Эпюры внутренних силовых факторов: учебно-методическое пособие к выполнению расчетно-проектировочных заданий для студентов, обучающихся по направлению "Строительство"

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

С. Г. Кудрявцев 

 
 
 
 
 

ЭПЮРЫ 

ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ 

 
 
 

Учебно-методическое пособие 

к выполнению расчетно-проектировочных заданий 

для студентов, обучающихся по направлению  

«Строительство» 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Йошкар-Ола 

2018 

УДК 539.3/.6:69(075.8) 
ББК  30.121:38я7 

К 88 

 
 
 
 
Рецензенты: В. Г. Котлов, канд. техн. наук, доцент ПГТУ, 

В. М. Поздеев, канд. техн. наук, доцент ПГТУ 

 
 
 
 
 

Печатается по решению  

редакционно-издательского совета ПГТУ 

 
 
 
 
 
 

Кудрявцев, С. Г.  

К 88     Эпюры внутренних силовых факторов: учебно-методическое 

пособие к выполнению расчетно-проектировочных заданий для 
студентов, обучающихся по направлению «Строительство» / 
С. Г. Кудрявцев. – Йошкар-Ола: Поволжский государственный 
технологический университет, 2018. – 76 с. 
ISBN 978-5-8158-1985-6 

 

Пособие подготовлено в соответствии с типовой программой курса 

«Сопротивление материалов» для обучающихся по направлению «Строительство» 
и отвечает требованиям Федерального государственного образовательного 
стандарта. 

УДК 539.3/.6:69(075.8) 
ББК  30.121:38я7 

 
ISBN 978-5-8158-1985-6 
© С. Г. Кудрявцев, 2018 
© Поволжский государственный  
технологический университет, 2018 

ВВЕДЕНИЕ 

 

При изучении курса «Сопротивление материалов», с целью более 

полного понимания, уяснения и усвоения теоретических положений 
дисциплины, приобретения элементарных навыков практических расчетов 
элементов конструкций предусматривается выполнение расчетно-
проектировочных заданий. 

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся 
по направлению «Строительство», дневной и заочной форм 
обучения. В нем рассматривается один из важных и, как правило, трудно 
усваиваемых студентами разделов курса – построение эпюр внутренних 
силовых факторов. 

На примере решения типовых задач излагаются основные положения 

метода сечений для определения внутренних силовых факторов в поперечном 
сечении стержня при разных схемах его нагружения. Приводится 
методика построения их эпюр.  

В издании также рассматриваются примеры решения задач повышенной 
степени сложности, которые могут быть использованы при подготовке 
к студенческим олимпиадам. 

Предполагается, что материал, изложенный в настоящем учебно-

методическом пособии, будет полезным для самостоятельной работы 
студентов при изучении теоретических положений данного раздела 
дисциплины и при выполнении расчетно-проектировочных заданий. 

Для закрепления рассмотренного здесь материала приводятся вари-

анты схем при разных видах нагружения стержня, которые можно ис-
пользовать для комплектования расчетно-проектировочного задания по 
данной теме. 

Предлагаемое вниманию читателей пособие отвечает требованиям 

типовых программ по сопротивлению материалов и Федерального го-
сударственного образовательного стандарта для направления «Строи-
тельство».  

Автор выражает признательность заведующему лабораторией ка-

федры «Сопротивление материалов и прикладная механика» ПГТУ 
Е. А. Ломакиной за помощь в оформлении учебно-методического пособия. 

 
 

1. СИЛЫ ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ 

Сила – векторная величина, которая характеризует меру механи-

ческого взаимодействия тел. Если конструкция или элемент кон-
струкции рассматриваются изолированно от окружающих тел, то их 
действие на конструкцию или элемент заменяют силами, которые 
называют внешними. 

Внешние силы бывают поверхностные и объемные. Поверхностные 

силы приложены или к части поверхности тела, или непрерывно рас-
пределены по всей поверхности. Например: ветровая и снеговая 
нагрузки, гидростатическое давление воды на тело плотины, давление 
пара в котле.  

Величина нагрузки, приходящаяся на единицу площади, называется 

интенсивностью нагрузки. Она обычно обозначается буквами р(q) и 
имеет размерность Н/м2(Па), кН/м2(КПа), мН/м2(МПа).  

Нагрузку, распределенную по поверхности тела, иногда приводят к 

одной (главной) плоскости и получают нагрузку, распределенную по 
линии, – погонную нагрузку. Под интенсивностью в этом случае пони-
мают величину нагрузки, приходящуюся на единицу длины (Н/м, кН/м, 
мН/м). Интенсивность нагрузки может быть как постоянной, так и пе-
ременной по площади или по длине. 

