Моделирование мехатронных систем

В. К. Иванов      В. Е. Макаров     К. Н. Никоноров 

 
 

 

 

МОДЕЛИРОВАНИЕ  

МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ 

 
 

Учебное пособие 

 
 

Под общей редакцией В. К. Иванова 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Йошкар-Ола 

2021 
 

УДК 004.896(075.8) 
ББК  32.966я7 

И 20 

 

 
Рецензенты: 
доктор технических наук, профессор кафедры прикладной математики и 
информационных технологий ПГТУ В. В. Иванов; 
доктор 
технических 
наук, 
заведующий 
кафедрой 
транспортно-

технологических машин ПГТУ, профессор А. И. Павлов 

 
 
 

Печатается по решению 

редакционно-издательского совета ПГТУ 

 
 

Иванов, В. К.  

Моделирование мехатронных систем: учебное пособие / 

В. К. Иванов, В. Е. Макаров, К. Н. Никоноров; под общ. ред. 
В. К. Иванова. – Йошкар-Ола: Поволжский государственный 
технологический университет, 2021. – 122 с. 
ISBN 978-5-8158-2227-6 
 

 В учебном пособии приведена классификация методов моделирования 
технических систем, обобщены задачи, решаемые средствами моделирования, 
показаны роль и место моделирования в общей процедуре 
проектирования технических систем. Рассмотрены основные этапы математического 
моделирования и математические модели объектов с элементами 
различной физической природы. Представлен обзор некоторых 
пакетов прикладных программ моделирования мехатронных систем. 

Для студентов направления подготовки 15.04.06 – «Мехатроника и 

робототехника», программа магистратуры «Проектирование и автомати-
зация управления системами мехатроники».  

УДК 004.896(075.8) 
ББК  32.966я7 

 

ISBN 978-5-8158-2227-6 
 В. К. Иванов, В. Е. Макаров,  
К. Н. Никоноров, 2021 
 Поволжский государственный  
технологический университет, 2021 

И 20

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

Предисловие ............................................................................................ 4 

Список основных сокращений .............................................................. 5 

Введение  ................................................................................................. 6 
 
1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ  ....................... 8 

1.1. Методы моделирования систем и типы математических  
моделей  ............................................................................................. 8 
1.2. Теоретические основы математического моделирования ... 27 

1.2.1. Основные понятия теории множеств ........................ 27 
1.2.2. Векторы и матрицы ..................................................... 31 
1.2.3. Основы алгебры логики ................................................. 37 
1.2.4. Основные понятия корреляционного, регрессионного  
и дисперсионного анализов ..................................................... 44 

Контрольные вопросы ................................................................... 49 

 
2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ  
МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ ............................................................... 50 

2.1. Математические модели мехатронных систем .................... 50 
2.2. Основные этапы математического моделирования ............. 62 
Контрольные вопросы ................................................................... 75 

 
3. ПАКЕТЫ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ  
МОДЕЛИРОВАНИЯ ............................................................................ 76 

3.1. Пакеты моделирования технических систем ........................ 76 
3.2. Пакеты программ моделирования мехатронных систем ..... 94 
Контрольные вопросы ................................................................. 113 

 
Заключение .......................................................................................... 114 

Список литературы ............................................................................. 115 

Приложение ......................................................................................... 118 

 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 
Настоящее издание предназначено для студентов направления 

подготовки 15.04.06 – «Мехатроника и робототехника», обучающих-
ся по программе «Проектирование и автоматизация управления си-
стемами мехатроники». Содержание учебного пособия соответству-
ет действующим федеральным государственным образовательным 
стандартам. 

Предлагаемое вниманию читателя издание посвящено актуаль-

ной проблеме моделирования мехатронных систем. 

В первой главе представленной работы рассмотрены методы мо-

делирования систем, типы математических моделей и теоретические 
основы математического моделирования (основные понятия теории 
множеств, вектора и матрицы, основы алгебры логики, корреляци-
онного, регрессионного и дисперсионного анализов). 

Во второй главе приведены математические модели различных 

мехатронных систем и рассмотрены основные этапы математическо-
го моделирования. 

Существующим пакетам прикладных программ моделирования 

различных технических систем посвящена третья глава учебного 
пособия. Здесь приведена классификация пакетов моделирования 
технических систем и подробно рассмотрены около двух десятков 
конкретных пакетов прикладных программ.  

Контрольные вопросы в конце каждой главы призваны помочь 

студентам обобщить и систематизировать изучаемый материал, ор-
ганизовать самостоятельную работу по его освоению, а кроме того, 
осуществлять самопроверку знаний. 

В источниках, приведенных в списке литературы, статьях, опубликованных 
в современных научных журналах, а также на интернет-
сайтах, заинтересованный читатель найдет дополнительную информацию 
по рассматриваемой тематике.  

