно.
моделировать.поведенческие.реакции.личности,.коллектива.

Наиболее.распространенными.формами.представления.исходных.
статистических.данных.в.МСА.являются:.

а).матрица.объект-свойство

.

X
n p

p

p

n
n

X
t
X
t
X
t

X
t
X
t
X
t

X
t
X
t

× =

11
12
1

21
22
2

1
2

( )
( )
( )

( )
( )
( )

( )
(

…

…

))
( )

,

…
X
t
np

.

t.=.t1,.…,.tN,..
(1.1)

где.Xij(t).—.значение.j-го.анализируемого.признака,.характеризующего.
состояние.i-го.объекта.в.момент.времени.t.

Например,.пространственно-временная.выборка,.пространственная.
выборка.при.фиксированном.t,.временные.ряды.(n.=.1);

б).матрица.парных.сравнений..Состоит.из.характеристик.γij.попарных.
сравнений.объектов.по.некоторому.свойству:

.

Г
n n

n

n
nn

× =
γ
γ

γ
γ

11
1

1

.

...

(1.2)

Содержание.многомерного.статистического.анализа.состоит.в.

решении.следующих.основных.задач.

1..Статистическое исследование зависимостей..Выявление.и.

описание.множественных.статистических.связей,.существующих.
между.признаками.X.=.(X1,.X2,.…,.Xp)..Используемые.методы:.корреляционный,.
регрессионный.анализ,.анализ.временных.рядов.и.др..

2..Классификация объектов и признаков..Необходимо.всю.анализируемую.
совокупность.объектов.O1,.…,.On,.представленную.в.
виде.матриц.(1.1).или.(1.2),.разбить.на.сравнительно.небольшое.
число.(известное.заранее.или.нет).однородных.в.определенном.
смысле.групп.или.классов..Исходными.данными.при.классификации.
объектов.являются.строки.матрицы.(1.1),.при.классификации.
признаков.—.столбцы.матрицы.(1.1).

Методы:.дискриминантный.анализ,.кластерный.анализ.и.др.
3..Снижение размерности анализируемого признакового пространства.


Переход.от.исходного.набора.из p.признаков.к.вспомогательному.

набору.меньшего.числа.k.признаков..Это.необходимо.при.решении.
задач.отбора.наиболее.информативных.показателей,.сжатия.больших.
массивов.информации,.визуализации.многомерных.данных..

Методы:.факторный.анализ,.метод.главных.компонент,.многомерное.
шкалирование.

Основные этапы многомерного статистического анализа.[1].
I..Предварительный.анализ.исследуемой.реальной.системы..

Результат:.определение.цели.и.задач.исследования,.выбор.объектов.
и.признаков,.формы.для.сбора.информации,.оценка.необходимого.
времени.и.трудозатрат.на.проведение.исследования..

II..Составление.детального.плана.сбора.исходной.статистиче-

ской.информации.

III..Сбор.и.контроль.исходных.статистических.данных.и.их.пре-

образование.в.электронную.форму.

IV..Первичная.статистическая.обработка.данных..

Задачи:

.
• отображение.вербальных.признаков.в.номинальной.или.по-

рядковой.шкале;

.
• статистическое.описание.исходных.совокупностей;

.
• анализ.выбросов;

.
• восстановление.пропущенных.наблюдений;

.
• проверка.однородности.выборки;

.
• проверка.статистической.независимости.последовательности.

наблюдений,.составляющих.выборку;

.
• экспериментальный.анализ.закона.распределения.исследуемой.

генеральной.совокупности.и.др.
V..Уточнение.методов.анализа,.используемых.для.решения.иссле-

дуемой.проблемы..Составление.детального.плана.вычислительного.
анализа.информации.

VI..Вычислительная.реализация.основной.части.статистической.

обработки.данных..

VII..Подведение.итогов.исследования,.интерпретация.резуль-

татов,.выводы.