В случае, когда внешняя нагрузка приложена к небольшой части по-

верхности тела, в сравнении со всей поверхностью, ее заменяют равно-
действующей и называют сосредоточенной силой. Встречаются нагруз-
ки, которые могут быть представлены в виде сосредоточенного момен-
та – пары сил. 

Объемные силы приложены к каждой точке объема, занятого телом. 

Например: собственный вес, сила инерции движущегося тела. 

Внутренние силы – это силы взаимодействия между частями объекта 

в пределах рассматриваемой области. Внутренние силы возникают при 
взаимодействии элементов конструкции, а также между всеми смежны-
ми частицами тела при его нагружении. Эти силы противодействуют 
изменению взаимного расположения частиц тела, стараются сохранить 
его как единое целое. Внешние силы, наоборот, стремятся изменить 
взаимное положение частиц. 
 

 
 

2. МЕТОД СЕЧЕНИЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 

ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ 

С целью оценки работы конструкции (элемента конструкции) необ-

ходимо знать величину и характер распределения внутренних сил в лю-
бом сечении конструкции (элемента конструкции). 

Для определения величины и направления внутренних сил исполь-

зуют метод сечений. Порядок выполнения операций при использовании 
метода сечений можно представить с помощью аббревиатуры РОЗУ: 
рассекаем, отбрасываем, заменяем, уравновешиваем. 

Рассмотрим стержень, который находится в равновесии под действи-

ем системы внешних сил (рис. 1) Используя метод сечений, определим, 
например, внутренние силы в сечении I-I. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 1 

 

 Рассекаем мысленно стержень плоскостью, перпендикулярной 

оси стержня, по сечению I-I на две части (рис. 2). 

 Отбрасываем одну из частей, например левую (рис. 2а). 
 Заменяем действие отброшенной левой части на оставшуюся правую 
силами реакций (реакциями) Ri, так как убрали специфические связи (
рис. 2б). Эти силы реакций и представляют внутренние силы, приложенные 
в каждой точке поперечного сечения. По отношению к 
оставшейся части стержня внутренние силы являются внешними. Для 
всего стержня в целом они являются внутренними. 

 Уравновешиваем, используя уравнения статики, рассматриваем 

равновесие оставшейся правой части. 

Величина и направление внутренней силы в каждой точке сечения 

не известны. Поэтому из уравнений равновесия правой части выявить 

Fk

I

I

F3

F2

F1

величину и направление каждой внутренней силы нельзя. Можно определить 
только их равнодействующие, если известны внешние силы, 
действующие на оставшуюся правую часть стержня. 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

а) 
 
 
 
б) 

 

Рис. 2 

 
Введем прямоугольную систему координат. Начало координат О выберем 
в центре тяжести поперечного сечения. Ось z направим по внеш-
ней нормали к сечению. Оси х и у, расположенные в плоскости сечения, 
совпадают с главными центральными осями поперечного сечения. Ис-
пользуя положения статики, приведем систему внутренних сил к центру 
тяжести сечения. Получим главный вектор R  и главный момент M  
всех внутренних сил (рис. 3). (Для деформируемого тела эта операция, 
строго говоря, является незаконной. Она справедлива только для абсо-
лютно твердого тела). 

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 3 

F2

F1

Fk

F3

R4
R1

R2

R3
Ri

Л
П

Мx

My
y

M

N

O

x

z
Qx

Qy
R

Мz=Мk

F3

Fk

Главный вектор и главный момент разложим на составляющие по 

осям координат (см. рис. 3). Шесть составляющих: три силы и три мо-
мента называют внутренними силовыми факторами (внутренними уси-
лиями). Для сил и моментов приняты следующие обозначения и назва-
ния: N – продольная (нормальная) сила; Qx и Qy – поперечные силы; Мx и 
Мy – изгибающие моменты; Мz = Мk – крутящий момент.  

Продольная сила N – сумма проекций всех внутренних сил, действу-

ющих в данном поперечном сечении, на нормаль к сечению (или на ось 
стержня). 

Поперечная сила Qx (Qy) – сумма проекций всех внутренних сил в 

данном поперечном сечении на главную центральную ось x(y), лежащую 
в плоскости сечения, соответственно. 

Изгибающий момент Мx (Мy) – сумма моментов всех внутренних сил 

в данном поперечном сечении относительно главной центральной оси 
x(y), лежащей в плоскости сечения, соответственно. 

Крутящий момент Мz = Мk – сумма моментов всех внутренних сил в 

данном поперечном сечении относительно оси стержня. 