 
 

СПИСОК ОСНОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ 

 

ММ – математическое моделирование (математическая модель) 
ТМО – теория массового обслуживания 
АВМ – аналоговая вычислительная машина 
ЭВМ – электронная вычислительная машина 
ДУЧП – дифференциальное уравнение в частных производных 
ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение 
sup S – (супремум) верхняя граница множества S 
inf S – (инфинум) нижняя граница множества S  
OpenGL – высокопроизводительная 2D-3D графика 
«И» – логический элемент И (логическое умножение) 
«ИЛИ» – логический элемент ИЛИ (логическое сложение) 
«НЕ» – логический элемент НЕ (логическое отрицание) 
ДУС – датчик угловых скоростей 
ДЛУ – датчик линейных ускорений 
ТО – технический объект 
РС – расчетная схема 
ППП – пакеты прикладных программ 
ТАУ – теория автоматического управления 
САМ (Computer-aided manufacturing) – автоматизированная система 
технологической подготовки производства 
UM – пакет моделирования динамических систем (универсальный 
механизм) 
GPSS (General Purpose Simulation System) – система (язык) имитационного 
моделирования в основном систем массового обслуживания 
MATLAB (Matrix Laboratory) – пакет прикладных программ для решения 
задач технических вычислений 

 
 

ВВЕДЕНИЕ 

 

Представленное учебное пособие ориентировано на студентов 

направления подготовки 15.04.06 – «Мехатроника и робототехника», 
программа магистратуры «Проектирование и автоматизация управления 
системами мехатроники», изучающих курс «Моделирование 
мехатронных систем». Здесь приводится классификация методов 
моделирования систем, перечисляются задачи, решаемые средствами 
моделирования, показывается роль и место моделирования в общей 
процедуре проектирования технических систем. Рассмотрены 
основные этапы математического моделирования и математические 
модели объектов с элементами различной физической природы. Пособие 
содержит обзор некоторых наиболее популярных и перспективных 
пакетов прикладных программ моделирования мехатронных 
систем. 

Курс базируется на знаниях, полученных студентами в рамках 

дисциплин «Информатика», «Теоретические основы электротехники», «
Теоретическая механика», «Теория автоматического управления». 
Моделирование является важнейшим и неотъемлемым этапом 
процедуры проектирования современных мехатронных устройств и 
систем. Навыки моделирования мехатронных систем необходимы 
для изучения ряда последующих курсов и при выполнении курсовых 
и выпускных квалификационных работ, связанных с исследованием 
и проектированием различных технических устройств и систем. 

В связи с тем, что мехатронная система – это синергетическое 

объединение механической, электрической и компьютерной частей, 
средства моделирования должны допускать совместное моделирование 
этих частей на единой методологической основе, давая возможность 
строить и исследовать многоаспектные модели. Реализовать 
это возможно двумя способами.  

Во-первых, можно перейти к единой системе дифференциальных 
уравнений, как это обычно делается в теории автоматического 
управления (ТАУ). В этом случае все физические особенности отдельных 
частей системы будут потеряны. Вариант такого подхода – 
структурное моделирование, где все переменные являются скаляр-

ными сигналами и их можно соединять (как в операторно-
структурной схеме). Недостаток такого подхода – большой объем 
предварительных преобразований (в случае системы уравнений) или 
получение схемы, мало напоминающей реальную систему. 

Другой вариант – использование систем моделирования, которые 
способны на единой методологической основе моделировать 
механические, электрические и информационные компоненты, т. е. 
объединять их в единую схему, сохраняя при этом привычные для 
специалистов в предметных областях способы задания исходной 
информации. Описываемый подход отличается от принятого в ТАУ 
тем, что в математических моделях используются не абстрактные 
сигналы, а величины, непосредственно характеризующие физическое 
состояние объекта (токи, потенциалы, давления, силы и т. п.) и 
связанные компонентными уравнениями. Именно этот подход становится 
в последнее время доминирующим, и именно он является 
основным объектом рассмотрения в данном пособии. 

При этом основу моделирования мехатронных систем составля-

ет моделирование механических конструкций. Как правило, именно 
моделирование механических конструкций является наиболее сложным 
и трудоемким. Компоненты механических конструкций описываются 
самыми сложными математическими моделями. Они наиболее 
многомерны и предъявляют жесткие требования к инструментальным 
средствам моделирования. 

 
 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 

 

1.1. Методы моделирования систем  

и типы математических моделей 

Детерминированное моделирование отображает процессы, в 

которых предполагается отсутствие случайных воздействий. 

Стохастическое моделирование – моделирование случайных 

процессов и случайных событий, в результате чего для параметров 
объектов должна быть получена оценка математического ожидания, 
дисперсии и закона распределения случайной величины. 

Статическое моделирование – это моделирование, при котором 
не учитывается изменение параметров объекта во времени, 
т.е. служит для описания поведения объекта в какой-либо момент 
времени. 