На.практике.все.перечисленные.этапы.не.обязательно.присут-

ствуют.и.четко.не.разграничены..Некоторые.из.них.могут.объеди-
няться.или.исключаться..Знание.всех.этапов.позволяет.рационально.
планировать.реализацию.методов.МСА.и.учитывать.предстоящие.
объемы.работы.

МСА.обобщает.большое.число.методов.и.приемов.для.обработки.

многомерных.статистических.данных,.которые.можно.схематиче-
ски.представить.в.следующем.виде.(рис..1.1)..Как.видно.из.рисунка,.
методы.подразделяются.по.признакам.числа.зависимых.перемен-
ных,.шкал.измерения.и.структуры.исследуемой.зависимости..

Отдельные.методы.проиллюстрированы.в.табл..1.1,.в.которой.от-

ражена.форма.взаимосвязей.между.данными.и.показаны.уравнения.
зависимостей,.исследуемые.с.помощью.моделей.МСА.

Таблица 1.1

Методы многомерного исследования и виды зависимостей

Метод
Вид зависимости

Канонические.
корреляции

                 Y1.+.Y2.+.….+.Yk...........=.............X1.+.X2.+.….+.Xm 
(количественные, неколичественные)...(количественные, неколичественные)

Многомерный.
дисперсионный.
анализ

Y1.+.Y2.+.….+.Yk.=.X1.+.X2.+.….+.Xm 

...................................(количественные)........(неколичественные)

Дисперсионный.
анализ

Y1...........=..X1.+.X2.+.….+.Xm 

..........................(количественная)......(неколичественные)

Метод
Вид зависимости

Дискриминант-
ный.анализ

Y1..............=.X1.+.X2.+.….+.Xm 

........................(неколичественная)........(количественные)

Множественный.
регрессионный.
анализ

Y1............=..............X1.+.X2.+.….+.Xm 

...................(количественная)......(количественные, неколичественные)

Совместный.
анализ

Y1.+.Y2.+.….+.Yk..................=.......X1.+.X2.+.….+.Xm 

(количественные, неколичественные)...................(неколичественные)

Структурное.
моделирование

 Y1................=..............X11.+.X12.+.….+.X1m
 Y2................=..............X21.+.X22.+.….+.X2m
…

Yk................=..............Xk1.+.Xk2.+.….+.Xkm
..................(количественная)...........(количественные, неколичественные)

На.выбор.метода.существенно.влияет.форма.представления.

исходной.информации.(в.виде.(1.1).или.(1.2)),.что.соответствует.
измерению.переменных.в.той.или.иной.шкале..

Под.шкалой.понимают.систему.чисел.или.иных.элементов,.при-

нятых.для.оценки.или.измерения.каких-либо.величин..Различают.
шкалы:

.
• номинальные.(классификационные);

.
• порядковые.(ранговые);

.
• количественные.(метрические).

Номинальная шкала.основана.на.том,.что.таким.характеристи-

кам.объектов,.как,.например,.пол,.профессия,.регион.проживания..
и.др.,.которые.невозможно.измерить.количественно,.присваива-
ются.числовые.метки,.классифицирующие.объект.по.наличию.или.
отсутствию.определенного.признака..Если.признак.может.быть.
или.не.быть.у.данного.объекта,.то.переменная.(дихотомическая,.
бинарная).принимает.два.значения..Так,.признак.«пол».дает.два.
класса.(мужской,.женский)..Если.обозначить.один.из.них.нулем,.
а.другой.единицей,.то.можно.подсчитывать.частоту.появления..
1.или.0.и.проводить.дальнейшие.статистические.процедуры..Если.
число.значений.признака.больше.двух,.то.он.называется.катего-
риальным.

Порядковая шкала.соответствует.более.высокому.уровню.шка-

лирования..Она.предусматривает.сопоставление.интенсивности.
определяемого.признака.у.изучаемых.объектов.(т.е..располагает.их.
по.признаку.«больше–меньше»,.но.без.указания,.насколько.больше.
или.насколько.меньше)..Порядковые.шкалы.широко.используют-
ся.при.анализе.предпочтений.в.различных.областях.экономики,.