Совокупность величин N, Qx, Qy, Mx, My, Mk, приложенных в сечении 

к правой части стержня, заменяет действие удаленной левой части 
стержня на правую (и наоборот).  

Из условия, что стержень находился в равновесии под действием си-

стемы внешних сил, следует, что правая часть стержня также будет 
находиться в равновесии под действием приложенных к ней внешних 
сил и внутренних силовых факторов.  

При практическом определении внутренних силовых факторов, воз-

никающих в конкретном сечении, поступают следующим образом. Со-
ставляют суммы проекций на оси координат x, y, z и суммы моментов 
относительно осей x, y, z внешних сил и внутренних силовых факторов, 
приложенных к правой части стержня. В этом случае каждое уравнение 
равновесия содержит одну неизвестную величину.  

Следовательно, продольная сила N численно равна алгебраической 

сумме проекций всех внешних сил, приложенных к правой части стерж-
ня, на ось стержня.  

Поперечная сила Qx (Qy), численно равна алгебраической сумме про-

екций всех внешних сил, приложенных к правой части стержня, на ось 
x(y), соответственно.  

Крутящий момент Мk численно равен алгебраической сумме момен-

тов всех внешних сил, приложенных к правой части стержня, относи-
тельно оси стержня.  

Изгибающий момент Мx (Мy) численно равен алгебраической сумме 

моментов всех внешних сил, приложенных к правой части стержня, от-
носительно оси x(y), соответственно.  

Если рассматривается левая часть стержня, то при определении 

внутренних силовых факторов учитывают внешние силы, приложенные 
к левой части стержня. В соответствии с третьим законом Ньютона, 
внутренние силовые факторы для левой и правой частей стержня равны 
по величине и противоположны по направлению. Поэтому при опреде-
лении величины и направления внутренних силовых факторов целесо-
образно рассматривать ту часть стержня, для которой уравнения равно-
весия записываются проще. 

 

 
 

3. ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ  

СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ 

При переходе от одного сечения стержня к другому величина и 

направление внутренних силовых факторов могут меняться.  

График, показывающий закон изменения внутреннего силового фак-

тора по длине стержня, называется эпюрой данного внутреннего сило-
вого фактора.  

При построении эпюры необходимо использовать некоторые приня-

тые  п р а в и л а . 

 Ось, на которой строится эпюра, выбирают параллельно оси 

стержня. 

 Ординаты эпюры откладывают строго в масштабе по перпенди-

куляру к оси эпюры. 

 Штриховать эпюры принято линиями, перпендикулярными оси 

эпюры.  

Эпюру крутящих моментов Мk целесообразно штриховать в виде 

спирали. Диаметр спирали равен значению крутящего момента в дан-
ном сечении. 
 

 
 

4. ЭПЮРЫ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ 

При построении эпюр внутренних силовых факторов стержень раз-

бивают на участки.  

Участок – это часть стержня: 
а) между точками приложения сосредоточенных сил; 
б) в пределах которого распределенная нагрузка меняется по опре-

деленному закону; 

в) в пределах которого форма поперечного сечения меняется по 

определенному закону. 

Для продольной силы вводится следующее правило знаков. Про-

дольная сила считается положительной, если она направлена по внеш-
ней нормали от сечения и, следовательно, вызывает деформацию растя-
жения, отрицательной – к сечению, т.е. имеет место деформация сжа-
тия. Внешние силы, действующие на стержень, ни положительны, ни 
отрицательны, но каждая внешняя сила в выражении для определения 
продольной силы дает слагаемое определенного знака. В дальнейшем 
продольную силу будем направлять от сечения. 

 
Пример 1. Для стержня, изображенного на рисунке 4а, построить 

эпюру продольных сил. Величины q и а заданы. 

Разбиваем стержень на участки. Стержень имеет три силовых участ-

ка: I, II, III. Используя метод сечений, составим выражения для опреде-
ления продольной силы в произвольном сечении каждого участка. 

 Первый участок 
 Рассекаем стержень на первом участке произвольным сечением  

1-1 (рис. 4а). 

 Отбрасываем верхнюю часть стержня (чтобы не определять пред-

варительно реакции в опоре), тогда 0
2
z
a


 (рис. 5). 

 Заменяем действие отброшенной верхней части на оставшуюся 

внутренними силовыми факторами. Внешние силы действуют вдоль оси 
стержня. Следовательно, в любом поперечном сечении их будет урав-
новешивать только продольная сила. Продольную силу N1 направляем 
от сечения (см. рис. 5). 

 Уравновешиваем, т.е. составляем уравнение равновесия для ниж-

ней части стержня 

1
0
N
q z



. 

Тогда 
1
N
q z


.