Динамическое моделирование – многошаговый процесс, каждый 
шаг соответствует поведению объекта или системы в определенный 
временный период. 

Дискретное моделирование – служит для описания процессов, 

которые предполагаются дискретными. 

Непрерывное моделирование – позволяет отразить непрерывные 
процессы в системах, а дискретно-непрерывное моделирование 
используется для случаев, когда хотят выделить наличие как 
дискретных, так и непрерывных процессов. 

При реальном моделировании исследования проводятся на реальном 
объекте целиком либо на его части.  

Натурное моделирование заключается в создании математических 
формул, совокупности данных, содержащих текстовую информацию 
описывающих форму или поведение объекта-оригинала. При 
этом в модели узнается моделируемый объект, то есть натурная (ма-

1 

териальная) модель всегда имеет визуальную схожесть с объектом-
оригиналом или узнается какой-либо его отдельный признак. 

 

 

Рис. 1.1. Методы моделирования технических систем 

 
Научный эксперимент отличается от других видов эксперимента, 
во-первых, повторяемостью, т.е. сколько бы раз ни повторяли 
эксперимент без изменения его исходных данных и методики проведения, 
он должен давать аналогичные результаты. Во-вторых, вос-

производимостью, т.е. должна иметься возможность воспроизвести 
данный эксперимент кем и где угодно, и при этом те же самые исходные 
данные и точное соблюдение методики должны привести к 
точно таким же результатам. 

Комплексные испытания систем должны осуществляться на 

каждом этапе жизненного цикла. 

Производственный эксперимент представляет собой разновидность 
естественного эксперимента, проводимого в обычных для 
исследуемого работника условиях труда и направленного на проверку 
лежащей в его основе выдвинутой гипотезы.  

При проведении производственного эксперимента процессы 

труда по своим техническим характеристикам не изменяются, но в 
условия и способы выполнения работы вносятся те или иные изменения, 
необходимые для целей исследования. 

Производственный эксперимент должен отвечать требованиям, 

предъявляемым к любому научному эксперименту: нацеленность на 
проверку определенной гипотезы, точность дозировки и регистрации 
изучаемых явлений, создание сравнительных условий, устранение 
побочных факторов. 

Особенностью производственного эксперимента является присутствие 
неконтролируемых факторов, т.е. факторов, причина которых 
не может быть установлена или количественно определена. Это 
обстоятельство необходимо учитывать при анализе и интерпретации 
результатов производственного эксперимента. 

Физическое моделирование – это метод экспериментального 

изучения различных физических объектов или явлений, основанный 
на использовании модели, имеющей ту же физическую природу, что 
и изучаемый объект. 

Метод заключается в создании лабораторной физической модели 
явления в уменьшенных масштабах и проведении экспериментов 
на этой модели. Выводы и данные, полученные в этих экспериментах, 
распространяются затем на явление в реальных масштабах. Отличие 
физического моделирования от натурного заключается в том, 
что исследования проводятся на установках, которые сохраняют 
природу явлений и обладают физическим подобием. В процессе фи-

зического моделирования задаются некоторые характеристики 
внешней среды и исследуется поведение системы (реальной или ее 
модели).  

Основной особенностью моделирования в реальном масштабе 

времени является получение прогноза при принятии решений с уче-
том ограничения на ресурс времени моделирования процесса функ-
ционирования системы. 

Моделирование в модельном масштабе времени. Модельное 

(системное) время – это представление физического времени в мо-
дели, т.е. время, в масштабе которого организуется работа модели. 
Модельное время, как правило, продвигается с гораздо большой 
скоростью, чем физическое.  

Мысленное моделирование часто является единственным спо-

собом моделирования объектов, которые либо практически нереали-
зуемы в заданном интервале времени, либо существуют вне условий, 
возможных для их физического создания. Например, на базе мыс-
ленного моделирования могут быть проанализированы многие ситу-
ации микромира, которые не поддаются физическому эксперименту. 

При наглядном моделировании на базе представлений челове-

ка о реальных объектах создаются различные наглядные модели, 
отображающие явления и процессы, протекающие в объекте. 

В основу гипотетического моделирования закладывается ги-

потеза о закономерностях протекания процесса в реальном объекте, 
которая отражает уровень знаний исследователя об объекте и бази-
руется на причинно-следственных связях между входом и выходом 
изучаемого объекта. 

Аналоговое моделирование – это разновидность физического 

моделирования, в котором реальный физический процесс заменяется 
другим физическим процессом, более удобным с точки зрения реа-
лизации. Основано на применении аналогии различных уровней. 

Макетирование 
– 
это 
еще 
одна 
форма 
проектно-

исследовательского моделирования, моделирования в объемных 
изображениях. Макет дает сведения об объемно-пространственной 
структуре, размерах, пропорциях, характере поверхностей, их пла-
стике, цвето-фактурном решении и др.