Окончание табл. 1.1

Тип.исследуемой.зависимости

Однонаправленная
Взаимная

Структура.зависимости

Переменные
Наблюдения./

Респонденты

Объекты
Несколько.уравнений.

для.нескольких.

переменных

Одно.уравнение.

для.нескольких.

переменных

Одно.уравнение.

для.одной.

переменной

Структурное 

моделирование

Шкала.измерения.зависимой.переменной

Факторный 

анализ
Кластерный 

анализ

Шкала.измерения.

признаков

Число.зависимых.переменных

Количественная Неколичественная
Количественная
Неколичественная
Количественная Неколичественная

Шкала.измерения.

прогноза

Канонический 

корреляционный 

анализ

Регрессионный 

анализ

Совместный

 анализ

Дискриминант-

ный анализ

Модели линейной 

вероятности

Множественный 

дисперсионный 

анализ

Канонический 

корреляционный 

анализ

Количественная
Неколичественная
Анализ 

сопряженности

Многомерное 

шкалирование

Рис. 1.1..Выбор.метода.в.МСА

социологии,.но.прежде.всего.в.анализе.спроса.и.потребления..
Изучаемые.объекты.можно.обозначить.порядковыми.числитель-
ными.(первый,.второй,.третий),.подвергая.их.любым.монотонным.
преобразованиям.(например,.возведению.в.степень,.извлечению.
корня),.поскольку.первоначальный.порядок.этим.не.затрагивает-
ся..Порядковую.шкалу.также.называют.ранговой,.а.место.объекта.
в.последовательности,.которую.она.собой.представляет,.рангом.
объекта..Пример.порядковой.шкалы.—.система.балльных.оценок.
(школьные.оценки,.оценки.качества.продукции.и.т.д.)..

Количественные,.или.метрические,.шкалы.подразделяются.на.два.

вида:.интервальные.и.пропорциональные..Первые.из.них,.обладая.
всеми.качествами.порядковой.шкалы,.отличаются.от.нее.тем,.что.
точно.определяют.величину.интервала.между.точками.на.шкале.в.
принятых.единицах.измерения..Равновеликость.интервалов.при.
этом.не.требуется..Но.она.появляется.в.следующем.виде.шкал.—.
пропорциональных.шкалах..Здесь.подразумевается.фиксирован-
ная.нулевая.точка.отсчета,.поэтому.пропорциональные.шкалы.
позволяют.выяснить,.на.сколько.или.во.сколько.раз.один.признак.
объекта.больше.или.меньше.другого..С.оценками.в.метрической.
шкале.можно.производить.различные.действия:.сложение,.вы-
читание,.умножение,.деление..Пример.показателя,.выраженного.
в.метрической.шкале,.—.объем.продукции.определенного.вида.в.
соответствующих.единицах.измерения.(тонны,.рубли).

1.2.  МНОГОМЕРНОЕ ПРИЗНАКОВОЕ ПРОСТРАНСТВО

Методы.МСА.базируются.на.геометрическом.представлении.
данных..Наблюдаемые.объекты.располагаются.в.теоретическом.
пространстве.с.размерностью,.соответствующей.числу.признаков.
(элементарных.или.латентных),.которыми.они.характеризуются..
Можно.предложить.частные.случаи.признакового.пространства:.
с.нулевой.размерностью.—.объекты.не.имеют.характеристик;..
с.единичной.размерностью.(одномерное.признаковое.простран-
ство).—.объекты.отражаются.значениями.одного.какого-либо.
признака;.многомерное.пространство.—.объекты.представлены.
значениями.двух.и.более.признаков.(p-мерное.признаковое.про-
странство).

Рассмотрим.простой.пример,.когда.пять.домохозяйств.по-

следовательно.характеризуются.значениями.одного,.двух.и.трех.
признаков.